Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet
DMA
Lösning till övning 1 Flervariabelanalys
1.a)
x y
x=2 1
b)
x y
y>x
y=x
Diagonalen y = x tillhör inte mängden.
c) Observera att (x − 1)2 + y2 = 4 ⇐⇒ p(x − 1)2+ y2 = 2 och att p(x − 1)2+ y2 är avståndet mellan (x, y) och (1, 0).
x y
(1,0) 2
Cirkel med radie 2 och centrum (1, 0).
2.a)
y
x
z
Man får grafen genom att först rita delen över y-axeln och försjuta den längs x-axeln.
b)
y
x
z
Man får grafen genom att först rita delen över y-axeln och rotera den kring x-axeln.
3. För f (x, y) = y2+ 1 får vi fx(x, y) = 0 och fy(x, y) = 2y.
De är definierade överallt.
För f (x, y) =p
x2+ y2 blir det fx(x, y) = x
px2+ y2, fy(x, y) = y
px2+ y2 (kedjeregel!).
fx och fy är inte definierade i (0, 0), där funktionernas graf har en spets.
4. a) fx(x, y) = ex, fy(x, y) = 0.
b) fx(x, y) = y2(x + 1)ex (produktregel!), fy(x, y) = 2yxex.
c) fx(x, y) = − 2x (1 + x2+ y2)2, fy(x, y) = − 2y
(1 + x2+ y2)2 (f symmetrisk i x och y).
d) fx(x, y) = y2z3(x + 1)ex, fy(x, y) = 2xyz3ex, fz(x, y) = 3xy2z2ex.
