Likvärdig bedömning i matematik med stöd av nationella prov
Matematik skolår 9
Matematik kurs A, MA 1201, 100 poäng
Sammanfattning
Detta material är framtaget av Katarina Kjellström, Gunilla Olofsson och Astrid Pettersson på PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm i samarbete med Skolverket.
I detta material ges inledningsvis en generell beskrivning av bedömning och likvär- dighet med fokus på matematik. Sedan beskrivs olika uppgiftstyper från ämnespro- ven i skolår 9 och A-kursproven i matematik. Kopplingar görs till kursplanernas mål och betygskriterier. Olika bedömningsmetoder i det nationella provsystemet beskrivs. Avslutningsvis återges bedömda och kommenterade elevarbeten.
I detta material återkommer flera av uppgifterna i olika delar av texten. En och samma uppgift kan beskrivas på flera olika ställen, men då med olika syften. Ibland för att analysera en uppgiftstyp och visa hur den relaterar till målen, ibland för att belysa ett sätt att bedöma en uppgift med kopplingar till betygskriterierna och ibland i samband med kommenterade och bedömda elevarbeten.
De uppgifter som ingår i detta material är hämtade från ämnesprov för skolår 9 och A-kursprov. De flesta uppgifterna kommer från prov där sekretessen är upphävd.
För ett fåtal uppgifter gäller att frisläppandet av sekretessen enbart gäller för de uppgifter som presenteras i detta material och således inte andra uppgifter på sam- ma prov.
Innehållsförteckning
LIKVÄRDIG BEDÖMNING I MATEMATIK MED STÖD AV NATIONELLA PROV....1
SAMMANFATTNING... 1
INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2
DEL 1: BEDÖMNING I ETT VIDARE PERSPEKTIV... 3
Självvärdering ... 3
Gensvar... 4
Analys av elevarbeten... 5
Former för bedömning... 6
Nationellt utarbetade prov i olika bedömningssystem ... 6
Muntliga prestationer ... 7
Muntliga prov i det nationella provsystemet ... 9
DEL 2: LIKVÄRDIGHETEN I BETYGSSÄTTNINGEN... 10
DEL 3: UPPGIFTSTYPER RELATERADE TILL MÅLEN I KURSPLANERNA... 12
Skriftlig kommunikation ... 12
Uppgifter som bara kräver svar eller en kortare redovisning... 12
Figur: Mål i matematik för gymnasieskolan ... 13
Uppgifter av mer omfattande karaktär... 15
Muntlig kommunikation... 17
DEL 4: BEDÖMNINGSMETODER... 19
Helhetsbedömning med poäng eller betygsnivåer... 19
Analytisk bedömning med beskrivningar på olika kvalitativa nivåer ... 20
DEL 5: SAMBAND MELLAN MÅL OCH KRITERIER I MATEMATIK FÖR GRUNDSKOLAN... 22
Figur: Mål och kriterier i matematik för grundskolan... 23
DEL 6: BEDÖMDA OCH KOMMENTERADE ELEVARBETEN... 27
Skolår 9... 27
Uppgift 1 ... 27
Uppgift 2 ... 29
Kurs A... 33
Uppgift 3 ... 33
Uppgift 4 ... 34
Uppgift 5 ... 36
Uppgift 6 ... 39
BILAGA 1 GYMNASIESKOLANS MÅL ATT STRÄVA MOT I MATEMATIK... 47
BILAGA 2 MÅL ATT UPPNÅ FÖR MATEMATIK KURS A... 48
BILAGA 3 GYMNASIESKOLANS BETYGSKRITERIER I MATEMATIK... 49
BILAGA 4 UTDRAG UR GRUNDSKOLANS STYRDOKUMENT... 50
BILAGA 5 MÅL I MATEMATIK FÖR GRUNDSKOLAN... 51
BILAGA 6 BEDÖMNING I MATEMATIK FÖR GRUNDSKOLAN... 52
BILAGA 7 DET NATIONELLA PROVSYSTEMETS GENERELLA BEDÖMNINGSMATRIS FÖR GRUNDSKOLAN... 54
BILAGA 8 DET NATIONELLA PROVSYSTEMETS GENERELLA BEDÖMNINGSMATRIS FÖR GYMNASIESKOLAN... 55
BILAGA 9: DET NATIONELLA PROVSYSTEMETS GENERELLA BEDÖMNINGSMATRIS FÖR BEDÖMNING AV MUNTLIGA PRESTATIONER... 56
Del 1: Bedömning i ett vidare perspektiv
Bedömning av elevers kunskaper i matematik har ofta varit kvantitativ. Antingen har en lösning varit rätt eller fel och resultatet har tidigare bara räknats i antal rätt.
Sambandet ”ju fler rätt desto duktigare i matematik” har varit rådande. Den synen har lett till att matematik blivit ett av de starkast differentierade ämnena. Detta syn- sätt kan ha sin grund i att de prov som eleverna genomfört har betraktats som ett
”slutprov” på ett avsnitt, kurs eller moment. Bedömningen har då varit summativ d.v.s. den har summerat vad en elev har kunnat vid ett visst tillfälle. Exempel på sådana prov är körkortsprovet och högskoleprovet, men också kursproven i gym- nasieskolan och ämnesprovet för skolår 9 kan klassificeras i denna kategori. Det finns också en annan typ av bedömning, vars syfte inte är att summera lärandet vid ett visst tillfälle utan att följa läroprocessen och stimulera lärandet. Den bedöm- ningen kallas formativ och som exempel kan lärarens kontinuerliga iakttagelser och dokumentation av elevernas kunskapsutveckling nämnas. En del i en sådan be- dömning kan vara diagnoser. Som hjälp för formativ bedömning finns diagnostiska material och analysschema (Skolverket, 2000, 2003).
Det är viktigt att se bedömning ur dessa två perspektiv och vara medveten om be- dömningens betydelse för en individs lärande. En bedömning som stödjer och sti- mulerar lärandet innebär att elevens kunnande analyseras och värderas så att eleven utvecklas och känner tilltro till sin egen förmåga (jag kan, jag vill, jag vågar), i stället för en bedömning som leder till en dom och ett fördömande (jag kan inte, jag vill inte, jag vågar inte).
Självvärdering
I den kunskapssyn som läroplanerna anger och som också uttrycks i kursplanerna ingår att eleverna ska skapa en medvetenhet om sitt eget lärande. Eleverna ska bli bättre på att reflektera över sitt eget arbete och sina resultat, och på att värdera sin egen utveckling. De ska skapa sig en realistisk uppfattning av vad de kan och kan
göra. Viktigt är också att eleverna får tilltro till det de gör och vet hur de bör plane- ra sitt eget fortsatta arbete i matematik.
För att skapa denna medvetenhet krävs att eleverna sätts i arbetssituationer som gynnar detta. Test och prov i matematik är en sådan möjlig situation. Att t.ex. låta eleverna markera de uppgifter som de känner sig säkra på eller att beskriva vad som skapar osäkerhet i uppgifter är två exempel. Att låta eleverna själva bedöma något av sina prov efter en anvisning från läraren är en annan möjlighet. Då krävs dessut- om att lärare och elev jämför sina bedömningar och samtalar kring detta för att öka reflektionsgraden.
I de nationella provmaterialen har föreslagits att läraren ska diskutera med eleverna vad som står i bedömningsanvisningarna och vad det betyder för elevernas sätt att lösa uppgifter. Att öka elevernas medvetenhet gör förhoppningsvis matematikäm- net mer meningsfullt och nyttigt för alla elever.
Gensvar
Matriser kan också användas för att ge eleven gensvar på lösningen av en mer om- fattande uppgift. Här visas ett exempel från matematik kurs A på hur detta kan användas.
Din uppgift är att undersöka trianglar. Alla trianglar som du undersöker ska ha en sida som är 6,0 cm och höjden mot denna ska vara 4,0 cm.
• Rita en spetsvinklig, en rätvinklig och en trubbvinklig triangel med dessa mått.
• Mät sidorna och beräkna dina trianglars omkrets och area. Vilka slutsatser drar du utifrån dina beräkningar?
• Rita och bestäm sidornas längd i den triangel som har minsta möjliga omkrets.
Hur lång är denna omkrets? Motivera också varför du valt denna triangel.
• Finns det ett största möjliga värde på omkretsen av en triangel med ovanståen- de mått? Hur ser i så fall en sådan triangel ut?
Elevarbetet är bedömt med stöd av det nationella provsystemets generella bedöm- ningsmatris för gymnasieskolan (bilaga 8). Läraren har givit eleven gensvar i kom- mentarer till eleven.
Kvalitativa nivåer
Bedömningen Lägre Högre Kommentarer till eleven
Metodval och genomfö- rande
Påbörjar X
Genomför Utvecklar
Matematiska
resonemang Påpekar att X
Visar Förklarar varför
Redovisning och matema- tiskt språk
Anas Uppfattas X
Helhetsbild
Du ritar tre olika trianglar, vet vad de kallas och beräknar area och omkrets korrekt. Du verkar osäker på hur man bestämmer höjden i trubbvinkliga tri- anglar.
Du inser att arean alltid är samma, men du förklarar inte varför.
Det du redovisar är tydligt och figu- rerna är ordentligt ritade med linjal.
Analys av elevarbeten
Ett viktigt inslag för att kunna beskriva elevens kunskap och kunskapsutveckling på ett allsidigt sätt är att analysera hur eleven arbetar i matematik och hur denne har löst olika uppgifter vid olika tillfällen. För att göra eleven delaktig bör detta också kommuniceras med eleven.
Elever kan arbeta med uppgifter på olika sätt. De som kommit fram till korrekta resultat kan ha använt olika strategier, exempelvis sådana som är beroende av sitt sammanhang eller mer generella.
De elever som kommit fram till felaktiga resultat kan ha gjort fel som är mer tillfäl- liga, d.v.s. de förekommer inte systematiskt i elevernas lösningar utan är av mer slumpmässig karaktär. Det finns dock fel som är systematiska, d.v.s. de uppträder praktiskt taget konsekvent. Dessa fel bygger ofta på missuppfattningar, som grun- dar sig på ett irrelevant tänkande som eleven använder konsekvent. Utvärderingar och forskning har visat att de svaga elevernas lösningsmönster i allmänhet ser ut på ett annat sätt än övriga elevers. De svaga eleverna har betydligt fler missuppfatt- ningar. De har också i större utsträckning brister i begreppsförståelse, felaktiga lös- ningsstrategier, brister i taluppfattning och svårigheter att hantera ovidkommande information. Förutom att elever med svaga resultat använder mer ”lokala” lös- ningsstrategier än elever med goda resultat, så använder elever med svaga resultat också mer invecklade lösningsstrategier. De hoppar också i större utsträckning över uppgifter än vad övriga elever gör.
Ett exempel på missuppfattningar som elever kan ha är att de använder ”regler och metoder” mekaniskt. Det betyder att ”regeln att styrka nollor vid division” får följ- den att 130,3 / 10 beräknas felaktigt till 13,3, ”regeln störst först vid subtraktion”
får följden att 103 - 9 beräknas felaktigt till 106. ”Regeln att vid multiplikation blir svaret större och vid division blir svaret mindre” medför att eleverna inte kan be- räkna 546⋅0,3 och 315 / 0,3 korrekt. Problemet är att få rätt storlek på resultatet, d.v.s. kunna göra ett rimligt överslag. Eleverna har också svårigheter att bestämma vilket räknesätt som ska användas när de löser benämnda uppgifter.
Former för bedömning
Med tanke på att det som ska bedömas är komplext är det viktigt att vara medveten om att bedömningsunderlag i form av prov och lärares iakttagelser alltid är begrän- sade både till innehåll och till form. Man bedömer alltid på grundval av ett begrän- sat antal uppgifter och innehåll. Vid den slutliga bedömningen tar man hänsyn till de olika underlagen och generaliserar utifrån dessa. För att lärandet ska bli effektivt krävs att såväl formerna för undervisning som för bedömning varieras.
Nationellt utarbetade prov i olika bedömningssystem Standardprovet och centrala provet användes i det relativa betygssystemet. Ett rela- tivt betygssystem innebär att kunskaper hos samtliga elever som tillhör en viss årskull och läser samma kurs jämförs med varandra. Ett viktigt krav var att uppgif- terna skulle vara utprövade och analyserade, så att proven fungerade enligt sitt syf- te. Ett annat krav var att proven skulle normeras utifrån resultaten, d.v.s. ett repre- sentativt urval av elevers resultat överfördes till normtabeller som gav resultatför- delningar som överensstämde med en normalfördelning.
Vi har nu, i läroplanerna från och med 1994, ett mål- och kunskapsrelaterat betygs- system, där normalfördelning vare sig är utgångspunkten eller tillämplig. Elevernas kunskaper ska inte jämföras med varandra utan de ska jämföras med mål och krite- rier. Uppgifterna i proven väljs ut efter omfattande utprövningar av deras relevans utifrån läroplanens kunskapssyn och kursplanens ämnessyn och mål. Analyser görs om uppgifterna kan lösas på olika kvalitativa nivåer och hänsyn tas till vad elever och lärare anser om uppgifterna.
I det relativa betygssystemet var det framförallt två egenskaper hos uppgifterna man tog hänsyn till, dels uppgifternas svårighetsgrad, dels uppgifternas särskiljande förmåga (diskriminationsförmåga). I ett mål- och kunskapsrelaterat system gäller bedömningen i vilken grad elevers prestationer svarar upp mot de kriterier som används som utgångspunkt för bedömningen. Ett exempel som kanske kan illustre- ra skillnaden är ett prov där så gott som alla elever har alla rätt. I ett relativt system är ett sådant prov värdelöst, eftersom det inte har förmågan att rangordna eleverna.
I ett mål- och kunskapsrelaterat system uppfyller provet syftet att så gott som alla har uppfyllt kriterierna.
Regeringen skriver i sin utvecklingsplan (1996/97:112): ”Den kunskapssyn som läroplanerna anger och som uttrycks på olika sätt i kursplanerna och betygskriteri- erna ger helt nya förutsättningar för utvärdering av kunskaper. Provuppgifterna kan inte längre vara ”enkla” mått av traditionellt slag. De måste också analysera vad de som fått en viss utbildning kan göra snarare än att redovisa minneskunskaper. De bör ha en inriktning mot problemlösning, tillämpningar och kombinationer av olika kunskapsområden. Inlärningsresultat visar sig mer som övergripande kompetenser och attityder än som faktaredovisningar. Det gäller i högsta grad läroplanernas mål och värdegrund men också ämnesmålen i kursplanerna. Detta kräver nya sätt att ta fram underlag och analysera inlärningsresultat.”
Att reflektera över problem – och efterhand utveckla ett alltmer undersökande för- hållningssätt ger eleverna möjlighet att visa sin förmåga att systematisera, att skapa matematiska modeller, att formulera och pröva antaganden, att föra matematiska resonemang samt att dra slutsatser. Till detta kan läggas hur synen på matematisk kompetens har utvecklats. Matematisk kompetens är så mycket mer än att behärska ett visst matematiskt innehåll och kunna utföra beräkningar. Det är också väsentligt att kunna kommunicera sin kunskap, att kunna presentera lösningar och resultat på olika sätt – med bild, tal, skrift och symboler. Till detta kommer att kunna använda relevanta strategier, modeller och metoder samt att kunna använda en variation av fakta, begrepp och processer för att se samband och dra slutsatser.
Muntliga prestationer
Matematik har av tradition varit ett skriftligt ämne, åtminstone vad gäller bedöm- ningen. Idag framhålls både i kursplaner och i betygskriterier elevens muntliga pre- stationer som en viktig aspekt.
I våra tidigare läroplaner Lgr 80 och Lgy 70 och kursplaner står det lite om bedöm- ning av elevens muntliga prestationer i matematik. Där framgår att muntlig kom- munikation i matematik är en viktig del i undervisningen och man kan ana att den också ska vägas in i bedömningen. I Lgy 70 beskrevs det att läraren skulle bedöma både elevens skriftliga och muntliga prestationer, men med muntliga prestationer avsågs dock oftast förhör.
Betydelsen av muntliga prestationer ändrades då vi fick nya läroplaner 1994 och ett mål- och kunskapsrelaterat betygssystem. Av kursplanen och betygskriterierna, men också av bedömningens inriktning, framgår att elevers kunskaper i matematik inte bara kan prövas med skriftliga prov. Ett av målen att sträva mot i den gymnasiala utbildningen är
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna utvecklar sin förmåga att följa och föra matematiska resonemang samt redovisa sina tan- kegångar muntligt och skriftligt
Av bedömningens inriktning för grundskolan framgår bl.a. att
Bedömningen avser elevens förmåga att ta del av och använda information i så- väl muntlig som skriftlig form, till exempel förmågan att lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument.
Också i betygskriterierna poängteras muntliga prestationer. Bland kriterierna för Väl godkänd både i grundskolan och i den gymnasiala utbildningen finner man
Eleven… genomför och redovisar med logiska resonemang sitt arbete såväl muntligt som skriftligt.
Elever kan visa sina kunskaper i matematik på olika sätt. I den muntliga kommuni- kationen ingår att uttrycka sig begripligt och att använda korrekt och relevant ma- tematisk terminologi. Dessutom ingår att ta del av andras argument och själv kunna argumentera för sina lösningar och slutsatser.
Elevers muntliga prestationer i matematik kan bedömas i olika typer av situationer.
Dessa kan illustreras med följande bilder.
Förhör:
Eleven utreder problem eller svarar på frågor ställda av läraren.
Föredrag:
Eleven håller föredrag, redovisar en problemlösning eller liknade inför delar av eller hela klassen.
Grupparbete, samtal Eleverna löser problem tillsammans i grupp eller för ett samtal. Läraren följer eller leder samtalet.
Lärare
Elev
Elev Elev
Elev
Elev Lärare
Elev Lärare
Elev
Elev
Elev Elev Elev
Elev Elev
Elev
Elev
Muntliga prov i det nationella provsystemet
Inom det nationella provsystemet förekommer muntliga prov i matematik. I äm- nesprovet för skolår 9 finns ett muntligt delprov nästan varje år (www.lhs.se/prim).
Muntliga delprov har också prövats i kursproven. Både kurs A och kurs C har er- bjudit muntliga delprov som breddningsdelar eller frivilliga delprov. Som stöd för bedömningen av den muntliga redovisningen av den mer omfattande uppgiften i kurs D finns ett nationellt framtaget bedömningsunderlag
(www.umu.se/edmeas/np/).
På det muntliga delprovet 2000 för skolår 9 var andelen som ej nådde målen myck- et mindre än på övriga delprov. Andelen med delprovsbetyget Väl godkänd och Mycket väl godkänd var också större än på de andra delproven. Ett liknande möns- ter fanns även på ämnesproven i svenska och engelska. Resultatet på det muntliga delprovet 2002 visade att det inte var någon skillnad mellan pojkars och flickors prestationer. Skillnaden mellan elever med svenska som modersmål och elever med annat modersmål var också mycket liten på detta delprov och minst om man jäm- för med de andra delproven. Detta visar hur viktigt det är att inte bara bedöma elevernas kunskaper i matematik med stöd av skriftliga prov. Eleverna är övervä- gande positivt inställda till muntliga delprov. De anser att de får möjlighet att visa sina kunskaper på ett annat sätt.
Del 2: Likvärdigheten i betygssättningen
Läroplaner, kursplaner och betygskriterier är inte bara ett sätt att stödja lärares pla- nering utan också ett sätt att bidra till likvärdig betygssättning. Även de nationella proven ska stödja lärares betygsättning, samtidigt som de ska vara ett medel för likvärdig betygsättning i landet.
Både läroplanen för grundskolan och den gymnasiala utbildningen betonar vikten av att allsidigt utvärdera elevernas kunskaper och kunskapsutveckling.
I kapitel 2.7 Bedömning och betyg i Lpo 94 står bland annat att läraren ska – utifrån kursplanernas krav allsidigt utvärdera varje elevs kunskapsutveckling…, – vid betygssättningen utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhål-
lande till kraven i kursplanen och göra en allsidig bedömning av dessa kunskaper.
I kapitel 2.5 Bedömning och betyg i Lpf 94 står bl.a. att läraren ska
– utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhållande till kraven i kursplanen,
– beakta även sådana kunskaper som en elev tillägnar sig på annat sätt än genom den ak- tuella undervisningen,
– göra en allsidig bedömning av kunskaperna och därvid beakta hela kursen.
Av läroplanerna och betygskriterierna framgår klart att det inte bara kan vara resul- tat på skriftliga prov som ska utgöra grund för betygssättningen. Det ställs numera mycket större krav på läraren att kunna motivera sin betygsättning jämfört med situationen i det tidigare systemet. De nationella proven, som måste följa läroplan, kursplan och betygskriterier, kan då vara en hjälp för lärare att tolka och konkreti- sera styrdokumenten. Det är nödvändigt att framhålla vikten av diskussioner om bedömning på lokal nivå.
I vilken utsträckning täcker då bedömningsunderlaget det som enligt styrdokumen- ten ska bedömas?
- Vilket/vilka bevis finns för elevens kunnande?
- Vilken tolkning/slutsats görs av elevens visade kunskap?
Dessa två frågor kan vara utgångspunkt för diskussioner om likvärdighet.
I det relativa systemet uppfylldes likvärdigheten genom att provresultaten samlades in i efterhand för att normeras med hjälp av normalfördelningskurvan.
I vårt nuvarande betygssystem ska eleverna inte längre jämföras med varandra utan elevens kunskap ska relateras till mål och kriterier. Avsikten med de nationella pro- ven är att de ska vara ett stöd vid bedömningen av den enskilde elevens kunskaper.
Läraren kan också använda provresultaten för att kalibrera sina bedömningar.
Både på A-kursprovet och på ämnesprovet för skolår 9 ska läraren sätta ett provbe- tyg. Kravgränser för betygen Godkänd, Väl godkänd och Mycket väl godkänd ges för provet som helhet d.v.s. hänsyn tas till alla ingående delprov och uppgifter.
Kravgränserna medföljer bedömningsanvisningarna till provet och skrivs också ut på kursproven i gymnasieskolan. Provbetyget bestäms vid ett kravgränssättnings- möte där många verksamma lärare deltar. Då diskuteras kategoriseringen av poäng och kravgränser bestäms med stöd av betygskriterierna.
När vi nu sätter kravgränser i förväg vad kan då i det nuvarande systemet garantera likvärdighet? Bedömningen ska ske utifrån kvaliteter i kunnandet. En sådan kvalita- tiv bedömning måste ske med saklogiska resonemang, där grunden är läroplanens kunskapssyn, kursplanernas ämnessyn och betygskriterierna. Men för att uppnå likvärdigheten i bedömning av elevers kvalitativa kunnande måste bedömningen argumenteras för och motiveras.
På de nationella proven finns därför utförliga bedömningsanvisningar och autentis- ka elevarbeten på kvalitativt olika nivåer. Dessa anvisningar och bedömningar av elevarbeten har vuxit fram genom analyserande samtal mellan professionella. Det är genom att tydliggöra kraven för de olika kvaliteterna och kommunicera dessa na- tionellt, regionalt och lokalt som en likvärdighet i bedömning kan nås.
I lärargrupper framkommer ibland, då en likvärdig bedömning av nationella prov diskuteras, att variationerna är stora vid bedömning av elevarbeten på den mer om- fattande uppgiften. Underförstått att på övriga uppgifter är bedömningen mer lik- värdig. PRIM-gruppen har 2002 - 2003 gjort en ombedömning av 100 elevarbeten i respektive Äp 9 och på kurs A och då funnit att skillnaderna per poäng varierar lika mycket på övriga uppgifter som på den mer omfattande uppgiften. Alla lärare tol- kar inte samma bedömningsanvisning lika. På ett nationellt prov om ca 60 poäng är skillnaden per prov uppskattningsvis mindre än fyra poäng då samma elevlösningar bedömts av fem olika personer. Vidare fann vi att elevens lärare inte alltid är den person som tolkar elevlösningen mest välvilligt.
En jämförelse mellan provbetyg och kursbetyg vt 2003 för kurs A visar att 1 pro- cent av eleverna fick ett lägre kursbetyg medan 30 procent fick ett högre kursbetyg än provbetyget. Av eleverna med provbetyget Icke godkänd fick 46 procent kurs- betyget Godkänd och 26 procent av eleverna med provbetyget Godkänd fick kurs- betyget Väl godkänd. Det är inte längre någon större skillnad mellan programmen i detta avseende. Däremot är det skillnad mellan olika skolor. Det finns skolor där alla eller nästan alla elever, som har provbetyget Icke godkänd också får kursbetyget Icke godkänd. I andra skolor får 70 till 80 procent av eleverna med provbetyget Icke godkänd kursbetyget Godkänd. Det bör påpekas att kursprovet inte kan pröva elevernas kunskaper mot samtliga mål som finns kursplanerna och som läraren har att ta hänsyn till när kursbetyget ska bestämmas. Resultatet på kursprovet utgör endast ett av flera underlag till lärarens arbete med att bestämma kursbetygen.
Del 3: Uppgiftstyper relaterade till målen i kurspla- nerna
Skriftlig kommunikation
Uppgifter som bara kräver svar eller en kortare redovisning
Eftersom kompetens i matematik idag har ett mycket bredare perspektiv än som tidigare varit rådande innebär det att uppgifterna måste varieras. Det finns i de na- tionella proven uppgifter som ska lösas med huvudräkning, kopplat till kraven för både grundskolan och kurs A:
… ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet,… (Från mål att uppnå i skolår 9 vilket innebär krav för betyget Godkänd)
Taluppfattning är ett område där eleverna idag visar sämre resultat på de nationella proven än för några år sedan. Många lärare klagar på att eleverna i alltför stor ut- sträckning använder miniräknaren till enkla beräkningar. Kanske diskuteras och tränas inte huvudräkningsstrategier genom skolåren i tillräckligt stor omfattning.
Eftersom talområdet ökar behöver strategierna också utökas.
Ett exempel på en vanligt förekommande huvudräkningsuppgift är:
En avgift på 60 kr ökar med 15 %.
Bestäm den nya avgiften. Svar: kr
Uppgiften är avsedd att tillsammans med andra uppgifter testa ett av målen för kurs A:
… utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning…
Genom att endast kräva svar kan avgöras om svaret är rätt eller ej, men däremot inte vilken strategi eleven använt. Fördelen med dessa kortsvarsuppgifter är att eleven inte behöver redovisa och därför på ganska kort tid kan visa kunskaper från många delområden i matematik. Uppgifterna är dessutom snabbrättade och ger få tveksamheter. Genom att i stället låta eleverna redovisa lösningen av uppgiften skulle denna uppgift också kunna pröva ett eller flera mål att sträva mot i kursen.
Ett sätt att se sambandet mellan mål att uppnå och mål att sträva mot för gymna- sieskolans matematik är följande rutnät. Samtliga målformuleringar finns i bilaga 1 och 2. Den tidigare presenterade uppgiften om procentökning med redovisning kan vara ett exempel på en enkel uppgift i den markerade rutan.
Mål att sträva mot
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 Allmän A1
Aritmetik A2 A3 Geometri A4 Statistik A5 A6 A7 Algebra
o.funk- tionslära
A8 Teknik A9
Kunskapsområde
Historia A10
Figur: Mål i matematik för gymnasieskolan
Ofta kan en uppgift pröva flera mål och därmed ge flera kryss i rutnätet. Det är däremot inte nödvändigt att en elevlösning till uppgiften visar kunskaper inom alla dessa områden.
Ur mål att uppnå för skolår 9 framgår att också räkning med hjälp av skriftliga räk- nemetoder och med tekniska hjälpmedel är ett krav. Därför har den miniräknarfria delen på ämnesprovet för skolår 9 vissa år innehållit en uppgift där eleven ska upp- visa en skriftlig räknemetod.
Visa på något sätt hur du beräknar 21 · 302 utan miniräknare.
Naturligtvis innebär inte detta att det t.ex. vid multiplikation krävs en traditionell algoritm utan en skriftlig räknemetod kan också innebära någon form av skriftlig huvudräkning med mellanled. På motsvarande sätt kan behärskandet av miniräkna- ren prövas t.ex. med denna uppgift
S3. utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och sym- boler…
A2. … utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning…
Visa här:
Beräkna
46 , 9 9 , 7
51 , 6
+
Genom att utföra en beräkning i nämnaren blir resultatet inte med automatik kor- rekt utan eleven får visa kunskaper i behärskandet av räknaren.
På gymnasieskolans kurs A ska eleverna
… ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer…
För att visa dessa kunskaper krävs mer omfattande uppgifter där processen kan följas.
De problemlösande uppgifter som oftast förekommer i nationella prov kräver inte endast att eleverna ska visa prov på problemlösningsförmåga utan uppgifterna kan också pröva andra krav i kursplanerna.
Ett exempel är målet att sträva mot (S5) i gymnasieskolan … förmåga att… tolka och värdera lösningar… som bl.a. kan prövas i denna uppgift:
En jacka kostar 800 kr. Priset höjs först med 8 % och sänks sedan med 6 %. Vilket är priset efter båda dessa prisändringar?
Anna löser uppgiften så här:
800 · 1,08 · 0,94 = 812,16 Priset är 812 kr Lisa löser uppgiften så här:
800 + 800 · 0,08 - 800 · 0,06 = 816 Priset är 816 kr Anna löser uppgiften rätt men Lisa gör fel. Förklara vad Lisa gör för fel?
I rutnätet hamnar denna uppgift bl.a. i ruta (A2;S5) med också i (A2;S2) eftersom det i uppgiften ingår att tolka matematiskt språk.
Ett annat exempel är målet att sträva mot (S8) i gymnasieskolan … förmåga att…
kritiskt bedöma modellernas förutsättningar, möjligheter och begränsningar som prövas bl.a. i denna uppgift:
Johanna häller kaffe med temperaturen 92° C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15° C. För att beskriva hur tempe- raturen y° C hos kaffet förändras med tiden x timmar undersöker hon två olika modeller.
Formel A: y= 92 – 7x
Formel B: y = 92 ⋅0,93x
c) Undersök hur många timmar modell A respektive B kan gälla? (1/2)¤
I rutnätet hamnar uppgiften bl.a. i ruta (A1;S8) men också i (A6;S8), (A7;S8) eller (A8; S8) beroende på vilken lösningsmodell eleven använder. Löses uppgiften med en ekvation visas kunskaper från mål A7 medan en grafisk lösning av funktionsut- trycken mer uppfyller mål A8.
Uppgifter av mer omfattande karaktär
I det uppdrag som provinstitutionerna fått från Skolverket står det att ”Läroplanens syn på kunskaper och inlärning ska genomsyra de nationella proven”. Dessutom står det i en PM från Skolverket 1994-12-15 att ”Utformningen av prov med betygsstödjande syfte görs utifrån det betygssystem som gäller. De uppgiftstyper som används i ett grupp- respektive kriterie- relaterat betygssystem kan i viss utsträckning överensstämma. De nya läro- och kursplanerna liksom betygskriterier ger emellertid uttryck för en kunskapssyn som måste få genomslag i prov- uppgifter och bedömningssätt.” … ”En utveckling behövs mot prov där också problemlösande och produktiva uppgifter ingår som kan bedömas med delvis nya analysmetoder.” Av kursplanerna framgår att tonvikten bör ligga på förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser.
Detta kräver delvis nya typer av uppgifter. Det finns därför ”mer omfattande”
uppgifter i alla nationella prov. Uppgifterna kännetecknas av att de ska pröva ele- vernas förmåga att arbeta självständigt, vara kreativa och föra matematiska resone- mang. Uppgifterna kan också pröva elevens förmåga att systematisera, att skapa matematiska modeller, att formulera och pröva antaganden samt att dra slutsatser.
Den lösning och redovisning som eleven ger på uppgiften ska kunna bedömas på olika kvalitativa nivåer. Ett annat krav på dessa uppgifter är att alla elever ska kunna börja på en lösning men uppgiften ska samtidigt vara så utmanande att ett elevarbe- te också kan visa mvg-kvalitéer.
Följande mer omfattande uppgift kommer från nationella proven för kurs A vt 2001. (Uppgiften är frisläppt av Skolverket 2004 för att kunna användas vid be- dömningsdiskussioner.)
Din uppgift är att jämföra areorna hos några olika plana geometriska figurer med omkretsen 24 cm.
Tänk dig att du har en ståltråd som är 24 cm lång. Tråden kan formas till olika plana geometriska figurer. Hela tråden ska utnyttjas och bilda figurens omkrets. Alla figu- rer du ska arbeta med kommer då att ha samma omkrets.
Liksidig triangel Kvadrat
Regelbunden sexhörning
Ytterligare minst en geometrisk figur
• Rita först de tre namngivna figurerna, sätt ut måtten och beräkna figurernas areor.
• Jämför figurernas areor.
• Fundera över vilka egenskaper hos figuren som påverkar areans storlek. Vilka slutsatser drar du?
• Rita ytterligare minst en figur som stöder dina slutsatser. Sätt ut mått och beräk- na arean.
• Sammanfatta din undersökning. (6/8) ¤
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till
• vilka matematiska kunskaper du visat
• vilka slutsatser du kommit fram till
• hur väl du redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.
Muntlig kommunikation
Målet vid konstruktionen av uppgifter till det muntliga delprovet för skolår 9 är att göra uppgifter som passar bättre för muntlig kommunikation än skriftlig. Den re- dovisning som eleven ger på uppgiften ska kunna bedömas på olika kvalitativa ni- våer. Ett annat krav på dessa uppgifter är att de ska innehålla en gemensam ut- gångspunkt (ett diagram, ett elevarbete eller liknade) och att alla elever ska kunna redovisa någonting men samtidigt ska uppgiften vara så utmanande att elevredovis- ningen också kan visa mvg-kvalitéer.
Det muntliga delprovet genomförs i grupper om 3-4 elever. Avsikten med detta är att det ska bli ett samtal mellan elever och inte ett förhör av läraren. Om läraren be- dömer att någon elev mår bättre av att prövas enskilt så går det naturligtvis bra.
Gruppindelningen skall göras av läraren. I läraranvisningen står ”I ämnesprovet ska alla elever få möjlighet att visa vad de kan i matematik. När eleverna delas in i grupper är det viktigt att sammansättningen blir den bästa möjliga ur denna aspekt.
Hänsyn bör också tas till att eleverna i gruppen fungerar bra tillsammans.”
De muntliga delproven består av två delar. I den första delen ska varje elev ges möjlighet att ostört redogöra för sina tankar kring den uppgift de får. Detta är vä- sentligt för att även elever som är tysta och normalt ”inte tar för sig” ska komma till sin rätt. I den avslutande gruppdiskussionen ges eleverna tillfälle att visa att de lyssnar på sina kamrater och att de kan argumentera och föra en diskussion med matematiskt innehåll.
I det följande visas en del av ett muntligt delprov från ämnesprovet för skolår 9 från 2002. Uppgiften går också att använda på A- och B-kurserna. Eleverna i grup- pen fick turvis reda ut om ett av påståendena var korrekt, men framför allt motive- ra varför. Efter varje enskild redovisning fick kamraterna komma med inlägg. Del- provet avslutades med gemensamma diskussionsfrågor.
Exempel på påståenden till Version I – Rökning Diagrammet visar att
1. andelen rökande flickor har varierat mellan 14 % och 20 %.
4. under 1994 rökte en femtedel av alla flickor.
5. under en period på 80-talet rökte inga pojkar.
6. dubbelt så stor andel flickor rökte 1999 som 1998.
10. under 1994 rökte 32 % av eleverna i årskurs 9. ¤ 12. under perioden 1992-94 minskade andelen rökande
pojkar med 25 %. ¤
Exempel på gemensamma diskussionsfrågor
• Röker flickor fler cigaretter än pojkar?
• Hur tror ni undersökningen gått till?
• Kunde dessa data presenterats bättre med någon annan typ av diagram?
Del 4: Bedömningsmetoder
Det finns en mängd olika sätt att bedöma elevers lösningar av matematiska pro- blem. Några av dem fokuserar de olika kvalitativa nivåer som en elevlösning kan visa. De kvalitativa nivåerna kan bedömas med poäng och/eller betygsnivåer. And- ra, den så kallade analytiska bedömningen, fokuserar olika kunskapsaspekter, t.ex.
problemlösningsförmåga och kommunikationsförmåga.
Helhetsbedömning med poäng eller betygsnivåer
Fördelarna med helhetsbedömning är att den tillåter en relativt snabb bedömning av elevens arbete. Den fokuserar processen och inte bara svaret och bedömningen ger en poäng eller en betygsnivå som beskriver prestationen. Nackdelarna är att den inte ger läraren hjälp att uppmärksamma elevens svagheter och/eller styrkor. Be- dömaren använder ofta underförstådda kriterier och allmän erfarenhet som erhållits från granskning av en rad olika lösningar för att bedöma elevens problemlösnings- förmåga.
Johanna häller kaffe med temperaturen 92° C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15° C. För att beskriva hur tempe- raturen y° C hos kaffet förändras med tiden x timmar undersöker hon två olika modeller.
Formel A: y= 92 – 7x Formel B: y = 92 ⋅0,93x
c) Undersök hur många timmar modell A respektive B kan gälla? (1/2)¤
Här visas ett exempel på helhetsbedömning av uppgiften (som är hämtat ur ett A- kursprov) ovan.
Nivå 1 Elevlösningen visar att kaffet svalnar till 15° C.
Nivå 2 Elevlösningen visar att kaffet svalnar till 15° C och beräk- nar/prövar/avläser tiden för en av termosarna.
Nivå 3 Elevlösningen visar att kaffet svalnar till 15° C och beräk- nar/prövar/avläser tiden för båda av termosarna.
Vid bedömningen av denna typ av uppgifter på nationella prov används en form av helhetsbedömning. För att förtydliga de kvalitativa nivåer som finns uttryckta i be- tygskriterierna ges vid bedömningen g- och/eller vg-poäng. Så här såg bedöm- ningsanvisningen ut vid provtillfället:
c) 11 h respektive 25 h
Ansats till lösning som visar att eleven inser att kaffet inte blir hur
(Max 1/2) ¤
kallt som helst
Godtagbar bestämning enligt formel A Godtagbar bestämning enligt formel B
1 g
+ 1 vg + 1 vg Att de två sista poängen bedöms som vg-poäng beror på att de kunskaper som
eleverna här måste visa kan kopplas till betygskriterier för Väl godkänd och Mycket väl godkänd (bilaga 3). I detta fall måste eleven visa prov på lämplig metod, modell och tillvägagångssätt (V1) och göra en tolkning av situationen och redovisa sitt arbete med logiska resonemang (V3). För att få båda vg-poängen krävs kunskaper om båda modellerna. Detta kan ju innebära att en elevlösning visar kunskap från olika lösningsmetoder (V4). Vilka kunskapsområden och betygskriterier som upp- gifterna på Np MaA kan pröva finns i en sammanställning i häftet Bedömningsan- visningar till varje prov. Eftersom elevlösningarna varierar i metod och utförande kan två elevlösningar till samma uppgift visa kunnande från skilda kunskapsområ- den och kriterier.
Analytisk bedömning med beskrivningar på olika kvalita- tiva nivåer
För en stor omfattande uppgift vars lösning kan innehålla många angreppssätt är det svårt att täcka alla varianter med helhetsbedömning. Då kan analytisk bedöm- ning vara ett verktyg.
Analytisk bedömning fokuserar olika kunskapsaspekter som kan bedömas och sam- tidigt beskrivs de olika kvalitativa nivåerna inom varje kunskapsaspekt. Med ut- gångspunkt i kursplaner och betygskriterier i matematik kan många olika aspekter vara intressanta t.ex. begreppsförståelse, beräkningar, metoder, strategier, analyser, resonemang, slutsatser, matematiskt språk, hjälpmedel och redovisning.
Bedömningsmatriser är ett exempel på analytisk bedömning. I tabellen nedan ges ett exempel på hur en bedömningsmatris kan se ut. I den vänstra kolumnen står de olika aspekter som ska bedömas. För varje aspekt finns det också en kort beskriv- ning för varje kvalitativ nivå.
Kvalitativa nivåer
Aspekter Lägre Högre
Förståelse
och metod Anas Visar att Utvecklar
Genomförande
och analys Påbörjar Genomför Utvecklar
Förklara varför
Redovisning och matematiskt språk
Anas Uppfattas Helhetsbild
De aspekter som finns i ovanstående matris finns i grundskolans ämnesprov (bilaga 7). I gymnasieskolan är aspekterna något annorlunda (bilaga 8), vilket beror på de skillnader som finns i betygskriterierna. Båda dessa matriser bygger på betygskrite- rierna, vilket matrisen för bedömning av muntlig kommunikation också gör, se bilaga 9. I de nationellt utarbetade proven används uppgiftsspecifika matriser där man också kan omsätta sin bedömning till g- och vg-poäng.
Del 5: Samband mellan mål och kriterier i matema- tik för grundskolan
I avsnittet Bedömningens inriktning, som inleder betygskriterierna för grundskolan, beskrivs de kunskaper och kunskapskvaliteter som ska bedömas oavsett betyg. Mål att uppnå beskriver vad varje elev ska kunna i slutet av det nionde skolåret, men de ligger också till grund för bedömningen av om en elev nått tillräckligt långt i sin kunskapsutveckling för att få betyget Godkänd. Betygskriterierna anger kunskaps- kvaliteterna för betygsstegen Väl Godkänd och Mycket väl godkänd.
Det finns kopplingar mellan mål att sträva mot som har en mer övergripande ka- raktär S11 - S17 (bilaga 5), och bedömningens inriktning och betygskriterierna (bilaga 6). Här visas något av den kopplingen vad gäller elevens förmåga att kom- municera matematik, vilken framhävs mer i vår nuvarande kursplan än i tidigare.
Skolan ska sträva efter att varje elev
S14 utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, Bedömningen av elevens kunnande i ämnet matematik gäller följande kvalitéer:
B2 Förmågan att följa, förstå och pröva matematiska resonemang För Väl Godkänd krävs att
V2 Eleven följer och förstår matematiska resonemang.
För Mycket väl godkänd krävs att
M4 Eleven tar del av andras argument och framför utifrån dessa egna matematiskt grundade idéer.
Dessa skrivningar i kursplan och betygskriterier är en av anledningarna till att det finns muntliga delprov i ämnesprovet för skolår 9 och att dessa genomförs i grupp.
Utöver de mer övergripande målen att sträva mot finns det i matematik också mål att sträva mot som är specifika för olika ämnesinnehåll, S21- S27. Dessa mål kan kopplas till mål att uppnå för skolår fem, U52 - U57 och skolår nio, U92 - U98 (bilaga 5).
Då eleven visar kunskapskvaliteter som överstiger mål att uppnå och når kriterierna för Väl godkänd kan eleven bedömas med betyget Väl godkänd.
För att förtydliga bedömningen i matematik i grundskolan presenteras en samman- ställning av mål och kriterier i form av följande rutnät. Några av förkortningarna är förklarade bredvid rutnätet. Övriga förkortningar finns förklarade i bilagorna 4-6.
Betygskriterier
Väl godkänd Mycket väl godkänd Mål att
uppnå skolår
9
Mål att uppnå skolår
9
G V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 M1 M2 M3 M4 M5
Mål att sträva mot grund-
skola
Allmän U 91
U 92
Taluppfattning
U 93 S 21
U 94 S 22
Mätning, rums- uppfattning och geometriska
samband U 95 S 23
Statistik U 96 S 24
Sannolikhetslära U 97 S 27
S 25
Kunskapsområde
Mönster och
samband U 98 S
S 26
Figur: Mål och kriterier i matematik för grundskolan (För gymnasieskolan finns ett liknande rutnät i provmaterialen.)
På de två följande uppgifterna från ämnesprovet 2004 för skolår 9 kan eleven bara visa kunskaper enligt målen att uppnå d.v.s. de kan bara generera godkändpoäng.
Den första prövar elevens taluppfattning U 92:
V1 Eleven använder ma- tematiska begrepp och metoder för att formulera och lösa problem
U98 kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser
S25 förmåga att förstå och använda grundläggande algebraiska begrepp, ut- tryck, formler, ekvationer och olikheter
S26 förmåga att förstå och använda egenskaper hos några olika funktio- ner och motsvarande grafer
M1 Eleven formulerar och löser olika typer av problem och värderar metodernas för och nackdelar
Vilket av följande tal är lika med en femtedel? Ringa in ditt svar.
0,5 1,5 0,05 0,2 0,15
Nästa uppgift prövar om eleven kan lösa en enkel ekvation (U98) och är marke- rad med ett S i rutnätet
Lös ekvationen 25 – 5x = 10
Även uppgifter där beräkningar och resonemang ska redovisas kan ibland bara pröva kunskaper inom målen att uppnå. En typisk sådan uppgift från skolår 9 visas nedan. Den prövar bara om eleven har goda färdigheter i räkning (U93) och gene- rerar därför bara g-poäng.
Medlemsavgiften i Åshöjdens IF är 80 kr för barn och 150 kr för vuxna. I familjen
Kvist är båda föräldrarna och de tre barnen medlemmar. Hur mycket betalar
familjen sammanlagt i medlemsavgifter till föreningen?
(2/0)
Bedömningsanvisningen till uppgiften såg ut så här:
540 kr
Redovisad korrekt tankegång med korrekt svar
(Max 2/0)
1 g
+ 1 g Då uppgifter prövar mål som går över mål att uppnå kan de generera vg-poäng även om det bara är kortsvarsuppgifter. Nedanstående uppgift för skolår 9 prövar förståelse av vinkelbegreppet (S23) och dessutom ingår flera tankeled då eleven ska lösa uppgiften.
I figuren är AB en rät linje.
Vinkeln x är dubbelt så stor som vinkeln y.
Hur stor är vinkeln y?
Gemensamt för alla mål att sträva mot med speciellt ämnesinnehåll är att de alla innehåller verbet förstå till skillnad från målen att uppnå där detta verb inte finns.
Nedanstående uppgift från skolår 9; markerad med i rutnätet prövar om ele- ven förstår hur samband kan beskrivas både med text och med matematiskt språk (S25):
Alex väger a kg och Björn väger b kg. Vilket av följande påståenden kan skrivas som a + 0,2a = b ? Ringa in ditt svar.
Björn väger 0,2 kg mer än Alex. Alex väger 0,2 kg mer än Björn.
Alex väger 20 % mer än Björn. Björn väger 20 % mer än Alex.
A B
x y
Ingen av frågeställningarna i nedanstående uppgift från skolår 9 ryms inom målen att uppnå i mönster och samband (U98), därför kan elevarbeten bara generera vg- poäng. Det mål att sträva mot som passar till denna uppgift är (S25) ”att förstå och använda en mer komplicerad ekvation”. Vad gäller betygskriterierna kan eleven visa kunskapskvaliteter som beskrivs i V1, V2, V3, V4, V5, M2 och M3.
Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlemsavgifter.
Hon ställer upp följande ekvation: 80 · x + 150 · (480 – x) = 51 000.
a) Vad står x för i denna ekvation? Endast svar krävs.
(0/1)
b) Vad står 480 för? Endast svar krävs.
(0/1)
c) Hjälp kassören att lösa ekvationen.
(0/2)
¤ Bedömningsanvisningen till uppgiften såg ut så här
5. a) Antalet barn som är medlemmar Korrekt svar
(Max 0/1) 1 vg b) Antalet medlemmar i föreningen
Korrekt svar
(Max 0/1)
1 vg
c) x = 300
Ansats till lösning t ex multiplicerat in i parentesen korrekt eller svar med bristfällig redovisning
Redovisad ekvationslösning med korrekt svar
(Max 0/2)
1 vg
+ 1 vg Hela uppgift 5 korrekt löst
Om en elev klarar att lösa hela uppgiften med korrekta tolkningar och en väl genomförd ekvationslösning visar denna elev säkerhet i sina beräkningsmetoder (M2) och redovisar då också med korrekt matematiskt språk (M3). En sådan elev- lösning bedöms med MVG.
Ofta kan ett elevarbete på en uppgift visa kunskap på olika kvalitativa nivåer. På nationella proven genererar dessa elevarbeten både g- och vg-poäng. Följande upp- gift gavs i ämnesprovet 2004 för skolår 9:
Vid bågskytte skjuter man från olika avstånd. Vid skjutavståndet 30 m använder man en tavla med diametern 80 cm. När man skjuter från längre avstånd använder man en tavla med dubbelt så stor area.
Hur stor diameter ska den tavlan ha?
(1/2)
Till denna uppgift hörde nedanstående bedömningsanvisning:
113 cm ; 110 cm
Ansats till lösning t ex beräknar någon cirkelarea
Gjort en godtagbar bestämning av den nya tavlans area samt påbörjat beräkning av den nya tavlans diameter t ex dividerat med π
Tydlig redovisning med korrekt svar
(Max 1/2) 1 g
+ 1 vg + 1 vg Om eleven klarar någon inledande beräkning av en cirkelarea visar eleven bara kun- skap från U94 men ett elevarbete kan också visa de kunskaper som beskrivs i S22 eller S23. Följande betygskriterier kan användas vid bedömningen: V1, V3, V4, V5, V6, M2 och M3. Detta finns markerat med i rutnätet.
Del 6: Bedömda och kommenterade elevarbeten
Skolår 9 Uppgift 1
(Ämnesprovet 2004 för skolår 9)
Vid bågskytte skjuter man från olika avstånd. Vid skjutavståndet 30 m använder man en tavla med diametern 80 cm. När man skjuter från längre avstånd använder man en tavla med dubbelt så stor area.
Hur stor diameter ska den tavlan ha?
(1/2)
Till denna uppgift hörde nedanstående bedömningsanvisning 113 cm ; 110 cm
Ansats till lösning t ex beräknar någon cirkelarea
Gjort en godtagbar bestämning av den nya tavlans area samt påbörjat beräkning av den nya tavlans diameter t ex dividerat med π
Tydlig redovisning med korrekt svar
(Max 1/2) 1 g
+ 1 vg + 1 vg Elevarbetet, som bedömdes med 1 g- och 1 vg-poäng, visar att eleven kan beräkna cirkelareor, men det ser av elevarbetet ut som eleven prövat sig fram för att hitta en area som är dubbelt så stor (V1) och visat att det stämmer (V6). Elevarbetet uppfyl- ler målet U94 och visar också förståelse mot S22. Detta elevarbete visar ett mycket vanligt sätt att lösa denna uppgift.
Nästa elevarbete bedömdes med 1 g-poäng, 1 vg-poäng samt med en ¤. Elevarbe- tet visar säkerhet både i beräkningar och i problemlösningsarbete (M2) och eleven använder en generell strategi och ett bra matematiskt språk (M3). Elevarbetet upp- fyller målet U94 och visar på kunskaper mot S22. Att elevarbetet inte ger full poäng beror på att eleven beräknat en area som är hälften så stor i stället för en som är dubbelt så stor.
Det sista elevarbetet bedömdes med 1 g-poäng, 2 vg-poäng samt med en ¤. Elev- arbetet visar säkerhet både i beräkningar och i problemlösningsarbete (M2) och
eleven använder en generell strategi och är också säker på hur man uttrycker sig med matematiskt språk (M3). Elevarbetet uppfyller målet U94 och visar på kunska- per mot S22. Om eleven i stället använt ett resonemang kring längdskala och area- skala hade eleven visat på kunskaper mot målet S23.
Uppgift 2
(Ämnesprovet 2003 för skolår 9)
(Uppgiften är frisläppt av Skolverket 2004 för att kunna användas i bedömnings- diskussioner.)
Familjen Svensson köper flygbiljetter från Bangkok till Colombo på Sri Lanka. Tillsammans kostar biljetterna 6 305 kr. Jakob 17 år får 25 % rabatt och Linda 8 år reser för halva priset. Föräldrarna betalar
fullt pris. Hur många kronor kostar en flygbiljett för en förälder?
(1/2)
Till denna uppgift hörde nedanstående bedömningsanvisning 1 940 kr
Ansats till lösning som visar förståelse för hur helheten ska för- delas
(Max 1/2)
1 vg
Redovisning som visar förståelse för procentbegreppet (även vid felaktig ansats)
Klar och tydlig redovisning med korrekt svar
+ 1 g + 1 vg Uppgiften prövar målen U93 och S21. Elevarbeten kan visa kvalitéer från V1, V3, V4, V5, M2 och M3.
Elevarbetet, som bedömdes med 1 g-poäng, visar att eleven inte förstått hur helhe- ten ska fördelas, men att eleven med den felaktiga utgångspunkten både behärskar grundläggande procenträkning och kan beräkna priserna så att totalbeloppet stäm- mer. Elevarbetet uppfyller målet U93 men uppfyller inget av kriterierna för Väl godkänd.
Nästa elevarbete, som bedöms med 1 vg-poäng, visar att eleven har en metod och använder matematiska begrepp (V1), men sedan kommer eleven inte längre. Arbe- tet visar dock på kunskaper som överstiger mål att uppnå U98 eftersom eleven visar att hon/han förstår hur ekvationer kan användas.
Följande elevarbete, som bedömdes med 1 g- och 1 vg-poäng, visar att också denna elev har en metod och använder matematiska begrepp (V1). Dessutom visar eleven säkerhet i sitt problemlösningsarbete (V5). Elevens arbete är dock något svårt att följa och förstå och därför når arbetet inte (V4).
Nästa elevarbete som bedömdes med 1 g- och 2 vg-poäng, visar en systematisk prövning d.v.s. eleven visar säkerhet i sitt problemlösningsarbete (V5). Elevarbetet är tydligt redovisat så att det är möjligt att följa och förstå (V4).
Följande två elevarbeten bedömdes med 1g-poäng , 2 vg-poäng och ¤ trots att de visar två helt olika lösningsmetoder. Båda elevarbetena visar kvalitéer utöver det som beskrivs i V1, V3, V4 och V5 och bedöms därför med MVG. I båda elevarbe- tena visar eleven säkerhet i sina beräkningar och sitt problemlösningsarbete samt väljer en för problemsituationen lämplig metod (M2).
Det första elevarbetet visar att eleven kan anpassa sin räknemetod till problemsitua- tionen (M2). Elevarbetet visar en klar tankegång med generell strategi och redovis- ningen är tydlig (M3).
Det andra elevarbetet visar att eleven kan använda en generell metod (M3). Dess- utom redovisar eleven strukturerat med korrekt matematiskt språk (M3).
Kurs A Uppgift 3
(A-kursprovet 1995)
Vid lösningen av denna uppgift, som gavs i kursprovet redan 1995, har eleverna möjlighet att visa sitt kunnande i att göra matematiska tolkningar av situationen och redovisa sitt arbete med logiska resonemang (V3). Uppgiften skulle också ha passat in på kriterium (M4), d.v.s. att värdera och jämföra två olika metoder och dra slut- satser från dessa lösningar, om det inte framgått vilken metod som var rätt.
En jacka kostar 800 kr. Priset höjs först med 8 % och sänks sedan med 6 %. Vilket är priset efter båda dessa prisändringar?
Anna löser uppgiften så här:
800 · 1,08 · 0,94 = 812,16 Priset är 812 kr Lisa löser uppgiften så här:
800 + 800 · 0,08 - 800 · 0,06 = 816 Priset är 816 kr Anna löser uppgiften rätt men Lisa gör fel. Förklara vad Lisa gör för fel?
Denna information hindrar dock inte vissa elever att ge svaret ”Lisa” på uppgiften.
Andra exempel på mindre lyckade elevlösningar till uppgiften är följande;
Hon använder sig inte av förändringsfaktorn och får därför ett felaktigt svar.
Följande två lösningar, som ej har bedömts med g- och vg-poäng eftersom denna typ av bedömning inte användes 1995, uppvisar kunnande i att göra matematiska tolkningar av situationen och uppfyller därmed vissa kriterier för Väl godkänd. Den sista elevlösningen uppvisar också kunskaper i algebra.
Lisa gör först rätt när hon höjer varan dvs. 800 + 800·0,08.
Men sedan tror hon att man tar det ursprungliga priset, innan höjningen, och multiplicerar med 0,06, men det är fel!
Utan hon ska ju ta det nya priset, efter höjningen och dra 6% där.
Lisa sänker priset efter höjningen med samma pris som innan höjningen.
Hon skulle istället för att ta
FEL; 800 + 800·0,08 - 800·0,06 ta 800 + 800·0,08 = A och sedan RÄTT; A - A∙0,06 = B
Uppgift 4
(A-kursprovet 2002)
Johanna häller kaffe med temperaturen 92° C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15° C. För att beskriva hur tempe- raturen y° C hos kaffet förändras med tiden x timmar undersöker hon två olika modeller.
Formel A: y= 92 – 7x Formel B: y = 92 ⋅0,93x
c) Undersök hur många timmar modell A respektive B kan gälla? (1/2)¤
Så här såg bedömningsanvisningen ut vid provtillfället:
c) 11 h respektive 25 h
Ansats till lösning som visar att eleven inser att kaffet inte blir hur kallt som helst
Godtagbar bestämning enligt formel A Godtagbar bestämning enligt formel B
(Max 1/2) ¤
1 g
+ 1 vg + 1 vg Nedanstående lösning till uppgiften visar endast en prövning av svaret. Vilken lös-
ningsmodell eleven använt framgår inte men troligen är det en icke redovisad prövning som ligger bakom. Eleven gör en tolkning av situationen men det reso- nemang som visas är mycket knappt (V3). Lösningen kan tilldelas 1 g- och 2 vg- poäng enligt ovanstående bedömningsanvisningar eller kanske 1 g- och 1 vg-poäng.
Detta beror på vilka krav på redovisning som vanligtvis brukar gälla i undervis- ningsgruppen.
Av följande elevlösning framgår lösningsmetoden tydligare och bedömningen är därmed 1 g- och 2 vg-poäng enligt anvisningen. Här kan vi följa delar av processen och därmed resonemanget som också här nästan enbart är skrivet med matematiskt språk.
Nästa elevlösning till denna uppgift ger samma bedömning eftersom den beskriver lösningsmetoden och anger svaret. Denna elev använder en generell metod men då genomförandet inte presenteras är inte mvg-kriteriet (M1) uppfyllt.
I nästa elevlösning till samma problem visas två generella metoder. Först visas ek- vationslösning för modell A men då eleven av naturliga skäl inte behärskar meto- den för att lösa modell B (ingår i kurs C) väljer eleven en annan generell metod, grafisk lösning. Redovisningen är dessutom klar och det matematiska språket kor- rekt. Elevlösningen uppfyller därför flera av kriterierna i M1. På detta nationella prov skulle lösningen tilldelas 1 g- och 2 vg-poäng och dessutom ¤ för uppfyllda mvg-kriterier.
Uppgift 5
(A-kursprovet 2001)
Nationella provet för kurs A vårterminen 2001 innehöll bl.a. en uppgift där elever- na utifrån ett mönster skulle skapa en formel. För att eleverna lättare skulle komma in i uppgiften och upptäcka mönstret fanns en inledande fråga. (Uppgiften är fri- släppt av Skolverket 2004 för att kunna användas i bedömningsdiskussioner).
Tänk dig att man bygger trappor av kubformade klossar som figuren visar.
a) Skriv av tabellen och komplettera med de värden som saknas.
Endast svar fordras. (1/0)
Trappans höjd i antal klossar 2 3 4 5
Totala antalet klossar i trappan 4
b) Hur hög trappa kan man bygga av 100 klossar? Motivera ditt svar och beskriv med
ord eller formel sambandet mellan antal klossar och trappans höjd. (1/2) ¤
Uppgiften hamnar vid kategorisering både i kunskapsområdet aritmetik (A1) och algebra (A6) (bilaga 2). Bedömningsanvisningarna såg vid provtillfället ut på följan- de sätt;
6. a) ( 3; 9), ( 4; 16) och ( 5; 25)
Korrekt svar (Max 1/0)
1 g
6. b) 10 klossar hög, t.ex. y = x2 där x är antalet klossar på höjden och y totala antalet klossar eller totala antalet klossar är anta- let klossar på höjden gånger sig själv.
Lösning som visar godtagbar beräkning av höjden
beskrivning av samband, t ex grundad på ett numeriskt mönster Fullständig och tydlig redovisning med godtagbart svar
(Max 1/2) ¤
1g
+ 1vg
+ 1vg
På första deluppgiften ska eleven använda en lämplig metod för att kunna ange antalet klossar. Detta kräver inte någon avancerad metod så därför visas endast kunskaper på godkändnivån. Dessutom är det inget krav att redovisa metoden. På uppgift b) ska eleven beskriva ett samband och av bedömningsanvisningarna fram- går att sambandet som anges är en möjlig beskrivning.
Höjd: 2 klossar Höjd: 3 klossar
Följande elevlösning uppvisar ett helt igenom rekursivt tänkande och ska bedömas med 1 g- och 2 vg-poäng, eftersom denna metod att beskriva en följd också är möj- lig. Den rekursiva beskrivningen som anges är generellt beskriven med ord så elev- lösningen kan också förses med en ¤, eftersom ett mvg-kriterium (M1) är uppfyllt.
Det totala antalet klossar ökar med två mer än vid förra ökningen när trap- pans
höjd ökar med en kloss. Alltså
från 2 klossar i höjd till 3 klossar i höjd ökar antalet med 5 klossar, från 3 klossar i höjd till 4 klossar i höjd ökar antalet med 7 klossar, från 4 klossar i höjd till 5 klossar i höjd ökar antalet med 9 klossar osv.
När det är 5 klossar på höjden är det 25 klossar totalt. När det är 6 klossar på höjden
måste det totala antalet klossar öka med 11, eftersom det från 4 till 5 i höjd ökade
med 9. 25+11=36
7 klossar i höjd: 36+13=49 8 klossar i höjd: 49+15=64 9 klossar i höjd: 64+17=81 10 klossar i höjd: 81+19=100
Följande elevlösning till uppgiften uppfyller däremot flera mvg-kriterier. Här finns likt tidigare exempel en generell metod och en klar tankegång redovisad (M1) men dessutom genomförs ett matematiskt bevis (M3) även om detta inte är helt formellt korrekt.
Uppgift 6
(A-kursprovet 2001)
Din uppgift är att jämföra areorna hos några olika plana geometriska figurer med omkretsen 24 cm.
Tänk dig att du har en ståltråd som är 24 cm lång. Tråden kan formas till olika plana geometriska figurer. Hela tråden ska utnyttjas och bilda figurens omkrets. Alla figu- rer du ska arbeta med kommer då att ha samma omkrets.
Liksidig triangel Kvadrat
Regelbunden sexhörning
Ytterligare minst en geometrisk figur
• Rita först de tre namngivna figurerna, sätt ut måtten och beräkna figurernas areor.
• Jämför figurernas areor.
• Fundera över vilka egenskaper hos figuren som påverkar areans storlek. Vilka slutsatser drar du?
• Rita ytterligare minst en figur som stöder dina slutsatser. Sätt ut mått och beräk- na arean.
• Sammanfatta din undersökning. (6/8) ¤
Uppgiften är hämtad från NpMaA vt 01 (Frisläppt av Skolverket 2004 för att kun- na användas i bedömningsdiskussioner).
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till
• vilka matematiska kunskaper du visat
• vilka slutsatser du kommit fram till
• hur väl du redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.
