cos i sin

Sida 1 av 16 KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM

och

KOMPLEXA TAL I POTENSFORM yi

x

z= + , där x ∈,y R (rektangulär form) )

sin (cosθ i θ r

z= + (polär form) )

sin (cosnθ i nθ r

zⁿ = ⁿ + De Moivres formel

re

z =

θ θ

θ

cos i sin

e

= +

) sin(

) cos(

) sin(

)

cos( θ θ θ θ

θ

i i

e

= − + − = −

Från (*) och (**) får vi följande formler

cos θ = e

⁺ 2 e

i e

e

sin θ =

⁻ 2

Periodiska egenskaper:

i k

i

e

e ^θ =

^θ

^π

Beräkning av e^a+bi:

) sin (cos b i b e

e e

e

=

=

+

--- Samband mellan olika former:

rektangulär form polär form potensform yi

x + = r(cosθ +isinθ) = re^θi där

2

2 y

x

r= + ,

r

= x cosθ ,

r

= y sinθ .

====================================================

Sida 2 av 16 Det komplexa talplanet

Komplexa tal kan vi framställa som punkter i det komplexa talplanet som innehåller en reell och en imaginär axel.

yi x z= +

O x

yi

Ett komplext tal kan vi ange på flera sätt. Om vi anger ett komplext tal som z= x+yi, där x och y är reella tal, säger vi att talet är given i rektangulär form. Exempelvis z = 3+8i.

I många problem, som inkluderar komplexa tal, förenklar vi lösningsmetoden och beräkning genom att skriva komplexa tal i polär form eller i potensform.

POLÄR FORM OCH POTENSFORM

Låt ( x,y) vara en punkt i xy-planet. Punktens position kan vi ange med s.k. polära koordinater r och θ .

Radien r är lika med avståndet från origo till punkten som representerar z . θ är en (rotations-) vinkel mellan positiva delen av x-axeln och sträckan Oz.

Från ovanstående grafen har vi följande samband:

cosθ r

x = och y =rsinθ.

Därmed kan vi skriva det komplexa talet z =x+yi som )

sin (cos

) sin

cosθ ri θ r θ i θ

r yi x

z= + = + = +

Om vi skriver z=r(cosθ +isinθ)då säger vi att vi har skrivit det komplexa z i polär form.

Enligt Eulers formel gäller cosθ +isinθ =e^θi, och därmed rei

i r

z= (cosθ + sinθ)= ^θ .

Om vi skriver z =re^θidå säger vi att vi har skrivit det komplexa talet z i potensform.

Sida 3 av 16 Sammanfattning:

rektangulär form, polär form potensform yi

x

z= + =r(cosθ +isinθ) =re^θi

Anmärkning: I några böcker kallas polär form för trigonometrisk form.

Bestämning av radien r och vinkeln θför komplexa tal i polär form och potensform:

För att skriva ett komplext tal z= x+ yi på polär form z=r(cosθ +isinθ) eller på potensform z=re^θimåste vi först bestämma r och θ .

Från ovanstående grafen har vi ( med Pytagoras sats)

2

| 2

|z x y

r= = +

Från rätvinkliga triangeln i figuren har vi (om r= z≠0)









=

=

r br

a

θ θ sin

cos eller





=

= θ

θ sin

cos r b

r

a (*)

En vinkel θ som uppfyller (*) kallas för argument av z och betecknas arg(z).

Argument av z är inte entydigt bestämd.

Om θ är ett argument av talet z då är också ₁ θ₁ +2_kπ, talets argument för varje ,...

2 , 1 0± ±

k = .

Bland oändligt många argument θ₁+2_kπ kallar vi det argument som ligger i intervallet ]

,

(−π π för principalargument.

Talet 0 tilldelas inget argument.

Låt z=x+ yi. Ett värde av arg (z) kan bestämmas enligt följande:







<

+

= >

=

0 då arctan

0 då arctan

)

arg( x

x y x x y

z θ π

Om x=0 ligger z=0+yi= yi på y-axeln och arg (z) kan bestämmas direkt från grafen (genom att pricka in z i det komplexa talplanet) eller enligt följande:

Sida 4 av 16















=

=

<

− =

>

=

=

0 ,

0 om definierad ej

0 ,

0 2 om

0 ,

0 2 om

arg

y x

y x

y x

z π

π

Anmärkning: Man kan modifiera ovanstående formler så att man direkt få det

principalargumentet. (I vår kurs räcker det att välja ett argument, som inte behöver vara principalargumentet.)

Exempel 1. Skriv talet z = − 3+i på a) polär form b) potensform Lösning:

Radien: r=|z|= a²+b² = 3+1=2.

=

=θ )

arg(z {eftersom x=− 3 <0 } =

x arctan y

π +

− =

+ 3

arctan 1

π

6 5 3 6

arctan 1 π π π

π − = − =

a) Polär form: )

6 sin5 6

(cos5

2 π _i π

z= +

Notera( en gång til)l att vi kan välja som argument vilken som hels vinkel bland π π 2k 5 +6 ,

där k är ett heltal. Eftersom 2 )

6 cos(5 6

cos5π π π

k +

= och 2 )

6 sin(5 6

sin5π π π

k +

= får vi

samma z, oavsett vilket argument vi väljer, dvs.

)]

6 2 sin(5 )

6 2 [cos(5 2 6 ) sin5 6

(cos5

2 π π π π π π

k i

k i

z= + = + + +

b) Potensform: z=2e^56πi.

---

För att använda ovanstående formler för argumentet beräknar vi, i allmänt numeriskt, arctangens med hjälp av miniräknare eller ett matematiskt dataprogram. I några fall kan vi exakt beräkna arctangens.

Här är värdena av tan(v) om för ofta förekommande vinklar 0, 6 π ,

4 π och

3 π

v 0

6 π ,

4 π

3 π )

tan(v 0

33 (=

1 ) 3 1 3

Härav får vi följande tabell för beräkning av arctan:

Sida 5 av 16

c 0

33 (=

1 ) 3 1 3

)

arctan(c 0

6 π ,

4 π

3 π

Notera att arctan(-c)=-arctan(c). T ex

3 6 arctan 1 3)

arctan(− 1 =− =−π .

RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal i polär form.

Låt _z1 =_r1(cosθ₁+_isinθ₁) och _z2 =_r2(cosθ₂+_isinθ₂). Följande gäller :

Multiplikation: z₁z₂ =r₁r₂(cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)) (bevisas med additionsformlerna) Division (cos( _{1 2}) sin( _{1 2}))

2 1 2

1 = θ −θ +i θ −θ

r r z

z .

Potenser i polärform beräknas på enkelt sätt med De Moivres formel:

Låt z=r(cosθ +isinθ), då gäller )

sin (cosnθ i nθ r

zⁿ = ⁿ +

Konjugat: z =r(cosθ −isinθ)=r[cos(−θ)+isin(−θ)]

Vi bevisar multiplikationsformeln:

Låt z₁ =r₁(cosθ₁+isinθ₁) och z₂ =r₂(cosθ₂ +isinθ₂). Vi har

)]

sin cos cos

(sin ) sin sin cos

[(cos

) sin )(cos

sin (cos

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1

2 2

1 1

2 1 2 1

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ θ

θ θ

+

−

−

=

+ +

= r r

i i

r r z z

(enligt additionsformlerna)

)) sin(

)

(cos( _{1 2 1 2}

2 1 2

1z =rr θ +θ +i θ +θ

z .

Anmärkning: Om z =₁ z₂och därmed r₁ =r₂ =r samt θ₁ =θ₂ =θ i ovanstående formel får vi z² =r²(cos2θ i+ sin2θ) dvs De Moivres formel för n=2.

(med hjälp av matematiska induktionen visar vi enkelt att formeln gäller för alla n.

===============================================

Exempel 2. Låt )

sin 6 (cos6

2 π _i π

z= + . Beräkna z . ¹³

Lösning: )

6 sin13 6

(cos13 2 6)

6 sin (cos

2 ¹³

13

13 π π π π

i i

z  = +



 



 +

=

Sida 6 av 16

6)) sin(

6) (cos(

2 ) egenskaper periodiska

( 6)) 2 sin(

6) 2 (cos(

2¹³ π+π +_i π+π = = ¹³ π +_i π

=

2 ) 1 2 ( 3

2¹³ + i

=

Från ovanstående räknelagar följer följande räknelagar för arg (z). Notera att talets argument inte är entidigt bestämt.

Räknelagar för arg(z)

Om z och w är två komplexa tal då gäller:

) 2 ( ) arg(

) arg(

) 2 ( ) arg(

) arg(

) 2 ( ) arg(

) arg(

) arg(

) 2 ( ) arg(

) arg(

) arg(

π π π π

k z

z

k z

n z

k w

w z z

k w

z w

z

n

+

−

=

+

⋅

=

+

−

=

+ +

=

⋅

RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal i potensform.

Låt

z

= r

e

z

= r

e

Multiplikation:

z

z

= r

r

e

Division e ⁱ

r r z

z _{( )}

2 1 2

1 = θ1−θ2

Potenser i potensform:

Låt

z = re

z

= ( ) re

= r

e

Periodiska egenskaper:

i k

i

e

e ^θ =

^θ

^π

Konjugat:

Om

z = re

z = re

Exempel 3. Beräkna

26

2 3 2

1 







− − i . Svara på rektangulär form (dvs a+bi form)

Sida 7 av 16 Lösning: Först anger vi basen z i

2 3 21 −

−

= på potensform:

2 1 3 2

1 ² ² =





 +



 

−

r= . Vinkeln =arctan +180^

x

θ y (notera +180 eftersom x <0)

3 rad 240 4

180 3

arctan π

θ = + ^ = ^ =

Nu beräknar vi

i i i

n n

n

r e e e

z =

= 1

⋅

=

Vi skriver resultatet på polärform och därefter på rektangulär form (genom att beräkna sinus och cosinus)

= + =

3 sin104 3

cos104π π

i + + + )=

3 34 2 sin(

3 ) 34 2

cos( π π i π π

(periodiska egenskaper: cos(2kπ +v)=cos(v) _{och sin(2k}π +_v)=_sin(v))

= i i

2 3 2 ) 1 3 sin(2 3 )

cos(2π + π =− +

Svar:

26

2 3 2

1 







− − i = i

2 3 21 +

− .

==========================================

Geometrisk tolkning av operationer med komplexa tal.

Addition.

Låt z₁ =x₁+y₁i och z₂ =x₂+y₂i vara två komplexa tal.

Då är z₁+z₂ =(x₁+x₂)+(y₁+ y₂)i. Om vi tolkar komplexa tal som riktade sträckor (=vektorer) då får vi summan z +₁ z₂ enligt regeln för vektoraddition.

i y y x x z

z₁+ ₂ =( ₁+ ₂)+( ₁+ ₂)

i y x z₁= ₁+ ₁ i

y x z₂ = ₂ + ₂

Geometrisk tolkning av multiplikation, division och potens .

Sida 8 av 16 Låt z₁=r₁e^αi och z₂ =r₂e^βi. Då gäller z₁z₂ =r₁r₂e^(α+β)i.

Alltså gäller |z₁z₂|=r₁r₂ =|z₁||z₂| och arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)=α+β som vi använder för att rita z₁z₂i det komplexa talplanet.

e i

r r z

z_{1 2}= ₁₂ ^{(α +β)}

e i

r z₂ = ₂ ^β β

α +

β α

e i

r z₁= ₁ ^α

För divisionen

2

zz gäller 1 e ⁱ r

r z

z ( )

2 1 2

1 = α−β dvs

2 1 2 1 |

| r

r zz = och β

α−

=

−

=arg( ) arg( ) )

arg( _{1 2}

2

1 z z

z z

Om z=re^αi då är zⁿ =rⁿe^nαi dvs |z =ⁿ| rⁿ och arg(zⁿ)=narg(z)

Exempel 4. Låt z₁ och z₂ vara komplexa tal i nedanstående figur. Anta vidare att |z₂|=1. Rita följande komplexa tal i det komplexa talplanet a) z ⋅₁ z₂ b) z ⋅₁ i c)

i z₁ d

2

zz d) 1 z₁ e) (z ₂)³

z1

z2

x yi

O

Lösning a) Beteckna w =z₁z₂. Vi bestämmer polära koordinater till w dvs | w och | arg(w) och därefter ritar i det komplexa talplanet. Vi har

|

| 1

|

|

|

||

|

|

|

|

|w = z₁z₂ = z₁ z₂ = z₁ ⋅ = z₁ och , från grafen,

π π π + =

≈ +

= 4 4

) 3 arg(

) arg(

)

arg(w z₁ z₂ .

Alltså är | w lika med | |z₁| och arg(w)≈π.

Sida 9 av 16 Därmed har vi följande graf:

z1

z2 2

1z z

O x

Svar: b) Notera att | =i| 1 och att ) 2 arg(_{i =}π

z1

i z ⋅₁

x yi

O i

På liknande sätt löser man c), d) och e).

ÖVNINGSUPPGIFTER

För att skriva ett komplext tal z=x+ yi på polär eller potensform bestämmer vi först radien r och ett argument θ =arg(z)_.

För radien har vi r= x² + y² .

Notera att man kan snabbt beräkna enkla fall (om en koordinat är noll):

Om z =a då är r =|z|=|a|. Om z =bi då är r=|z|=|bi|=|b|

När det gäller bestämning av ett argument kan vi pricka in z i det komplexa talplanet. Vi får en av följande fall:

A) (Direkt bestämning av ett från grafen.)

Sida 10 av 16

A1. Om talet ligger på en av koordinataxlarna då har dvs. om x eller y är 0 då är enklast sätt att rita talet z i det komplexa talplanet och direkt bestämma vinkeln θ .

Exempelvis, om z = 5i så är

2

θ =π (pricka in i xy-planet talet z=5i ),

om z = –2i så är

2 θ =−π , om z = 8 så är θ =0, om z = –17 så är θ =π.

A2. Om |x =| |y| dvs x ±= y då är tanθ =±1. Därmed är ett argument av talet z =x+ yi en av fäljande fyra vinklar

4

± , π 4 3π

± , som vi bestämmer direkt från grafen.

(Anmärkning. Fallet B2 kan vi självklart lösa med arcustangens, men det är snabbare att bestämma vinkeln direkt från grafen.)

Exempelvis, om z = 5+5i så är

4

θ =π (pricka in i xy-planet talet z=5+5i ),

om z = –2+2i så är 4 3π θ = , om z = –8-8i så är

4 3π θ =− , om z = 20–20i så är

4 θ =−π .

B) Om x≠0 och y≠0 kan vi använda funktionen arcustangens.

B1) Om x>0 då är

x arctan y

θ = _.

B2) Om x<0 då är θ = +π x arctan y

eller, om man räknar i grader, =arctan +180^ x θ y

(Notera att vi kan välja vilket som helst vinkel bland θ +2kπdär k är ett heltal.)

Exempelvis,

om z = 5 3−5i så är (eftersom x > 0)

3 6 arctan 1 3

5 arctan 5

arctan π

θ = = − =− =−

x

y ,

Sida 11 av 16 om z = −10 3−10i så är (eftersom x < 0)

6 7 3 6

arctan 1 3

10 arctan 10

arctan π π π π π

π

θ = + = + =

− + −

= +

= x

y ,

Uppgift 1. Skriv följande tal i polär och potensform.

a) z=3 b) z 4= i c) z=−5 d)z i 2

−5

= .

Tips. Notera att de givna komplexa talen ligger på axlarna.

Lösning:

i 4

3 5

−

2 i 5

−

a) r=|z|=|3|=3,

θ =0 (se figuren) .

Därmed

z = 3 (cos 0 + i sin 0 ) = 3 e

b) r=|z|=|4i|=4 2

θ = (se figuren). π

Därmed

z i ) 4 e

sin 2 (cos 2

4 π ₊ π ₌

=

c) r=|z|=|−5|=5 π

θ = (se figuren) .

Därmed

z = 5 (cos π + i sin π ) = 5 e

d) 2

| 5 2

| 5

|

| = − =

= z i

r

2 3π

θ = (se figuren).

(Alternativ: Vi kan självklart välja

2

θ = ⁻π eller en annan vinkel π π k 2 2

3 + )

Sida 12 av 16

Därmed

z i e

2 ) 5 2 sin 3 2

(cos 3 2

5 π ₊ π ₌

=

Uppgift 2. Skriv följande tal i polär och potensform.

a) z=3 +3i b) z=−4 +4i c) z=−5 −5i d)z i 2 5 25 −

= .

Tips. Notera att |x =| |y| dvs x ±= y så att vi kan bestämma argumentet direkt från grafen.

Lösning a) r= 3²+3² = 2⋅3² =3 2 Argumentet

4

θ =π som vi kan direkt bestämma om vi pricka in talet z=3+3i i xy-planet.

Alternativ: Vi kan använda formeln (för x>0) : 1 4

arctan 3

arctan3

arctan π

θ = = = =

x y Svar:

a)

z i ) 3 2 e

sin 4 (cos 4

2

3 π ₊ π ₌

=

b)

z i ) 4 2 e

4 sin 3 4

(cos 3 2

4 π ₊ π ₌

=

c)

z i ) 5 2 e

4 sin 3 4

(cos 3 2

5 − π + − π ₌

=

d)

z i ) 3 2 e

sin 4 (cos 4

2 2

5 − π + − π ₌

=

Uppgift 3. Skriv följande tal i polär och potensform.

a) z=1 i+ 3 b) z=− 6 i− 2 c) z=− 3+i Tips. Använd formeln

x arctan y

θ = _om x>0 och

x arctan y +

=π

θ _om x<0. Lösning:

a) Radien: r= 1+( 3)² = 1+3=2

Sida 13 av 16 Ett argument: Eftersom x > 0 kan vi välja

3 1 arctan 3

arctan π

θ = = =

x

y .

(Anmärkning: Vi kan välja vilken som helst vinkel bland π π 2k

3+ , där k är ett heltal.)

Därför

z i ) 2 e

sin 3 (cos 3

2 π ₊ π ₌

=

b) Radien: r= (− 6)²+(− 2)² = 6+2 = 8 Ett argument: Eftersom x < 0 kan vi välja

6 7 3 6

arctan 1 6

arctan 2

arctan π π π π π

π

θ = + = + =

− + −

= +

= x

y .

( Anmärkning: Vi kan välja vilken som helst vinkel bland π π k 6 2

7 + , k ett heltal t. ex. för k=–1 får vi det principala argumentet

6 5π

− .)

e

i

z ) 8

6 sin 7 6

(cos 7

8 π ₊ π ₌

=

c) Radien: r= (− 3)² +1² = 3+1=2

Ett argument: Eftersom x < 0 kan vi välja

6 5 3 6

arctan 1 3

arctan 1

arctan π π π π π

π

θ = − = − =

+ −

= +

= x

y .

Svar:

a) )

sin3 (cos3

2 π π

i

z= + = 2e^π3i

b) z i ) 8e⁷⁶ⁱ

6 sin7 6

(cos7

8 π + π = ^π

=

c)

z i ) 2 e

6 sin 5 6

(cos 5

2 π ₊ π ₌

=

Uppgift 4. Skriv talet på rektangulär form om a)

z = 3 e

z e = 2

Lösning:

a) )

4 sin5 4

(cos5

3 e

z =

b) ) 1 3

2 3 2

( 1 2 3 ) sin2 3

(cos2 2

2e²³ i i i

z= ^πi =

π

π

Sida 14 av 16 Svar: a)

2 3 23 i−

− b) −1 i+ 3

Uppgift 5. Beräkna ( i1+ )⁸².

Tips: Skriv basen (dvs 1+i) i potensform.

Lösning:

Först skriver vi basen (1+i) i potensform.

Radien är r= 1²+1² = 2

Ett argument: Eftersom x > 0 har vi

4 1 arctan1

arctan π

θ = = =

x

y .

Därför är basen 1+i= 2e^π4i.

Nu beräknar vi enkelt (med hjälp av potenslagar)

( )

i e e

e

i ^{82 824 41 412}

82

82 2 4 2 2

) 1 (

π π

π

=

 =



 



=

+ ^⋅ ( skriv i polär form)

2 )]

sin(41 2 )

[cos(41

2⁴¹ π π

i +

=

(Notera att

2 20 1 2

41π ₌ π ₊ π

och använd periodiska egenskaper för trig. funktionerna) i

i

i ^{41 41}

41 )] 2 (0 1) 2

sin(2 2)

[cos(

2 + = + =

= π π

. Svar: 2 ⁴¹i

Uppgift 6.

Beräkna ^{( 3 )6(}₉^{1 )16} i

i w e

i +

=

π

och skriv resultatet på potensform och på rektangulärform (dvs.

på (a+bi) form) Lösning:

Först förenklar vi varje faktor i täljaren och nämnaren.

1) (e^π3i)⁶ =e^2πi =e⁰ⁱ =1 (Alternativt e^2πi =cos(2π)+isin(2π)=1+0=1) 2) Först skriver vi basen ( i1+ på potensform. )

Radien är r=|1+i|= 2 Genom att rita en figur får vi

) 4 1

arg( _{+i =}π .

Alltså är

1 + i = 2 e

Sida 15 av 16

Därför ^{8 4 8 0 8}

16

16

2

2 2 2

) 1

(  = = ⋅ =



 



= 

+ i e

e

e

3) i⁹ =i⁸⋅i=1i=i.

Nu beräknar vi hela uttrycket:

i i i

i i i

i i w e

i

⋅

−

− =

⋅

=

⋅

⋅

⋅ = + =

= ^{3 6} ₉ ^{16 8 8 8} 2⁸

2 1 2 1

2 1 ) 1 ( ) (

π

Svar: −2⁸ i⋅

Uppgift 7.

Skissera (rita) i det komplexa talplanet området som består av alla z som satisfierar både 1≤ z ≤4 och

4 ) 3 4 arg(

π

π _{≤ ≤}

z .

Svar:

Uppgift 8.

Rita i det komplexa tal planet de punkter z som satisfierar både 4

|

|

1≤ z ≤ och π ≤ ≤π ) 4 arg(

3 z .

Svar:

Uppgift 9.

Bestäm | z och arg )| (z (som en reell funktion av parameter s) då

Sida 16 av 16

a) z s i

) 3 ( 2

5 +

= + , b)

i s z i

) 1 ( 4

5 5

+ +

= + c)

i z si

4 4

3 +

+

= − där s år ett reellt tal.

Lösning:

a)

13 6 5 )

3 ( 4

5 )

3 ( 2

5 )

3 ( 2

5

2

2 = + +

+

= + +

= + + ⇒

= +

s s i s

z s i z s

2 ).

arctan( 3 2 )

arctan( 3 0

(

] 0 2 )) ) 3 ( 2 ( Re x eftersom [

) ) 3 ( 2 arg(

) 5 arg(

) arg(

− + + =

−

=

>

= +

+

=

= + +

−

=

s s

i s i

s z

b) 2 17

2 5 )

1 ( 16

2 5 )

1 ( 4

5 5

2

2 = + +

+

= + + +

= +

s s i s

s z i

4 ).

arctan( 1 ) 4

) 1 ( 4 arg(

) 5 5 arg(

)

arg( +

−

= + +

− +

= i s i s

z π

c) 4 2

9 s²

z = +

] 0 3 )) 3 ( Re x eftersom [

) 4 4 arg(

) 3 arg(

)

arg(z = − +si − + i = = − +si =− <

3) arctan(

4 3 ) 4

arctan(3 4)

arctan(4 3)]

arctan(

[ s − = − s − = − s

+ −

= π π π π _.

Svar: a)

13 6 5

2+ +

= s s

z , arg(z) = )

2 arctan(3+s

− b)

17 2

2 5

2 + +

= s s

z , ).

4 arctan( 1 ) 4

arg( +

−

= s

z π

c)

2 4 9 s²

z = + , )

arctan(3 4

) 3

arg(z = π − s

.