Per blev däremot helt vansinnig, eftersom han ser bommar med avstånd 3,2 m mellan sig där hans 4m långa bil skall få plats. Var i ligger paradoxen? Vem har fel?

Samtidighet

Exempel: Per Person provkör sin nya 4 m långa supersnabba delux sportbil i v =0,6 c.

Kompisen vill skoja med honom och fäller samtidigt ner två bommar med 4 m avstånd mellan varanda då Per precis har passerat platsen för den första bommen. (Han drar därefter omedelbart upp bommarna igen) Kompisen vill inte skada bilen så han har tänkt lite:

Med β = 0,6 blir varvid bilen pga längdkontraktion blir 4•4/5 m ≈3,2 m lång i kompisens system, dvs 80 cm tillgodo mellan bommarna.

Per blev däremot helt vansinnig, eftersom han ser bommar med avstånd 3,2 m mellan sig där hans 4m långa bil skall få plats. Var i ligger paradoxen? Vem har fel?

4 5 36 , 0 1

1 1

1

2 =

= −

= − γ β

Utgå från två koordinatsystem S ´i bakkant på bilen, där x ´=0, och S vid den första bommen där x =0.

Vid t =0 när bommarna fälls är bilens bakkant då vid x =0 och dess framkant ges av x ur x ´= γ ( x - vt ) vilket med t =0 och x ´=4 m resulterar i x =3,2 m så uppenbarligen har kompisen tänkt rätt.

Låt oss studera det hela från Pers perspektiv lite mer detaljerat. Den första bommen fälls vid x

=0 och t

=0.

Den andra bommen vid x

=4 m fälls vid t

=0 0

´ _{1 1 2} ¹ ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= c

t vx

t ^γ

ns c 10

m 4 6 . 0 0 4

´ _{2 2 2} ² 5 ₂ ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ •

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= c

c t vx

t ^γ

( ) 0

´ ₁ = x ₁ − vt ₁ =

x ^γ

Notera: i S´systemet fälls inte bommarna samtidigt.

( ) ( 4 m 0 ) 5 m

4

´ ₂ = x ₂ − vt ₂ = 5 − =

x γ 25% marginal jämfört med bilens längd, konsistent

med kompisens observation.

Samtidighet i ett system innebär inte samtidighet i ett annat med likformig rörelse relativt varandra

Avstånd från bakkant på bilen till andra bommen när den fälls:

Föreläsning 2: Relativitetsteori fortsättning

Tvillingparadoxen

Två tvillingar, Speedo och Goslo.

Speedo reser iväg ut i rymden med 0,500 c relativt jorden, vänder och återvänder för att notera att Goslo har blivit 20 år äldre. Speedo själv har bara åldrats 17,3 år.

Paradox: relativitetsteorin säger att alla system är lika. Vem har färdats och vem är yngst?

Egentligen ingen paradox. Till slut refererar vi ju till ”Goslo’s system” eftersom det är där de träffas igen. Speedo har ju vänt och bytt ”inertial”-system (han har använt minst 2 system).

Med β =0.500 får vi att γ ^≈ 1,155.

Goslo får då att på 20 år har Speedo’s klocka gått 20/1,155 = 17.3 år, dvs Speedo har färdats 8,65 år i vardera riktningen.

Goslo har varje födelsedag skickat en ljusblixt.

Från Speedo’s klocka sett sänds ljusblixtarna med 1,155 års mellanrum ( γ t ).

När Speedo färdas bort hinner han 0,500c(1.155 år) längre bort mellan varje blixt.

Han ser då att det kommer en blixt var 1,155 + 0,500•1,155 år = 1,73 år.

På 8.65 år ser han då 5 blixtar.

På hemvägen har blixtljuset kortare väg att färdas.

Speedo ser nu blixtar med 1,155(1-0,500) = 0,577 års mellanrum. Totalt under 8,65 år 15 blixtar.

Speedo noterar att Goslo har blivit 20 år äldre!!

Slutsats: relativiteten gäller bara alla system som rör sig med konstant hastighet relativt varandra (i en gravitationsfri rymd).

(”Håll tungan rätt i mun” och håll er till ”rätt” koordinatsystem så går det bra !!)

Relativistiskt Dopplerskift

Ljuskälla i rörelse relativt obersvatören i system S enligt figuren sänder ut ljus med våglängd λ.

Vilken ljusfrekvens mäter observatören i system S ?

Om vågfronter sänds ut med tidsintervall T

mätt i källans system kommer ljuskällan att ha flyttat sig v ∆t

cosθ bort från observatören där ∆t

är tiden mellan att två vågfronter producerats i

observatörens system. Lorentztransformationen ger att ∆tp = γ T

Den observerade tiden mellan två vågfronter blir då: T

= γ ₍ T

+ v/c T

cos θ ) Med f = 1/ T och

2

1

cos 1

c v

c T v

T

källa

obs

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

θ

( )

( )

obs

f

c v

c f v

θ cos 1

1

+

= −

( ) ( )

obs

f f

c v

c f v

β β +

= − +

= −

1 1 1

1

Fås frekvensen

(rörelse mot varandra) eller om θ =0

Vid θ =π/2 blir f

= γ f

Dopplerskift (forts)

β f f β

+

= − 1

´ 1

Exempel 1: En galax på avståndet 2,40·10

ljusår färdas med en hastighet v ≈ 4,63·10

m/s bort från jorden. Vid vilken våglängd kommer vi att observera vätelinjen (Balmer- α ⁾ vid 656,3 nm?

Lösning : när ljuskällan rör sig bort från observatören (annat tecken på v ) fås Där β = v / c ≈ 0,015. Relationen mellan våglängd och frekvens λ = c / f ger då att

nm 2 , 666 nm

3 , 985 656

, 0

015 ,1 1

´ 1 ≈ • ≈

−

= + λ

β

λ β Längre våglängd motsvarar mer åt det röda

rödskift ⇓

Exempel 2: Student försökte övertala polis att han inte körde mot rött eftersom det röda trafikljuset pga dopplerskift blev grönt. Med rött: 650 nm och grönt: 550 nm, vilken var has hastighet?

Lösning : rörelse mot ljuskällan, λ = c / f ger ⇒ λ och β

λ β

+

= − 1

´ 1

β β λ

λ

+

= −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1 1

´ ² ( ) β

λ

β λ ⎟ ^{= −}

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛ ´ 1

1 ²

17 , 0 650

1 550 650 1 550 1 ´

1 ´

2 2 2

2

≈

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

λ λ λ λ β

Efter flytt av termer och uppsnyggning:

⇒ v = βc ≈ 1.8·10

km/h

Det blir nog böter i alla fall!

Lorentztransformation av hastigheter

Härledes ur transformation av dx och dt som u

´ = dx ´/ dt ´ , se boken.

Notera att dt ´ beror av både dx och dt, dvs u

(

)

1 u v c v u u

x x

x

−

= −

′

Även hastigheterna i y - och z -led beror av v och u

enligt ovan:

( ^{/ 2} ) [ ¹ ( ² ) ]

´

´

c v u

u c

vdx dt

dy dt

u dy

x y y

= −

= −

′ =

γ γ

( )

[ ^{1 u u v c 2} ]

u x

z ′ = − z

γ

I ”extrem”fallet v och u

<< c får vi att u

´= u

– v , galileiska transformationen

Då u

= c fås ( ) _c

v c c v c

c cv

v

u _x c ⁼

−

= −

−

= −

′ 1 /

/ 1

1 ²

Inverstransformation fås genom att byta tecken på v : ^{u x = 1 + u} ( ^{u ´ ´ x} _x ^{v + v c 2} )

( ^{dt ( dx dx vdt v c )}

) ^{1 u} ( ^{u v / v c}

)

u

x

x

−

= −

−

= −

′ γ

γ