Ö:4, 6, K3.2, K3.3 och Uppgifterna 1, 2 och 3 nedan.

TNA001

Förslag till övningsuppgifter

FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet – Vektorer, linjer och plan,

Ö = Övningstentamen (OBS! INTE ”Övningsuppgifter” som vi använt tidigare) 1. Vektorer, linjer och plan

Ö:4, 6, K3.2, K3.3 och Uppgifterna 1, 2 och 3 nedan.

Uppgift 1.

Linjen

1 1 ,

2 x

y t t R

z

   

   

 

   

   

   

, och punkten ^{P }



^{2, 1,1}



är givna i en ON-bas.

a) Beräkna avståndet mellan linjen och punkten P.

b) Bestäm koordinaterna för P:s spegling, S, i linjen.

Uppgift 2.

a) Beräkna avståndet mellan punkten P (3, 0, 1) och skärningslinjen mellan planen

x  y   z 1

och x2y . 1

b) Bestäm koordinaterna för P:s ortogonala projektion, Q, på skärningslinjen (från a)-uppgiften).

Uppgift 3.

a) Beräkna avståndet mellan punkten (1,2,0) och planet − + 2 = 0.

b) Bestäm spegelbilden av punkten (1,2,0) i planet − + 2 = 1.

2. Inverser

FN: 2.67, 2.68 och Uppgifterna 4 och 5 nedan

Uppgift 4.

a) En funktion som är omvändbar har som bekant invers. Förklara vad som menas med att en funktion är omvändbar. Rita gärna kompletterande figur/figurer.

b) Visa att funktionen g(x)x² 2x3, 1x4 har en invers g^1. Bestäm även inversen och dess definitionsmängdDg1.

Uppgift 5.

Betrakta funktionen f(x) 1ln



2x1



. a) För vilka xR är f(x)definierad?

b) Bestäm, om möjligt, inversen till f .

3. Olikheter FN: 1.105abc 4. Absolutbelopp Ö:1ab

5. ln och exp

Ö:5 och FN: 2.70

6. Trigonometri (inklusive arcusfunktionerna) Ö:1c, Ö:3, Ö7 (svår) och Uppgifterna 6 och 7 nedan

Uppgift 6.

a) Visa att

sin 2 cos 2 1

sin cos cos

x x

x  x  x

b) Bestäm det exakta värdet av

sin( u  v )

om

1 sin u  3

,

2 u

   

och

2

sin v   3

,

3 2  v 2

  

.

Uppgift 7.

Lös ekvationerna

a)

^{2sin 2 1 ,}  ^{0, 2} 

x  3 x

  

  

 

 

^.

b)

cos x  4 sin( 2 x )  sin x  2 cos( 2 x )  cos x  0

,

x     ,  

c) arcsinx arccos(3x)

7. Komplexa tal

Ö:2 och FN: 2.63a, 2.64, 2.81a och Uppgift 8 nedan

Uppgift 8

a) Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter för vilka det gäller att Rez 0 och z 2. b) Visa att Rez 0 om a bi a bi

z a bi a bi

 

 

  ^{, a,bR.}

8. Geometrisk, aritmetisk summa, binomialsatsen FN: 1.116a och Uppgift 9 nedan

Uppgift 9

Ange, med motivering, för vart och ett av följande tre påståenden (A, B och C) om det är sant eller falskt.

A. Koefficienten för

x

⁵ är

 7

i utvecklingen av

1

8

x 2

 

  

 

^.

B. I den aritmetiska talföljd, som börjar enligt

 5, 3, 11, 19, ...

, är det 215:e elementet lika med 1707.

C. Det gäller att ¹⁵



¹



¹⁵

1

3 2

^k

2 1

k





  



9. Induktionsbevis Uppgift 10 nedan

Uppgift 10

Visa att formeln _n

n

k k

n k

2 2 2

1

2

 

 



gäller för alla

n  Z

^.

Facit

1. a) 210

6

1 b) S = ^{7 2} , , ¹ 3 3 3

 

 

 

 

2. a) ¹ 14

2 b) 2, ^{1 1} ,

Q  2 2 

   

 

3. a)

^√

b) = , ,

4. a) b) g

^1

( y )  1  y  4 ,

1

   4 , 5 

D

g

5. a)

_







 

 2

, 1 2 D_f 1 e

b)

1 2

1

1

( ) 2

e

y

f y







 (eller

1 2

1

1

( ) 2

e

x

f x







 ) med ^D

_f^1

^  ^{0, }  ^.

6. b)

^{5 4 2}

9



7. a)

₁

x  4

 ,

₂

⁵ x 4 

 ,

12 7

3

 

x och

12 19

4

  x

b) Lösning



















0 2

1 2 8

0 2

2 2

4

2

2

x x x x

x

x x x

x x

cos ) sin (

cos sin cos

cos ) cos(

sin ) sin(

cos



²



2

cos 0

cos 12 sin 3 0 eller sin 1

4 x

x x

x



 

     



 

 0

cos  x ger oss

2

 

x  och

2 sin 1

4

sin

²

x  1  x   , vilket ger lösningarna

6

 



x ,

6 5 



 x Svar:

2

 



x ,  6

 , 6 5 



c)

10

 1 x

8. a)

^Im

Re

8b) Lösning



2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

Re Im

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )

( )( ) ( )

4 4

0

  

z z

a bi a bi a bi a bi a abi bi a abi bi

z a bi a bi a bi a bi a bi

abi ab

a b a b i

         

    

    

  

 

d.v.s. Re z  , v.s.v. 0 9. Lösning:

A: SANT ty

8 8

8 0

1 8 1

2 2

k k

k

x x

k





     

    

   

       ^{, d.v.s. x}

⁵

-termen erhålls för k  , 3 vilket innebär att koefficienten för x

⁵

blir

8 1

3

... ... 7

3 2

   

     

   

 

 

.

B: SANT ty för en aritmetisk talföljd gäller att n:te elementet a

_n

 a

₁

 ( n  1) d , där a är det första elementet och

₁

d är differensen, vilket innebär att i vår talföljd har vi a

₂₁₅

   5 (215 1) 8 1707    .

C: FALSKT ty    

 

15 15

1 15 15

1

3 2 1

3 2 3 2 1 2 1

2 1

k k





      

 

Svar: A och B är sanna, C är falskt.

10. Lösning

Vi skall visa att påståendet P (n ) :

_n

n

k k

n k

2 2 2

1

2

 

 



gäller för alla n  Z

^

. Bevismetod: Induktion

Steg I

2 1 2

1 ) 2

1

(

₁

1

1





 

 k

k

V k

2 1 2 2 3 2

2 2 1 ) 1

( 

₁

  



 H

Alltså har vi V ( 1 )  H ( 1 ) , d.v.s. P ( 1 ) gäller.

Steg II

Antag att P ( p ) gäller för ett godtyckligt p  Z

^

, d.v.s. antag att

_p

p

k k

p k

2 2 2

1

2

 

 



Vi får



 ) 1 ( p

V   

 



 

 



 





_{  }













^{1 1 1}

tagandet - an Enligt

*

1

1 1

1

2

1 2

) 2 ( 2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

2

^{p p p p}

p

k

p k p

k k

p p

p p

p k k

 

) 1 2 (

2 2 1

2 2 3 2

1 4

2 2

_{1 1}



₁

  



 



 



 

 p

_

p p

_

p

_

H p

p p

p

Alltså: V ( p )  H ( p )  V ( p  1 )  H ( p  1 ) d.v.s. om P ( p ) gäller så gäller även P (  p 1 ) . Steg III

Påståendet gäller enligt I för n  1 . Enligt II gäller det då även för n  1  1  2 . Då gäller

det även för n  2  1  3 o.s.v. Via matematisk induktion gäller påståendet för alla n  Z

^

,

v.s.v.