vördnad och tacksamhet

(1)

'/

DE

MULTISECTIONE

FUNCTIONUM ELLIPTICARUM PRIMI GENERIS

DISSERTATIO ACADEMICA.

QUAM

VENIA AMPLISS. FACULT. PHILOS^ _UPSAL,

Mag JACOBUS NICOLAVS GRAMLUND

MATHESEOS _DOCENS STIE. REG. CAROL. JOH.

ET

AXELIUS GUILIELMUS HYBBIXETH OSTROGOTHÜS.

IN AUDITORIO GUSTAV. DIE V MART. MDCCCEI.

Π. Ρ. Μ. V.

X.

UPSALIAE

KXCUDEBANT REGIAE ACADEMIAE TYPOÜRAPHI.

MDCCCLI.

(2)

(3)

KONUNGENS TROTJENARE

ÖFVERJÄGMÄSTAREN

Välborne Herr

född B£ZOLD

med djupaste

vördnad och tacksamhet

tillegnadt

af

AXEL WILH. HYBBINETH.

(4)

Den Huldaste Moder

tillegnadt

af

AXEL·,

(5)

75

sinar cosarc(|+ti) ^{= -}^Vb2^.sinarcu A[arcu, c)

'

atque, posito u =

sinarcω— o, cosarcω = -1, A{arcο>, c)= 1.

Eaedem formulae (12) ^— (14) praebent etiam

/

sinarc(ω-J-ιι)^{= -}sinarcu, cosarc[ω-\-u)= -cosarcti,

a[«i*c(w-{-M)* c]=a(«w*c«, c), linde, posito ft=|, sequitur, fore

sinarc—₂ = -1, cosarc—₂ = ο, A(arc^—,₂ c)— :

atque

unde, posito u= ^, sequitur, fore

sinarc 2ω= ο, cosarc2^ω= 1, λ(«/*£2ω,ρ) ⁼ 1.

Eaedem aequationes (12) — (14) praebent denique

sinarc(2ω-|~μ)= sinarc^{u, cosarc}(2ω-{-u)⁼ cosarcu,

A[erc(2iu-f«), <?] ⁼ A(arcu, c), linde, posito m=2o, sequitur, fore

smar<?4co= o, cos«rc4o>=l, a(«i*c4co, c)⁼ 1;

perspicuumque omnino est, recuperatis Semper iisdem va-

loribus, fore

.sinarcu Agaren,c) ?

10

(6)

74

sinarc2 ηω =ο, cosarc2ηω= 1, a(arc2nco9c)= 1,

et

sinarc{2ηω ιι)^— sinar^cu, cosarc(2ηω-}- μ)⁼cos aren,

Λ[are (2ηω-+■«), c] ^{='■ Α}(aren, c),

iibi η est numerus quilibet integer et positivus.

Praeterea nulli alii valöres funetionis u positivi, nisi qui sunt forma ιι = 2ηω, tales ^sunt, ut eodem tempore

omnibus aequationibus

(39) sinarcu⁼ ο, cosarcu= 1, λ(arcu, c)^=■ i bat satis.

Facile enim patet, continuo crescente u a niliilo ad

|J, funetionem sinarcu continuo etiam crescére a niliilo ad

—I, funetionem cosarcu continuo decrescere a -fl ad nihilum, funetionem λ(arcu, c) continuo decrescereab uni-

tate ad continuo crescente u ab | ad ω', funetionem

sinarcu continuo etiam decrescere a -[1 ad nihilum, fun¬

etionem ^cosarcu continuo decrescere a niliilo ad -1, fun¬

etionem λ(arcu, c) continuo crescere a V]/* ad unitatem;

continuo crescente κ ab ω ad funetionem sinarcu con-

2 y

tinuo etiam decrescere a niliilo ad -1, funetionem cosarcu

continuo crescere a -1 ad nihilum, funetionem A(arcu9c)

continuo decrescere ab unitate ad continuo crescente

μ a ad 2m, funetionum sinarcu continuo etiam crescere a -1 ad nihilum, funetionem ^cosarcu continuo crescere a

niliilo ad 4"4» funetionem a(arcu^f c) continuo crescere a

ad unitatem. Quibus rebus efficitur, inter limites

w=o et ^u⁼ 2ω aequationibus (39) nullam radicem ^esse

communem; eodemque modo se rem habere inter limites

(7)

75

ΐ4= 2ω et m= 4ö), u— Αω et ^«⁼ 6ω, generaliusque inter

limites u= 2(η-1)ω et u= 2mω, ubi η est numerus quili-

bet integer et positivus, facile probatur. Omnes igitur radices positivae aequationibusque (59) communes continen-

tur formula

u = 2ηω,

ubi ^η est numerus quilibet integer et positivus.

Eodem modo demonstrari etiam polest, omnes radices negativas aequationibusque(59) communes cöntineri formula

u=-2ηω,

ideoque esse

sinarc(-2ηω)⁼^o, ^cosarc(-2ηω)⁼1, h[arcH-2ηω),c]=i,

sinarc (ιι -2ηω)⁼ sinarcu, cosarc(μ-2ηω)= cosarcu,

Λ[wc(μ-2μω),<?] = λHaren, c),

ubi μ est numerus quilibet integer et positivus.

Concludi igitur potest, omnes radices reales aequatio¬

nibusque (59) communes cöntineri formula

μ= +2ηω,

ideoque esse

sinarc Η±2η(α) —Oi cosare(±2ncj)=1, λ

[arc

(+2«ω),c] =1, atque

(/<0) sinarc(u±2ηω) = sinarcu, cosarc(u±2ηω)= cosarcu,

Λ[wc(u+2ηω), c] ^=rΛ(weil, c),

in quibusformulisηestnumerus

quilibet integer

et

positivus,

aut nihilo aequalis.

§. 19.

Similes prorsus obcaussas omnes

radices reales

aequa¬

tionibusque

(8)

76

sinarcv= o, cosarcu = 1, ^αiarcv, fe) = 1

communes continentur formula

* υ— +2»ιέγ,

ubi m est numerus quilibet integer etpositivus, aut nihilo aequalisj unde sequitur, esse

sm(+2m-cr)=o, cosarc(±2m-er)=1, Λ[«re (+2 m-nr), fe]==1, quae aequationes, cum aequationibus (37), (38) comparatae, praebent

(41) sinarc(+ 2m-erι) ^—o, cosarc(+ 2mέγi)— 1,

Λ[«rc(+ 2»n-eri),c] ■= 1.

Ceterum ^e natura functionum sinarcv, cosancv, A(arcv,fe), ideoque etiam functionis tangarcu, patet, omnes radices

reales aequationibusque

sinar cvi⁼ o, cosarcvi= 1, λ(arcvi, c) = 1

communes contineri formula

unde sequitur, omnes radices formae /St imaginarias aequa¬

tionibusque (39) communes contineri formula

tt ==+2m-ert.

Posito autem

tt= +2m-srt,

aequationes (40) mutantur in aequationes

sinarc(±2itw+2mVt)⁼sinarc(± 2mtri), cosarc(± 2ηω±2ηΐττί)

=cosarcC±2m^i), A[arcC±2nM±2m-cri),c]=A\arc{±2m-&i),c],

quae cum aequationibus (4i) comparatae praebent

sinarc(±2ttω±2mπt)= o, cosarc(+2ttω+2m ττt)— 1,

Λfttrc(+2»tωrf2mέγt"),cj⁼ 1,

(9)

77

»nde sequitur, esse

(42) sinarc{u±2ηω+2mW)⁼sinarcu,cosarc{vt+2ηω+2»mi)

=cosarcu, λ[<μ·£(μ+2ηω+2mW),c]=λ(«reu, c).

Ceterum nullae aliae radices aequationibus (59) com-

munes esse possunt, nisi quae continentur formula

21zr ~f~*2fl(O-f"2Wl'CT2^

ubi _it, _m sunt nunieri quilibet integri et positivi^ aut

ui-

liilo aequales.

Ponamus euim, si fieri posset, esse

(45) sinarc{a+ßi)^—o, cosarc(_u+ßi)—1, e]~i,

atque

α = +2ρω-J-y, β= +2(Jόγ-j-δ,

ubi ρ, fj sunt numeri integri positivique aut

nihilo

aequa¬

les, y2ω, 5<^2-cr, atque numerorum y, δ alter certe ^>o.

Positis igitur u=γ-\-δί, η= ρ, m — η, aequationes (42), (45) praebent

sinarc(y-f-δι)= ο, cosarc(y-{- 51)⁼ 1, λ[urefy -|- δι), c] — 1,

ubi γ<^2ω7 atque numerorum γ7 δ alter certe >ο.

Aequationes autem (12)—(14) praebent, positis ^u~y,

υ= δi,

sirtrtrcfy+di)-

s^narcy-cosarc^"^arc^^+s^iai'c^-cosarcy' A(nrcj',e)

1-c9. sm2arcy.sin 2arοδi

cosarcCy+δι)-

cosarcy'^osarc^~snarcy'^arcy'>c)'snarc^'k(arc^'>c)

_{1-c9 .sin2}

arcy.sin2 aredi x(arcy7c).\[artåi7c)

-c2.sinarcy.cosarcy.sinarcdi.cosarcdi

l-c2 .sin2arcy.sin2 aredi

(10)

78

i i . . ·

qaae cum aequationibus (57), (58) comparatac niutantur

in aequationes

_ sinarcy.A(arcd,b)-\-icosarcy.\(ai'Cy,c).sinarc5.cosarcd

sinarc(Y+di)= L _cos _arcö ^? / ²v i-A- ^,

-j-e sin arcy.sinarco

■ ... cosarcy.cosarcö-isinarcy.A(ar'cy*c).sinarcd.\(arcd,b)

/

αλλ!

cosarcCy+δι)⁼ ± ⁵

'

Α ^,

(/*^)\ cos arcö-f-c1.sin~arcy sin*arco

A(_arcy^c),cosarcö.A(arcöib)

- i c2 sinarcγ.cosarcγ.sinarc δ kA[rtic(y+<5/),c]- c0s2arc§^c->sjn2arcy.sin2arcö'

Quoniam vero denominator membri dextri infinitus

esse non potcst, ut esse possit

sinarc(γ -|- <5i) ⁼ ο, erit sine dubio

sinarcy. A(arcö, b)=-icosarcγ. A{arcy, c). sinarc δ. cosarcδ.

Sed quantitas realis quaniilati imaginariae aequalis

esse non potest, misi sit utraque nihilo aequalis; unde sequitur, fore

sinarcy. Α^αΐ'οδ, b) ^=0, cosarcy. A{arcy>c). sinarc δ.cosarcδ⁼o, sive, quoniam

functiones A(arcfffb), A(arcy, c) nihilo

aequales numquam esse possunt,

sinarcy⁼0, cosarcy. sinarc δ. cosarcδ— ο,

sive, quoniam, posito sinarcy⁼ o, non potest esse cosarcy=o?

sinarcy⁼ o, sinarcδ. ^cosarcδ⁼ ^ο,

sive aut .

sinarcy= 0, sinarcδ ⁼ο,

aut

(11)

70

sinarcγ =o, cosarcd= o.

Sed omnes radices realis aequationis sinarcγ— o, si-»

quidem ρ<2ω, y=>o, sunt

γ ==O, y= oj.

Posito igitur y= o, erit satisfacieudum acquationibus

sinarcdi= o, cosarcdi— 1, A[arcdi, c)⁼ t,

quarum aequalionum omnes radices reales communesque contineri formula

d = + 2»ιτ3-,

sive, quoniam d<2^r,d=>o esse debet, formula

d= o,

supra demonstratum est.

Eodem modo omnes radices reales aequationissinarcd~o, siquidem d<2^r, d= >o, sunt

d ⁼_o, d⁼ o-.

Posito autem d⁼_o, erit satisfaciendum aequationibus

sinarc_γ₌_{o, cosarc}_γ ₌ 1, A[arcy, c) = 1,

quarum aequationum omnes radices reales communesque

contineri formula - ·

y = + 2ηω,

sive, quoniam y<2a>, y = >o esse debet, formula

y = o, supra demonstratum est.

Quibus rebus effieitur, si quantitatum y, d allera sit nihilo aequalis, alteram _quoque fore niliilo aequalem.

(12)

80

Restat igitur, quoniain omnes radices aequationis

cosarcδ = o, siquidem £<2^r, 3z>o, sunt

ΤλΓ 5T3-

ä= 2'

,5=

T·

ut inler se combinentur valöres ^*

ΈΓ -5ΈΓ

yzzw et δ~-^, y~(» et d~™·, γ—oj et

dzz-^-.

Praebent autem aequationes (44)

sinarc (ω+-ert)^{— o,}cosarc(ω+έγ t)zz1, [«re

(ω

+·»-t),c]zz

-1.

Eaedem aequationes praebent quidem expressiones

in-

determinatas formae f functionibus

ΈΓ Τ»Γ Έ3" %

sinarc(ω+ -g

i),

cosm-c

(ω -j-

-g

■i), -j-

—

i), c], et

5έγ 5Ό"< 5ΈΓ ^_

smarc(ω-h

-g-1), cosarc^+-^-1J, Λ [urc(w +

^

t)

^,

£j;

sed veri valöres inveniuntur esse omnes infiniti, positivi vel negativi, reales

vel imaginarii.

Concludere igitur possumus, omnes

radices aequatio-

nibus (59) communes

contineri formula

uzz ± 2wto ± 2ιϊιέτϊ,

ubi _n, _m sunt numeri quilibet integri et

positivi,

aut

ni-

bilo aequales.

§ 20.

Postremo videamns, quasnam radices communes

Iia-

beant aequationes

(45) sinarc(tt 4-v)zzsinarcn, cosarc(ti

-f· υ)

zzcosarcu,

vördnad och tacksamhet

'/

MULTISECTIONE

vördnad och tacksamhet

Den Huldaste Moder

'

[arc

quilibet integer

positivus,

radices reales

ui-

nihilo

s^narcy-cosarc^"^arc^^+s^iai'c^-cosarcy' A(nrcj',e)

cosarcy'^osarc^~s*narcy'^arcy'>c)'s*narc^'k(arc^'>c)

αλλ!

'

functiones A(arcfffb), A(arcy, c) nihilo

,5=

dzz-^-.

(ω

-1.

in-

i),

(ω -j-

■i), -j-

i), c], et

-g-1), cosarc^+-^-1J, Λ [urc(w +

t)

£j;

vel imaginarii.

radices aequatio-

contineri formula

positivi,

ni-

Iia-

-f· υ)

cosarcy'^osarc^~snarcy'^arcy'>c)'snarc^'k(arc^'>c)