Tillämpad Matematik II Övning 1
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
Uppgifter
Låt 1, 2, 3 , 1, 4, 2 och 3, 2, 1 . Typuppgifter i första hand
1.Rita a b c d
e 3
f 3 g2 3 h2 2
i 2 2
͒
͓
2.Rita 3 2 .
͒
͓
͔
3. Bestäm 2 och 4 . 4.Bestäm längden av 2 . 5. Bestäm längden av 3 .
6. Ange x-komposanten av , samt z-komponenten av .
7. Bestäm , , , 2 och .
8. Beräkna 2 , 2 3 4 6 samt 5 .
9. Beräkna 5 .
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 1 1
10. Bestäm 2 och samt vinkeln dem emellan.
11. Bestäm en enhetsvektor i :s riktning.
12. Bestäm en vektor med längden 5 motsatt riktad . 13.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4 . 14. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 5 .
15. Bestäm en vektor så att 3 och har samma riktning som .
16. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive . Sök koordinaterna för en punkt P som ligger på sträckan AB tre gånger så långt från A som från B.
17. Bestäm vinkeln mellan vektorerna och .
18. Bestäm vinkeln mellan AB och BC om punkterna A, B, C har ortsvektorerna , respektive . 19. Bestäm vinkeln mellan 2 och .
20. Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn . 21. Bestäm s så att längden av vektorn s blir minimal.
22. Bestäm s så att vektorn 1
2 s 2
3 blir parallell med vektorn 3 4 . 23. Bestäm projektionen av på .
24. Låt vara en enhetsvektor med samma riktning som . Bestäm projektionen av på . 25. Hur många % längre är :s projektion på än :s projektion på ? Rita!
26. Bestäm en enhetsvektor som är vinkelrät mot och !
27. Bestäm vektorn om och , har längden 3 samt bildar spetsig vinkel med . 28. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot !
29. Bestäm arean av den parallellogram som som spänns upp av och . 30. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och .
31. Bestäm vinkeln mellan diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av och . 32. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av , och .
33. Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av , och .
34. Låt r, 0, 2 och 5, 7, r . Sök r så att a) och b) . Går det?
35. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och .
36. En robot flyttar med kraften N en motor från en lagerplats till en annan. De två platserna definieras av ortsvektorerna respektive . Sök det uträttade arbetet.
37. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 5 N i riktning flyttar en låda 8 m i riktning .
38. En kraft på 8 N är vinkelrät mot och och bildar spetsig vinkel med positiva x-axeln. Vilket arbete uträttas om den förflyttar en låda 5 m från origo i riktning ?
39. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor har riktningen och längden 3 m. Bestäm momentet kring origo.
40. En 5 m lång stång är fast inspänd med ena änden i origo och pekar i riktningen 3, 2, 5 . I andra änden angriper kraften 1000 N verkande i riktningen 5, 4, 6 . Bestäm momentet med avseende på origo samt en linje genom origo med riktning .
41. Sök avståndet från punkten 7, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 0, 1, 0 och 2, 3, 3 . 42. Sök avståndet från punkten 1, 2, 3 till det plan som går genom origo och innehåller och .
43. Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten 1, 2, 3 och har som normalvektor.
2 Tillämpad Matematik II, Övning 1 HH/ITE/BN
44. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och 2, 3, 9 . 45. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och planet x 2 y 4z 3 0. Sök även vinkeln mellan linjen och planets normal.
46. Låt koordinataxlarna ha enheten km. En båt befinner sig i punkten 8, 4 och håller rak kurs mot punkten 4, 6 med konstant fart 10 km/h. Bestäm den punkt i vilken båten ska göra en 90 kursändring för att sedan med rak kurs och oförändrad fart segla rakt i hamn som är beläget i 4, 3 .
47. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och .
48. Punkten A har som ortsvektor. Bestäm sedan A:s spegelpunkt i det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och 2, 3, 9 .
49. Bestäm ekvationen för det plan som skär planet 2x 3y z 5 0 under rät vinkel och innehåller linjen s .
50. Bestäm skärningslinjen mellan planen x 2 y z 1 0 och 3x y 2z 4 0. Sök även avståndet från punkten 2, 1, 3 till linjen.
51. Linjen med ekvationen s skär planet med ekvationen x 2 y 2z 5 0 i punkten P. Bestäm ekvationen för den linje i som går genom P och som är vinkelrät mot .
52. Sök avståndet i riktning från den punkt som har ortsvektorn till det plan som går genom origo och har som normalvektor.
53.Bestäm det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a och en av sidoytornas diagonaler som inte skär rymddiagonalen.
54.Bestäm ekvationen för det normalplan till planet x y 2z 1 som innehåller linjen x 12 y 33 z 21.
55.En vektor bildar vinkeln Π3 med två av basvektorerna i ett ON-system i rummet. Vilken vinkel bildar den med den tredje basvektorn?
56.Dela upp vektorn 1, 1, 1 i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot planet x 2 y z 0.
57.Beräkna spegelbilden av punkten 1, 1, 6 i planet 2x 2 y z 1.
58. Punkterna A och B med ortsvektorerna respektive är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök ekvationen för detta plan!
59. Låt , och vara tre vektorer i 3. Om nu 0 och 0 medför det då allmänt att 0? Bevis eller motexempel!
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid 60.Rita
a 2 b2 c3 d32 e 3
f 2
͒
͓
61.Bestäm längden av 2 . 62. Bestäm längden av 3 . 63. Beräkna 5 .
64.Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 .
65. Bestäm en vektor så att 4 och har samma riktning som . 66. Bestäm vinkeln mellan vektorerna och .
67. Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn .
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 1 3
68. Bestäm s så att vektorn 1
3 s 2
1 blir parallell med vektorn 2 5 . 69. Bestäm projektionen av på .
70. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och .
71. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med planet som spänns upp av och ! 72. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 6 N i riktning flyttar en låda 2 m i riktning .
73.Bestäm momentet kring origo om kraften N verkar i en punkt vars ortsvektor är 15 m lång och har samma riktning som . 74. Sök avståndet från punkten 2, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 1, 1, 0 och 2, 3, 3 .
75. Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten 1, 3, 2 och har som normalvektor.
76. Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som går genom origo och innehåller linjen t . 77.Bestäm de punkter på z-axeln, som ligger lika långt från planen 12x 9 y 20z 15 0 och 4x 3z 10 0.
78.Bestäm ekvationen för det plan genom punkten 1, 1, 1 som är vinkelrät mot planen x y z 1 0 och 2x y z 1 0.
79. Bestäm det plan som går genom punkterna 1, 1, 6 och 2, 3, 1 och som är parallell med linjen s . Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls
80. Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna s och t . 81.Låt och vara givna vektorer.
Sök sedan vektorernaochså att 2 3 5
5 .
Rita ut dem
͒
͓
82. En partikel rör sig längs kurvan t t 10, cos t , sin t. Sök den punkt i vilken hastigheten är parallell med planet 3 y z 4 0. Ange även accelerationen i denna punkt.
4 Tillämpad Matematik II, Övning 1 HH/ITE/BN
