IMPLICIT, LOGARITMISK OCH PARAMETRISK DERIVERING
Vi kan ange en kurvas ekvation på olika former:
Exempel
EXPLICIT FORM 3
IMPLICIT FORM , , 5
PARAMETRISK FORM , ,
IMPLICIT DERIVERING
När vi beräknar derivatan av en funktion given på implicit form
, ,
deriverar vi båda sidor med avseende på x. När vi deriverar ett uttryck som innehåller y använder vi kedjeregeln ( multiplicerar med inre derivatan d v s med )
[ Några exempel: 5 · , · , 4 · Efter derivering löser vi ut .
Exempel 1. Beräkna för följande funktion (som är given på implicit form) 4
Lösning: Vi deriverar båda sidor med avseende på x och får
5 · · ·
Vi löser ut :
5 · · ·
5
5
Svar:
Exempel 2. Beräkna för följande funktion (som är given på implicit form) 4
Lösning: Vi deriverar båda sidor med avseende på x och använder produktregeln och kedjeregeln:
5 · ·
Vi löser ut :
· 5 ·
5 ·
Svar: ·
Exempel 3. Beräkna för följande funktion (som är given på implicit form) 4
Lösning: Vi deriverar båda sidor med avseende på x och använder produktregeln och kedjeregeln:
5 · ·
Vi löser ut :
· 5 ·
5 ·
Svar: ·
Exempel 4. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten 1, 1 till kurvan 2
Lösning: (Anmärkning: Insättning 1 och 1 i kurvans ekvation visar att punkten 1, 1 ligger på kurvan.)
Vi deriverar båda sidor och får
3 3 · 1 · 1 0
3 1 3 · ·
3 1
3 Vi substituerar punktens koordinater och får
3
4
Tangentens ekvation är , i vårt fall
1 3
4 1
Svar: Tangentens ekvation: 1 1 eller
LOGARITMISK DERIVERING
En tillämpning av implicitderivering är logaritmisk derivering.
Låt
För att beräkna derivatan logaritmerar vi (*) och därefter implicitderiverar.
Lägg märke till att, enligt kedjeregeln, ln · . Exempel 5. Beräkna om
/
Lösning:
Steg 1. Vi logaritmerar funktionen och får ln 1
· ln Steg 2. Vi deriverar båda leden
1· 1
· ln 1
·1 Steg 3. Vi löser ut
1· ln 1
och, till slut, insätter / och får
/ · 1 ln
Svar: / ·
Exempel 6. Beräkna om
Lösning:
Steg 1. (Logaritmering) ln sin · ln Steg 2. (Derivering ) · cos · ln sin · Steg 3. ( Lös ut ) cos ln Till slut substituerar vi i högersidan, och får
cos ln sin
Svar: cos ln
PARAMETRISK DERIVERING
Vi betraktar en kurva given på parametrisk form , Derivatan beräknas enligt följande formel
eftersom lim Δ
Δ lim
ΔΔt ΔxΔt
Exempel 7. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten som svarar mot /4 till kurvan ( elipsen)
4 , 2
Lösning:
2
4 /4 2 /4
4 /4
1 2 Tangentens ekvation är
.
Punkten , svarar mot /4 och därför
4 /4 4
√2
2 /4 2
√2 2
√2 1 2
4
√2 Svar:
√ √ [ eller 2√2
DERIVERING AV INVERS FUNKTION
Vi kan använda implicit derivering för att härleda några formler för derivering av inversa funktioner som i nedanstående exempel.
Exempel 8. Bevisa formeln
1 1 Lösning:
Låt [ ∞ ∞, Då gäller
Implicit derivering ger
1 1
cos · därför
cos
För att eliminera cos och få x i sista uttrycket använder vi (*) och sambandet
tan 1 1
cos sin cos 1 cos eller cos .
Från har vi
cos 1
tan 1 å 1
1 alltså
1
1 , .
Anm. På liknande sätt härleder man formlerna
√ .
√ .
.
