Om de trigonometriska funktionerna
Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter
Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.
Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.
Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).
Om plana kurvor och parametrisering av sådana
Det första man måste göra i detta avsnitt är att övertyga sig om vad det menas med att man parametriserar en kurva.
Övning 1 Funktionen c(t) = (t, 2t−3), definierad då 0 ≤ t ≤ 4, definierar en kurva. Ange en ekvation för denna kurva. Vad är det för sorts kurva?
Övning 2 Ge en parametrisering för den del av kurvan y=x3−3x som har punkterna(1,−1)och(3, 18)som ändpunkter.
Övning 3 Rita den kurva som parametriseras av t→ (t2, e−t2)där t är godtyckliga reella tal.
Nästa uppgift är lärorik. Kan du generalisera den?
Övning 4 Vilken funktion har en graf som har parametriseringen t→ (et, t)?
Övning 5 a) Bestäm skärningspunkten mellan den räta linjen y=t(x+1)och enhetscirkeln x2+y2=1.
b) Vilken kurva definieras av parametriseringen
R3t→ (1−t2 1+t2, 2t
1+t2) ∈R2?
De trigonometriska funktionerna och deras deriva- tor
Övning 6 Rita en figur som motiverar varför
cos(−t) =cos(t), sin(−t) = −sin(t).
Nästa uppgift, och dess lösning, bör man komma ihåg. Idén där är ofta återkommande.
Övning 7 Vilken kurva definieras av parametriseringen c(t) = (2 cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π? Beräkna också c0(t) och rita en figur i vilken både motsvarande kurva och vektorn c0(π/4)är illustrerade.
Övning 8 Beräkna följande gränsvärden
a) lim
x→π
2
sin x−1
x−π2 , b) lim
x→π
2
sin(π2 −x) x−π2 .
Övning 9 Lös olikheten|cos x| < 12.
Övning 10 Beräkna första- och andraderivatan av f(x) =e−xsin x.
Övning 11 Kotangensfunktionen definieras som bekant genom
cot x= cos x sin x.
a) Bestäm dess vertikala asymptoter och dess nollställen och skissera därefter dess graf.
b) Är funktionen inverterbar? Om inte, hur kan man välja ut ett delintervall på vilket den är kontinuerlig och blir inverterbar?
Inverserna: arcusfunktionerna
Övning 12 Vad är arcsin x och arccos x om x är
a) 1, b) −1 c) −
√3
2 d) π e) 1
2, f) 0 g) −√1 2. Övning 13 Vad är arctan x om x är
a) 1, b) −1 c) −√
3 d) 0 e) √1 3. Övning 14 För vilka x gäller likheterna
a) arccos(cos x) =x, b) cos(arccos x) =x, c) arctan(tan x) =x?
Övning 15 Derivera följande funktioner
a) arctan1
x, b) arcsin√ x
Övning 16 Beräkna gränsvärdet lim
x→0
arctan 2x 3x . Övning 17 Skissera grafen till funktionen
f(x) =arctan x+arctan1 x Har du någon bra förklaring på resultatet?
Övning 18 Bestäm alla asymptoter till funktionen
arctan x2 x−1.
Diverse trigonometriska samband
Övning 19 Med hjälp av resonemanget i början av avsnittet, visa att om x>0 gäller att
arctan x=arccos√ 1 1+x2. Vad gäller då x<0?
Övning 20 Använd additionsformlerna för sinus och cosinusfunktio- nerna till att visa att
tan(x+y) = tan x+tan y 1−tan x tan y. Övning 21 Skriv funktionen −sin(2x) +√
3 cos(2x) på formen A sin(2x+φ).
Svar och anvisningar
Övning 1 Funktionen c är alltså en funktion[0, 4] → R2. Punkten t ∈ [0, 4]i definitionsmängden ger punkten(x, y)med x = t och y =2t−3 i planet. Men det betyder att punkten ligger på den räta linjen y=2x−3. De punkter på linjen som utgör bildmängden är de som svarar mo 0≤x≤4, som i figuren nedan.
1 2 3 4
−2 2 4
t y
Övning 2 Eftersom y bestäms entydigt av x är det naturligt att låta x fungera som parameter. Vi sätter alltså x=t, och får då parametrise- ringen c(t) = (t, t3−3t)där t∈ [1, 3].
Övning 3 Med x=t2ser vi att y=e−x. Men endast x>0 är tillåtna så det är den del av grafen till e−xför vilken x>0. Vi kan notera att det finns två parametervärden till varje punkt på kurvan!
Övning 4 Vi har att x=etoch y=t. Den första ekvationen betyder att t=ln x och den andra blir då y= ln x. Kurvan är alltså graf till den naturliga logaritmen. Allmänt sätt gäller att kurvan x→ (f(x), x) blir grafen för den inversa funktionen f−1 om kurvan är sådan att den definierar grafen för en funktion. Förklaring? Det fundamentala sambandet
y= f(x) ⇔ x= f−1(y)!
Övning 5 a) För skärningspunkten(x, y)mellan linjen och en- hetscirkeln gäller att
x2+t2(x+1)2=1 ⇔ (1+t2)x2+2t2x+t2−1=0
⇔ (x+1)(x−1−t2 1+t2) =0.
För att se faktoriseringen har man glädje av att man vet att en skärningspunkt är punkten(−1, 0). Men man kan också lösa andragradsekvationen på vanligt sätt. Hur som helst följer att
x= 1−t2
1+t2 ⇒ y=t(1−t2
1+t2+1) = 2t 1+t2.
Lägg märke till att linjen skär y-axeln i y = t, vilket ger en geometrisk innebörd till parametern.
b) Detta följer väsentligen av a)-delen. Om du vill kan du kon- trollera att
x2+y2= (1−t2)2+ (2t)2
(1+t2)2 = t4+2t2+1 (1+2t2+t4 =1.
Alltså gäller att alla punkter c(t)ligger på enhetscirkeln. Frå- gan är dock om man får med alla punkter, dvs om det till var- je punkt på enhetscirkeln finns ett t sådant att punkten ges av c(t). Av diskussionen i a) inser man att en punkt kommer inte med, nämligen punkten(−1, 0). Den svarar, löst uttryckt, mot t= ±∞.
Övning 6 Ett förslag:
(cos(t), sin(t))
(cos(−t), sin(−t))
Punkten (cos(−t), sin(−t)) är spegelbild i x-axeln av punkten (cos t, sin t), så dess x-koordinat är oförändrad medan dess y- koordinat ändrar tecken.
Övning 7 Vi har att x = 2 cos t, y = sin t, så den trigonometriska ettan ger att
(x
2)2+y2=cos2t+sin2t=1.
Detta känner vi igen som en ellips med medelpunkt i origo och hal- vaxlar 2 och 1. Vidare har vi att
c0(t) = (−2 sin t, cos t) vilket i t =π/4 blir vektorn(−√
2,√1
2). I figuren nedan är c0(π/4) ritad röd.
Lägg märke till att tangenten inte är vinkelrät mot radien! Detta är en ellips, inte en cirkel.
Övning 8 a) =sin0(π2) =cos(π2) =0.
b) Sätt y=x−π
2då ska vi beräkna gränsvärdet limy→0
sin(−y)
y = −lim
y→0 sin y
y = −sin0(0) = −1.
Övning 9 Villkoret är att−1
2 <cos x< 12, och eftersom cos x=1/2 har lösningen x=π/3 så ser vi att de x som ligger i 0≤ x≤πoch uppfyller villkoret är de för vilka π/3<x<2π/3. Lägger vi till ett halvt varv får i de lösningar som uppfyller π ≤ x ≤2π. Svaret blir därför alla intervall π/3+kπ<x<2π/3+kπ där k är ett heltal.
Övning 10 Vi har att f0(x) = −e−xsin x+e−xcos x och f00(x) =e−xsin x−2e−xcos x−e−xsin x= −2e−xcos x.
Övning 11 Vi kan börja med att konstatera att
cot0x= (−sin x) 1
sin x+cos x(−cos x
sin2x) = −(1+cot2x) = − 1 sin2x som är negativ där den är definierad.
a) Vertikala asymptoter får vi där sin x = 0, alltså i punkterna x = kπ där k är ett heltal. Nollställen får vi i punkter där cos x=0, alltså punkter x= π2+kπ, där k är ett heltal. Mel- lan de vertikala asymptoterna är funktionen avtagande så vi får följande graf:
−6 −4 −2 2 4 6
−10
−5 5 10
x y
b) Kotangensfunktionen är inte inverterbar. Men restriktionen till något av intervallen[kπ,(k+1)π]är strängt avtagande och därför inverterbar. Man brukar använda intervallet[0, π] för att definiera inversen. Den så uppkomna funktionens graf fås genom spegling i linjen y=x och blir röda kurvan i figu- ren nedan.
−4 −2 2 4
−4
−2 2 4
x y
Övning 12 Här måste man noga tänka igenom vilket interval vink- larna hamnar som produceras av de inversa trigonometriska funktio- nerna.
a) arcsin x= π2, arccos x=0, b) arcsin x= −π2, arccos x=π, c) arcsin x= −π3, arccos x= 5π6 ,
d) Ingen av dem existerar, eftersom dessa funktioner endast är definierade för−1≤x≤1.
e) arcsin x= π6, arccos x=π3, f) arcsin x=0, arccos x= π2, g) arcsin x= −π4, arccos x= 3π4 . Övning 13
a) π
4, b) −π
4, c) −π
3, d) 0, e) π 6
Övning 14 a) 0≤x≤π. Kom ihåg att arccos är invers inte till cosinus utan den del av cosinusfunktionen som är definierad i[0, π]
b) −1≤x≤1. cosinus är alltid invers till arccos (så att säga).
c) −π/2<x<π/2. Som i b), men kom ihåg de stränga olikhe- terna, eftersom tangens inte är definierad i±π/2.
Övning 15 Med hjälp av kedjeregeln har vi a) D(arctan1
x) = 1
1+ (1x)2](−1
x2) = − 1 1+x2 b) D(arcsin√
x) = p 1 1− (√
x)2 1 2√
x = 1
2px(1−x)
Övning 16 Sätter vi f(x) =arctan(2x)så ska vi beräkna gränsvärdet 1
3lim
x→0
f(x) −f(0)
x = f0(0)/3
och eftersom f0(x) =2/(1+ (2x)2)så är f0(0) =2. Svaret är därför 2/3.
Övning 17 En derivation visar att f0(x) = 0 för alla x. Funktionen är inte definierad då x=0, så det följer att f(x)måste vara konstant då x < 0 och konstant då x > 0, men det behöver inte var samma konstant i de två delarna. Faktum är att vi har att
f(−1) = −2 arctan(1) = −π
2, f(1) =2 arctan(1) = π 2, så vi har att
f(x) = (π
2 x>0
−π
2 x<0.
−10 −5 5 10
−1 1
t y
Varför är det så? Tag ett x>0 och låt α vara den vinkel som är sådan att α= arctan(1/x). Detta är ekvivalent med att 1/x= tan α, alltså x=cot α. Med andra ord: arctan(1/x) = arccot x, så formeln svarar mot att tan α=cot(π2 −x). Här är den inversa kotangensfunktionen definierad så att den alltid ger vinklar mellan(0, π). Detta måste vi justera för när vi titta på−1 < x < 0, vilket förklarar varför vi då måste dra ifrån π. (Om detta var komplicerat: ignorera det.)
Övning 18 Enda möjliga vertikala asymptoten är x=1, men
xlim→1−arctan x2
x−1 =“ arctan(−∞)00= −π 2, och
xlim→1+arctan x2
x−1 =“ arctan(∞)00= π 2
så x = 1 är ingen asymptot. (Däremot är funktionen inte definierad då x=1, men den har ändliga höger- och vänstergränsvärden när vi närmar oss den punkten.
För att bestämma sneda asymptoter noterar vi att x2/(x−1) →∞ då x→∞ men→ −∞ då x→ −∞. Det följer att
xlim→∞arctan x2 x−1 = π
2, lim
x→in f tyarctan x2 x−1 = −π
2. Vi har därför den sneda asymptoten y = π/2 i oändligheten men y= −π/2 i minus oändligheten.
Övning 19 I figuren nedan har vi
cos α= √ 1
1+x2, tan α=x.
x
√
1+x2 1
α
Övning 20 Bara sätt in uttrycken och dividera sedan täljare och näm- nare med produkten cos x cos y.
Övning 21 Sätt A= q
(−1)2+ (√
3)2=2. Bryter vi ut det ur uttryc- ket får vi att
−sin(2x) +√
3 cos(2x) =2(−1 2sin x+
√ 3
2 cos(2x)). Vi söker nu en vinkel φ sådan att
cos φ= −1
2, sin φ=
√ 3 2 . En sådan vinkel som duger är φ=2π/3. Vi har då att
−sin(2x) +√
3 cos(2x) =2(cos(2π
3 )sin(2x) +sin(2π
3 )cos(2x))
=2 sin(2x+2π 3 ).
