AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER 

(1)

Sida 1 av 8

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

 Autonoma DE

 Stabilitet

 Fasporträtt

AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen )

( y F

y (ekv2) (eller y(x)F(y(x)))

En sådan DE, som saknar oberoende variabel i explicit form kallas autonom DE.

Exempelvis )y3y³ y² sin(y är en autonom DE, medan yx2yär inte autonom.

DEFINITION 1. Lösningar till F(y)0 kallas kritiska punkter till autonoma DE )

( y F y .

Det är uppenbart att varje lösning till F(y)0 (om sådana finns) ger en (konstant) lösning till DE yF( y) (eftersom derivatan av konstantfunktion=0, så att både vänster- och högerledet blir 0).

När vi ritar riktningsfältet till en autonom DE yF( y)använder vi den uppenbara

egenskapen att (ykonstant)  (ykonstant). Men andra ord; isokliner till en autonom DE är horisontella linjer yk (där yF(k)) .

Speciellt viktigt är att analisera tecken av F( y) (som visar område där lösningar är växande/avtagande ). Detta kan åskådligt göras genom att med pilar på en vertikalaxel ange område där lösningar växer/ avtar. En sådan figur kallas ett endimensionellt fasporträtt.

---

Translation (förflyttning) av en lösning parallell med x-axeln är också en lösning.

Om y f(x) är en lösning till då är uppenbart y f(xa) också en lösning till autonoma DE yF( y). (Om y f(x) uppfyller yF( y) då y f(xa) också uppfyller samma ekvation.)

Om y f(x) är lösning till begynnelsevärdesproblem yF( y), y(0) y₀ då är )

(x a f

y  lösningen till yF( y), y(a) y₀

Grafen till y f(xa) får vi genom att translatera (förflytta) parallell med x-axeln grafen till y f(x).

(2)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676 Autonoma DE

Sida 2 av 8 )

(x a f

y 

) ( x f y

============================================================

STABILITET:

I praktiska tillämpningar bestämmer man begynnelsevärden genom mätningar. Därför innehåller begynnelsevärden avrundningsfel, mätfel och dyl. Begreppet stabilitet är kopplad till problemet hur mycket felet i begynnelsevärdena påverkar lösningen till DE.

DEFINITION 2. Låt y₁ vara en kritisk punkt till DE yF( y) , alltså F(y₁)0, där y(t) , t0

t är den obekanta funktionen.

i) Vi säger att y₁ är en stabil kritisk punkt, om för varje  0 existerar  0 så att för varje lösning y(t) som för t  satisfierar t₀ |y(t₀) y₁| , gäller





 | ) (

|y t y₁ för t t₀

ii) Vi säger att en stabil kritisk punkt y₁ är asymptotiskt stabil om det existerar  0 så att

1 1

0) | lim ( )

(

|y t y y t y

t 





   .

Tolkning av definitionen: Ett mindre fel ( ) i startvärden påverkar inte mycket själva lösningen. Om vi, istället i y₁, felaktigt startar i y₀  y(t₀) där |y(t₀) y₁| blir felet  .  Samma gäller om vi betraktar differensen mellan två lösningar nära en stabil kritiskpunkt y₁: Anta att det korrekta startvärdet är y₂  y(t₀) och tillhörande (korrekta) lösningen är

)

2(t f

y men att vi ( på grund av mätfel) startar i y₀  y(t₀) som ger felaktiga lösningen )

0(t f

y . Anta vidare att både y och ₀ y₂ ligger nära den stabila kritiska punkten y₁ (dvs anta att |y₀ y₁| och |y₂ y₁| ) . Då är differensen mellan lösningarna

 2

| ) ( 1

|

| ) (

|

| ) ( ) (

| f₂ t  f₀ t  f₂ t  y₁  y  f₀ t  .

Med andra ord, mindre fel i startvärdena påverkar inte lösningen.

(3)

1. En kr konstan riktning tillräckl kritisk p DEFINI 3a) Om kallas p 3b. En k den and Notera a --- Nedanst lösnings en repel

--- FASPO Enklast med hjä innehåll ) 0 (y Exempe

 2

 y y

Lösning Kritisk

ritisk punkt nta lösningen gsfältet för D ligt nära en punkt kallas ITION 3. E pilar från b punkten y₁ r kritisk punk dra sidan b

att både rep --- tående figur skurvor. Kr ller (en inst

--- ORTRÄTT sätt att best älp av ekvat

ler y-axeln ) i intervalle

el 1. Bestäm

 . 4 g:

ka punkter:

y1 till DE n y y₁pek DE y y ² n stabil kritis

s också attr n kritisk pu bodasidor av

repeller. Pu kt y₁är sem

ort från linj peller och se ---

r visar riktn ritiska punkt tabil punkt)

---

tämma stab tionens fasp

, kritiska pu et.

m kritiska p

0

 y

y

) ( y F y ä kar mot den

 ) är en 1 sk punkt y=

raktor.

unkt är insta v den konsta unkt y = 1 i

istabil om p en y y₁. emistabil pu

--- ningsfältet, k

ten y=–1 är ).

---

ilitet för kri portätt. Fa unkter och p

punkter och

0

2 4

y g

Sida 3 av 8 är asympto nna lösning asymptotisk

=y1 då gäller

abil om den anta lösning i Fig. 1. är pilar från en

unkt är insta --- kritiska pun r atraktor (e

---

itiska punkt asporträtt t pilar som vi

rita fasport

ger två kritis

8

otisk stabil g. Punkt y =

k stabil pun r lim(y(x))

x

n inte är stab gen y y₁

en repeller.

n sida pekar

abila punkt --- nkter y=–1 o en stabil pun

---

ter till auton ill ekvation isar om lösn

trätt till följ

ska punkter

om pilar frå

= –1 i Fig.1.

nkt. Om star y1

 . En a

bil.

pekar bort f

r mot linjen

er.

--- och y=1 och

nkt). Kritisk

---

noma ekvati en yF( y ningar växer

ande autono

r y2och

ån bådasido . (som visa rt punkten l asymptotisk

från denna l

n y y₁ och

h några ka punkten

ionen yF )

y är en fig r (y0)el

oma DE

h y2.

or av den ar

ligger stabil

lösning

h från

y=1 är

) ( y F är ur som ller avtar

(4)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676 Autonoma DE

Sida 4 av 8 Tecken av y dvs tecken av y²4:

0

2 4

y för y(,2)(2,), 0

2 4

y för y(2,2),

Ekvationens fasporträtt ritar vi med hjälp av kritiska punkter och teckenanalys för y dvs för 4y² .

24

 y y

Anmärkning: För att spara plats, kan fasporträtt ritas horisontellt.

==============================================================

ÖVNINGAR:

Uppgift 1. Bestäm om följande DE är autonoma

a) y x² y² b) y y³ y² c) y(x)(y(x))⁵ y(x) d) y(x)(y(x))³x e) y(t)3 y(t) f) z(t)t²tz(t)

Svar: a) nej b) ja c) ja (Skriv DE som y y⁵y, då ser man att DE är av typen )

( y F y .)

d) nej e) ja f) nej

Uppgift 2. Vi betraktar följande autonoma DE y y² 2y.

(5)

Sida 5 av 8

a) Bestäm kritiska punkter . Visa att konstanta funktioner y=0 (för alla x) och y=2 (för alla x) är lösningar till DE.

b) Bestäm områden där riktningskoefficient y y²2y är positiv/negativ.

c) Rita ett fasporträtt till DE och klassificera kritiska punkter.

d) Rita ett riktningsfält till DE y y²2y. Skissera också den lösning som går genom punkten (0,0) och den lösning som går genom punkten (0,2).

e) Skissera lösningar (5 st.) som går genom punkterna (0, –1), (0, 0), (0, 1),(0, 2) och (0, 2.2).

f) Kan en annan lösning skära de konstanta lösningar y=0 och y=2 ?

Lösning:

a) Kritiska punkter är lösningar till y² y2 0. Detta ger två kritiska punktery0 och y=2.

Kritiska punkter (betraktade som konstanta funktioner) är alltid lösningar till sin DE som är enkelt att kontrollera:

0

y (för alla x) gery0. VL=y0, HL=0²200. Alltså VL=HL V.S.V.

På samma sätt ser vi att funktionen y2 (för alla x) är en lösning till DE.

b) Först y0 y² 2y0 som ger två lösningar y=0 och y=2. Alltså lutning är 0 längs de horisontella linjerna y=0 och y=2.

Teckentabell för y dvs för y² 2y y(y2):

0 2 y – 0 + + +

y–2 – – – 0 +

y + 0 – 0 +

Alltså, y 0 om 0 y2; y 0 om  y0eller om 2 y. c) Notera att y y²2y är en autonom DE. Längs linjerna y=k har vi konstanta riktningskoefficienter yF(k)k²2k. Alltså är y=k isokliner till DE.

Vi väljer några värden på k t.ex k= –2, –1, 0,1,2,3,4 och beräknar motsvarande k

k k F

y ( ) ² 2 :

2



y ger y F (2)(2)² 2(2)8. Längs linjen y2 ritar vi några korta tangentstycken med lutningen 6 (se nedanstående figur).

På liknande sätt får vi

1



y ger y F (1)(1)²2(1)3,

0

y ger y F (0)(0)² 2(0)0, (som vi konstaterade i a-delen)

1

y ger y1,

(6)

Armin Ha

2 y g

3 y g

4 y g c)

Fasporträ

d)

f) Efters enligt ex Därmed grafik i att y=0 Uppgift a) Best b) Rita

Lösning

alilovic: EXTRA

ger y0, ger y3, ger y8,

2

y-a ätt till

Fig2.

y y

som F(y) xistens-och d kan ingen

fig 2 e) visa och y= 2 är t 3. Vi betra täm kritiska ett fasportr

g:

A ÖVNINGAR ,

2

0

xeln

Instabil (repel

Stabil p (attrakt

y y²2

 o

entydighet lösningskur ar felaktigt r horisontell aktar följan punkter . rätt till DE

SF1676

punkt ller)

unkt tor )

och F y( ) ssatsen går rva skära el t att några k la asymptot nde autonom

och klassifi

Sida 6 av 8 e

2 2y är k exakt en lö ller tangera kurvor har g ter för lösnin ma DE y

icera kritisk

8 e)

kontinuerlig sningskurva

de konstant gemensamm ngskurvor.

)(

3

(  

 y y

ka punkter.

ga funktione a genom va talösningar.

ma punkter. K

)2

2 .

Auto

er i hela R²- arje punkt i p

. Den ”gruv Korrekt tolk

onoma DE

-planet, planet.

va ” data kning är

(7)

a) Kritis y=3.

b) Först teckenta

(y (y

y

Med hjä

Fasporträ

Uppgift

Lösning

Notera a

ska punkter

t bestämmer abell:

)2

2 )

 3

älp av deriv

3

2

y-axeln ätt till

Fig3.

( y

t 4. (ten 16

g:

att faslinjen

r är lösninga

r vi tecken f

+ – –

vatans tecken

Instabil punk (repeller)

semistabil punkt

2 )(

3 (y y

6 dec2016 i k

n är ritad ho

ar till (y3

för y dvs f

2 0 – 0

n ritar vi fa

kt

)2

2

kursen SF1

risontellt.

Sida 7 av 8 )2

2 )(

3 y . D

för uttrycke

sporträtt

633)

8

Detta ger tv

et )((y3 y

+ – –

vå kritiska p

)2

2

y med

3 + 0 0

punktery

hjälp av en 2 och

n

+ + +

(8)

Armin Ha

Uppgift

Lösning

alilovic: EXTRA

t 5. KS 201

g:

A ÖVNINGAR ,

16, kurs SF

SF1676

1633

Sida 8 av 88

Autoonoma DE