Längdkontraktionen Tidsdilatationen (forts)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Tidsdilatationen (forts)

Effekten är verklig!! Visat experimentellt för t.ex. myoner.

Myon ens medellivstid i vila är uppmätt till 2,2 μs.

Med medellivstid τ så kommer det efter tid t finnas N = N

0

e

^-t/τ

myoner kvar.

Detta fås om man antar att sannolikheten att en myon sönderfaller under ett kort tidsintervall Δt är konstant = R. Antalet myoner n har då ändrats Δn = -nRΔt. Omskrives som Δn/n = RΔt.

Vi integrerar nu V.L. från N

₀

till N vilket sker under tidsintervallet från 0 till t för vilket H.L.

integreras.

Betrakta ”kosmisk” myon med hastighet v = 0.99 c.

Efter en sträcka γ _vτ har antalet minskat med faktorn 1/e.

Denna sträcka är: β =0.99  γ ≈ 7.1 ger L

_lab

= γ _vτ ≈ 4700 m.

Stämmer med data ! Utan tidsdilatationen skulle nästan inga myoner nå oss.



 ^{ }

^t

N

N

dt n R

dn

0 0

Mätt på CERN för myoner accelererade till ca 3 GeV för vilka β ≈ 0,9994, dvs γ ≈ 29.

Mätt livstid blev då γτ

ger Rt

N N  

0

ln Tag exponent och sätt R ^=1/ τ ^ger N ⁼ N

0

e

^-t/τ

) Föreläsning 2: Relativitetsteori fortsättning

En klocka i rörelse går alltid faktorn γ långsammare än en klocka i vila

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Längdkontraktionen

Betrakta ”kosmiska” myoner med hastighet v = 0.99 c i föregående exempel . Efter sträckan L

_lab

= γ vτ ≈ 4700 m har de minskat med 1/e.

Hur ser detta ut i myonens vilosystem?

Fysikens lagar skall ju vara desamma i alla system.

I labbet mäter vi tiden det tar myonen att färdas L

_lab

till Δ t =4700m/0.99 c = 15,7 μs.

Myon mäter dock själv bara tiden till Δ t ´= Δ t / γ =2,2 μs (vilken överraskning!!) Sträckan myonen anser sig färdas är då L’ = v Δ t´ = L

_lab

/ γ

Längdkontraktion

  ^{/ γ}

1 ^{2 2} _lab

lab v c L

L

L    

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Samtidighet

Exempel: Per Person provkör sin nya 4 m långa supersnabba delux sportbil i v =0,6 c.

Kompisen vill skoja med honom och fäller samtidigt ner två bommar med 4 m avstånd mellan varanda då Per precis har passerat platsen för den första bommen. (Han drar därefter omedelbart upp bommarna igen) Kompisen vill inte skada bilen så han har tänkt lite:

Med β = 0,6 blir varvid bilen pga längdkontraktion blir 4•4/5 m ≈3,2 m lång i kompisens system, dvs 80 cm tillgodo mellan bommarna.

Per blev däremot helt vansinnig, eftersom han ser bommar med avstånd 3,2 m mellan sig där hans 4m långa bil skall få plats. Var i ligger paradoxen? Vem har fel?

4 5 36 , 0 1

1 1

1

2 

 



 β

γ

Utgå från två koordinatsystem S ´i bakkant på bilen, där x ´=0, och S vid den första bommen där x =0.

Vid t =0 när bommarna fälls är bilens bakkant då vid x =0 och dess framkant ges av x ur x ´= γ ( x - vt ) vilket med t =0 och x ´=4 m resulterar i x =3,2 m så uppenbarligen har kompisen tänkt rätt.

Låt oss studera det hela från Pers perspektiv lite mer detaljerat. Den första bommen fälls vid x

1

=0 och t

₁

=0.

Den andra bommen vid x

₂

=4 m fälls vid t

₂

=0 0

´ _{1 1 2} ¹  



 



 

 c

t vx

t γ

ns c 10

m 4 6 . 0 0 4

´ _{2 2 2} ² 5 ₂   



 



  

 



 



 

 c

c t vx

t ^γ

  0

´ ₁  x ₁  vt ₁ 

x γ

Notera: i S´systemet fälls inte bommarna samtidigt.

   4 m 0  5 m

4

´ ₂  x ₂  vt ₂  5  

x ^γ 25% marginal jämfört med bilens längd, konsistent

med kompisens observation.

Samtidighet i ett system innebär inte samtidighet i ett annat med likformig rörelse relativt varandra

Avstånd från bakkant på bilen till andra bommen när den fälls:

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Tvillingparadoxen

Två tvillingar, Speedo och Goslo.

Speedo reser iväg ut i rymden med 0,500 c relativt jorden, vänder och återvänder för att notera att Goslo har blivit 20 år äldre. Speedo själv har bara åldrats 17,3 år.

Paradox: relativitetsteorin säger att alla system är lika. Vem har färdats och vem är yngst?

Egentligen ingen paradox. Till slut refererar vi ju till ”Goslo’s system” eftersom det är där de träffas igen. Speedo har ju vänt och bytt ”inertial”-system (han har använt minst 2 system).

Med β =0.500 får vi att γ ≈ 1,155.

Goslo får då att på 20 år har Speedo’s klocka gått 20/1,155 = 17.3 år, dvs Speedo har färdats 8,65 år i vardera riktningen.

Goslo har varje födelsedag skickat en ljusblixt.

Från Speedo’s klocka sett sänds ljusblixtarna med 1,155 års mellanrum ( γ _t ).

När Speedo färdas bort hinner han 0,500c(1.155 år) längre bort mellan varje blixt.

Han ser då att det kommer en blixt var 1,155 + 0,500•1,155 år = 1,73 år.

På 8.65 år ser han då 5 blixtar.

På hemvägen har blixtljuset kortare väg att färdas.

Speedo ser nu blixtar med 1,155(1-0,500) = 0,577 års mellanrum. Totalt under 8,65 år 15 blixtar.

Speedo noterar att Goslo har blivit 20 år äldre!!

Slutsats: relativiteten gäller bara alla system som rör sig med konstant hastighet relativt varandra (i en gravitationsfri rymd).

(”Håll tungan rätt i mun” och håll er till ”rätt” koordinatsystem så går det bra !!)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Relativistiskt Dopplerskift

Ljuskälla i rörelse relativt obersvatören i system S enligt figuren sänder ut ljus med våglängd λ.

Vilken ljusfrekvens mäter observatören i system S ?

Om vågfronter sänds ut med tidsintervall T

_källa

mätt i källans system kommer ljuskällan att ha flyttat sig v Δt

_p

cosθ bort från observatören där Δt

_p

är tiden mellan att två vågfronter producerats i observatörens system. Lorentztransformationen ger att Δtp =  T

_källa

Den observerade tiden mellan två vågfronter blir då: T

obs

=  ( T

källa

+ v/c T

källa

cos θ ⁾ Med f = 1/ T och

2

1

2

cos 1

c v

c T v

T

_obs ^källa



 

 

  





 

 

^källa

obs

f

c v

c f v

cos  1

1

^{2 2}



   

 

^{källa källa}

obs

f f

c v

c f v







 



 

1 1 1

1

Fås frekvensen

(rörelse från varandra) eller om θ =0

Vid θ =π/2 blir f

_obs

=  f

_källa

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Dopplerskift (forts)

β f f β



  1

´ 1

Exempel 1: En galax på avståndet 2,40·10

⁸

ljusår färdas med en hastighet v ≈ 4,63·10

⁶

m/s bort från jorden. Vid vilken våglängd kommer vi att observera vätelinjen (Balmer- α ) vid 656,3 nm?

Lösning : när ljuskällan rör sig bort från observatören (annat tecken på v ) fås Där β = v / c ≈ 0,015. Relationen mellan våglängd och frekvens λ = c / f ger då att

nm 2 , 666 nm 3 , 985 656 , 0

015 ,1 1

´ 1   



  λ

β

λ β Längre våglängd motsvarar mer åt det röda

rödskift 

Exempel 2: Student försökte övertala polis att han inte körde mot rött eftersom det röda trafikljuset pga dopplerskift blev grönt. Med rött: 650 nm och grönt: 550 nm, vilken var has hastighet?

Lösning : rörelse mot ljuskällan, λ = c / f ger  λ och β

λ β



  1

´ 1

β β λ λ



 

 

 





1 1

´ ²   β

λ λ

β   



 



  ´ 1

1 ²

17 , 0 650 1 550

650 1 550

1 ´ 1 ´

2 2 2

2



 

 



 

 

 



 



 

 



 

 

 



 

 λ λ λ λ β

Efter flytt av termer och uppsnyggning:

 v = βc ≈ 1.8·10

⁸

km/h

Det blir nog böter i alla fall!

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Lorentztransformation av hastigheter

Härledes ur transformation av dx och dt som u

_x

´ = dx ´/ dt ´ Notera att dt ´ beror av både dx och dt, dvs u

_x



²



1 u v c v u u

x x

x



 



Även hastigheterna i y - och z -led beror av v och u

_x

enligt ovan:

 ^{/ 2}   ¹  ²  

´

´

c v u

u c

vdx dt

dy dt

u dy

x y y

 

 

 

γ γ

 

 ^{1 u u v c 2} 

u x

z z

 

 γ

I ”extrem”fallet v och u

x

<< c får vi att u

x

´= u

x

– v , galileiska transformationen

Då u

x

= c fås  

c c v

c v c c cv

v

u

_x

c 



 



 

 1 /

/ 1

1

²

Inverstransformation fås genom att byta tecken på v : ¹  u ^{´ ´} v c

²



v u u

x x x



 



2

 1 /

2

1  /

²



) (

c v u

v u c dt v dx dt v dx

c v dx dt

vdt dx t

d x u d

x x

x



 

 

 



 

 







 



 



SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Rörelsemängd och energi

Naturlagarna skall gälla i alla ”interial”system.

Bl.a. gäller att: Energi och rörelsemängd bevaras i all växelverkan

Relativistisk rörelsemängd: ^{p  1  m}  ^{u u 2 c 2}  ^{ γ m u} Där u är partikelns hastighetsvektor.

Med |u| = βc fås p = mβ γ _c

Om vi utnyttjar att Newtons andra lag kan skrivas fås relativistiskt:

dt d p F 

 u 

F p dt d m

dt

d _{ γ}

 Ur vilket vi kan beräkna accelerationen då F || u:

        m  u c  ^du _dt

dt c du c u

u u c u c m

u mu dt d

F

^{2 2 3/2} ₂ ^{2 2 2 2 3/2}

2

2

1 1

2 1 2

1





  



 



   



 





 









 ^{1 u 2 c 2}  ^{3 / 2}

m F dt

a  du   Extremfall: u = 0 ger a = F / m (Newton), u = c ger a = 0.