Tillämpad Matematik II Övning 1
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
Uppgifter
Låt 1, 2, 3 , 1, 4, 2 och 3, 2, 1 . Typuppgifter i första hand
1.Rita a b c d
e 3
f 3 g2 3 h2 2
i 2 2
͒
͓
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
͒
͓ ͒ ͓ ͒
͓ ͓ ͒ ͒
͓
͓͒
͒
͓ ͒ ͓
͒
͓
͒
3͓
͒
3
͓͒ ͓
͒
͓
2͒
3͓
͒
͓
2
2
͒ ͓
͒
͓
2
͓
2͒
2.Rita 3 2 .
͒
͓
͔
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
͒
͓
͔
3
͒
2͓ ͔
3. Bestäm 2 och 4 .
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
2 1, 10, 1
4 14, 10, 9
4.Bestäm längden av 2 .
Lösningsförslag: 2 2 2 a2x a2y a2z 2 .
2 .
2 14
5. Bestäm längden av 3 .
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
3 4, 10, 9
och längden dx2 dy2 dz2 .
. 197
6. Ange x-komposanten av , samt z-komponenten av . Lösningsförslag: Skilj på komposant och komponent
4, 0, 4
1 1, 0, 0 4, 0, 0
och komponent.
2, 2, 5
3 5
7. Bestäm , , , 2 och .
Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning.
. 21
Handberäknad 1 2 3
3 2 1
2 1 3 2
1 1 3 3
1 2 2 3
8 8 8 .
8, 8, 8
. 11
2 .
80
. 3, 2, 1
8. Beräkna 2 , 2 3 4 6 samt 5 .
Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning.
2 .
0
2 3 . 4 6 960
5 . 5
25 5
9. Beräkna 5 .
Lösningsförslag: Ännu en fingerövning.
. 2
0, 5, 10
5 . 0, 50, 100
. 50 5
10. Bestäm 2 och samt vinkeln dem emellan.
Lösningsförslag: Grundläggande vektorräkning.
2 2, 8, 4
2 1, 10, 1
2, 2, 5
2 .
27
2 .
81, 54, 27
16, 1, 6
. 27 14
. 293
Definition av skalärprodukt cosΘ ger nu direkt mellanliggande vinkel.
Θ ArcCos .
. .
cos 1 20 2 2051
Θ, Θ 180 Π
N
2.24534, 128.649
11. Bestäm en enhetsvektor i :s riktning.
Lösningsförslag: En enhetsvektor i samma riktning ges av 1 . Detta ska du kunna härleda!
. 14
1 .
3
14 , 2
7 , 1 14
12. Bestäm en vektor med längden 5 motsatt riktad . Lösningsförslag: Gammal repris
1, 4, 2
En enhetsvektor i samma riktning ges av 1 som dras ut till rätt längd 5 .
. 21
1 .
1 21
, 4
21
, 2
21 5
.
5 21 , 20
21 , 10 21
13.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4 .
Lösningsförslag: Enhetsvektor i given vektor :s riktning ges av 1 , fyran kan vi strunta i.
. 14
1 .
3 14
, 2
7 , 1
14
14. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 5 . Lösningsförslag: Dessa enhetsvektorer
3 5
8, 14, 19
En enhetsvektor i samma riktning ges av 1 .
. 3 69
1 .
8
3 69
, 14
3 69
, 19
3 69
15. Bestäm en vektor så att 3 och har samma riktning som .
Lösningsförslag: Nästan en repris En enhetsvektor i samma riktning som ges av 1 . Detta ska du kunna härleda!
. 14
1 .
3
14 , 2
7 , 1 14
Slutligen drar vi ut den till önskad längd 3 .
3 .
9
14 , 3 2
7 , 3 14
16. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök koordinaterna för en punkt P som ligger på sträckan AB tre gånger så långt från A som från B.
Lösningsförslag: Linjärkombination 3
4
1 2,7
2,3 4
17. Bestäm vinkeln mellan vektorerna och .
Lösningsförslag: Direkt tillämpning på definition av skalärprodukt cosΘ, där Θ är den sökta vinkeln.
Θ ArcCos .
. .
N
cos 1 1 7 1.71414
18. Bestäm vinkeln mellan AB och BC om punkterna A, B, C har ortsvektorerna , respektive . Lösningsförslag: Vi får enligt definition av vektor mellan två punkter.
AB 2, 2, 5 BC
2, 2, 1
Varav slutligen med definition av skalärprodukt
Θ ArcCos AB.BC AB.AB BC.BC
cos 1 5
3 33
19. Bestäm vinkeln mellan 2 och .
Lösningsförslag: Vi får enligt definition av skalärprodukt.
ArcCos 2 .
2 . 2 .
cos 19 3 434
20. Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn .
Lösningsförslag: Om s s 0.
Solve s . 0
s 2 13
21. Bestäm s så att längden av vektorn s blir minimal.
Lösningsförslag: Vi får en vektor som funktion av s.
s
1 s, 4 s 2, 2 s 3
Likaså dess längd.
d .
1 s2 2 s 32 4 s 22 En bild piggar alltid upp!
Plot d, s, 1, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel "s", " "
1.0 0.5 4.0 0.5 1.0 s 4.5
5.0 5.5 6.0
́
Nu är det bara att söka s så att d blir minimal, det vill säga sök derivatans nollställe. När man räknar för hand är det enklare att derivera d2 istället. Den antar min för samma s. Derivatan av d2 återfinns som inre derivatan i täljaren nedan.
ddds D d, s
2 1 s 4 2 s 3 8 4 s 2 2 1 s2 2 s 32 4 s 22 smin Solve ddds 0, s
s 1 21
Slutligen min d (utom tävlan ).
d . smin First N
293 21 3.73529
Vi känner igen linjens ekvation s . Ortsvektorn för en punkt på linjen är ju som kortast då den bildar rät vinkel med linjen. Så lite kortare
Solve s . 0
s 1 21
22. Bestäm s så att vektorn 1
2 s 2
3 blir parallell med vektorn 3 4 .
Lösningsförslag: Vi vet att t . Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer; x- och y-komponenterna med de två variablerna s och t.
ekv 1, 2 s 2, 3 t 3, 4 2 s 1, 2 3 s 3 t, 4 t
Solve ekv s 10, t 7
23. Bestäm projektionen av på .
Lösningsförslag: Se föreläsningsanteckningar för härledning men eftersom vi inte hittar dessa eller "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläggande samband som hjälper oss.
1 s
2 0 s 0 s
. .
3 7, 2
7, 1 7
24. Låt vara en enhetsvektor med samma riktning som . Bestäm projektionen av på . Lösningsförslag: Först
.
3
14 , 2
7 , 1 14
Eftersom vi inte "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläg- gande samband som hjälper oss.
1 s
2 0 s 0 s
Nu är det bara att räkna på .
5 2
7 3 14 .
21
. . 1 21 5 2
7 3 14 .
. Simplify
13
21 14 ,
26 2
7
21 , 13 2
7
21
25. Hur många % längre är :s projektion på än :s projektion på ? Rita!
Lösningsförslag: Om man inte kommer ihåg "projektionsformeln" får man härleda
bPåc . .
39 14,13
7, 13 14
cPåb . .
13 21,52
21, 26 21 Jämför nu längderna
bPåc.bPåc cPåb.cPåb
1
100 N
1 3
2 22.4745
26. Bestäm en enhetsvektor som är vinkelrät mot och !
Lösningsförslag: Det är bara att kryssa på! Givetvis duger även .
16, 1, 6 och normera den
.
16 293 , 1
293 , 6 293 Som svar kan vi nu välja eller .
27. Bestäm vektorn om och , har längden 3 samt bildar spetsig vinkel med .
Lösningsförslag: Vi har två kandidater s där och s väljes så att önskad längd erhålles.
16, 1, 6
Spetsig med ? I så fall är 0.
. 0
True
Ok, om inte, så välj . Sedan är det bara att fixa till så att vi får önskad längd.
3 .
48
293
, 3
293
, 18
293
28. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot ! Lösningsförslag: Projektionen av på är ju den parallella komposanten
. .
3 7, 2
7, 1 7
och den vinkelräta eftersom ,
4 7,16
7, 20 7
29. Bestäm arean av den parallellogram som som spänns upp av och .
Lösningsförslag: Vi kommer ihåg den geometriska tolkningen av vektorprodukt. Arean A av parallellogrammen som spänns upp av och är A .
16, 1, 6
. 293
30. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och .
Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av vektorprodukt. Arean Ap av parallellogrammen som spänns upp av och är
Ap .
8, 8, 8
At
1
2 .
4 3
31. Bestäm vinkeln mellan diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av och . Lösningsförslag: Diagonalerna ges av respektive
1
2, 4, 2
2
4, 0, 4
Nu är det bara att använda definition av skalärprodukt. Först lite godis på vägen
1. 2
0
Nu är egentligen saken klar. Eftersom 1 2 0 1 2. Men för sportens skull
1. 1
2 6
2. 2
4 2
Θ ArcCos 1
. 2
1. 1 2. 2
Π 2 Som sig bör
32. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av , och . Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av skalär trippelprodukt.
V .
40
Det finns sex varianter, tre negativa och tre positiva, som till beloppet är lika
. , . , . , . , . , .
40, 40, 40, 40, 40, 40
33. Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av , och .
Lösningsförslag: Tetraedern spänner upp 16 av volymen av motvarande parallellepiped, det vill säga V 16 . Beloppstecken om vi är intresserade av hur mycket vi kan hälla i den.
1 6
Abs .
20 3
34. Låt r, 0, 2 och 5, 7, r . Sök r så att a) och b) . Går det?
Lösningsförslag: Sök r r, 0, 2 ; 5, 7, r ; så att
. 3 r
Solve . 0
r 0
ok! eller så att , det vill säga ett r och ett s så att s .
ekv s
r, 0, 2 5 s, 7 s, r s
Solve ekv
Går ej att få dem parallella
35. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och .
Lösningsförslag: Normal till planet. Naturligtvis går det utmärkt även med .
16, 1, 6
Som normeras 1
.
16 293
, 1
293
, 6
293
36. En robot flyttar med kraften N en motor från en lagerplats till en annan. De två platserna definieras av ortsvektorerna respektive . Sök det uträttade arbetet.
Lösningsförslag: Här är förflyttningen given på vektorform så vi får direkt A
. Nm
12 Nm
37. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 5 N i riktning flyttar en låda 8 m i riktning . Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och förflyttning på vektorform.
5 .
5 14
, 5 2 7 , 15
14
8 .
12 2
7 , 8 2
7 , 4 2 7 Varav arbetet
. Nm 40 Nm
7
38. En kraft på 8 N är vinkelrät mot och och bildar spetsig vinkel med positiva x-axeln. Vilket arbete uträttas om den förflyttar en låda 5 m från origo i riktning ?
Lösningsförslag: Här är "som vanligt" och beskrivna med belopp och riktning. Att kunna ta fram en enhetsvektor i en given riktning är ofta användbart Vi får :s riktning
16, 1, 6
Spetsig vinkel med x-axeln kräver skalärprodukten 1, 0, 0 0?
. 1, 0, 0 0 True
Vilket alltså är uppfyllt här. Annars välj . Så kraften som riktig vektor 8
.
128 293 , 8
293 , 48 293
Samma visa vad gäller förflyttningen 5
.
15 14
, 5 2
7 , 5
14 Och slutligen det eftersökta arbetet
. Nm Simplify
800 2
2051 Nm . Nm N 24.9817 Nm
39. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor har riktningen och längden 3 m. Bestäm momentet kring origo.
Lösningsförslag: Som "vanligt" är eller dolda i storlek och riktning, här där är en enhetsvektor i :s riktning. Alltså . Vi får direkt momentet kring koordinataxlarna .
3 .
Nm
24 2
7 Nm,3 Nm 14
, 9 2 7 Nm
40. En 5 m lång stång är fast inspänd med ena änden i origo och pekar i riktningen 3, 2, 5 . I andra änden angriper kraften 1000 N verkande i riktningen 5, 4, 6 . Bestäm momentet med avseende på origo samt en linje genom origo med riktning .
Lösningsförslag: Här gäller det "som vanligt" att vaska fram kraft och hävarm på vektorform.
1000
5, 4, 6 . 5, 4, 6
5, 4, 6
5000 77
, 4000 77
, 6000 77 5
3, 2, 5 . 3, 2, 5
3, 2, 5
15 38
, 5 2 19 , 25
38
Varav momentet. Reaktionsmomentet från kroppen är sedan . Nm
80 000 2
1463 Nm, 2500 14
209 Nm, 5000 22 133 Nm
och vridmomentet kring som M 1 . Observera att det kommer ut med rätt tecken enligt välkänd teckenkonvention!
. .
Simplify N
40 000 Nm 209 2766.86 Nm
41. Sök avståndet från punkten 7, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 0, 1, 0 och 2, 3, 3 .
Lösningsförslag: Typisk avståndsberäkning. Rita figur! Först en ortsvektor för en punkt på linjen
0 0, 1, 0 0, 1, 0
samt en riktningsvektor för linjen 2, 3, 3 0
2, 4, 3
Vektor från 0 till punkten 7, 1, 3 0
7, 2, 3
Projektion av på linjen .
.
62 29, 124
29,93 29
Avståndsvektorn från linjen till punkten
141 29,66
29, 6 29
Varav slutligen det sökta avståndet
.
3 93 29
42. Sök avståndet från punkten 1, 2, 3 till det plan som går genom origo och innehåller och . Lösningsförslag: Normalvektor till planet.
16, 1, 6
Som en punkt i planet väljer vi naturligtvis origo vars ortsvektor
0 0, 0, 0 0, 0, 0
Avståndet bestäms av att vi går närmsta vägen, det vill säga längs normalens syftlinje. När vi är framme uppfyller vi planets ekva-
tion 0 0.
ekv 1, 2, 3 s 0 . 0
s 6 6 s 3 16 16 s 1 2 0 ess Solve ekv First
s 36
293
Slutligen det sökta avståndet, vilket är beloppet av den vektor vi gått.
s . s . ess 36
293
43. Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten 1, 2, 3 och har som normalvektor.
Lösningsförslag: Normalvektor till planet.
3, 2, 1
Ortsvektor för punkt i planet.
0 1, 2, 3 1, 2, 3
Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation insatt i planets ekvation 0 0 bestämmer t.
linje t
1 t, 4 t 2, 2 t 3
ekv linje 0 . 0 13 t 6 0
träff Solve ekv First
t 6 13
Slutligen den sökta skärningspunkten linje . träff
7 13,50
13, 27 13
44. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och 2, 3, 9 . Lösningsförslag: Normalvektor till planet
5, 7, 4 2, 3, 1 2, 3, 9 2, 3, 1 40, 18, 16
Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet som har ekvationen 0 0.
linje s
1 s, 4 s 2, 2 s 3
ekv linje 2, 3, 1 . 0 40 s 1 16 2 s 4 18 4 s 1 0
träff Solve ekv First
s 7 24 Och skärningspunkten
linje . träff
17 24,19
6 , 29 12
45. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och planet x 2 y 4z 3 0. Sök även vinkeln mellan linjen och planets normal.
Lösningsförslag: En normalvektor till planet är 1, 2, 4 och en punkt i detsamma är exempelvis 3, 0, 0 . 1, 2, 4
1, 2, 4
0 3, 0, 0 3, 0, 0
Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet som har ekvationen 0 0.
linje s
1 3 s, 2 s 2, s 3
ekv linje 0 . 0 4 s 3 3 s 2 2 s 2 2 0
träff Solve ekv First
s 6
varav den sökta punkten linje . träff
19, 10, 9
Slutligen söker vi vinkeln mellan linjen och planets normal, det vill säga vinkeln mellan och . Här kommer definition av skalärpro- dukt väl till pass.
Θ ArcCos
.
. .
N
1.74667
Större än Π2 så vi väljer att svara med komplementvinkeln
Π Θ 1.39493
46. Låt koordinataxlarna ha enheten km. En båt befinner sig i punkten 8, 4 och håller rak kurs mot punkten 4, 6 med konstant fart 10 km/h. Bestäm den punkt i vilken båten ska göra en 90 kursändring för att sedan med rak kurs och oförändrad fart segla rakt i hamn som är beläget i 4, 3 .
Lösningsförslag: Rita figur! Först lite ortsvektorer för intressanta punkter.
1 8, 4 ;
2 4, 6 ; 4, 3 ;
Båtens kursvektor 12 2 1.
12 2 1
12, 10
Projicera (vårt ständigt återkommande problem!) nu "relativa hamnvektorn" 1, det vill säga vektorn från båtens position till hamnen, på kursvektorn 12 så har vi direkt ortsvektorn ä för den punkt där kursändring ska ske.
ä 1
1 . 12 12. 12
12
26 61,141
61
Slutligen, utom tävlan, restiderna i enheten timmar t sv.
tid 1 10
ä 1 . ä 1 , ä . ä N
0.985884, 0.691399
Avslutningsvis en liten uppmuntrande bild över skådespelet.
Graphics Blue, Dashing 0.02 , Line ä, 2 ,
Red, Dashing , Arrow 1, ä , Arrow ä, , AspectRatio Automatic, Axes True, AxesLabel "x", "y"
8 6 4 2 2 4 x
4 2 2 4 6 y
47. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och . Lösningsförslag: Normal till planet
16, 1, 6
Som normeras 1
.
16 293
, 1
293
, 6
293
48. Punkten A har som ortsvektor. Bestäm sedan A:s spegelpunkt i det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och 2, 3, 9 .
Lösningsförslag: Normalvektor till planet
5, 7, 4 2, 3, 1 2, 3, 9 2, 3, 1 40, 18, 16
Punkten speglar sig vinkelrät mot planet. Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen s och planet som har ekvationen
0 0. Välj 0 som ortsvektor för den första av de tre givna punkterna i planet.
linje s
1 40 s, 18 s 2, 16 s 3
0 2, 3, 1 2, 3, 1
träff Solve linje 0 . 0 First
s 21 1090
Speglingspunkten ligger nu lika långt på "andra sidan".
2 s . träff
59 109,1468
545 , 1299 545
Annars går det lika bra att använda projektion.
2 0 .
.
59 109,1468
545 , 1299 545
49. Bestäm ekvationen för det plan som skär planet 2x 3y z 5 0 under rät vinkel och innehåller linjen s .
Lösningsförslag: Eftersom det sökta planet innehåller den givna linjen så innehåller det speciellt linjens riktingsvektor . Vidare innehåller det normalvektorn till det givna planet eftersom planen skulle bilda rät vinkel med varandra. Vi har alltså två vektorer i
det sökta planet varför en normalvektor blir 2, 3, 1
10, 5, 5
Som ortsvektor 0 för en punkt i planet kan vi välja ortsvektorn för linjens stödpunkt.
50. Bestäm skärningslinjen mellan planen x 2 y z 1 0 och 3x y 2z 4 0. Sök även avståndet från punkten 2, 1, 3 till linjen.
Lösningsförslag: Linjens riktningsvektor måste vara vinkelrät mot båda planens normalvektorer vilka avläses direkt i ekvationerna 1, 2, 1 3, 1, 2
3, 5, 7
Sedan en punkt på linjen. Denna ligger ju i påda planen. Vi provar att sätta z 0 och lösa ut x och y. Om inte detta fungerar prova med y 0 eller x 0 och lös ut de två andra. Något av dessa tre fall måste fungera eftersom en linje skär minst ett koordinatplan.
0 Solve x 2 y z 1 0, 3 x y 2 z 4 0 . z 0 First
x 1, y 1
Gick ju bra! Alltså linjens ekvation på parameterform linje x, y, 0 t . 0
3 t 1, 5 t 1, 7 t
Sedan avståndet. Vektor från 0 på linjen till punkten 2, 1, 3 x, y, 0 . 0 1, 0, 3
Projektion av på linjen . .
54 83,90
83, 126 83
Avståndsvektorn från linjen till punkten
137 83, 90
83,123 83
Varav slutligen det sökta avståndet
. 506
83
51. Linjen med ekvationen s skär planet med ekvationen x 2 y 2z 5 0 i punkten P. Bestäm ekvationen för den linje i som går genom P och som är vinkelrät mot .
Lösningsförslag: Först avläser vi planets normalvektor.
1, 2, 2 1, 2, 2
Sedan ortsvektor en punkt i planet, som kan väljas till
0 5, 0, 0 5, 0, 0
Bestäm nu skärningspunkten P som ju också är en punkt på den sökta linjen genom att sätta in linjen i planets ekvation.
träff Solve s 0 . 0 First
s 16 3
p s . träff
19 3, 58
3, 41 3
Slutligen behöver vi den sökta linjens riktningsvektor. Denna är enligt uppgift vinkelrät mot såväl planets normalvektor som den givna linjens riktningsvektor. Så
12, 0, 6
Linjens ekvation är alltså p t .
52. Sök avståndet i riktning från den punkt som har ortsvektorn till det plan som går genom origo och har som normalvektor.
Lösningsförslag: Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen s och planet vars ekvation är 0 0. Enligt uppgift är en normalvektor till planet och origo en "punkt" 0 i planet. Skärningspunkten ligger som vanligt både på linjen och i planet, så
s 0 ger den sökta skalären s.
linje s
1 s, 4 s 2, 2 s 3
träff Solve linje 0, 0, 0 . 0 First
s 2 13
Slutligen avståndet i riktning längs linjen
s . s . träff 2 21
13
53.Bestäm det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a och en av sidoytornas diagonaler som inte skär rymddiagonalen.
Lösningsförslag: Placera kuben med ett hörn i origo och sidorna parallella med koordinatplanen. Ortsvektor för punkt på och riktningsvektor för rymddiagonalen genom origo
h a 0, 0, 0 0, 0, 0
h a 1, 1, 1 a, a, a
Ortsvektor för punkt och riktningsvektor för en diagonal på sidoyta som uppfyller kraven
d a 1, 0, 1 a, 0, a
d a 1, 1, 0 1, 0, 1 0, a, a
Kortaste avståndet ges då sammanbindningslinjen mellan linjerna bildar rät vinkel med båda linjerna.
snöre h s h d t d
a s a, a s a t, a s a t a
sÅt Solve snöre. h, snöre. d 0, s, t First
s 2 3, t 1
2 Varav kortaste avståndet
snöre.snöre . sÅt PowerExpand a
6
Avslutningsvis en liten bild över skådespelet med enhetskuben som scen.
Graphics3D Thickness 0.02 , Red, Line h, h h , Blue,
Line d, d d , Cyan, Line h s h, d t d . a 1 . sÅt, Axes True
0.0 0.5
1.0 0.0
0.5 1.0
0.0 0.5 1.0
54.Bestäm ekvationen för det normalplan till planet x y 2z 1 som innehåller linjen x 12 y 33 z 21.
Lösningsförslag: Det sökta planet ska alltså innehålla det givna planets normal samt den givna linjens riktningsvektor, så normalen 1, 1, 2 2, 3, 1
5, 3, 1
En punkt i planet kan sedan vara den punkt linjen går genom 1, 3, 2 .
55.En vektor bildar vinkeln Π3 med två av basvektorerna i ett ON-system i rummet. Vilken vinkel bildar den med den tredje basvektorn?
Lösningsförslag: Av symmetriskäl kan vi välja att studera följande vektor 1, 1, z
1, 1, z
z-komponenten ges av definition på skalärprodukt och kravet på att ska bilda vinkeln Π3 mot såväl x- som y-axeln. Det räcker att testa mot x-axeln eftersom båda blir automatiskt uppfyllda med symmetriansatsen av v ovan.
ekv . 1, 0, 0 . CosΠ 3
1 z2 2
2
1, 1, z . Solve ekv, z
1 1 2
1 1 2
Som väntat två vektorer. Varandras spegelbilder i xy-planet. Slutligen vinklarna mot z-axeln.
ArcCos . 0, 0, 1 1 . 1
3Π 4 , Π
4
56.Dela upp vektorn 1, 1, 1 i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot planet x 2 y z 0.
Lösningsförslag: Återigen projektion, denna gång på normalen, för att få vinkelräta komposanten 1, 1, 1
1, 1, 1
1, 2, 1 1, 2, 1
. .
1 3,2
3, 1 3
Sedan den parallella komposanten
2 3,1
3,4 3
57.Beräkna spegelbilden av punkten 1, 1, 6 i planet 2x 2 y z 1.
Lösningsförslag: Normalvektor till planet samt ortsvektorn för en punkt i det.
2, 2, 1 2, 2, 1
0 0, 0, 1 0, 0, 1
Punkten speglar sig vinkelrät mot planet. Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen och planet med ekvationen 0 0.
linje 1, 1, 6 s 2 s 1, 2 s 1, s 6
träff Solve linje 0 . 0 First
s 1
Speglingspunkten ligger nu lika långt på "andra sidan".
1, 1, 6 2 s . träff 3, 3, 4
58. Punkterna A och B med ortsvektorerna respektive är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök ekvationen för detta plan!
Lösningsförslag: En punkt i planet ligger mitt emellan punkterna A och B.
P0 1 2
0, 3, 1 2
En given normalvektor är den vektor som förbinder punkterna
2, 2, 5
59. Låt , och vara tre vektorer i 3. Om nu 0 och 0 medför det då allmänt att 0? Bevis eller motexempel!
Lösningsförslag: Nä , välj exempelvis 1, 0, 0 ;
0, 0, 1 ; 1, 1, 0 ; så
. 0
. 0
men . 1
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid 60.Rita
a 2 b2 c3 d32 e 3
f 2
͒
͓
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
͒
͓ ͒
2͓
͒
͓
2͓ ͒
͒
͓
3
͒ ͓
͒
͓
3 2͓ ͒
͒
͓
3͒ ͓
͒
͓
͒
2͓
61.Bestäm längden av 2 .
Lösningsförslag: 2 2 2 2 a2x a2y a2z 2 .
2 .
2 14
62. Bestäm längden av 3 .
Lösningsförslag: Standard vektoralgebra.
3 2, 14, 3
och längden dx2 dy2 dz2 .
. 209
63. Beräkna 5 .
Lösningsförslag: Ännu en fingerövning.
. 1
8, 8, 8
5 . 40, 40, 40
. 40 3
64.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 .
Lösningsförslag: Enhetsvektor i given vektor :s riktning ges av 1 , trean kan vi strunta i.
. 14
1 .
1 14
, 2
7 , 3
14
65. Bestäm en vektor så att 4 och har samma riktning som . Lösningsförslag: Nästan en repris
1, 4, 2
En enhetsvektor i samma riktning ges av 1 som dras ut till rätt längd 4 .
.
21 1
.
1 21 , 4
21 , 2 21 4
.
4 21
, 16 21
, 8
21
66. Bestäm vinkeln mellan vektorerna och .
Lösningsförslag: Direkt tillämpning på definition av skalärprodukt cosΘ, där Θ är den sökta vinkeln.
Θ ArcCos .
. .
N
cos 1 1 7 6 1.51244
67. Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn .
Lösningsförslag: Om s s 0.
Solve s . 0
s 21 13
68. Bestäm s så att vektorn 1
3 s 2
1 blir parallell med vektorn 2 5 .
Lösningsförslag: Vi vet att t . Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer; x- och y-komponenterna med de två variablerna s och t.
ekv 1, 3 s 2, 1 t 2, 5 2 s 1, s 3 2 t, 5 t
Solve ekv
s 11 12, t 5
12
69. Bestäm projektionen av på .
Lösningsförslag: Se föreläsningsanteckningar för härledning men eftersom vi inte hittar dessa eller "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläggande samband som hjälper oss.
1 s
2 0 s 0 s
. .
39 14,13
7, 13 14
70. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och .
Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av vektorprodukt. Arean Ap av parallellogrammen som spänns upp av och är
Ap .
16, 1, 6
At
1
2 .
293 2
71. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med planet som spänns upp av och ! Lösningsförslag: Först normalen till planet.
16, 1, 6
Sedan projektionen av på normalen för att få den mot planet vinkelräta komposanten.
. .
640 293, 40
293, 240 293
Slutligen den med planet parallella komposanten ur .
239 293,626
293,533 293
72. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 6 N i riktning flyttar en låda 2 m i riktning . Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och förflyttning på vektorform.
6 .
3 2 7 , 6 2
7 , 9 2 7 2
.
2
21 , 8
21 , 4
21
Varav arbetet . Nm 2 6 Nm
7
73.Bestäm momentet kring origo om kraften N verkar i en punkt vars ortsvektor är 15 m lång och har samma riktning som . Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och hävarm på vektorform.
1, 2, 3 15
.
45
14 , 15 2
7 , 15 14 Varav slutligen momentet i Nm.
60 2
7 , 60 2
7 , 60 2 7
74. Sök avståndet från punkten 2, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 1, 1, 0 och 2, 3, 3 . Lösningsförslag: Typisk avståndsberäkning. Rita figur! Först en ortsvektor för en punkt på linjen
0 1, 1, 0 1, 1, 0
samt en riktningsvektor för linjen 2, 3, 3 0 1, 2, 3
Vektor från 0 till punkten 2, 1, 3 0
1, 0, 3
Projektion av på linjen . .
4 7, 8
7,12 7
Avståndsvektorn från linjen till punkten
11 7,8
7,9 7
Varav slutligen det sökta avståndet
. 38
7
75. Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten 1, 3, 2 och har som normalvektor.
Lösningsförslag: Normalvektor till planet.
1, 4, 2
Ortsvektor för punkt i planet.
0 1, 3, 2 1, 3, 2
Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation insatt i planets ekvation 0 0 bestämmer t.
linje t
1 3 t, 2 t 2, t 3
ekv linje 0 . 0 2 t 1 3 t 4 2 t 1 2 0
träff Solve ekv First
t 8 13
Slutligen den sökta skärningspunkten linje . träff
11 13,42
13, 31 13
76. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som går genom origo och innehåller linjen t . Lösningsförslag: Tydligen innehåller planet vektorerna och så en normalvektor till planet är
8, 8, 8
Planets ekvation är 0 0. Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet så s 0 0 ger den sökta skalären s. Som ortsvektor 0 för en punkt i planet kan vi välja origo.
linje s
s 8, 4 s 8, 2 s 8
träff Solve linje 0, 0, 0 . 0 First
s 24 5
Slutligen skärningspunkten linje . träff
64 5 ,56
5, 8 5
77.Bestäm de punkter på z-axeln, som ligger lika långt från planen 12x 9 y 20z 15 0 och 4x 3z 10 0.
Lösningsförslag: Först planen på vektorform, det vill säga normalvektor och en punkt i planet.
1 12, 9, 20 12, 9, 20
01 x, 0, 0 . Solve 12 x 9 y 20 z 15 0 . y 0, z 0 First
5 4, 0, 0
2 4, 0, 3 4, 0, 3
02 x, 0, 0 . Solve 4 x 3 z 10 0 . y 0, z 0 First
5 2, 0, 0
Ortsvektor för de sökta punkterna på z-axeln
z 0, 0, z 0, 0, z
Planets ekvation är 0 0. Avståndsresan från en punkt mot ett plan går längs normalens syftlinje, z s 0 0. Detta bestämmer s för de båda planen.
essett Solve z s1 1 01 . 1 0, s1 First
s1 1
125 4 z 3
esstvå Solve z s2 2 02 . 2 0, s2 First
