Beräkna följande integraler a

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av trigonometriska funktioner

INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler:

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥 = 1 (F1) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝑥𝑥 (F2) 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 (F3) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥 =1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

2 (F4) Formeln kan fås genom (F1+F2)/2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥 =1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

2 (F5) Formeln kan fås genom (F1-F2)/2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 =¹₂[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 + 𝑠𝑠) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 𝑠𝑠)] (F6)

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = −¹₂[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥 + 𝑠𝑠) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 𝑠𝑠)] (F7) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 =¹₂[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥 + 𝑠𝑠) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥 − 𝑠𝑠)] (F8)

============================================================

Integraler ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒅𝒅𝒂𝒂 och ∫ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒅𝒅𝒂𝒂 (𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎) beräknas medhjälp av substitutionen 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝒕𝒕.

Uppgift 1. Beräkna följande integraler

a) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑑𝑑𝑥𝑥, b) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑑𝑑𝑥𝑥 där (𝑎𝑎 ≠ 0) c) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑥𝑥 d) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(4𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

e) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥, (𝑎𝑎 ≠ 0) f) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 , (𝑎𝑎 ≠ 0) a) Lösning:

� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑑𝑑𝑥𝑥

= � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎 = −

1

𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝐶𝐶

= −_𝑎𝑎 ¹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) + 𝐶𝐶 Svar: b) ¹

𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) + 𝐶𝐶

c) = −₅ ¹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(5𝑥𝑥 − 3) + 𝐶𝐶 d) ₄ ¹𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑡𝑡

𝑎𝑎𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑎𝑎 Substitution

1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av trigonometriska funktioner

e) −_𝑎𝑎 ¹ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 f) _𝑎𝑎 ¹𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

============================================================

Integraler∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝒂𝒂𝒅𝒅𝒂𝒂 , ∫ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔^𝟐𝟐𝒂𝒂𝒅𝒅𝒂𝒂 ,

∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒅𝒅𝒂𝒂 och ∫ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔^𝟐𝟐(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒅𝒅𝒂𝒂 (𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎) beräknas med hjälp av formlerna F4 och F5:

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥 =1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

2 och 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥 =1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

2 .

Uppgift 2. Beräkna följande integraler a) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 , c) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²(3𝑥𝑥 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥 d) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²(3𝑥𝑥 + 5)𝑑𝑑𝑥𝑥 a) Lösning:

∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥

2 𝑑𝑑𝑥𝑥 =¹₂(𝑥𝑥 −^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥}₂ ) + 𝐶𝐶 =¹₂𝑥𝑥 −¹₄𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 b) Svar: ¹

2𝑥𝑥 +¹₄𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 c) Svar: ¹

2𝑥𝑥 −₁₂¹ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(6𝑥𝑥 + 8) + 𝐶𝐶 d) Lösning:

∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²(3𝑥𝑥 + 5)𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[2∙(3𝑥𝑥+5)]

2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫1+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[6𝑥𝑥+10]

2 𝑑𝑑𝑥𝑥 =¹₂(𝑥𝑥 +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(6𝑥𝑥+10) 6 ) + 𝐶𝐶

= ¹₂𝑥𝑥 +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(6𝑥𝑥+10) 12 + 𝐶𝐶

==================

Uppgift 3. Beräkna följande integraler med hjälp av formlerna F6-F8 a) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(3𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

a) Lösning: ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =¹₂∫[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 ]

= ¹₂[−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(8𝑥𝑥)

8 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥)

2 ] + 𝐶𝐶 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(8𝑥𝑥)

16 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) 4 + 𝐶𝐶 b) Svar: 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)

10 +^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)}₂ + 𝐶𝐶

2

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av trigonometriska funktioner

==================

Uppgift 4. Beräkna följande integraler a) ∫ 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 a) Lösning:

∫ 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)}_{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

= ∫^{−𝑑𝑑𝑑𝑑}_𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑠𝑠|𝑡𝑡| + 𝐶𝐶 = −𝑙𝑙𝑠𝑠|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥| + 𝐶𝐶 b) Svar: 𝑙𝑙𝑠𝑠|𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥| + 𝐶𝐶

====================================================

Uppgift 5. Använd lämpliga substitutioner för att beräkna följande integraler a) ∫ 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑥𝑥² − 4)𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ 𝑒𝑒^𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑒𝑒^𝑥𝑥+ 3)𝑑𝑑𝑥𝑥

c) ∫𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5+𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥)

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 d) ∫ 𝑥𝑥⁹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(4𝑥𝑥¹⁰)𝑑𝑑𝑥𝑥 Svar:

a) Subs: 4𝑥𝑥²− 4 = 𝑡𝑡 Svar: −^{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(4𝑥𝑥}₈²⁻⁴⁾+ 𝐶𝐶 b) Subs: 𝑒𝑒^𝑥𝑥+ 3 Svar: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑒𝑒^𝑥𝑥+ 3) + 𝐶𝐶 c) Subs: 5 + 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 Svar: −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(5 + 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 d) Subs: 4𝑥𝑥¹⁰= 𝑡𝑡 Svar: ^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑥𝑥}₄₀¹⁰⁾+ 𝐶𝐶

=======================================================

Integraler av typ ∫ 𝒇𝒇(𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒂𝒂 eller ∫ 𝒇𝒇(𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂) 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒂𝒂 , beräknas med hjälp av substitutionen 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝒕𝒕 respektive 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝒕𝒕 Uppgift 6. Använd lämpliga substitutioner för att beräkna följande integraler a) ∫(3 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠¹⁰𝑥𝑥 − 4𝑒𝑒^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥})𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

b) ∫(5 +_{2+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥}³ )𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 c) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠⁵𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

Svar: a) 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 +^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠}₂^2𝑥𝑥+^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠}₃^3𝑥𝑥+^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠}₁₁^11𝑥𝑥− 4𝑒𝑒^{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥}+ 𝐶𝐶 Svar b) −5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 − 3𝑙𝑙𝑠𝑠|2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥| + 𝐶𝐶

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑡𝑡

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 Subs:

3

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av trigonometriska funktioner

Lösning c) ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠⁵𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠⁴𝑥𝑥 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠²𝑥𝑥)²∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

∫(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠²𝑥𝑥)² ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

∫(1 − 𝑡𝑡²)² ∙ (−𝑑𝑑𝑡𝑡) =

∫(−1 + 2𝑡𝑡²− 𝑡𝑡⁴) ∙ 𝑑𝑑𝑡𝑡 =

= −𝑡𝑡 + 2𝑡𝑡³ 3 −

𝑡𝑡⁵ 5 + 𝐶𝐶

= −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥+ 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠³𝑥𝑥

3 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠⁵𝑥𝑥 5 + 𝐶𝐶

===================================

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 = 𝑡𝑡

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 Substitution

4