TNA001 – Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 – Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Innehåll:

Uppgift 1 – 22 Summor, Binomialsatsen, Induktionsbevis Uppgift 23 – 28 Invers funktion

Uppgift 29 – 36 Logaritmer, Exponentialfunktioner Uppgift 37 – 54 Trigonometri

Uppgift 55 – 60 Komplexa tal Facit sid. 8 - 10

Summor, Binomialsatsen, Induktionsbevis

1. Den aritmetiska talföljden 5, 8, 11, 14, ... är given.

a) Hur många av termerna är mindre än 1000?

b) Beräkna summan av de 20 första termerna.

2. Vid ett frimärksjubileum diskuterade man att ge ut en frimärksserie med 25 frimärken i valörerna 0.50 kr, 0.90 kr, 1.30 kr, 1.70 kr o. s. v. Vad skulle en sådan utgivning kosta en samlare, som brukar köpa 10 kompletta serier?

3. Bestäm summan av alla heltal från och med 9 till och med 999 som slutar på 9.

4. Summan av de n första termerna i den aritmetiska serien 24, 20, 16, 12, ... är lika med 80.

Bestäm n.

5. En geometrisk talföljd börjar med 54. Skriv de första fyra termerna i talföljden om kvoten är:

a) 2 b) 2/3

c) -2 d) -1/3

6. a) Talen x, 2, 4, y inleder en geometrisk talföljd. Bestäm x och y.

b) Talen x, 2, 3, y inleder en geometrisk talföljd. Bestäm x och y.

7. I en geometrisk talföljd är a4 = 6 och a7 = 750. Bestäm talföljden och summan av de sju första termerna.

8. År 1990 var världskonsumtionen av mineralolja 3Gt (gigaton). Den totala råoljereserven på jorden uppskattades då till 1 Tt. När tar råoljan slut om uttaget från reserven

a) ökar med 4 % årligen b) minskar med 4 % årligen 9. Beräkna

a) 1¹¹¹ ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹ med hjälp av formeln för en en geometrisk

10. Bevisa med hjälp av induktion att följande formler gäller för alla nZ^:

a) 2

) 1 3 ) ( 2 3 (

1

 





n k n

n k

b) 4 1 2 1

1

1

2  



 n

n k

n k

11. Bestäm t så att formeln (3 ) ²( )

1

2 k n n t

k

n

k









gäller för n = 1. Visa sedan att formeln gäller med detta t-värde för alla n = 1, 2, 3, ...

12. Visa med induktionsbevis att 7ⁿ - 2ⁿ är delbart med 5 för alla n = 1, 2, 3, ...

13. Visa att 3ⁿ  n³ för alla n  3.

14. Visa att

6 ) 1 2 )(

1 (

1

2  





n n k n

n

k

för alla n = 1, 2, 3, ...

15. Visa att

6 ) 1 )(

1 2 ) ( 1 (

1

2  







n n k n

n k

för alla n = 1, 2, 3, ...

16. Visa att

2

1 1

3

















n

k n

k

k k

17. Skriv som en summa

a) (x + 2y)⁴ b) (x - 4y)⁴

18. Beräkna följande binomialkoefficienter a) 







 3

7 b) 







 12 15

19. Vilken av följande båda binomialkoefficienter är störst?

a) 

















2 eller 16 3

10 b) 

















27 eller 30 2 81

20. Bestäm n så att 















 7 3

n n

21. Beräkna koefficienten för

a) x⁴ i uttrycket (2x - 1)¹⁵ b) x³ i uttrycket (1 - 3x)¹¹ 22. Beräkna den term som är oberoende av x i utvecklingen

a) 1 6



 



 

x x b)

3

2 1



 



  x x

Invers funktion

23. Visa att funktionerna f är omvändbara och bestäm sedan den inversa funktionen på formen y f^1(x). Bestäm definitionsmängd och värdemängd för både f och f^1.

a) f(x)x1 b) f(x)2x1 c) f(x)32x

24. Funktionen f har invers g. Om f vet man att f(1)2, f(2)0 och f(0)5. Bestäm

a) g(0) b) g(5) c) g









e) Antag att x D_f . Vad blir g





f) Vilket krav skall ställas på x för att f





a) f(x) x3,x3 b) f(x)x²2,x0 26. Bestäm f^1(2) om f(x)x³x

27. a) Visa att funktionen f(x)x²4x1,2x4 har invers och bestäm denna invers på formen y f^1(x). b) Rita i samma koordinatsystem y  f(x) och y f^1(x).

c) Ange definitionsmängd och värdemängd för y f^1(x).

28. Betrakta funktionen

2 4 1 , 2 1 )

(x   x  x

f .

a) Visa att f har en invers f^1 och bestäm denna invers.

b) Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen f^1(x).

c) Har kurvorna y  f(x) och y f^1(x) några gemensamma punkter?

Bestäm i så fall dessa och ange deras koordinater på så enkel form som möjligt.

Logaritmer, Exponentialfunktioner

29. Lös för reella x ekvationen ln( + 1) + ln(1 − ) = ln 3 + 2 ln . 30. a) Lös olikheten ln









b) Lös olikheten ln









31. Bestäm alla lösningar till ekvationen ln + ln(2 − ) = 3 ln .

32. Bestäm alla reella värden på x sådana att uttrycket ln(12x) x1är definierat.

33. Låt f(x)e^2x2.

a) Har f invers? Bestäm i så fall denna inklusive dess definitionsmängd.

b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f(x)e^x. 34. Betrakta funktionen f(x)ln(x²4)ln(x1).

a) Bestäm f :s definitionsmängd, D _f

b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f(x)ln6.

35. Bestäm definitionsmängden för funktionen och undersök om har invers funktion och bestäm i så fall ett uttryck för inversen om ( ) = .

36. Bestäm definitionsmängden samt (om möjligt) inversen till om ( ) = .

Trigonometri

37. Bestäm de exakta värdena på återstående trigonometriska funktioner, då a) cos α = 3/5 och α ligger i första kvadranten.

b) sin α = 7/25 och α ligger i andra kvadranten.

c) tan α = 3 och α ligger i tredje kvadranten d) cot α = - 5/12 och α ligger i fjärde kvadranten.

38. Bestäm exakta värden på sin 15^ , cos 15^ , tan 15^ och cot 15^ Ledning 15^ = 45^ - 30^ .

39. Förenkla följande uttryck:

a) sin (60^ + x) - sin (60^ - x) b) cos (30^ - x) - cos (30^ + x) c) cos (45^ - x) - sin (45^ + x) d) tan (135^+ x) + tan (135^ - x) 40. Bevisa följande trigonometriska formler

a) α

α

2

2 1 tan

cos

1   b) α

α

2

2 1 cot

sin

1  

c) sin 2α = 2 sin α cos α d) cos 2α =











 α α

α α

2 2

2 2

sin 2 1

1 cos 2

sin cos

41. a) α är en vinkel i andra kvadranten, sin α = 4/5. Bestäm sin 2 α och cos 2 α b) cos α = 1/3. Bestäm cos 2 α

c) tan α = 3/5. Bestäm tan 2 α

d) α är en vinkel i tredje kvadranten, tan α = 1/7. Bestäm sin 2 α och cos 2 α . 42. Bevisa likheterna:

a) α

α

α tan

2 cos 1

2

sin 

 b) α

α α sin2 tan

1 tan 2

2 



c) α

α α cos2 tan

1 tan 1

2 2

 



43. Bestäm r > 0 och v  ]- π, π] , så att a sin x + b cos x = r sin (x + v ) om a) a = 1, b = 3 b) a = -1 , b = - 3

c) a = -1 , b = 3 d) a = 1 , b = - 3 e) a = 3 , b = - 3 f) a = - 4, b = - 4

44. Använd ett av resultatet i föregående uppgift för att lösa ekvationerna a) sin x - 3 cos x = 1 b) sin 3x - 3 cos 3x = 1 i intervallet x  [0, 2π[

45. a) Lös ekvationerna i uppgift 44a men i intervallet ] -π, π] b) Lös ekvationen i uppgift 44b men i intervallet ] -π, π]

47. Lös ekvationen a) sin sinπ5

x  b)

2

sin x 1 c) sinx0 d)

2 sinx 3

48. Lös ekvationen a) cos cos20π

x  b)

2

cos x 3 c) 2cos x1 d) cosx0

49. Lös ekvationen

a) 7

tan2

tan π

x  b) tanx 3 c) 3tanx1 d) tan²x1 (Ledning: Ekvationen är ekvivalent med tanx1)

50. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen

a) 2

3 1

sin x b)

2 1 2 6

cos 



 



 π

x

c) 1

5 4

cos 



 



 π

x om 0x π

51. Lös ekvationen genom att utnyttja att 



 



 

 π v

v sin 2

cos eller 



 



 

 π v

v cos 2

sin .

a) cos3xsin4x b) 



 



 

sin 2

cos2 π

x x

, 





 2

,3π π x

c) 



 



 





 



 

cos 4

sin 4 π

x π x

52. Lös ekvationen

a) 2

cos²x 1 b)

4 sin²x3

c) 2cos²x3cosx10 (Sätt t.ex. först cos x t)

53. Lös ekvationen genom att bl.a. utnyttja trigonometriska ettan.

a) 2cos² xsinx1 b)

4 cos 5 sin²x x

54. Lös ekvationen (Ledning: Utnyttja t.ex. formlerna för dubbla vinkeln samt trigonometriska ettan.) a) cos xsinx0

b) sin2x2sinx

c) cos2xcos²x3sinx, x





d) sin2x 2cosx,







 3 ,

0 π

x

Komplexa tal

55. a) Markera i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som samtidigt uppfyller de båda villkoren 0 ≤ arg ≤ ⁄ och | − 2| ≤ 2. 4

b) Beräkna + . Ange svaret på formen + , , ∈ ℝ.

56. Givet de två komplexa talen = 3 ^⁄ och = 1 − √3.

a) Bestäm produkten på formen + . b) Bestäm arg( )

57. Givet det komplexa talet = a) Bestäm | |.

b) beräkna arg( ).

c) beräkna ( + 1 + ) på förenklad form.

58. Beräkna

12

2 2

1 



 



  i

. Ange svaret på formen x iy, där x och y är reella tal.

59. Givet det komplexa talet = .

a) Beräkna z¹⁰⁰ och ange svaret på formen + , där x och y får skrivas på formen a^p, där a är ett reellt tal och p ett heltal.

b) Välj vargz så att  v. Rita och markera i ett komplext talplan alla komplexa tal för vilka det samtidigt gäller att ≤ arg ≤ arg (10) och | | ≤ 1. Figuren skall ritas tydligt och med lämpliga hjälpmedel.

60. a) Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter för vilka det gäller att Re ≥ 0 och | | ≤ 2.

b) Förenkla så långt som möjligt (1 + ) − (1 − ) . c) Visa att Re = 0 om =

−

Svar till

TNA001 – Matematisk grundkurs - Övningsuppgifter

1. a) 332 b) 670

2. 1325 kr 3. 50400

4. n = 5 eller n = 8

5. a) 54, 108, 216, 432 b) 54, 36, 24, 16 c) 54, - 108, 216, - 432 d) 54, -18, 6, -2 6. a) x = 1, y = 8 b) x = 4/3 , y = 9/2 7. ak = 65^k4 , s(7) =

125 117186

8. a) Under år 2057 b) Aldrig 9. a)

2048

1365 b) 11400

11. t = 1

17. a) x⁴8x³y24x²y²32xy³16y⁴ b) x⁴16x³y96x²y²256xy³256y⁴

18. a) 35 b) 455

19. a) båda är 120 b) 3240 respektive 4060

20. endast n = 10 (Ekvationen har rötterna 10, -1 och två komplexa rötter)

21. a) - 21840 b) - 4455

22. a) 20 b) 3

c) 105/2

23. a) f^1(x)x1,  _1R

f Vf

D , Df1 Vf R

b) 2

) 1

1( 

  x

x

f ,  _1 R

f Vf

D , _  _f R

f V

D 1

c) 2

) 3

1( x

x

f 

 

,  _1 R

f Vf

D , _  _f R

f V

D 1

24. a) 2 b) 0 c) 1 d) 2

e) x f) x D_g

25. a) f^1(x)x²3,x0 b) f^1(x) x2,x2 26. 1

27. a)

b) y f^1(x)

x x

f^1( )2 3

28. a)

2 ) 1 (

2

1 x

x

f 

  b)











 

2 ,1

1 f 4

f D

V , Df1 Vf 





c) Gemensam punkt: (1 2,1 2)

29. 2

1 x 30. a)







 ,1 3

x 1 b) x









31. x1 32. Alla









 2

,1 1 x

33. a) ln( 2)

2 ) 1

1(



 

y y

f , _1 

Df









35. = [0, ln 2[ , ( ) = ln(2 + 1) − ln( + 1)

36. = ℝ , ( ) = ln , = 1,

37. a) sin α = 4/5 , tan α = 4/3 , cot α = 3/4

b) cos α = - 24/25 , tan α = - 7/24 , cot α = - 24/7 c) sin α =

10

 3 , cos α = 10

 1 , cot α = 3 1 d) sin α = - 12/13 , cos α = 5/13 , tan α = -12/5

38. ,tan15 2 3, cot15 2 3

4 2 15 6

cos 4 ,

2 15 6

sin     

 

 ^{o o o}

o

39. a) sin x b) sin x

c) 0 d) - 2/cos 2x

41. a) sin 2α = - 24/25 , cos 2 α = - 7/25

b) - 7/9 c) 15/8

d) sin 2α = 7/25, cos 2 α = 24/25

43. a) sin x + 3 cos x = 2 sin (x + π/3) b) - sin x - 3 cos x = 2 sin (x - 2π/3) c) - sin x + 3 cos x = 2 sin (x + 2π/3) d) sin x - 3 cos x = 2 sin (x - π/3) e) 3 sin x - 3 cos x = 2 3 sin (x - π/6) f) - 4 sin x - 4 cos x = 4 2 sin (x -3π/4) 44. a) π/2 eller 7π/6 b) π/6, 7π/18, 5π/6, 19π/18, 3π/2 eller 31π/18

45. a) - 5π/6 ellerπ/2 b) –17π/18, -π/2, -5π/18, π/6, 7π/18 eller 5π/6

47. a) xπ5 2nπ eller x4π52nπ , n Z b) π6 2nπ eller 5π62nπ , n Z c) nπ,nZ d) π3 2nπ eller 4π32nπ , n Z

48. a) π202nπ,nZ b) π62nπ,nZ c) π32nπ,nZ d) π2nπ,nZ 49. a) 2π7nπ,nZ b) π3nπ,nZ

c) π6nπ,nZ d) π4nπ,nZ 50. a)

3 2 18

n π

π  eller

3 2 18

5 π

π n

 , n Z b) π nπ



24 eller π nπ 24 

17 , n Z c)

20 ,17 20 ,9 20

π π π 2nπ

π π 4π

c) 2nπ eller π nπ 32

 , n Z

53. a) π nπ 2 2

3  , π nπ

62 eller π nπ 6 2

5  , n Z b) π nπ 3 2

 , n Z

54. a) 2

π

n , n Z b) n , π n Z

c) 0,,2,3 d)

2 ,3 4 ,3 ,4 2

π π π π

55. a) Se figur b)

1024

 1

56. a) 3 33i b) 6

7

57. a) 2

2 b) 4

 c)

256 1

58. 64

 1

59. a) z¹⁰⁰2⁵⁰ b)

60. a) b) 0