10 5 lim 4

Kontrollskrivning 2012-11-27 Tid: 8.15-10.00

Kurser: HF1008 Analys och linjär algebra

HF1006 Linjär algebra och analys (analysdelen) Lärare: Armin Halilovic, Inge Jovik, Svante Granqvist

Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)

För godkänt krävs 5 poäng av 9 möjliga poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM. Denna lapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningarna. Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter där ej annat anges.

1. Bestäm den största möjliga definitionsmängden till funktionen 1p

3 ) ln( 2

x y x

−

= −

2. Beräkna följande gränsvärden 1+1p

a.

10 5 lim 4

2

2

−

−

→

x

x

x b.

5 3 lim

₁₂

2

12

+ +

∞

→

x

x x

x

3. Beräkna derivatan av 1p

x

x

y =

²

4. Beräkna integralen 2p

∫

^{e ⋅}_x ^{x dx}

1

)) ln(

sin(

π

5. Beräkna integralen 1p

∫

_x²₊^dx_4x+5

Fortsättning →

6. Para ihop funktionerna med rätt Matlabgraf. Konstanterna a,b,c och d är för dig okända 2p konstanter som har använts i graferna. Endast svar krävs, 3 rätt ger 1p, 4 rätt ger 2p.

A: ² −1

= − x

a

y x B:

b x x

x y x

+ +

−

= +

2 ) 5 )(

2 (

2 C:

1

2

1

−

⋅ −

= x

c x

y

D:

1

2

3

−

−

= + x

d x y x

Figur 1: Figur 2:

Figur 3: Figur 4:

Figur 5: Figur 6:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

Lösning

1. Bestäm största möjliga definitionsmängden till funktionen 1p

3 ) ln( 2

x y x

−

= −

Lösning 1

Funktionen är definierad om

3 2 > 0

−

− x

x

x

2 3

− 2

x

– 0 + + +

− x

3

+ + + 0 –

x x

−

− 3

2

– 0

⁺

ej

def –

Funktionen är definierad om

2 < x < 3

Svar: Funktionen är definierad om

2 < x < 3

Rättningsmall: Allt korrekt = 1p

2. Beräkna följande gränsvärden 1+1p

a)

10 5 lim 4

2

2

−

−

→

x

x

x

b)

5 3

lim

₁₂

2

12

+ +

∞

→

x

x x

x

Lösning 2a Metod 1.

5 4 5

lim 2 )

2 ( 5

) 2 )(

2 lim (

10 5 lim 4

2 2

2

2

+ =

− = +

= −

−

−

→

→

→

x x

x x

x x

x x

x

Metod 2. ( L’ Hospitals regel)

] '

" , 0

" 0 10 [ 5 lim 4

2

2

l Hospitals regel

x x

x

= 

−

−

→ =

5 4 5 lim2

2 =

→

x

x

Svar:

5 4

Rättningsmall: 1 poäng om allt är korrekt ( metod och svar) Lösning 2b

3 1 3 5

1 2 5 lim

3 lim 2

12 11 12

12

=

+

= + + +

∞

→

∞

→

x x x

x x

x x

Svar:

3 1

Rättningsmall: 1 poäng om allt är korrekt ( metod och svar)

3. Beräkna derivatan av 1p

x

x

y =

² Lösning 3

( )

(

^{2 ln 2}

)

2 ln 2

2 1 ln 1 2

) ln 2 ( ln

ln 2 ln

2 2

+

⋅

⋅

′=

+

⋅

⋅

′=

⋅ +

⋅

′=

⋅

=

⋅

=

=

x x

y

x y

y

x x x y y

x dx x

y d dx

d

x x y

x y

x x

Svar: y′=x^2x⋅

(

²⋅^lnx+²

)

Rättningsmall: 1 poäng om allt är korrekt ( metod och svar 1)

4. Beräkna integralen 2p

∫

^{e ⋅}_x ^{x dx}

1

)) ln(

sin(

π

Lösning 4

Metod 1.





























=

⋅

=

⇒

=

=

⋅

=

⇒

=

=

⋅

=

⋅ =

∫

π π π π

π π

1 0 0 1

1 ) ln(

)) ln(

sin(

1

u e x

u x

xdx du

x u

x dx

e x

[ ] ( )

( ) π

π

π π π π

π

π

1 2 1 1

) 0 cos ( 1 cos

0 1 cos

) sin(

0

= +

=

=

−

−

−

=

−

∫ ^{u du} = ^u

Metod 2. Vi beräknar först den obestämda integralen

∫

^sin(

^π

^⋅_x^ln(x))dx och därefter substituerar gränserna.

∫

^sin(

^π

^⋅_x^ln(x))dx

π π π

π π

)) ln(

cos(

) cos(

) sin(

) sin(

)

sin( t x

t dt x dt

x dx t

x

t = ∫ = ∫ = − = − ⋅

∫

Därför

= − ⋅ + ⋅ =

 

  − ⋅

⋅ =

∫ ^{sin( π ln( )) cos( π} _π ^{ln( )) cos( π} _π ^{ln( )) cos( π} _π ^{ln( 1 ))}

1 1

e dx x

x

x

^e

e

π π π π

π

π

) cos(0) 1 1 2

cos( − + =

−

= +

−

= .

Svar:

π

2

Rättningsmall: Korrekt substitution och delresultat

π

) cos(t

− (eller

π

) cos(u

− ) gör 1 poäng.

Allt korrekt= 2p.

5. Beräkna integralen 1p

∫ _x

²

₊ ^dx _{4 x + 5}

Lösning 5

∫

∫ _x

²

₊ ^dx _{4 x + 5} ⁼ _{( x +} ^dx _{2 )}

²

_{+ 1 } ^{  t} _dt ⁼ ₌ ^x _dx ^{+ 2 } _ ^

C x

C t t

dt = + = + +

=

∫

²+₁ ^{arctan arctan( 2)} Svar: arctan(x+ )2 +C

x dt dx

dt x dx

t x

π π π

=

=

=

⋅

1

) ln(

:

onen

substituti

Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p ( Ingen avdrag om man glömmer C).

6. Para ihop funktionerna med rätt Matlabgraf. Konstanterna a, b, c och d är för dig okända 2p konstanter som har använts i graferna. Endast svar krävs, 3 rätt ger 1p, 4 rätt ger 2p.

A: ² −1

= − x

a

y x B:

b x x

x y x

+ +

−

= +

2 ) 5 )(

2 (

2 C:

1

2

1

−

⋅ −

= x

c x

y

D:

1

2

3

−

−

= + x

d x y x

Lösning 6

i) Om

a ≠ 1

har funktion A lodräta asymptoter för

x = ± 1

, den har (endast) ett nollställe i

x = a

_och går asymptotiskt mot

0

_då x→±∞. Endast figur 3 passar.

ii) Om

a = 1

har vi efter förkortning 1 1

= +

y x . Ingen graf passar funktion i detta fall.

Alltså endast figur 3 passar funktionen A ( om

a ≠ 1

) . Funktion B har nollställen för

x = − 2

och

x = 5

2 2 2

2

2 2

1

10 1 3

2 10 3 2

) 5 )(

2 (

x b x

x x b

x x

x x b x x

x y x

+ +

−

= − + +

−

= − + +

−

= + dvs y och går asymptotiskt mot 1_då

x → ±∞

Funktionen har dessutom 0-2 lodräta asymptoter beroende på värdet på

b

. Endast Figur 4 passar.

Funktion C.

) 1 1 (

) 1 )(

1 ( 1

2

1

+

⋅

− = +

⋅ −

− =

⋅ −

= c x

x x c x

x c x

y

. Funktionen motsvarar en rät linje. Endast Figur 2 passar.

Funktion D i) Om vi inte kan förkorta funktionen dvs om

d ≠ 4

har funktionen en lodrät asymptot för

= 1 x

1 4 4

1 4 4 4 1

3

²

2

− + − +

− =

− +

− +

= −

−

−

= +

x x d

x

d x

x x x

d x

y x

dvs funktionen har en asymptot y= x+4

Figur 1 passar funktionen.

ii) Om d= 4 då blir y= x+4och i detta fal ingen graf passar funktionen Alltså endast Figur 1 passar D ( om

d ≠ 4

_{) .}

Svar: A-3, B-4, C-2, D-1

Rättningsmall: 3 rätt ger 1p, 4 rätt ger 2p.

Anmärkning: Figurer 1-6 är ritade med nedanstående Matlabscript :

d=3;

x=-10:0.01:10;

y=(x.*x+3*x-d)./(x-1);

figure(1);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;

c=-2;

x=-10:0.01:10;

y=c*(x.*x-1)./(x-1);

figure(2);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;

a=5;

x=-10:0.01:10;

y=(x-a)./(x.*x-1);

figure(3);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;

b=-3;

x=-10:0.01:10;

y=(x+2).*(x-5)./(x.*x+2*x+b);

figure(4);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;

e=0;

x=-10:0.01:10;

y=(-x.*x-4*x+e)./(x-1);

figure(5);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;

f=1;

x=-10:0.01:10;

y=f*(x.*x-4*x)./(x.*x-1);

figure(6);

plot(x,y);

axis([-10 10 -15 15]);

grid on;