TNA001 – Ämnesdag 6 Torsdag v 38
8-10 Kontrollskrivning 3 10-12 Föreläsning (FÖ 12)
13-14 Frågeställningar att arbeta med i grupp.
1) Linjära ekvationssystem
o Vilka olika typer av lösningar kan ett linjärt ekvationssystem ha? I vissa fall kan vi tolka lösningarna geometriskt. Kan ni komma på hur?
o Gör uppgift K: 1.2, 1.3, 1.5. Kontrollera lösningarna! Reflektera över lösningsmängderna!
o Gör uppgift K: 1.9, 1.10
2) Algebraiska operationer på vektorer
o Var noga med att ni har förstått hur de olika begreppens definieras (Kap 2.1) och att ni har koll på deras beteckningar (riktad sträcka, startpunkt, slutpunkt, vektor, representant för vektor, ortsvektor, etc.) o Studera algebraiska operationer på vektorer (Kap 2.2) (inklusive
geometriska tolkningar).
o Studera Ex 2.13 sid. 17 i K.
3) Bearbeta övriga uppgifter på planeringen (se utdraget nedan).
Anm: Till uppgift K: 1.8 finns lösningsförslag bifogat nedan.
14-16 Lärarledd lektion
39 Torsdag 8-10: KS3
10-12: Fö 12 13-14: GU 14-16: Le
KS 3 – Kontrollskrivning 3 Omfattning: FN kap. 2.3 och 2.4 K: Vektorer, linjer och plan: Kap 1, 2.1, 2.2
K1: 1,2,3,5,6,8 K1: 9,10
TNA001 – Uppgift 1.8 i kompendiet ”Vektorer, linjer och plan”.
Lösning:
Vi flyttar först om ekvationerna (byt plats på ekvation 1 och 2) så får vi enklare beräkningar. Vi gör sedan Gausselimination.
1 1 1 1 2
1 2
1 4 0
⇔ multiplicera ekv 1 med − och addera med ekv 2 multiplicera ekv 1 med − 1 och addera med ekv 3
⇔
1 1 1
0 1 − 2 −
0 − 1 1
1 4 −
−1
⇔ [addera ekv 2 med ekv 3] ⇔
1 1 1
0 1 − 2 −
0 0 3 −
1 4 − 3 − Des sista ekvationen i det sista systemet innebär att vi har villkoret
(3 − ) = 3 − ⇔ [om ≠ 3] ⇔ = 1 Då får vi (för ≠ 3) via den andra ekvationen i sista systemet:
(1 − ) + (2 − ) ∙ 1 = 4 − ⇔ (1 − ) = 2 ⇔ [om ≠ 1] ⇔ = 2 1 − Första ekvationen i sista systemet ger (för ≠ 3, ≠ 1) villkoret
+ 2
1 − + 1 = 1 ⇔ = − 2 1 − Alltså: För alla med ≠ 3, ≠ 1 har systemet den entydiga lösningen
= − 2
1 − , = 2
1 − , = 1.
Detta kan skrivas
= 1
− 1 2
−2
− 1
För = 1 skall vi undersöka systemet
1 1 1 1 1 2 1 1 2
1 4 0
, vilket uppenbarligen saknar lösning (se ekvationerna 2 och 3).
För = 3 skall vi undersöka (görs dock inte här) systemet
1 1 1 3 1 2 1 3 2
1 4 0
, vilket visar sig ha oändligt många lösningar som kan skrivas
= 2 0
−1 +
1 1
−2
, ∈ ℝ
Svar (sammanfattning):
För ≠ 3, ≠ 1 har systemet den entydiga lösningen =
2
−2
− 1 För = 1 saknar systemet lösning.
För = 3 har systemet oändligt många lösningar: = 2 0
−1 +
1 1
−2
, ∈ ℝ.
