SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys

Föreläsning 15

Lars Filipsson

Institutionen för matematik KTH

Administrativt

Anmäl er till tentan!

Kurvintegraler av vektorfält -1

Förra föreläsningens tentaproblem

11. Beräkna kurvintegralen Z

γ

−2y dx + x²dy

där γ är en fjärdedel av cirkelbågen med centrum i (1, 0) och radie 1, med start i (2, 0) och slut i (1, 1)

12. Låt vektorfältetF i planet ges av F(x , y ) = (y²,2xy + 1).

Beräkna kurvintegralen Z

C

F · d r där C är kurvan som parametriseras avr(t) = (te^t,e^t−1)då 0 ≤ t ≤ 1.

(Facit: π +⁵₃ resp e + 1 − ¹_e)

Kurvintegraler av vektorfält 0

Förra föreläsningens tentaproblem 13. Betrakta kurvintegralen

Z

γ

F · d r där F(x , y , z) = (yz, xz, xy ) och kurvan γ parametriseras av (x , y , z) = (cos t, sin t, t)

då t löper från 0 till π/4.

a. Beräkna kurvintegralen genom att använda kurvans parametrisering.

b. Bestäm en potentialfunktion och beräkna kurvintegralen med hjälp av den.

(Facit: π/8)

Vektoranalys forts 1

Dagens program:

Ytintegraler, Z Z

Y

f dS Flödesintegraler,

Z Z

Y

F · ˆN dS

Bokens kapitel 15.5-15.6

Ytintegraler 2

Parameterytor i R³

En parameteryta är värdemängden till en kontinuerlig funktionr definierad på något lämpligt område D iR²med värden iR³. Typ:

r(u, v ) = (x (u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ D.

Oftast är D en rektangel. Omr är ett-till-ett så skär inte ytan sig själv. Bilden av randen av D kallas då randen av parameterytan.

En yta sägs vara glatt om den har ett unikt tangentplan i varje punkt (utom längs randen). En normalvektor till detta

tangentplan sägs vara en normalvektor till ytan.

Ytintegraler 3

Parameterytor, exempel

1. En funktionsyta z = f (x , y ), då (x , y ) ∈ D, kan ses som en parameteryta

r(x , y ) = (x , y , f (x , y )), (x , y ) ∈ D

2. Enhetssfären x²+y²+z²=1 kan parametriseras genom r(φ, θ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ)

där 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ < 2π

Exempel, alternativ!

Ytintegraler 4

Ytmått

På en yta Y parametriserad genom

r(u, v ) = (x (u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ D.

ärn = r⁰_u× r⁰_v en normalvektor och ytelementet dS ges av dS = |r⁰_u× r⁰_v| dudv

och

Arean av Y = Z Z

Y

dS = Z Z

D

|r⁰_u× r⁰_v| dudv Ytintegralen av en funktion f över Y kan beräknas

Z Z

Y

f dS = Z Z

D

f (r(u, v ))|r⁰_u× r⁰_v| dudv

Ytintegraler 5

Några exempel att räkna på:

A.

Z Z

Y

dS, där Y är den del av planet z = 1 − x − y som ligger i första oktanten, dvs där x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

B.

Z Z

Y

z dS, där Y är paraboloiden z = x²+y², då 0 ≤ z ≤ 1.

C. Ytan Y , som parametriseras genom

r(u, v ) = (u cos v , u sin v , v ) med 0 ≤ u ≤ 1 och 0 ≤ v ≤ π, förses med en massbeläggning med densiteten ρ(u, v ) = u kg/dm²(enheten på axlarna är dm). Beräkna massan av beläggningen.

(Facit: A.√

3/2, B. π

5√ 5 12 +₆₀¹

, C. ^π₃(2√ 2 − 1))

Orienterade ytor och flödesintegraler 6

Orienterade ytor i R³

På en yta Y parametriserad genom

r(u, v ) = (x (u, v ), y (u, v ), z(u, v )), (u, v ) ∈ D.

medn = r⁰_u× r⁰_v som normalvektor, säger vi att den sida av ytan åt vilken denna normalvektor pekar är den positiva sidan.

OBS att inte alla ytor är orienterbara på detta sätt, jfr t ex Möbiusbandet.

En orientering av ytan inducerar en orientering på dess randkurvor: en sådan sägs vara positivt orienterad om ytan är till vänster om kurvan när vi är på den positiva sidan av ytan och går längs kurvan.

Orienterade ytor och flödesintegraler 7

Flödet av ett vektorfält genom en yta i R³

Flödet av ett kontinuerligt vektorfältF genom en orienterad yta Y är integralen av den positiva normalkomponenten av

vektorfältet över Y , dvs Z Z

Y

F · ˆN dS

där ˆN är enhetsnormal till ytan (med rätt orientering).

Orienterade ytor och flödesintegraler 8

Beräkning av flödet av ett vektorfält genom en yta i R³ Eftersom (som vi sett tidigare)n = r⁰_u× r⁰_v är en normalvektor på ytan som pekar åt rätt håll, får vi en enhetsnormal ˆN genom

N =ˆ r⁰_u× r⁰_v

|r⁰_u× r⁰_v|

Och eftersom (som vi också sett tidigare) dS = |r⁰_u× r⁰_v| dudv ser vi att vi kan beräkna flödesintegraler genom

Z Z

Y

F · ˆN dS = Z Z

D

F · r⁰_u× r⁰_vdudv om Y parametriseras avr(u, v ) för (u, v ) ∈ D. Obs att högerledet är en vanlig hederlig dubbelintegral.

Orienterade ytor och flödesintegraler 9

Exempel på flödesintegraler

A. Beräkna flödet av vektorfältetF(x , y , z) = (x , y , z) ut genom den totala begränsningsytan till cylindern som ges av

x²+y²≤ 1 och 0 ≤ z ≤ 1.

B. Beräkna flödet av det elektrostatiska fältetE(r) = r

|r|³ kring en punktladdning i origo ut genom sfären med radie R och medelpunkt i origo. Här ärr = (x , y , z).

C. Beräkna flödet av vektorfältetF(x , y , z) = (z, 0, x²)uppåt genom den del av ytan z = x²+y²som ligger ovanför kvadraten −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 i xy -planet.

(Facit: A. 3π, B. 4π, C. 4/3)

Orienterade ytor och flödesintegraler 10

En vanlig tillämpning av flödesintegraler

Om vektorfältetF är hastighetsfältet för en tidsoberoende strömning, så kan flödesintegralen

Z Z

Y

F · ˆN dS

tolkas som den volym av det strömmande mediet som per tidsenhet passerar genom ytan Y .

Orienterade ytor och flödesintegraler 11

Exempel:

Vi betraktar flödet av vektorfältet

v(x , y , z) = (x + y , y , 2xy + z + 3)

upp genom den del av ytan z = 1 − x²− y²som ligger ovanför xy planet.

A. Parametrisera ytan.

B. Ställ upp integralen som beräknar flödet avv med hjälp av parametriseringen från A.

C. Beräkna flödet avv med hjälp av integralen från B.

(Facit: 9π/2)

Orienterade ytor och flödesintegraler 12

Hemuppgift (svårare)

Beräkna flödet av vektorfältetF(x , y , z) = (x , y , 3) ut ur området som ges av olikheternap

x²+y²≤ z ≤p

2 − x²− y².

Läxa 13

Gör det här inför seminarium 5

kap 15.1 uppg 3,5, 15, 17 kap 15.2 uppg3, 5, 7, 21 kap 15.3 uppg 5,7, 9, 11

kap 15.4 uppg 1,5, 7, 15, 17, 22 kap 15.5 uppg 1,7, 13

kap 15.6 uppg5, 9, 13, 15 Uppgifter till Modul 5

Se också film till nästa föreläsning

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.1

Nr 3. Översätt från bokens notation till vanlig ger vektorfältet (y,x), sätt in några punkter i detta och rita pilar. Ex punkten (1,2) ger vektorn (2,1), så rita pilen (2,1) med start i punkten (1,2).

osv. Fältlinjerna blir hyperbler, lös dx/y =dy/x, vilket är detsamma som xdx=ydy, integrera båda sidor.

Nr 5. Se ledningen till förra uppgiften, samma ide.

Nr 15. Lös dx /x²=dy /(−y ). Använd loglagar och döp om integrationskonstanten på lämpligt sätt.

Nr 17. Överkurs, tycker jag. Vet inte om examinator håller med, men... Om ni insisterar på att lösa denna uppgift, använd det som står i avsnittet "Vector fields in polar coordinates", särskilt den lilla blå rutan, som i det här fallet ger att dr = d θ.

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.2

Nr 3. Kolla först om ∂Q/∂x = ∂P/∂y . Om det inte är sant, så saknar fältet potential. Om det är sant finns chans till potential så försök hitta den. Om det lyckas så är fältet konservativt, om det inte går så är fältet inte konservativt. I den här första uppgiften faller det redan på villkoret.

Nr 5. Se förra ledningen, fast här är det 3d så villkoret är mer komplicerat, se blå rutan en bit före exempel 3. I det här fallet är det uppfyllt så det är bara att se om det går att hitta potentialen.

Det går.

Nr 7. Det är bara att derivera, potentialen är given. En del tycker kanske det är lättare att se vad man gör om man skriver ut att r = (x , y , z). Om ni vill kan ni börja med att ta r₀= (0, 0, 0) Nr 21. Överkurs, tycker jag, men tänk primitiv funktion.

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.3

Nr 5. Integrera densiteten längs kurvan.

Nr 7. Översätt till en envarreintegral i t genom att använda den givna parametriseringen. Precis som i exempel 1 (fast det är lite mer räkning nu).

Nr 9. Bara att göra. För att parametrisera skärningen av två plan kan man använda Gaussning!

Nr 11. Massan fås somR

Cz ds och masscentrum har x-kordinat som blirR

Cxz ds delat med massan, och motsvarande för y och z -koordinaterna. Se exempel 1 för själva översättningen till envarreintegraler i t. Slå ev upp masscentrum om du är osäker på det.

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.4

Nr 1. Kurvintegralen är (översätt från bokens notation!) R

C(xy , −x²) •dr vilket är samma sak somR

Cxy dx − x²dy där C är en bit av y = x². Parametrisera kurvan gm x=t,

y=t²ochsttinsomibokensexempel1och2.

Nr 5. Ledning som ovan. Här är det 3d dock. Parametrisera kurvan gm x = cosθ, y = sin θ, z = sin θ (på snittet av de båda ytorna ska ju z=y). Alternativ enklare lösning: hitta en potential och gör som i sista raden av exempel 3.

Nr 7. Hitta en potential.

Nr 15 och 17. Bör vara lätt.

Nr 22. a är lätt, här är nämnaren a².

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.5

Nr 1. Hoppa över om det är jobbigt.

Nr 7. Med vanliga tekniken (som t ex i exempel 5) är det x√

1 + x²man ska integrera över den del av enhetscirkelskivan som ligger i första kvadranten. Finns säkert flera sätt här, men man kan t ex i några steg reducera integralen till 1/2 gånger arean av en fjärdedels enhetscirkel.

Nr 13. Med vanliga tekniken för funktionsyta (exempel 4 och 5) ska man integrera y√

2 över en ellipsskiva i xy-planet. Ellipsen hittas genom skärningen av konen och planet och

parametriseras gm x = r cos θ, y = 1 +√

2r sin θ, med jacobian

√ 2r .

Tips om uppgifter i boken

Kap 15.6

Nr 5. Se exempel 4! Mot slutet blir det polära koordinater i xy-planet på en cirkel med radie a-b.

Nr 9. Som ovan. Till slut blir det en integral över en ellipsskiva i xy-planet. Elliptiska koordinater, x =√

2r cos θ, y = r sin θ, med jacobian√

2r .

Nr 13. Vänta lite med denna om ni vill, eller räkna ut flödet ut genom en sfär med radie a istället.

Nr 15. Härma definition 6, men nu är S en kurva C och ytmåttet dS ska istället vara längdmåttet ds på kurvan. Enhetsnormalen N är en tvåvektor som är normal till kurvan.