Plana Trigonometrien

Exempel

Arithmetiken, Algebran

Plana Trigonometrien

L u n d , K r . B e r l i n g s B o k t r y c k e r i o c h S t i l g j u t e r i , JS8Ö.

F ö r e t a l .

" P o u r b i e n i n s t r u i r e , i l ne f a u t pas d i r e t o u t ce q u ' o n sait, m a i s s e u l e m e n t ce q u i c o n v i e n t a c e u x q u ' o n i n s t r u i t . "

D e första g r u n d b e g r e p p e n i a r i t h m e t i k , e n h e t , a n t a l , siff- r o r n a s b e t y d e l s e , t a l e n s b e t e c k n i n g , s u m m a , r e s t p r o d u k t etc., meddelas nybörjaren u t a n t v i f v e l både f o r t a s t o c h k l a r a s t m e - d e l s t m u n t l i g u n d e r v i s n i n g , l i k s o m d e n n a , så v i d a läraren är s i n sak v u x e n , h a r företräde framför d e n u n d e r v i s n i n g , som l ä r o b o k e n ensam för s i g k a n m e d d e l a . D e n n a k a n n e m l i g e n ej lämpas efter o l i k a elevers o l i k a uppfattningsförmåga; en framställning, s o m är passande och f u l l t b e g r i p l i g för en, är för knapphändig och o b e g r i p l i g för en a n n a n och m e r än nö- d i g t omständlig för en t r e d j e . E n lärobok i a r i t h m e t i k e n s e l e m e n t e r , s o m sökte v a r a så t y d l i g a t t d e n s k u l l e b e g r i p a s a f a l l a , s k u l l e h e l t säkert g e n o m s i n omständlighet afskräcka a l l a , och d e r i g e n o m h e l t o c h hållet förfela s i n u p p g i f t . E g e n - s k a p e r n a a t t v a r a g o d s o m s k o l b o k o c h passande för sjelf- s t u d i u m t o r d e i allmänhet v a r a svåra a t t sammanföra hos en b o k , m e n , då d e t är frågan o m en l ä r o b o k i elementär a r i t h - m e t i k , alldeles oförenliga.

Då ändamålet m e d u n d e r v i s n i n g e n i c k e får anses v a r a a t t låta lärjungen på möjligast k o r t a t i d genomgå e t t v i s s t a n t a l e x e m p e l , u t a n i första r u m m e t a t t u t b i l d a h a n s för- måga a f eget t a n k e a r b e t e , a t t väcka h a n s i n t r e s s e för d e n v e t e n s k a p , h v a r i h a n u n d e r v i s a s , . m e d d e l a h o n o m l u s t o c h förmåga a t t på egen h a n d g å .framåt i d e n s a m m a , o c h a n - vända d e n på lösningen a f f r å g o r u r n a t u r e n o c h l i f v e t , så bör ej k u n n a ifrågakomma a t t uppställa läroboken i f o r m a f k o r t a r e g l o r , u t t r y c k t a i o r d e l l e r f o r m l e r , för e x e m p l e n s

uppställning och uträkning, h v i l k a derföre g r u p p e r a s i vissa a f d e l n i n g a r ("ex. på e n k e l r e g u l a d e t r i , " " e x . på i n t r e s s e - räkning" o. s. v . ) , h v a r j e a f d e l n i n g föregången a f en d y l i k r e g e l . E t t sådant s y s t e m b i d r a g e r m e r a a t t döda än a t t väcka lärjungens s j e l f v e r k s a m h e t , o c h v i d d e n m a t h e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n s p e l a r d e n n a en så v i g t i g r o l a t t u n d e r v i s - n i n g e n s g a g n e l i g h e t för lärjungens själsutveckling h e l t o c h hållet b e r o r på h u r u v i d a läraren l y c k a s f r a m k a l l a denna v e r k - s a m h e t . M a n k a n u n d e r v i s a så, a t t m a n o r d e n t l i g t och f u l l - ständigt g e r b e s k e d i a l l t , h v a d t i l l ämnet hörer, så lärjungen ej h a r a n n a t a t t g ö r a än förhålla s i g passiv, då h a n u t a n s i n förskyllan får i s i g en h e l h o p v e t a n d e , o m h a n b l o t t i c k e r e n t a f u n d v i k e r a t t höra h v a d läraren y t t r a r ( h u r u m y c k e t v ä r d e e t t sålunda i n h e m t a d t v e t a n d e eger l e m n a r j a g derhän).

M e n m a n k a n äfven u n d e r v i s a på e t t a n n a t sätt: m a n k a n l e m n a a l l a d i r e k t a f ö r k l a r i n g a r åsido, o c h i stället g e n o m a n - t y d n i n g a r o c h frågor förmå lärjungen a t t s j e l f uttänka d e m ; h a n b l i r då ej längre en b l o t t p a s s i v m o t t a g a r e a f lärarens t a n k a r och idéer, u t a n h a n får v a r a m e n n i s k a , får v a r a p r o - d u k t i v . E n d a s t på d e t t a sätt b l i r h a n s v e t a n d e v e r k l i g e n h a n s e g e t , e m e d a n d e t är hans eget v e r k , o m också t i l l k o m - m e t u n d e r en a n n a n s l e d n i n g . F r a n c o e u r ' s y t t r a n d e , " L ' a u t e u r en d i s a n t t o u t ce q u ' i l pense empéche le l e c t e u r de penser lui-méme," eger s i n tillämpning ej b l o t t på författaren o c h läsaren, u t a n äfven på läraren o c h lärjungen. A t t läraren d o c k a l l t i d måste y t t r a t i l l r ä c k l i g t för a t t lärjungen s k a l l k u n n a r e d a s i g , är t y d l i g t : h a n s k a l l u t v e c k l a d e t g r y e n d e a n l a g e t , m e n ej t a g a d e t ännu o u t v e c k l a d e i anspråk, s o m v o r e d e t d e n u t b i l d a d e förmågan; d e t v o r e a t t q väfva s j e l f v a möjlig- h e t e n a f en k r a f t i g u t v e c k l i n g .

O m här framställda åsigter få anses r i k t i g a , så följer d e r a f a t t d e n lärobok, som sättes i lärjungens h a n d , måste v a r a sådan, a t t d e n i c k e g e n o m omständliga redogörelser b e f r i a r h o n o m från besväret a t t tänka sjelf, e l l e r h i n d r a r l ä r a r e n från a t t g e n o m frågor o c h a n t y d n i n g a r t v i n g a h o n o m uttänka de förklaringar, som l i g g a i n o m h a n s förmågas omfång.

H ä r v i d s k a l l måhända göras d e n anmärkning, a t t en sådan l ä r o b o k endast u n d e r en g o d lärares l e d n i n g b l i r för lärjungen

användbar, och a t t d e n m i n d r e r i k t u t r u s t a d e löper f a r a a t t d e r a f ej d r a g a d e n r i n g a s t e n y t t a . D e n n a anmärkning, såvidt d e n innebär e t t k l a n d e r , d r a b b a r e n d a s t läraren, m e n ej b o k e n ; t y d e n är ej ämnad för s j e l f s t u d i u m , o c h h v a r j e s a k , äfven d e n bästa, som användes t i l l e t t ändamål, h v a r t i l l den- ej är afsedd, b l i r i m e r eller m i n d r e g r a d d e r t i l l o p a s s a n d e .

D e flesta läroböcker i a r i t h m e t i k t y c k a s v a r a s k r i f n a m e d , a f s i g t a t t i m e r e l l e r m i n d r e g r a d g ö r a läraren obehöflig, e l l e r u n d e r e t t t y s t a n t a g a n d e hos författarne a t t lärarne s a k n a förmåga e l l e r v i l j a a t t g ö r a s i n s k y l d i g h e t . A t t d e t t a a n t a - g a n d e e n d a s t i få fäll är berättigadt, v å g a r j a g h o p p a s , o c h j a g t r o r äfven a t t mången s v a g e l l e r m e d e l m å t t i g lärare s k u l l e v a r a e l l e r b l i f v a bättre, o m läroböckerne v o r e a n t i n g e n e n d a s t skolböcker e l l e r e n d a s t lämpade för s j e l f s t u d i u m , och i c k e e t t m i d t e m e l l a n , f u l l t lämpliga h j v a r k e n för d e t ena e l l e r d e t a n d r a . J a g h o p p a s m e d ofvanstående h a f v a a n g i f v i t såväl de m o t i v e r , s o m förmått m i g a t t i d e n n a e x e m p e l s a m l i n g u t e l e m n a h v a r j e a n v i s n i n g t i l l räkningarnes utförande, som d e n u n d e r - , v i s n i n g s m e t o d , för h v i l k e n d e n n a e x e m p e l s a m l i n g är ämnad.

D e n k a n i k o r t h e t framställas sålunda: L å t lärjungens e g e n e f t e r t a n k e u t f i n n a vägen, och gå a l d r i g f o r t a r e än a t t d e t t a ständigt är m ö j l i g t .

E x e m p e l s a m l i n g e n s uppställning a f v i k e r något från d e n v a n l i g e n a n t a g n a : D e r e n t a r i t h m e t i s k a e x e m p l e n äro t i l l a n t a l e t v i d a öfvervägande de a l g e b r a i s k a ; de a r i t h m e t i s k a t e c k n e n ( + , —, . , : , ( ) , [ ] , { } ) , för h v i l k a s b e t y d e l s e v a n l i g e n fullständigt redogöres först i i n l e d n i n g e n t i l l a l g e b r a n , äro här- använda i de första e x e m p l e n a f första a f d e l n i n g e n ; såsom u t g ö r a n d e en d e l a f a r i t h m e t i k e n s A B C böra de äfven t i d i g t k o m m a t i l l lärjungens kännedom; de e n k l a o p e r a t i o n e r n a m e d n e g a t i v a q v a n t i t e t e r förekomma äfven i första a f d e l n i n g e n ; de äro, o m de r ä t t framställas, ej s v å r f a t t l i g a r e än a t t n y b e g y n - n a r e n m y c k e t väl k a n b e g r i p a d e m ; n u m m e r i s k a e q v a t i o n e r såväl a f l : s t a s o m a f 2 : d r a g r a d e n , äfven som l o g a r i t h m e r , a r i t h m e t i s k a och g e o m e t r i s k a p r o g r e s s i o n e r äro u p p t a g n a före de e x e m p e l , som o m f a t t a a l g e b r a i s k a e x p r e s s i o n e r , dels derföre a t t de m y c k e t väl k u n n a genomgås, u t a n a t t lärjungen e g e r någon färdighet i dessa senares b e h a n d l i n g , och dels e m e d a n

d e n , som a f s l u t a r sina m a t h e m a t i s k a s t u d i e r m e d 2 : d r a g r a d e n s e q v a t i o n e r , h a r föga g a g n a f färdigheten a t t o p e r e r a m e d a l g e b r a i s k a e x p r e s i o n e r , då d e r e m o t kännedomen o m sättet a t t lösa n u m e r i s k a e q v a t i o n e r o c h a t t b e g a g n a l o g a r i t h m - t a b e l l e n k a n v a r a a f u t o m o r d e n t l i g t v ä r d e .

P r o b l e m e r n a h a r j a g sökt g ö r a så l i k a s o m möjligt m e d dem, som v a n l i g e n förekomma i v e r k l i g h e t e n , i c k e e n d a s t derföre a t t lärjungen s k a l l lättare r e d a s i g m e d dessa senare, då h a n s e d e r m e r a möter d e m , u t a n h u f v u d s a k l i g e n emedan i n t r e s s e t för e t t p r o b l e m a l l t i d är större, då m a n i n s e r a t t d e t k a n förekomma i d e t p r a k t i s k a l i f v e t ; d e n n a omständighet b i d r a g e r a t t ge färg o c h f r i s k h e t åt u n d e r v i s n i n g e n .

B l a n d p r o b l e m e r n a t i l l läran o m de f y r a e n k l a räknesätten m e d h e l a o c h b r u t n a t a l finnas o m h v a r a n d r a e x e m p e l t i l l - hörande i n t r e s s e - , b o l a g s - , a l l i g a t i o n s - o c h reguladetri-räkning s a m t sådana e x e m p e l , som ej k u n n a hänföras t i l l något a f dessa räknesätt e l l e r något a n n a t i de v a n l i g a räkneböckerna förekommande. D e n , som möjligen k a n stöta s i g på en d y l i k b r i s t på o r d n i n g och s y s t e m a t i s e r i n g , får j a g e r i n r a o m , h v a d här o f v a n är s a g t o m u n d e r v i s n i n g e n s ändamål.

Då önskan a t t i någon mån g a g n a d e t m a t h e m a t i s k a s t u - d i e t v a r i t a n l e d n i n g e n t i l l u t a r b e t a n d e t a f d e n n a e x e m p e l s a m - l i n g , m o t t a g e r j a g m e d t a c k s a m h e t h v a r j e i s a m m a s y f t e g j o r d anmärkning deröfver, och h o p p a s a t t a r b e t e t i c k e må befinnas a l l d e l e s o v ä r d i g t n i t i s k e lärares uppmärksamhet.

E r f o r d e r l i g a u p p g i f t e r o m förhållandet m e l l a n S v e r g e s och främmande länders m y n t - , mått- och v i g t s y s t e m e r m . m . ; finnas i de v i d b o k e n s s l u t b i f o g a d e t a b e l l e r .

S t o c k h o l m 1 8 7 5 .

F ö r f a t t a r e n .

I N N E H Å L L .

Första afdelningen.

Sid.

I . De fyra enkla räknesätten med h e l a - t a l oeh bråk. . . 1 I I . P r o b l e m e r t i l l de fyra enkla räknesätten m e d hela t a l

oeh bråk 9.

I I I . E q v a t i o n e r af l : s t a graden med en obekant 25.

I V . Problemer t i l l läran om l : s t a gradens eqvationer med

en obekant 30.

V . E q v a t i o n e r af l : s t a graden med flera obekanta . . . . 50.

V I . P r o b l e m e r t i l l läran om l : s t a gradens eqvationer med

flera obekanta 53.

V I I . E q v a t i o n e r af högre än l : s t a graden, som kunna sön-

derdelas i l:sta grads eqvationer 60.

V I I I . Qvadratrötter 60.

I X . E q v a t i o n e r af 2:dra graden med en obekant 64.

X . E q v a t i o n e r , som kunna reduceras t i l l l : s t a eller 2:dra

grads eqvationer med en obekant 67.

X I . P r o b l e m e r t i l l läran om 2:dra gradens eqvationer m e d

en obekant 69.

X I I . Sambandet mellan rötterna och koefficienterna t i l l en 2:dra grads eqvation. E n q v a d r a t i s k expressions u p p -

lösning i f a k t o r e r . M a x i m a och m i n i m a 72.

X I I I . Eqvations-systemer ledande t i l l sluteqvationer af 2:dra

graden 74.

X I V . P r o b l e m e r t i l l läran o m 2:dra gradens eqvationer med

flera obekanta . . . 77.

X V . Öfningsexempel t i l l läran om l o g a r i t h m e r 80.

X V I . Öfningsexempel t i l l läran om A r i t h m e t i s k a och Geo-

m e t r i s k a Serier 84.

X V I I . Öfningsexempel till» räknelärans tillämning på p l a n i -

m e t r i e n 86.

X V I I I . Öfningsexempel t i l l räknelärans tillämpning på stereo-

m e t r i e n 90.

X I X . T a b e l l e r . . . 94.