Sats 1.1 Om du l¨ agger extra mycket arbete p˚ a att l¨ ara dig l¨ osa problem av typ A och du lyckas, ges inga s˚ adana problem p˚ a tentan.

Murphys satser g¨allande vid studier och forskning

1 Studier

I detta avsnitt ger vi flera satser r¨ orande studier i matematik. Bevisen ¨ ar oftast l¨ atta, och l¨ amnas d˚ a som ¨ ovning ˚ at l¨ asaren.

Sats 1.1 Om du l¨ agger extra mycket arbete p˚ a att l¨ ara dig l¨ osa problem av typ A och du lyckas, ges inga s˚ adana problem p˚ a tentan.

Anm¨ arkning. Resultatet kan sk¨ arpas till f¨ oljande: sannolikheten att n˚ agot liknande problem dyker upp ¨ ar omv¨ ant proportionell mot din arbetsinsats.

Vi kan ¨ aven formulera f¨ oljande omv¨ andning:

Sats 1.2 Om du inte lyckas l¨ ara dig l¨ osa problem av typ A, dyker minst ett s˚ adant problem upp p˚ a tentan.

Exempel. Om du l¨ ar dig alla konvergenstest f¨ or positiva serier, kommer inte en enda serie p˚ a tentan. Om det existerar ett konvergenstest du inte l¨ art det, kommer det att beh¨ ovas p˚ a tentan.

Anm¨ arkning. L¨ asaren ska inte f¨ orledas att tro att man kan klara en tenta genom att l¨ ara sig alla sv˚ ara uppgiftstyper, och d¨ armed undvika dem p˚ a tentan – det klarar du aldrig.

F¨ oljdsats 1.3 F¨ or att klara en tenta beh¨ ovs ˚ atminstone fyra geniala id´ eer under sj¨ alva skrivningen.

Vi v¨ ander oss nu mot en speciell problemtyp:

Lemma 1.4 Om du beh¨ over ber¨ akna derivatan till en funktion f : R → R, s˚ a ¨ ar den en kvot av typen f (x) = g(x)/h(x) d¨ ar h ¨ ar mycket komplicerad.

Sats 1.5 Om n:te ordningens derivata beh¨ ovs, ¨ ar, med samma beteckningar som i f¨ oreg˚ aende lemma, g dessutom en produkt g = g

g

· · · g

av funktioner med icke-trivial n:te derivata.

Bevis. Till¨ ampa Murphys induktionsprincip p˚ a f¨ oreg˚ aende lemma. 

1

2 Forskning

I detta avsnitt ger vi n˚ agra resultat av betydelse vid forskning. I stora delar g˚ ar resultaten ¨ aven att till¨ ampa p˚ a probleml¨ osning vid studier. F¨ oljande fundamentala resultat visades i [5] (Sats 13.2).

Sats 2.1 Om n villkor beh¨ over visas f¨ or att en sats S ska kunna anv¨ andas och resultatet ¨ ar icke-trivialt, ¨ ar precis n − 1 av villkoren uppfyllda. Vidare kr¨ avs det mycket h˚ art arbete f¨ or att inse att n:te villkoret inte ¨ ar uppfyllt.

Med detta kraftfulla verktyg inses nu l¨ att:

F¨ oljdsats 2.2 Ju n¨ armare du tycker dig vara att kunna anv¨ anda en sats, desto n¨ armare ¨ ar du i sj¨ alva verket orsaken till att den den inte kan anv¨ andas.

Mer precis g¨ aller x = max(κ−log(t), 0), d¨ ar κ > 10 ¨ ar ett m˚ att p˚ a resultatets betydelse, t > 1 ¨ ar tiden i sekunder du lagt ner p˚ a l¨ osa problemet, och x ¨ ar avst˚ andet mellan dig och insikten att f¨ ors¨ oket ¨ ar fruktl¨ ost.

Vi ska nu titta lite n¨ armare p˚ a definitionsteorin.

Sats 2.3 Om du definierar en egenskap, ¨ ar f¨ oljande p˚ ast˚ aenden ekvivalenta 1. Det ¨ ar m¨ ojligt att kontrollera att ett objekt har egenskapen.

2. Alla objekt har egenskapen, eller alla saknar den.

3. De enda objekt som saknar egenskapen, ¨ ar de som borde ha den.

Bevis. (1) ⇒ (2): Antag (1), och till¨ ampa Sats 2.1 p˚ a varje f¨ ors¨ ok att visa motsatsen till (2). (2) ⇒ (3): (3) ¨ ar bara en mer precis formulering av (2).

(3) ⇒ (1). Kan man visa (3), ¨ ar det uppenbarligen m¨ ojligt att kontrollera egenskapen. 

Avslutningsvis ger vi ett resultat som inte ¨ ar begr¨ ansat till matematisk forskning, utan g¨ aller allm¨ ant.

Sats 2.4 Om du mot f¨ ormodan skulle finna n˚ agot resultat du tror ¨ ar nytt, ¨ ar det inte det. Om du inte tror att resultatet ¨ ar nytt och l˚ ater bli att publicera det, visar det sig att n˚ agon annan publicerar samma resultat ett halv˚ ar senare.

Bevis. Finns, men har aldrig publicerats. 

2