Matematiska Institutionen, KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 29 maj 2019, kl 08.00–13.00.
Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Tentamen består av 10 frågor i tre delar.
Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning är 37p (+ eventuella extra bonuspoäng från KS.)
OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.
Betygsgränser:
13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst betyget A DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2019 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i.
Att lösa en uppgift som man på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p) Bestäm samtliga lösningar (x,y) till den diofantiska ekvationen
13x+ y15 =1
2. (3p) Bestäm antalet heltal n, där 1≤ n≤200, som är delbara med minst ett av talen 2 eller 5.
3. (3p) Låt π och σ vara följande permutationer av elementen i mängden {1, 2, 3, 4, 5} (skrivna i cykelform):
π = (1 3 2 )(5 4 ), σ = (1 2 )(3 5 4 ).
Bestäm permutationen ϕ som uppfyller π−1φπ =σ . Ange permutationen ϕ på tvåradsform.
4. (3p) Bestäm alla kodord som definieras av checkmatrisen
=
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 1 0 1 1
H .
5. (3p) En sammanhängande planär graf G har 6 fasetter, och varje nod i grafen har grad 3.
a) Bestäm antalet kanter i grafen. b) bestäm antalet noder i grafen OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
Sida 1 av 2
DEL II 6. (4p)
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att för alla n≥1 gäller likheten
) 1 2 )(
1 ( 6
1
2
= + +
∑
=n n
n k
n
k
OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.
7. (4p)
Ett RSA-krypto har parametrar n = 77 och krypteringsnyckel e = 43. Bestäm dekrypteringsnyckeln d och dekryptera meddelandet b = 2.
8. (4p) Bevisa Eulers formel för sammanhängande planära grafer.
DEL III
9. (5p) Låt A och B vara två mängder sådana att |A|=20 och |B|=4. Bestäm antalet surjektiva funktioner från A till B.
10. (5p) Betrakta en cyklisk grupp G med 187 element.
(a) (2p) Visa att denna grupp har en delgrupp H med 11 element och en delgrupp K med 17 element.
(b) (3p) Visa att varje element i G kan skrivas som en produkt av ett element i H och ett element i K.
Lycka till.
Sida 2 av 2
