Multilinjär algebra. MatematikCentrum LTH

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

Sammanfattning

I det h¨ar kapitlet diskuterar vi de algebraiska grunderna f¨or dif- ferentialformer, vilket g¨ors ur ett abstrakt perspektiv. Vi b¨orjar i ett vektorrum, som vi sedan l¨agger p˚a en skal¨arprodukt p˚a, och ser vad det tillf¨or – den musikaliska isomorfismen och volymsfor- men. En annan sak det tillf¨or ¨ar Hodges stj¨arnavbildning som ytterst f¨orklarar vad som ¨ar speciellt med analys i rummet.

1 Introduktion

I det h¨ar kapitlet ska vi studera multilinj¨ara avbildningar p˚a ett vektorrum. Inom de delar av analysen som behandlar geometriska problem spelar s˚adana en stor roll. Den allm¨anna relativitetsteorin brukar t.ex. beskrivas med hj¨alp av tensorer, vilka ¨ar objekt som i varje punkt ¨ar just en s˚adan avbildning. Andra exempel ¨ar differentialformer som ¨ar grund f¨or mycket h¨ogre differentialkalkyl.

P˚a de objekt vi ska studera ska vi inf¨ora diverse viktiga rent algebraiska operationer, vilka spelar stor roll i den h¨ogre differentialkalkylen. Hit h¨or skal¨arprodukter, den inre produkten och Hodges stj¨arnavbildning p˚a former.

2 Linj¨ ara rum och avbildningar

L˚at K beteckna antingen R eller C (eller n˚agon annan kropp av karakteristik 0). Ett linj¨art rum, eller vektorrum, ¨over K ¨ar en icke-tom m¨angd, vars element kallas vektorer, p˚a vilken man definierat

(i) en addition s˚adan att

u + v = v + u, u + (v + w) = (u + v) + w, (ii) en multiplikation med element i K s˚adan att

0.u = 0, 1.u = u, a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu).

H¨ar ¨ar u, v, w vektorer i V och a, b element i K. Element i K kallar vi ofta skal¨arer. En delm¨angd W till V kallas ett underrum om det g¨aller att

u, v ∈ W, a, b ∈ K ⇒ au + bv ∈ W.

Vektorn u ∈ V ¨ar en linj¨arkombination av vektorerna u₁, . . . , u_k i V om det finns skal¨arer a_k∈ K s˚adana att u =P

ja_ju_j. M¨angden av alla linj¨arkombinationer av u₁, . . . , u_k bildar ett underrum i V som betecknas L(u1, . . . , uk) och kallas linj¨ara h¨oljet av u1, . . . , uk. Om L(u₁, . . . , u_k) = V s¨ager man att u₁, . . . , u_k genererar V . Ett linj¨art rum s¨ags vara

¨andligtdimensionellt om det kan genereras av ¨andligt m˚anga vektorer. Slutligen kallas u1, . . . , uk linj¨art beroende om a1u1 + . . . + akuk = 0 f¨or n˚agon upps¨attning skal¨arer a₁, . . . , a_k som inte alla ¨ar noll. Om vektorerna u₁, . . . , u_k inte ¨ar linj¨art beroende s¨ags de vara linj¨art oberoende. Om vektorerna ¨ar linj¨art oberoende och sp¨anner upp V utg¨or de en bas f¨or V , och dimensionen av V ¨ar d˚a lika med k.

En avbildning T : V ^//W mellan tv˚a vektorrum ¨ar linj¨ar om det f¨or alla a, b ∈ K och v, w ∈ V g¨aller att

T (av + bw) = aT (v) + bT (w).

M¨angden av s˚adana avbildningar bildar ett vektorrum som vi betecknar L(V, W ).

Antag i forts¨attningen att V har dimensionen n. Om e₁, . . . , e_n ¨ar en bas f¨or V finns d˚a entydigt best¨amda koordinater x₁, . . . , x_n som ¨ar reellv¨arda funktioner p˚a V s˚adana att

u = P

ixi(u)ei. Fixerar vi d¨arf¨or en bas i V kan vi sedan identifiera V med Kⁿ, varf¨or differentialkalkyl i ett vektorrum egentligen inte skiljer sig fr˚an differentialkalkyl i Kⁿ. Men vi noterar ocks˚a att funktionerna x_i : V ^//K ¨ar linj¨ara funktioner och som s˚adana detsamma som deras differentialer dxi.

De linj¨ara avbildningarna θ : V ^//K utg¨or ocks˚a ett vektorrum som vi betecknar med V^∗. Dess element kallar vi 1-former. Om e₁, . . . , e_n ¨ar en bas f¨or V s˚a definieras dess duala bas θ¹, . . . , θⁿ av att θⁱ(ej) = δij, och man inser l¨att att θⁱ = dxi. Det ¨ar emellertid f¨ordelaktigt i m˚anga sammanhang att inte blanda in koordinaterna x₁, . . . , x_n.

Men nu kan vi utg˚a ifr˚an V^∗ och bilda dess dual V^∗∗. Men vi kan uppfatta en vektor v ∈ V som en linj¨ar funktion p˚a V^∗, n¨amligen som funktionen

v(θ) = θ(v).

Vi kan d¨arf¨or identifiera V^∗∗ med V .

Slutligen, om T : V ^//W ¨ar en linj¨ar avbildning, s˚a definieras naturligt en linj¨ar avbild- ning T^∗ : W^{∗ //}V^∗. Denna kallas den transponerade avbildnignen till T och definieras av att

T^∗(θ)(v) = θ(T (v)), θ ∈ W^∗, v ∈ V.

3 Tensorprodukten av tv˚ a vektorrum

L˚at V vara ett vektorrum av dimension n och U ett av dimension m (b˚ada ¨over samma skal¨arer). Dess tensorprodukt V × U best˚ar d˚a av alla bilinj¨ara avbildningar En bilinj¨ar avbildning B : V × U ^//K. Att detta ¨ar ett vektorrum ¨ar klart, och f¨or att se att det har dimensionen nm definierar vi bilinj¨arformen α ⊗ β ut en α ∈ V^∗ och β ∈ U^∗ genom

(α ⊗ β)(v, u) = α(v)β(u).

Det ¨ar d˚a l¨att att se att om e₁, . . . , e_n ¨ar en bas f¨or V och f₁, . . . , f_m en bas f¨or U , s˚a ¨ar {e_i ⊗ f_j} en bas f¨or V × U . Dessa ¨ar nm element och allts˚a g¨aller att

dim(V ⊗ U ) = (dim V )(dim U ).

Uttryckt i en s˚adan bas kan vi skriva

B(v, u) =X

i,j

B(e_i, f_j)u_iv_j,

s˚a den beskrivs av en n × m-matris.

Antag nu att U = V och B ¨ar en bilinj¨arform p˚a V × V , vi s¨ager d˚a bilinj¨arform p˚a V . Vi kan d˚a definiera

Sym(B)(u, v) = 1

2(B(u, v) + B(v, u)), Alt(B)(u, v) = B(u, v) − B(v, u).

Dessa ¨ar nya bilinj¨arformer p˚a V med de speciella egenskaperna att Sym(B)(u, v) = Sym(v, u), Alt(u, v) = − Alt(v, u).

Det betyder att Sym(B) ¨ar en symmetrisk bilinj¨ar form p˚a V medan Alt(B) ¨ar en skevsymmetrisk bilinj¨ar form p˚a V . De symmetriska och de skevsymmetriska bilinj¨ara formerna p˚a V utg¨or vektorrum var f¨or sig, vilka vi betecknar med S²(V^∗) respektive Λ²(V^∗).

De symmetriska formerna svarar mot symmetriska matriser (B(e_i, e_j)), vilket betyder att dim S²(V^∗) =n

2



+ n = n(n + 1)

2 ,

medan de skevsymmetriska formerna svarar mot skevsymmetriska matriser, s˚a dim Λ²(V^∗) = n

2

 .

F¨or att hitta baser i dessa vektorrum inf¨or vi de tv˚a multiplikationerna av 1-former:

(α ⊗_sβ)(u, v) = 1

2(α(u)β(v) + α(v)β(u)) = Sym(α ⊗ β)(u, v), och

(α ∧ β)(u, v) = α(u)β(v) − α(v)β(u) = Alt(α ⊗ β)(u, v).

Den f¨orsta av dessa ger en symmetrisk bilinj¨ar form, och den andra ger en skevsymmetrisk s˚adan. Notera speciellt att α ∧ α = 0. Vi ser att elementen {θⁱ⊗_sθ^j}_i≤j bildar en bas f¨or S²(V^∗) och {θⁱ∧ θ^j}i<j en bas f¨or Λ²(V^∗).

4 Tensorer

I syfte att skapa den algebraiska grunden f¨or differentialformer beh¨over vi generalisera begreppet dualrum till ett reellt vektorrum V . En p-tensor p˚a V ¨ar en reellv¨ard funktion T p˚a den kartesiska produkten V^p = V × . . . × V som ¨ar multilinj¨ar, dvs linj¨ar i varje variabel n¨ar de andra h˚alls fixa:

T (v₁, . . . , v_j+ av⁰_j, . . . , v_p) = T (v) + aT (v₁, . . . , v_j⁰, . . . , v_p).

Speciellt ¨ar 1-tensorer detsamma som 1-former p˚a V . En k¨and 2-tensor ¨ar skal¨arprodukten p˚a R^k och en k¨and n-tensor ¨ar determinantfunktionen.

Summor och skal¨ara produkter av multilinj¨ara funktioner ¨ar ocks˚a multilinj¨ara, s˚a m¨angden av p-tensorer utg¨or ett vektorrum T^p(V^∗). Notera att T¹(V^∗) = V^∗. Vi kan ocks˚a multi- plicera tensorer p˚a ett enkelt s¨att: om T ¨ar en p-tensor och S en q-tensor definierar vi en p + q-tensor T ⊗ S genom

(T ⊗ S)(v₁, . . . , v_p, v_p+1, . . . , v_p+q) = T (v₁, . . . , v_p)S(v_p+1, . . . , v_p+q).

T ⊗S kallas tensorprodukten av T med S. Notera att tensorprodukten inte ¨ar kommutativ, men man ser l¨att att den ¨ar associativ och distributiv.

N¨ar man arbetar med tensorer ¨ar det bekv¨amt att arbeta med multiindex. Ett multiindex

¨ar en upps¨attning (i1, . . . , ik) av index 1 ≤ ik ≤ n och vi skriver antalet element som |I|

(s˚a att |I| = k h¨ar). Vi anv¨ander sedan detta vid olika sorters produkt, s˚asom θ^I = θ^t1 ⊗ . . . ⊗ θ^tp.

Sats 1 L˚at {θ¹, . . . , θⁿ} vara en bas f¨or V^∗. D˚a bildar p-tensorerna {(θ^I; |I| = p} en bas f¨or T^p(V^∗). Speciellt g¨aller att dim T^p(V^∗) = n^p.

Bevis. L˚at {e₁, . . . , e_k} vara den duala basen i V och beteckna med e_I f¨oljden (e_i1, . . . , e_ip).

Per definition, om I och J ¨ar tv˚a s˚adana indexseqvenser s˚a ¨ar θ^I(v_J) = 1 om I = J och

= 0 om I 6= J . Det ¨ar klart fr˚an multilinj¨ariteten att tv˚a p-tensorer T och S ¨ar lika om och endast om T (e_J) = S(e_J) f¨or varje svit e_J. Allts˚a g¨aller att T = P

JT (e_J)θ^I, och allts˚a sp¨anner upp T^p(V^∗). Att θ^I:na ¨ar oberoende f¨oljer av att om S =P

Ia_Iθ^I = 0 s˚a

g¨aller att 0 = S(e_J) = a_J f¨or alla J . 

En allm¨an tensor T ¨ar symmetrisk om den inte ¨andras om tv˚a variabler transponeras:

T (v₁, . . . , v_i, . . . , v_j, . . . , v_p) = T (v₁, . . . , v_j. . . , v_i, . . . , v_p).

Alla 1-tensorer ¨ar automatiskt symmetriska. Ett annat exempel ¨ar skal¨arprodukten. En omformulering av villkoret bygger p˚a att vi inf¨or gruppen S_p av permutationer av talen 1 till p. F¨or en p-tensor T och en permutation π ∈ Sp definierar vi en annan p-tensor T^π genom

T^π(v₁, . . . , v_p) = T (v_π(1), . . . , T_π(p)).

En symmetrisk p-tensor ¨ar d˚a en som uppfyller

T^π = T, f¨or alla π ∈ Sp. Notera att det alltid g¨aller att (T^π)^σ = T^π◦σ.

Det ¨ar l¨att att konstruera en symmetriska tensor fr˚an en given s˚adan. Om T ¨ar en god- tycklig p-tensor definierar vi helt enkelt

Sym(T ) = 1 p!

X

π∈Sp

T^π.

Det ¨ar uppenbart att om T redan ¨ar symmetrisk s˚a g¨aller att Sym(T ) = T .

Eftersom summor och skal¨ara multipler av symmetriska funktioner ocks˚a ¨ar symmetriska f¨oljer att de symmetriska p-tensorerna bildar ett underrum S^p(V^∗) ⊂ T^p(V^∗). Tensorpro- dukter av symmetriska tensorer ¨ar inte symmetrisk, men vi kan definiera den symmetriska produkten

S ⊗sT = Sym(S ⊗ T )

om S ∈ S^p(V^∗) och T ∈ S^q(V^∗) och produkten ¨ar d˚a i S^p+q(V^∗). Utskrivet blir detta (S ⊗_sT )(v₁, . . . , v_p+q) = 1

(p + q)!

X

v∈Sp+q

S(v_π(1), . . . , v_π(p))T (v_π(p+1), . . . , v_π(p+q))

5 Skevsymmetriska tensorer alias p-former

En tensor T ¨ar skevsymmetrisk (eller alternerande) om tecknet p˚a T ¨andras om tv˚a variabler transponeras:

T (v₁, . . . , v_i, . . . , v_j, . . . , v_p) = −T (v₁, . . . , v_j. . . , v_i, . . . , v_p).

Alla 1-tensorer ¨ar automatiskt alternerande. Determinanten ¨ar alternerande, medan skal¨ar- produkten inte ¨ar det. Liksom ovan omformulerar vi detta villkor med hj¨alp av gruppen S_p. En permutation π ∈ S_p ¨ar j¨amn eller udda beroende av om den kan skrivas som en produkt av ett j¨amnt eller udda antal transpositioner och dess signatur, sign π, definieras som +1 eller −1 om permutationen ¨ar j¨amn eller udda. De alternerande p-tensorerna ¨ar nu de som uppfyller

T^π = sign π T, f¨or alla π ∈ Sp.

Standardmetoden att skapa alternerande tensorer fr˚an godtyckliga s˚adana anv¨ander ope- ratorn

Alt(T ) = 1 p!

X

π∈Sp

sign πT^π. Att den ¨ar alternerande f¨oljer av att sign π ◦ σ = sign π sign σ:

Alt(T )^σ = 1 p!

X

π∈Sp

sign π(T^π)^σ = 1 p!

X

π∈Sp

sign(π ◦ σ) T^π◦σ.

Om vi nu s¨atter τ = π ◦ σ f¨oljer att τ genoml¨oper S_p d˚a π g¨or det. Allts˚a g¨aller att h¨ogerledet ¨ar lika med (sign σ) Alt(T ).

Vi kan ocks˚a notera att om T redan ¨ar alternerande g¨aller att Alt(T ) = T eftersom det g¨aller f¨or varje term att sign π T^π = T .

Eftersom summor och skal¨ara multipler av alternerande funktioner altj¨amt ¨ar alterne- rande f¨oljer att de alternerande p-tensorerna bildar det underrum Λ^p(V^∗) ⊂ T^p(V^∗).

Tensorprodukter av alternerande tensorer ¨ar inte alternerande, men vi kan definiera kil- produkten

T ∧ S =p + q p



Alt(T ⊗ S)

om T ∈ Λ^p(V^∗) och S ∈ Λ^q(V^∗) och kilprodukten ¨ar d˚a i Λ^p+q(V^∗). Koefficienten ¨ar vald s˚a att vi ˚aterf˚ar v˚ar definition fr˚an ovan i fallet p = q = 1 Utskrivet blir det

(S ∧ T )(v₁, . . . , v_p+q) = 1 p!q!

X

v∈Sp+q

sign π S(v_π(1), . . . , v_π(p))T (v_π(p+1), . . . , v_π(p+q)).

Anm¨arkning Om θ, η ¨ar godtyckliga 1-former p˚a V ger detta samma kilprodukt som ovan:

θ ∧ η = 1

2(θ ⊗ η − η ⊗ θ).

Observera att

θ ∧ η = −η ∧ θ och θ ∧ θ = 0, vilket visar att ∧ ¨ar antikommutativ p˚a Λ¹(V^∗).

Alt ¨ar en linj¨ar operation, s˚a det ¨ar klart att kilprodukten ¨ar distributiv ¨over addition och skal¨ar multiplikation. Att den ¨ar associativ ¨ar dock lite mer besv¨arligt att visa.

Lemma 1 Om Alt(T ) = 0 g¨aller att T ∧ S = 0 = S ∧ T .

Bevis. L˚at G vara den undergrupp den symmetriska gruppen till Sp+q som h˚aller de sista q talen fixt, vilken naturligt identifieras med den symmetriska gruppen S_p. Vi har d˚a (T ⊗ S)^π = T^π0 ⊗ S och sign π = sign π⁰ d¨ar primmad beteckning ¨ar motsvarigheten i S_p av den oprimade i G. Allts˚a g¨aller att

X

π∈G

(−1)^π(T ⊗ S)^π = [X

π⁰∈Sp

sign π⁰T^π0] ⊗ S = Alt(T ) ⊗ S = 0.

Nu g¨aller att G delar upp S_p+qi en disjunkt union av h¨ogerbiklasser G◦σ = {π◦σ; π ∈ G}.

F¨or varje biklass X

π∈G

sign(π ◦ σ)(T ⊗ S)^π◦σ = sign σ[X

π∈G

sign π(T ⊗ S)^π]^σ = 0.

Eftersom T ∧ S = ^p+q_p
Alt(T ⊗ S) ¨ar summan dessa partialsummor ¨over h¨ogerbiklaserna till G, s˚a T ∧ S = 0. P˚a ett motsvarande s¨att visar vi att S ∧ T = 0.  Sats 2 Kilprodukten ¨ar associativ:

(T ∧ S) ∧ R = T ∧ (S ∧ R), s˚a vi kan skriva T ∧ S ∧ R utan att det blir tolkningsproblem.

Bevis. Vi ska visa att (T ∧ S) ∧ R = Alt(T ⊗ S ⊗ R). Per definition har vi att (T ∧ S) ∧ R = Alt((T ∧ S) ⊗ R),

s˚a lineariteten av Alt medf¨or att

(T ∧ S) ∧ R − Alt(T ⊗ S ⊗ T ) = Alt([T ∧ S − T ⊗ S] ⊗ R).

Eftersom T ∧ S ¨ar alternerande g¨aller att

Alt(T ∧ S − T ⊗ S) = Alt(T ∧ S) − Alt(T ⊗ S) = T ∧ S − T ∧ S = 0.

S˚a lemmat medf¨or att

Alt([T ∧ S − T ⊗ S] ⊗ R) = 0,

vilket bevisar satsen. Ett analogt resonemang visar att T ∧ (S ∧ R) = Alt(T ⊗ S ⊗ R).

Formeln T ∧ S ∧ R = Alt(T ⊗ S ⊗ T ) kan utvidgas till att relatera kil och tensorprodukter av godtyckligt antal tensorer. Vi kan anv¨anda den till att best¨amma en bas f¨or Λ^p(V^∗).

Om n¨amligen T ¨ar en p-tensor kan vi skriva T =X

I

t_Iθ_i¹ ⊗ . . . ⊗ θ_i^p

d¨ar {θⁱ} ¨ar en bas f¨or V^∗. Om T ¨ar alternerande s˚a g¨aller att T = Alt(T ), s˚a T =X

I

t_IAlt(θ^I) = X t_Iθ^I,

d¨ar vi anv¨ant beteckningen θ^I = θⁱ¹∧ . . . ∧ θ^ip n¨ar I = {i1, . . . , ip}. Vi har visat att θ^I d¨ar I genoml¨oper alla multiindex sp¨anner upp Λ^p(V^∗), men det ¨ar en fundamental egenskap hos kilprodukten att de inte ¨ar oberoende.

Ur definitionen av kilprodukten f¨oljer att en produkt av 1-former ber¨aknas genom en determinant

(θ₁ ∧ . . . ∧ θ_p)(v₁, . . . , v_p) =       

θ₁(v₁) . . . θ_p(v₁) ... ... θ₁(v_p) . . . θ_p(v_p)

       .

Utvecklar vi determinanten efter f¨orsta raden ser vi att, om S ¨ar en (p − 1)-form, (θ ∧ S)(v₁, . . . , v_p) = X

i

(−1)ⁱ⁻¹θ(v_i)S(v₁, . . . , ˆv_i, . . . , v_p),

d¨ar ˆv_i inneb¨ar att detta element inte ¨ar med. Detta g¨aller f¨orst f¨or (p − 1)-former S som

¨ar produkt av 1-former, men sedan av linj¨aritersk¨al f¨or allm¨anna (p − 1)-former.

Anm¨arkning Det ¨ar ofta bekv¨amt att inf¨ora beteckningen v−i = (v₁, . . . , ˆv_i, . . . , v_p). D˚a kan vi skriva formeln kortare som

(θ ∧ S(v) =X

i

(−1)ⁱ⁻¹θ(v_i)S(v−i).

Antikommutativen leder till n˚agra relationer ang˚aende θ_I. Om tv˚a indexsviter I och J skiljs ˚at bara i ordningsf¨oljd f¨oljer att θ_I = ±θ_J. Om tv˚a index i I ¨ar lika g¨aller att θ_I = 0.

F¨oljaktligen kan vi eliminera redundans genom att bara anv¨anda θI f¨or vilka alla index

¨ar str¨angt v¨axande. Antalet s˚adana sviter ¨ar ^k_p
. Det ¨ar l¨att att se att de ˚aterst˚aende tensorerna ¨ar linj¨art oberoende. L˚at v_j vara basen i V som ¨ar dual till θ_j. L˚at v_I vara som ovan. Enligt definitionen av Alt-operatorn g¨aller d˚a att θI(vI) = 1/p!, men om J har andra v¨axande indices g¨aller att θ_I(v_J) = 0. Allts˚a g¨aller att omP aIθ_I = 0, s˚a ¨ar

0 =X

I

a_Iθ_I(v_J) = 1 p!a_J. Vi har d¨armed visat

Sats 3 Om θ_i ¨ar en bas f¨or V^∗ s˚a ¨ar θ_I = θ_i1 ∧ . . . ∧ θ_ip (v¨axande index) en bas f¨or Λ^p(V^∗). Det f¨oljer att dim Λ^p(V^∗) = ⁿ_p
.

Antag nu att indexsviten I har l¨angd p medan J har l¨angd q. Fr˚an antikommutativiteten f¨or kilprodukten i Λ¹(V^∗) ser vi d˚a att

θ_I∧ θ_J = (−1)^pqθ_J ∧ θ_I, vilket visar att

T ∧ S = (−1)^pqS ∧ T, om S ∈ Λ^p(V^∗), S ∈ Λ^q(V^∗).

Bassatsen ovan medf¨or att λⁿ(V^∗) ¨ar endimensionell om n = lim V . Om V = Rⁿ bety- der detta att varje alternerande n-mutilinj¨ar funktion ¨ar en multipel av determinanten (entydigheten av determinantfunktionen).

Om l¨angden av I ¨ar > k m˚aste n˚agot index repeteras, vilket betyder att θI = 0. Det f¨oljer att Λ^p(V^∗) = 0 om p > k. Man inf¨or ocks˚a Λ⁰(V^∗) = R, vilket kan tolkas som de konstanta funktionerna p˚a V . Vi utvidgar kilprodukten genom att helt enkelt l˚ata multiplikation i detta rum vara skal¨ar multiplikation. Med kilprodukten blir d˚a den direkta summan

Λ(V^∗) = Λ⁰(V^∗) ⊕ Λ¹(V^∗) ⊕ . . . ⊕ Λ^k(V^∗)

en icke-kommutativ algebra som kallas den yttre algebran p˚a V^∗. Identitetselementet ¨ar 1 ∈ Λ⁰(V^∗).

Det finns ytterligare en basal konstruktion. L˚at A : V ^// W vara en linj¨ar avbild- ning. Transponatet A^∗ : W^{∗ //}V^∗ utvidgas d˚a naturligt till den yttre algebran: A^∗ : Λ^p(W^∗) ^//Λ^p(V^∗) genom att vi f¨or T ∈ Λ^p(W^∗) definierar A^∗T ∈ Λ(V^∗) genom

A^∗T (v₁, . . . , v_p) = T (Av₁, . . . , Av_p), v_i ∈ V.

Man ser l¨att att A^∗ ¨ar linj¨ar och att

A^∗(T ∧ S) = A^∗T ∧ A^∗S.

S˚a A^∗ ¨ar en algebrahomomorfism: Λ(W^∗) ^//Λ(V^∗). Notera att om B : W ^//U ¨ar en annan linj¨ar avbildning s˚a g¨aller att (BA)^∗ = A^∗B^∗.

Som specialfall, om A : V ^//V ¨ar en bijektion s˚a ¨ar den inducerade avbildningen A^∗ : Λⁿ(V^∗) ^//Λⁿ(V^∗) en linj¨ar avbildning mellan tv˚a 1-dimensionella vektorrum, och m˚aste d¨arf¨or inneb¨ara multiplikation med en konstant λ ∈ R, allts˚a A^∗T = λT f¨or alla T ∈ Λⁿ(V^∗). Vi ska visa att λ ¨ar precis determinanten av A.

F¨or detta, tag vilken som helst bijektion B : V ^//Rⁿoch betrakta T = B^∗(det) ∈ Λⁿ(V^∗).

D˚a g¨aller att A^∗B^∗(det) = λB^∗(det), vilket medf¨or att

(B^∗)⁻¹A^∗B^∗(det) = λ(B^∗)⁻¹B^∗(det) = λ(BB⁻¹)^∗(det) = λ(det), allts˚a

(BAB⁻¹)^∗(det) = λ(det).

Vi ber¨aknar nu b˚ada sidor i denna ekvation i standardbasen i R^k. D˚a ser vi att λ = det(BAB⁻¹) = det A.

Vi har allts˚a visat

Sats 4 (Determinantsatsen) Om A : V ^//V ¨ar en linj¨ar isomorfism s˚a g¨aller att A^∗T = (det A)T f¨or varje T ∈ Λⁿ(V ). Speciellt

A^∗θ¹ ∧ . . . ∧ A^∗θⁿ= (det A)θ¹∧ . . . ∧ θⁿ.

6 Allm¨ annare tensorer

Man beh¨over inom tensoranalysen inte enbart multilinj¨ara avbildningar, utan ¨aven vek- torv¨arda multilinj¨ara avbildningar. Mer precis, multilinj¨ara avbildningar V^{s //}V^r f¨or

positiva heltal r och s. Det linj¨ara rummet av s˚adana betecknar vi T^r,s(V^∗) och en tensor i det s¨ags vara kovariant av ordning s med kontravariant av ordning r.

Klassiskt betraktar man ett element i T^r,s(V^∗) inte som en vektorv¨ard avbildning p˚a V^r utan som en skal¨arv¨ard multilinj¨ar avbildning p˚a (V^∗)^r× V^r, precis som vi kan betrakta en vektor som en linj¨ar avbildning p˚a V^∗. Vi kan d˚a alternativt skriva T^r,s(V^∗) som tensorprodukten (V^∗)^⊗r⊗ V^⊗s. Speciellt ser vi att en tensor av typ (1, 0) ¨ar en vektor och en tensor av typ (0, 1) ¨ar en 1-form, medan en tensor av typ (0, p) ¨ar det som vi tidigare kallade en p-tensor. Vidare ¨ar T^s(V^∗) = T^(0,s)(V^∗).

Anm¨arkning Inom tensoranalysen l˚ater man den duala basen till basen e_i i V betecknas med eⁱ (som allts˚a ¨ar v˚art θ_i). Vidare inf¨or man

e^J_I = e_i1 ⊗ . . . ⊗ e_ir ⊗ e^j1 ⊗ . . . ⊗ e^js,

d¨ar I = {i1, . . . , ir}, J = {j1, . . . , js} som blir en bas f¨or T^r,s. Tensorerna av typ (r, s) skrivs sedan

S = X

|I|=r,|J|=s

S_J^Ie^J_I, d¨ar S_J^I = S(e^I_J).

H¨ar utel¨amnas summatecknet oftast till f¨orm˚an f¨or konventionen att samma index uppe och nere alltid ska summeras ¨over (Einsteins summationskonvention). Vi ser speciellt att S ¨ar entydigt best¨amd av sina v¨arden p˚a baselementen. Mer explicit:

S = X

T_k...l^i...je_i⊗ . . . ⊗ e_j ⊗ e^k⊗ . . . ⊗ e^l. d¨ar T_k...l^i...j = T (eⁱ . . . , e^j, e_k, . . . , e_l).

Ofta n¨ar man beskriver tensorer anger man endast koefficienterna S_J^I, och utel¨amnar bas- elementen. Det fungerar s˚a l¨ange man endast diskuterar algebra, men n¨ar man ska derivera tensorer leder det till inf¨orandet av diverse korrektionsfaktorer (Christoffel-symboler) som h¨ar¨or fr˚an att man ocks˚a m˚aste derivera baselementen.

Vi noterar nu att vi kan skriva

S = X

|I|=r

(X

|J|=s

S_J^Ie^J) ⊗ e_I = X

|I|=r

S^Ie_I,

d¨ar S^I =P

|J|=sS_J^Iθ^J, vilket betyder att vi kan uppfatta en (r, s)-tensor som en upps¨attning V^r-v¨arda T^s(V^∗)-tensorer.

Av speciellt intresse ¨ar h¨ar (1, 1)-tensorer S = P

ijsⁱ_j(θ^j ⊗ ei) som allts˚a svarar mot avbildningar p˚a V vars koordinater ¨ar 1-former. Sp˚aret av α ⊗ v definierar vi som

Tr(α ⊗ v) = α(v) vilket utvidgas till den allm¨anna (1, 1)-tensorn S som

Tr S =X

ij

sⁱ_jθ^j(e_i) = X

i

sⁱ_i.

Inom tensoranalysen kallas denna operator kontraktionen av S och betecknas oftast C(S).

Den kan utvidgas till allm¨anna (r, s) tensorer med konventionen att det ¨ar f¨orsta argu- mentet i varje komponent man kontraherar (tar sp˚aret ¨over). Vi ska strax ge den en annan formulering i form av den s.k. inre produkten (som ska skiljas fr˚an en skal¨arprodukt).

7 Orientering av vektorrum

Vi ska nu b¨orja l¨agga lite mer struktur p˚a vektorrummet V och se vilka konsekvenser denna f˚ar f¨or tensorer p˚a V . Vi b¨orjar med att orientera vektorrummet.

Man kan ge ett vektorrum V en av tv˚a olika orienteringar. Om vi har tv˚a baser i det, g¨aller n¨amligen e⁰ = Ae, d¨ar A ¨ar en linj¨ar avbildning p˚a V . Vi kan d¨arf¨or dela upp baserna i V i tv˚a ekvivalensklasser d¨ar vi s¨ager att baserna e, e⁰ har samma orientering om det A > 0. Att v¨alja en orientering f¨or V ¨ar att konsekvent v¨alja baser ur endast en av dessa ekvivalensklasser.

Ett beh¨andigare s¨att att beskriva detta ¨ar genom att betrakta vektorrummet Λⁿ(V^∗), som ju ¨ar endimensionellt. F¨or ett element σ i det g¨aller att, om baserna e, e⁰ ¨ar relatierade genom e⁰ = Ae,

σ(e⁰₁, . . . , e⁰_n) = det A σ(e1, . . . , en)

vilket betyder att σ inte ¨andrar tecken om vi byter till en ny bas med samma orientering.

Att orientera V ¨ar d¨arf¨or detsamma som att v¨alja ett element σ ∈ Λⁿ(V^∗).

8 Den inre produkten

Vi ska nu formulera den klassiska tensoranalysens kontraktioner p˚a ett alternativt s¨att.

F¨or en tensor S ∈ T^r,s(V^∗), som vi uppfattar som en vektorv¨ard tensor, och v ∈ V ¨ar en vektor, kan vi definiera en T^r,s−1-form i(v)S genom att stoppa in v i det f¨orsta argumentet f¨or S (s positionerna) och sedan variera de ¨ovriga:

i(v)S(v₁, . . . , v_s−1) = S(v, v₁, . . . , v_s−1).

Notera att det alltid ¨ar i f¨orsta argumentet vi s¨atter v. Per definition g¨aller att i(v)a = 0 om a ¨ar en skal¨ar.

Exempel 1 F¨or en 1-form inneb¨ar den inre produkten endast att vi ber¨aknar den i vek- torn i fr˚aga och f˚ar en skal¨ar:

i(v)θ = θ(v) = Tr(θ ⊗ v).

P˚a motsvarade s¨att ser vi att S ¨ar en (0, 2)-tensor s˚a g¨aller att S(u, v) = (i(u)S(v) = i(v)i(u)S,

en observation som ofta ¨ar anv¨andbar och naturligtvis generaliseras till (0, s)-tensorer.

Vidare ser vi att

i(v)(θⁱ∧ θ^j)(u) = (θⁱ∧ θ^j)(v, u) = θⁱ(v)θ^j(u) − θⁱ(u)θ^j(v) = v_iθ^j(u) − v_jθⁱ(u) s˚a om B ¨ar en 2-form s˚a f˚ar vi att

(i(v)B)(u) =X

i<j

B_iji(v)(θⁱ∧ θ^j)(u) =X

i<j

B_ijv_iθ^j −X

i<j

B_ijv_jθⁱ,

vilket vi kan skriva som

i(v)B = B(v, θ) − B(θ, v).

Detta kan generaliseras med en formel som bygger p˚a observationen att

i(v)(θ₁∧. . .∧θ_s)(v₁, . . . , v_s−1) =         

θ₁(v) . . . θ_s(v) θ₁(v₁) . . . θ_s(v₁)

... ...

θ₁(v_s−1) . . . θ_s(v_s−1)         

=X

i

(−1)ⁱ⁻¹θ_i(v)θ−i(v₁, . . . , v_s−1),

d¨ar vi satt

θ−i = θ1 ∧ . . . ∧ ˆθi∧ . . . ∧ θs. Ett annat s¨att att t¨anka ges i n¨asta exempel.

Exempel 2 Vi noterar f¨orst att

i(e_k)θ^m = θ^m(e_k) = δ_km. Om S ¨ar en k-form, s˚a g¨aller att vi kan skriva

S = A + θ^j ∧ B, d¨ar varken A eller B inneh˚aller θ^j. D˚a f¨oljer att

i(e_j)S = B.

Vi ser ocks˚a att om S, T ¨ar allm¨anna tensorer s˚a har vi att i(v)(S ⊗ T ) = (i(v)S) ⊗ T + S ⊗ (i(v)T ), medan formeln ¨ar lite annorlunda f¨or skev-symmetriska former:

i(v)(S ∧ T ) = (i(v)S) ∧ T + (−1)^kS ∧ (i(v)T ), d¨ar S ¨ar en T^0,k-tensor.

Det tre-dimensionella fallet ¨ar v¨ard en egen m¨assa, eftersom det indikerar vad det ¨ar som

¨

ar speciellt med just tre dimensioner.

Exempel 3 Vi har att

ω = i(u)(dx₁∧ dx₂∧ dx₃) = (i(u)dx₁) ∧ (dx₂∧ dx₃) − dx₁∧ i(u)(dx₂∧ dx₃) = u₃dx₁ ∧ dx₂+ u₂dx₃∧ dx₁+ u₁dx₂∧ dx₃.

Ur detta f¨oljer sedan att

i(v)ω = (u₂v₃− u₃v₂)dx₁+ (u₃v₁− u₁v₃)dx₂ + (u₁v₂− u₂v₁)dx₃,

d¨ar vi k¨anner igen koefficienterna i vektorform som den klassiska vektorproduktens kom- ponenter. Detta betyder att (med den vanliga, euklidiska skal¨arprodukten)

(dx₁∧ dx₂∧ dx₃)(u, v, w) = i(w)i(v)ω = (u × v) · w.

9 Metriker i vektorrum

Vi ska nu f¨orse v˚art vektorrum V med en skal¨arprodukt. Med en skal¨arprodukt p˚a V menar vi en symmetrisk bilinj¨arform g som ¨ar icke-degenererad, d.v.s. g(u, u) = 0 endast d˚a u = 0. Motsvarande kvadratiska form u → g(u, u) kallas d˚a en metrik p˚a V och enligt tr¨oghetssatsen f¨or kvadratiska former kan vi skriva V = V₊⊕ V− som en direkt summa av underrum s˚adana att g(u, u) > 0 d˚a u ∈ V+ och g(u, u) < 0 d˚a u ∈ V−. Om V = V+ s¨ags rummet vara Euklidiskt, medan fallet n¨ar V₊ ¨ar en-dimensionellt och dim V− > 0 svarar mot Minkowski-rum som ¨ar kopplade till den speciella relativitetsteorin.

Vi s¨ager att e1, . . . , en ¨ar en ortonormerad bas f¨or V om det g¨aller att g(ei, ej) = 0, i 6= j och |g(e_i, e_i)| = 1 f¨or alla i. Notera att eftersom vi inte kr¨aver en positivt definit metrik s˚a blir formeln f¨or hur man hittar koordinaterna f¨or en vektor i en ortonormerad bas lite annorlunda mot den vanliga: om v = P

ixiei s˚a g¨aller att g(v, ei) = P

jxjg(ei, ej) = x_ig(e_i, e_i), och allts˚a (eftersom g(e_i, e_i) = ±1) x_i = g(v, e_i)g(e_i, e_i). I en allm¨an, icke n¨odv¨andigtvis ortonormerad, bas p˚a V skriver vi

g(u, v) =X

ij

g_ijθⁱ(u)θ^j(v)

(eller g =P

ijg_ijθⁱ⊗ θ^j om vi vill), d¨ar matrisen G = (g_ij) ¨ar symmetrisk.

10 Den musikaliska isomorfismen

Med hj¨alp av metriken g kan vi p˚a ett naturligt s¨att identifiera V med sitt duala rum V^∗. Om n¨amligen v ∈ V s˚a blir

Lv : V 3 u ^//g(u, v) ∈ R

en linj¨ar avbildning, allts˚a ett element i V^∗. Om e₁, . . . , e_n ¨ar en bas f¨or V s˚a kommer elementen {L_ei} att utg¨ora en bas f¨or V^∗ av dimensionssk¨al, s˚a avbildningen v ^//L_v definierar en isomorfism mellan V och V^∗. Eftersom denna isomorfism ¨ar fundamental inf¨or vi ocks˚a speciella beteckningar: den linj¨ara form som h¨or till v ∈ V (allts˚a L_v ovan) betecknar vi v^[, och om en linj¨ar form L ∈ V^∗ ¨ar given, s˚a betecknas det v ∈ V som ¨ar s˚adant att θ = v^[ med θ^]. Detta betyder att

v^[(u) = g(u, v), θ(u) = g(u, θ^]).

Exempel 4 Ibland vill man tolka 1-former α som det n−1-dimensionella underrum som definieras av att α(u) = 0, allts˚a

g(u, α^]) = 0.

Kilprodukten av tv˚a 1-former blir d˚a det i allm¨anhet n − 2-dimensionella underrum som

¨ar ortogonalt mot b˚ada de duala vektorerna osv. N¨ar vi d¨arf¨or kommer upp i kilprodukten av n 1-former blir resultatet (i allm¨anhet) endast origo.

Men h¨arigenom f˚ar vi ocks˚a en skal¨arprodukt p˚a V^∗: vi definierar bara (u^[, v^[) = g(u, v) ⇔ (θ, η) = g(θ^], η^]).

Andra s¨att att uttrycka detta ¨ar att (θ, v^[) = θ(v), eller (θ, η) = θ(η^]) = g(θ^], η^]).

Exempel 5 1-formerna ηⁱ = e^[_i utg¨or f¨oljaktligen ocks˚a en bas f¨or V^∗, liksom den duala basen θⁱ. Per definition har vi att

ηⁱ(v) = g(e_i, v) = X

j

g_ijθ^j(v),

fr˚an vilket vi l¨att ser att

(θⁱ)^]=X

j

g^ike_k d¨ar (g^ij) ¨ar inversen till (g_ij). Det f¨oljer att

(θⁱ, θ^j) = g^ij.

Speciellt ser vi allts˚a att om e_i ¨ar en ON-bas f¨or V , s˚a ¨ar θⁱ en ON-bas f¨or V^∗.

Anm¨arkning Det ¨ar v¨art att notera hur indexen ¨andrar sig n¨ar vi g˚ar fr˚an en vektor till en 1-form och tillbaka med den musikaliska isomorfismen. Om vi har en vektor v =P

iv_ie_i, s˚a g¨aller att

v^[ =X

i

viηi =X

ij

vigijdxj =X

j

(X

i

gjivi)dxj, s˚a koefficienterna f¨or v^[ ges allts˚a av v⁰_j =P

ig_jiv_i. Omv¨ant, om vi utg˚ar ifr˚an en 1-form ω = P

iωidxi, s˚a f˚ar vi att

ω^] =X

j

ω_j⁰e_j, ω⁰_j =X

i

g^jiω_i.

Inom den klassiska tensoranalysen, d¨ar man endast r¨aknar med koefficienterna, har detta

¨oversatts till en speciell teknik att h¨oja och s¨anka index. Man skiljer d¨ar, som redan p˚apektas, p˚a kontravarianta och kovarianta vektorer, d¨ar de f¨orra ¨ar v˚ara vektorer och de senare ¨ar v˚ara 1-former. De f¨orra skrivs med koordinater vⁱ och de senare v_i. Formlerna ovan inneb¨ar d˚a att

vⁱ = g^ijv_j, v_i = g_ijv^j,

d¨ar vi ocks˚a inf¨ort Einsteins summationskovention: om vi har samma index uppe och nere, summerar vi ¨over det. Den musikaliska isomorfismen mellan bas och motsvarande koordinatbas inneb¨ar d˚a den klassiska tekniken att h¨oja och s¨anka index.

11 Volymsformer och skal¨ arprodukt av tensorer

Vi har sett hur vi f˚ar en metrik p˚a V^∗ och vi har en metrik p˚a V . Vidare, har vi en metrik p˚a tv˚a vektorrum U och V , s˚a f˚ar vi en metrik p˚a tensorprodukten U ⊗ V genom definitionen

(S, u^[⊗ v^[) = S(u ⊗ v).

Om S = α ⊗ β betyder detta allts˚a α(u)β(v). P˚a V^∗⊗ V^∗ betyder detta att (S, θⁱ⊗ θ^j) = S((θⁱ)^], (θ^j)^]) =X

k,l

g^ikg^jlS(e_k, e_l) =X

k,l

g^ikg^jlS_kl= S^ij,

d¨ar sista ledet ¨ar definition. Det f¨oljer d˚a att (S, T ) =X

ij

S^ijT_ij. Detta generaliseras naturligt till godtyckliga tensorrum.

Det betyder att vi f˚ar en metrik p˚a alla tensorrum, och vi kan utvidga den musikaliska isomorfismen s˚a att t.ex. en bilinj¨ara form p˚a V , allts˚a ett element S ∈ T^0,2(V ), svarar mot en vektorv¨ard 1-form S^] p˚a V genom

(S^](u), v) = S(u, v).

Om vi skriver S =P

ijS_ijθⁱ⊗θ^joch S^] =P

ijs^j_iθⁱ⊗e_j s˚a inneb¨ar detta att s^j_i =P

kg^jkS_ik. Med andra ord, n¨ar vi g˚ar ¨over till koefficienterna ska vi h¨oja index i andra variabeln.

F¨or skal¨arprodukterna p˚a rummen Λ^k(V^∗) g¨aller att

(S, u^[₁∧ . . . ∧ u^[_k) = S(u1, . . . , uk).

F¨or en produkt av 1-former betyder det

(α₁∧ . . . ∧ α_k, β₁∧ . . . ∧ β_k) = det







(α₁, β₁) . . . (α₁, β_k)

... ...

(α_k, β₁) . . . (α_k, β_k)





, och vi ser att

(θ^I, θ^J) = det







g^i1j1 . . . g^i1jk ... ... g^ikj1 . . . g^ikjk





= det(g^IiJj).

Om e₁, . . . , e_n ¨ar en ortonormerad bas f¨or V betyder detta att {θ^I}, d¨ar I ¨ar str¨angt v¨axande index av l¨angd k, utg¨or en ortonormerad bas f¨or Λ^k(V^∗), och i det fallet har vi allts˚a att

(X

I

a_Iθ^I,X

J

b_Jθ^J) = X

I

a_Ib_I.

Vektorrummet Λⁿ(V^∗) ¨ar som vi sett endimensionellt, vilket g¨or att det finns tv˚a n-former σ s˚adana att (σ, σ) = (−1)ⁿ⁻ d¨ar dim V₋ = n₋. Genom att v¨alja en av dessa, v¨aljer man en orientering av vektorrummet V och den valda n-formen, som vi betecknar σ_V, kallas d˚a vektorrummets volymform (¨aven om det inte ¨ar en sann volym). Om e₁, . . . , e_n ¨ar en ON-bas s˚a g¨aller att σ_V = ±θ¹∧ . . . ∧ θⁿ d¨ar teckenvalet definierar orienteringen.

F¨or att best¨amma ett uttryck f¨or σ_V i en icke-ortonormerad bas noterar vi f¨orst att f¨or en bas e₁, . . . , e_n ¨ar positivt orienterad om det g¨aller att

θ¹∧ . . . ∧ θⁿ= Kσ_V, K > 0.

F¨or en positivt orienterad ON-bas {o_i} i V har vi h¨ar att K = 1 och om e = oA d¨ar det A > 0, s˚a ser vi att (x⁰ ¨ar koordinaterna f¨or den ortonormerade basen)

σ_V = (θ¹)⁰∧ . . . ∧ (θⁿ)⁰ = det A θ¹∧ . . . ∧ θⁿ.

Vidare har vi att (g(e_i, e_j)) = A(g(o_i, o_j))A^t vilket betyder att | det g_ij| = (det A)², s˚a σV =

q

| det gij| θ¹∧ . . . ∧ θⁿ, och vi har d˚a att

(σ_V, σ_V) = det((θⁱ, θ^j)) = det(g^ij).

12 Tv˚ a relaterade operatorer

F¨or k-former har vi att f¨or fixt v ∈ V g¨aller att i(v) ¨ar en avbildning Λ^k(V^∗) ^//Λ^k−1(V^∗).

P˚a ett metriskt rum kan vi ocks˚a definiera en avbildning j(v) : Λ^k(V^∗) ^//Λ^k+1(V^∗) genom j(u)S = u^[∧ ω.

Dess relation till den inre produkten framg˚ar f¨orst av att vi har att j(u)j(v)ω = −j(v)j(u)ω, men ocks˚a att

i(u)j(v)ω = i(u)(v^[∧ ω) = (i(u)v^[) ∧ ω − v^[∧ (i(v)ω) = g(u, v)ω − j(v)i(u)ω.

Sammanfattningvis g¨aller allts˚a p˚a Λ^k(V^∗) att

(i(u)i(v) + i(v)i(u) = 0, j(u)j(v) + j(v)j(u) = 0

i(u)j(v) + j(v)i(u) = g(u, v) .

Anm¨arkning I fallet med Euklidiskt rum har operatorerna ovan en viktig betydelse i kvantfysiken d¨ar de kallas skapelse- och f¨orst¨orelse-operatorer f¨or fermioner. Formlerna ovan utg¨or d˚a anti-kommuteringsreglerna f¨or dessa operatorer.

Vi kan ocks˚a notera f¨oljande. Fr˚an definitionen av skal¨arprodukt har vi f¨or ω ∈ Λ^k(V^∗) och η = u^[₂ ∧ . . . ∧ u^[_k att

(i(u_k)ω, η) = ω(u_k, u₂, . . . , u_n) = (ω, u^[_k∧ η) = (ω, j(u_k)η) = 0, k ≥ 2 och att

(i(u₁)ω, η) = ω(u₁, . . . , u_k) = (ω, u^[₁∧ η) = (ω, j(u₁)η).

Tillsammans med linj¨ariteten ger detta formeln

(i(v)ω, η) = (ω, j(v)η), v ∈ V, ω ∈ Λ^k(V^∗), η ∈ Λ^k−1(V^∗).

13 Hodges stj¨ arnoperator

Om vi tar en k-form ω och en n − k-form η s˚a g¨aller att deras kilprodukt ¨ar en n-form.

Om vi dessutom har valt en metrik p˚a och en orientering av V , och d¨armed en volymform σV, s˚a g¨aller att kilprodukten ¨ar proportionell mot σV:

ω ∧ η = B(ω, η)σ_V

d¨ar B : Λ^k(V^∗) × Λ^n−k(V^∗) → K ¨ar en bilinj¨ar-form. Om vi nu fixerar ω ∈ Λ^k(V^∗) s˚a blir avbildningen Λ^n−k(V^∗) 3 η ^//B(ω, η) ∈ K en linj¨ar avbildning, vilket betyder att det finns ett element ?ω ∈ Λ^n−k(V^∗) s˚adant att B(ω, η) = (?ω, η). Detta ger oss en linj¨ar avbildning

? : Λ^k(V^∗) ^//Λ^n−k(V^∗) genom

ω ∧ η = (?ω, η)σ_V.

Vi m˚aste dock komplettera denna definition med fallen k = 0, n. Om vi betecknar ba- selementet i Λ⁰(V^∗) med 1, s˚a har vi att ?σ_V = 1 och att ?1 = (σ_V, σ_V)σ_V, eftersom σ_V = 1 ∧ σ_V = (?1, σ_V)σ_V.

Anm¨arkning Notera att v˚ar definition ger att ω ∧ ?ω = (?ω, ?ω)σV. H¨ar g¨aller, som vi ska se nedan, att (?ω, ?ω) = ±(ω, ω), d¨ar tecknet best¨ams av metrikens signatur. Vi har plustecken om metriken ¨ar positivt definit.

Exempel 6 Vi ska best¨amma uttryck f¨or ?-operatorn i en ON-bas θ¹, . . . , θⁿp˚a V^∗ s˚adan att σ_V = θ¹∧ . . . ∧ θⁿ ¨ar definierar den givna orienteringen. Eftersom θ^I∧ θ^J = 0 om I, J har n˚agot gemensamt element f¨oljer att ?θ^I = aθ^J, d¨ar J ¨ar de komplement¨ara indexen till I. Men θ^I∧ θ^J = sign πσ_V d¨ar π ¨ar den permutation som ¨overf¨or {I, J } p˚a {1, . . . , n}, varf¨or definitionen p˚a ?-avbildningen ger att a = (θ^J, θ^J) sign π och allts˚a

?θ^I = (θ^J, θ^J)(sign π)θ^J.

Exempel 7 Om V ¨ar ett orienterat 2-dimensionellt Euklidiskt rum och dx, dy ¨ar positivt orienterad ortonormerad bas f¨or V^∗, ber¨aknar vi ?dx genom att notera att

σ_V = dx ∧ dy = (?dx, dy)σ_V ⇒ (?dx, dy) = 1.

Genom att ers¨atta dy med dx ser vi att (?dx, dx) = 0, s˚a det g¨aller att ?dx = dy. En enkel modifiering av r¨akningen ovan visar sedan att ?dy = −dx. Geometriskt betyder allts˚a stj¨arnoperatorn i detta fall rotation ett kvarts varv.

Andrar vi nu f¨¨ oruts¨attningarna s˚a att rummet inte ¨ar Euklidiskt utan har Minkowski- metriken dt² − dx² och σ_V = dt ∧ dx, d¨ar dt, dx ¨ar en orienterad och ortonormerad bas f¨or V^∗. D˚a g¨aller att (σ_V, σ_V) = −1 och nu f˚ar vi att dt ∧ dx = (?dt, dx)σ_V, allts˚a (?dt, dx) = 1, vilket betyder att ?dt = (?dt, dx)(σ_V, σ_V) = −dx. En motsvarande r¨akning visar att ?dx = −dt, eftersom (dt, dt) = 1. Geometriskt betyder allts˚a stj¨arnoperatorn nu spegling i linjen dt + dx = 0.

Exempel 8 Betrakta nu tv˚a-former i ett orienterat Minkowski-rum av dimension fyra med metrik dt²− dx²− dy² − dz². Vi har d˚a att

σ_V = (dt ∧ dx) ∧ dy ∧ dz) = (?(dt ∧ dx), dy ∧ dz)σ_V ⇒ (?(dt ∧ dx), dy ∧ dz) = 1 och ¨ovriga skal¨arprodukter blir noll. Det f¨oljer att

?(dt ∧ dx) = (dy, dy)(dz, dz)dy ∧ dz = dy ∧ dz.

Ur detta f¨oljer att om ω ¨ar en 1-form i dx, dy, dz s˚a g¨aller att

?(dt ∧ ω) = ?⁰ω

d¨ar ?⁰ i h¨ogerledet ¨ar stj¨arnoperatorn i det Euklidiska underrummet som sp¨anns upp av dx, dy, dz. Vidare har vi att

σV = dx ∧ dy ∧ dt ∧ dz = (?dx ∧ dy, dt ∧ dz)σV,

s˚a ?(dx ∧ dy) = (dt, dt)(dz, dz)dt ∧ dz = −dt ∧ dz. Tillsammans med motsvarande formler f¨or de andra baselementen ser vi att om ω ¨ar en 2-form i dx, dy, dz s˚a g¨aller att

?ω = −dt ∧ ?⁰ω.

Dessa formler kommer att bli anv¨andbara n¨ar vi l¨angre fram ska diskutera Maxwells ek- vationer.

Vi beh¨over nu ett antal formler som relaterar stj¨arnoperatorn till operatorer vi ovan st¨ott p˚a. F¨or att h¨arleda dem ska vi anv¨anda f¨oljande “explicita” formeln f¨or stj¨arnoperatorn:

med η = v^[_k+1∧ . . . ∧ v^[_n blir definitionen att

(?ω)(vk+1, . . . , vn)σV = ω ∧ v^[_k+1∧ . . . ∧ v^[_n. Vi b¨orjar med att konstatera att

ω ∧ ?η = η ∧ ?ω,

vilket f¨oljer av att skal¨arprodukten ¨ar symmetrisk. Sedan har vi de tv˚a viktiga formlerna Sats 5 Vi har de tv˚a formlerna

i(u)(?ω) = (−1)^k? j(u)ω, och j(u)(?ω) = (−1)^k−1? i(u)ω.

Bevis. Den f¨orsta likheten f¨oljer d˚a av att i(u)(?ω)(v_k+2, . . . , v_n)σ_V =

?ω(u, v_k+2, . . . , v_n)σ_V = ω ∧ u^[∧ v_k+2^[ ∧ . . . ∧ v^[_n= ?(ω ∧ u^[)(v_k+2, . . . , v_n)σ_V fr˚an vilket resultatet kan avl¨asas. Den andra ¨ar lite mer komplicerad:

(j(u)(?ω))(vk, . . . , vn)σV =

n

X

k

(−1)ⁱ⁻¹u^[(vi)(?ω)(vk, . . . ,vbk, . . . , vn)σV =

n

X

k

(−1)ⁱ⁻¹v^[_i(u)(ω ∧ v_k^[ ∧ . . . ∧ ˆv_k∧ . . . ∧ v^[_n) = ω ∧ i(u)(v_k^[ ∧ . . . ∧ v^[_n) = (−1)^k+1(i(u)ω) ∧ (v^[_k∧ . . . ∧ v_n^[) = (−1)^k+1? i(u)ω(vk, . . . , vn)σV.

H¨ar har vi anv¨ant att om ω ∧ λ = 0 s˚a g¨aller att i(u)ω ∧ λ + (−1)^kω ∧ i(u)λ = 0 och allts˚a

i(u)ω ∧ λ = (−1)^k+1ω ∧ i(u)λ. 

Exempel 9 L˚at oss inte skilja p˚a 1-former och vektorer utan beteckna dessa med samma bokstav s˚a att vi t.ex. har att a × b = ?(a ∧ b). Att f˚a ett k¨ant uttryck f¨or trippelprodukten (a × b) × c ¨ar d˚a l¨att:

(a × b) × c = ?((?(a ∧ b)) ∧ c) = − ? (c ∧ (?(a ∧ b)) =

−j(c)(?(a ∧ b)) = ?i(c)(a ∧ b) = a(c)b − b(c)a = (a, c)b − (b, c)a.

Vi ser hur dessa operationer ers¨atter komplicerade vektoroperationer!

Exempel 10 Med samma l¨att oegentliga beteckningar som i f¨oreg˚aende exempel har vi i det Euklidiska rummet att

(i(u)(?a), b) = (u, b × a).

Detta f¨oljer av f¨oljande r¨akning:

(i(u)(?a), b)dx = b ∧ ?(i(u)(?a)) = b ∧ (− ?²j(u)a) = j(u)(b ∧ a), f¨or tar vi stj¨arna p˚a det f˚ar vi att

(i(u)(?a), b) = i(u)(?(b ∧ a)) = (u, b × a).

Exempel 11 Vi har f¨oljande tolkning av stj¨arnoperatorn. L˚at ek+1, . . . , en sp¨anna upp underrummet U och s¨att ω = e^[₁∧ . . . ∧ e^[_k. D˚a g¨aller att

u ∈ U ⇐⇒ i(u)ω = 0

eftersom e^[_i(u) = 0 d˚a i ≤ k om u ¨ar en linj¨arkombination av e_k+1, . . . , e_n. Vidare har vi att

i(u) ? ω = (−1)^k? j(u)ω = (−1)^k? u^[∧ e^[₁∧ . . . ∧ e^[_k = 0 om u ¨ar en linj¨arkombination av e₁, . . . , e_k s˚a vi har

u ∈ U^⊥ ⇐⇒ i(u)(?ω) = 0

Avbildningen ?² avbildar Λ^k(V^∗) p˚a sig sj¨alvt. Vad ¨ar det d˚a f¨or avbildning? Svaret ¨ar att det ¨ar multiplikation med ett tal som ¨ar ±1:

Sats 6 Vi har att

?² = (−1)^k(n−k)(σ_V, σ_V) p˚a Λ^k(V^∗).

Bevis. Notera f¨orst att

?(v₁^[∧ . . . ∧ v_k^[)(v_k+1, . . . , v_n)σ_V = v₁^[∧ . . . ∧ v_n^[ = (σ_V, σ_V)σ_V(v₁, . . . , v_n), d¨ar h¨ogerledet ocks˚a kan skrivas (σ_V, σ_V)i(v₁) . . . i(v_n)σ_V. Vi f˚ar d˚a

(?²ω)(v1, . . . , vn)σV = (?ω)∧v₁^[∧. . .∧v_k^[ = ?(v^[₁∧. . .∧v^[_k)∧ω = (σV, σV)i(v1) . . . i(vn)σV∧ω = (−1)^k(n−k)(σ_V, σ_V)σ_V ∧ (i(v₁) . . . i(v_n)ω) = (−1)^k(n−k)(σ_V, σ_V)ω(v₁, . . . , v_k)σ_V.  En f¨orsta konsekvens av detta ¨ar att

ω ∧ ?η = (σ_V, σ_V)(ω, η)σ_V, eftersom v¨ansterledet ¨ar lika med

(−1)^k(n−k)? η ∧ ω = (−1)^k(n−k)(?²η, ω)σ_V = (σ_V, σ_V)(η, ω)σ_V. Det f¨oljer nu att stj¨arnoperatorn n¨astan bevarar skal¨arprodukt:

(?ω, ?η) = (σV, σV)(ω, η).

Vi har n¨amligen att

(σ_V, σ_V)(?ω, ?η)σ_V = (?ω) ∧ (?²η) = ?²(?ω) ∧ η = ?²(?²ω, η)σ_V = (ω, η)σ_V Anv¨andbara resultat som ing˚ar i detta ¨ar

(ω, η) = ?⁻¹(ω ∧ ?η), (?ω, ?η) = ?(ω ∧ ?η).