Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Pauliprincipen:

• Bosoner

Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p utbyte av partiklarna.

• Fermioner

Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.

Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd:





) 1 ,

( _{1 2}   ₁  ₂  ₂  ₁ 

_Aaa r^r^ _a r^ _a r^ _a r^ _a r^

)

, ( )

,

( r

r

r

r

ab







 

 

) , ( )

,

( r

r

r

r

ab







 

  

Pauliprincipen (the exclusion principle)

Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd Föreläsning 13

Förra gången:

Elektroner i atomer kan beskrivas med kvanttal med följande tillåtna värden:

n= 1, 2, ...

ℓ= 0, 1, .... n -1

m_ℓ = -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ m_s= -1/2, 1/2

Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik

Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen (en elektron i varje tillstånd) kan man förklara det

periodiska systemet:

Nomenklatur: exempel: 1s²2s²2p⁵

huvudkvantal n= 1, 2

tillstånd med olika ℓanges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...

Antal e^-för viss n,ℓ-kombination Varje kombination av n, ℓoch m_ℓ kan enligt Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har olika m_s( respektive ).

s-skal (ℓ =0) hara bara m_ℓ=0 och därför max 2 e^- p-skal (ℓ =1) hara m_ℓ=-1,0,1 och därför max 6 e^- för visst ℓ finns 2ℓ+1 olika m_ℓ-värden, vilket tillåter 2(2ℓ+1) elektroner i n,ℓ-kombinationen

(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre atomtal, är det oftast (beroende på e^-i andra n,ℓ–skal) energimässigt fördelaktigt att fylla på i olika m_ℓ-värden med lika riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk spinndel)därför att elektronerna, som har samma laddning hamnar längre ifrån varandra. (Hunds regel). )

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Relativa energinivåer för olika skal som funktion av atomnummer.

Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.

Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.

Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.

Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z ². (Z²-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta q_e²me Zq_e²)

(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan n=2 och n=1 skalen ändras proportionellt mot (Z-1)²)

Jonisationsenergin för först frigjorda elektronen som funktion av Z.

Ädelgaser är svårast att jonisera.

Notera: helium, 24,6 eV för första frigjorda elektronen. Kvar finns en e^- bunden till kärna med Z=2.

Bindningsenergin för denna enda

elektron i He⁺ är då 2²13,6 eV = 54,2 eV

Totala rörelsemängdsmomentet

Rörelsemängdsmomentsvektorer (till vilka vi nu räknar spinn) kan inte bara adderas rakt up och ner utan lyder vissa kvantiseringsregler. Låt oss studera dessa regler genom att addera spinn Soch rörelsemängdsmoment L. Totala rörelsemängdsmomentet: J =L + S

Vektorernas storlek är och L (1) S s(s1)

Även det totala rörelsemängdsmomentet är kvantiserat. (Stämmer experimentellt)

j j j

j m m

J

s s

s s j

j j J

j j

z

där , 1 , ...., 1 ,

, 1 ...,

, 1 ,

   där )

1 (











































Pga reglerna för storleken av J, Loch S kan Loch S aldrig vara helt parallella eller motriktade.

2 2

2 2 max

max ( s)( s 1) J (  s s 2s)

J          

2 2

2 2 2 2

2

2 ( 2 )

) (

) 1 ( ) 1 (























s s s s s

s S

L

s s S

L































Vi ser att J_max< L+S

Pss kan visas att J_min> |L-S|

Exempel: ℓ=2, s =1/2

(totalt (2ℓ+1)(2s+1) = 10 kombinationer av joch m_j)

Totala rörelsemängdsmomentet. Inledande statistisk fysik

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Vilken av följande förändringar avj i övergång mellan två energinivåer där en foton utsänds är möjlig:

1) Δj = +1/2 2) Δj = -1 3) Δj = +2

I övergångar, t.ex. från exciterat 2P_3/2tillstånd, gäller att totala rörelsemängdsmomentet bevaras.

Eftersom fotonen som utsänds(absorberas) har spinn=1 kommer j att ändras 1.

m_jkan ändras -1, 0 eller 1

(P anger att ℓ=1, 3/2 anger att j=3/2)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Spinn-ban-koppling

Elektronens rörelsemängdsmoment i förhållande till atomkärnan ger ur elektronens synvinkel upphov till ett magnetfält från atomkärnans ”rörelse”.

Detta magnetfält verkar på elektronens magnetiska dipolmoment från spinnet.

Notera att magnetfält pga rörelesemängdsmoment kräver att L≠0, dvs n >1.

Om vi förenklat antar att strömmen som cirkulär rörelse med Lger upphov till ström som skapar B

L s

B

U      

r L m vr q

r m m q v r q T

I q

e e e

e e e

e

2

2

2

2 /

2  ^  ^ 





r L m B q

r L m

q r

B I

e e e

e

 

3 0 3

0 0

4 4

2 







 _{  }



För att förstå storleksordning av effekten:

Väteatom i tillstånd med n =2, L=√2ħ ger B≈ 0,28T (stort),

U≈ 10^-4eV (litet, jmfr excitationsenergier: eV)

L r S m g q r L

m S q

m g q B

U

e e e

e e e

e e L

s









     

 



 



 



 











8 4

2 





 

Statistisk fysik

(Inledning som ger grunderna för resonemang inom denna kurs.

Mer detaljer i kursen ”Termodymanik och statistisk mekanik” i åk 3 för F och MIEL).

Betrakta ett makroskopiskt system med ett stort antal partiklar, typ N10²³(jmfr Avogadros tal).

Partiklarna kan vara identiska eller särskiljbara.

Varje partikel beskrivs av 3-dimensionell rörelsemängd och position.

 3N rörelsemängdskoordinater och 3N positionskoordinater, beskriver systemets tillstånd.

Tillståndet utvecklas med tiden. För att beskriva systemet i detalj skulle vi behöva en lösning för alla partiklarna, vilket är omöjligt även med avancerade datorer.

Vi beskriver istället systemet med medelvärden från statistiska lösningar baserade på fysikens lagar.

Om dessa medelvärden är tillräckligt precisa talat vi om termodynamiska system.

Exempel: Fördela N(särskiljbara) partiklar i ett rum som delas i två lika stora delar. Vad är medelvärdet av antalet partiklar i ena halvan (N₁) ? Totala antalet tillstånd är 2^N. Antal sätt att fördela med N₁i ena halvan:

 ^!

!

!

1

1 N1 N N

N N

N

 



 



 (binomialkoefficienten)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

N₁/N N₁/N

N =100 N =1000

Smalare fördelningar kring medelvärdet N₁=N/2 för ökat N. Vid N10²³ : närmar sig delta-funktion.

Mikrokanonisk ensemble.

Isolerat, slutet, system i jämvikt. Volym, energi och antal partiklar är konstant.

Använd klassisk statistisk sannolikhet för varje tillåtet kvanttillstånd (mikrotillstånd).

Varje tillstånd är lika sannolikt !!!

Med antal möjliga tillstånd Ω(E ) (W i boken). (Egivet för systemet)

Tillstånd är här alla kombinationer av rörelsemängd p_i och position q_i (fasrummet) som är möjliga givet systemets energi och antalet partiklar mm. (Dessa utgör en ensemble).

Sannolikhet för tillstånd j P_j = 1/Ω Koppling till termodynamiken via entropin:

Boltzmanns antagande: S (E) =k_Bln Ω(E ), k_B= Boltzmanns konstant = 1,38•10^-23J/K Termodynamikens 1:a huvudsats:

ger:

Exempel: I ideal gas är partiklarna oberoende. Antal tillstånd per partikel blir proportionellt mot volymen:

T Nk V PV

T V S Nk

T P V Nk konst S

V V E

N

E B N

N

   



 







 











 ( , , ) ln 1

,

) ( ln )

(E k E

S ^ _B ^

dN PdV dE TdS dN PdV TdS

dE      

V E E

N V

N

T N S

V S T E P

S

T

1 



 







 



 



 







 

 

 







 

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Kanonisk ensemble.

System S med energi Ei kontakt med värmebad R med energi E_R. Det totala systemet är isolerat och utgör en kanonisk ensemble med E_T =E +E_R.  E_R=E_T –E

Antal tillstånd hos det totala systemet med energi inom E_T,E_T+δE är: Ω_T(E_T)=Ω_S(E)Ω_R(E_T -E) för visst E

Sannolikeheten att S i visst tillståndi är proportionellt mot antal mikrotillstånd av det totala systemet för vilket S är i mikrotillstånd ”i ” med energi E_i, vilket motsvarar antal mikrotillstånd för värmebadet med E_R=E_T –E_i

P_i  Ω_R(E_R)=Ω_R(E_T -E_i) utveckla Ω_R i E_iutgående från entropi S_R

 ln ( )  ...

) ( ln )

( ln )

1

(  



 









B

k E E

E E k

E E

k

 ln ( ) 

) 1 2

(

k

E

E E

S

T ^{ }

 



 

men

Kombinera (1) och (2) samt exponentiera ger ^kT

E T i

k E T R i

T

R ^B

i B

i

p e

e E E

E ^{  }

^

 ( ) ( ) dvs

Normalisera:









i BT kEi BT kEi

e i e

i

p

1 p

 

i

T kE

B

e

Z

Inför tillståndssumman:

Om tillstånd ”i ” degenererat tillkommer degenerationsfaktor g_i:

 

i

T kE

i ^B

e

g Z

( Koppling till termodynamiken via Helmholtz fria energi: )

F  E  TS   k

T ln Z

I många sammanhang är skillnaden mellan olika energinivåerna E_i så liten och de ligger så tätt att de bör betraktas som kontinuerliga istället för diskreta. Summan övergår då till en integral, där vi måste ta hänsyn till antal tillstånd inom ett litet energiintervall E, E+δE vilket ges av tillståndstätheten ρ(E)

dE e

E

Z ^  ^{ ( )}

Partitionsfunktionen:

Sannolikheten för att systemet har energi Eges av Maxwell-Boltzmann-fördelningen:

T kE

e

Z E E

P ( )  1  ( )

E E E ^{ } _

 ( ) ( )

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Medelvärdet av energin kan nu beräknas:

dE e

E Z E

E ^{ 1}  ^{ ( )}

Exempel:

Förhållandet mellan antal väteatomer i 1:a exciterade tillståndet och grundstillståndet vid rumstemperatur

(Lite artificiellt eftersom väte normalt är en tvåatomig molekyl vid rumstemperatur).

Energi för en väteatom ges huvudsakligen av huvudkvantalet n. (Enligt tidigare kan spinn-ban- koppling i detta fall försummas och vi har inget magnetfält).

Tillräckligt få väteatomer för att de skall kunna särskiljas  M-B fördelning.

Vi skall beräkna där n(E_i) står för antal atomer i energitillstånd i och i =1 är grundtillståndet.

n (E ) = D (E ) N_MB(E )dE Här: diskreta energinivåer ger )

( ) (

1 2

E n

E n

T k E E T

k E

T k E

B B

B

E e D

E D Ae

E D

Ae E D E n

E

n

1 2 /

1

/ 2

1

2 2 1

1 2

) (

) ( )

( ) ( ) (

)

(









huvudkvantalet = 1, finns bara två tillstånd, ett med elektronen i spinn upp och ett med spinn ner.

I första exciterade tillståndet, dvs då

huvudkvantalet = 2, kan ℓ =0 och ℓ =1, där det senare ger 2ℓ + 1 = 3 olika tillstånd, vardera med 2

spinntillstånd. Totalt: D (E₂) = 8.

171 )

eV 300 10 62 . 8 /(

eV 2 , 10 1

2

10

2 8 ) (

)

(  e



E n

E n

eV 2 , 1 10

6 , 13 2

6 , 13

2 1 2

2

 E     

E