FREKVENSSPEKTRUM (FORTS)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1
Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med
oändlig periodtid P.
ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2
, 2
1 1
, 0
0 0
d d
d df df
P n P
CT FOURIERTRANSFORM
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3
𝑋 𝜔 = 𝐴(𝜔)𝑒𝑗𝜃(𝜔)
• 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡)𝑒−∞∞ −𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
• x 𝑡 = 𝐹−1 𝑋 𝜔 = 2𝜋1 −∞∞ 𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
A()= 𝑋(𝜔) = magnituddel 𝜃 𝜔 = ∢𝑋 𝜔 = fasdel
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4
En symmetrisk fyrkantpuls med höjd 1 och bredd 1 sek
EXEMPEL
x(t)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5
• 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡)𝑒−∞∞ −𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡= −0.50.5 1 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
• 𝑋 𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔𝑡
−𝑗𝜔𝑡 −0.5
0.5 = 1
−𝑗𝜔𝑡(𝑒−𝑗𝜔0.5 − 𝑒𝑗𝜔0.5)
• 𝑋 𝜔 = sin 0.5𝜔 /0.5𝜔=sinc(0.5ω)
X(j)
SPEKTRUM FÖR NÅGRA TYPSIGNALER
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6
DT-FOURIER TRANSFORM
• 𝑥 𝑛𝑇 är noll för 𝑡 ≠ 𝑛𝑇
• 𝑋𝑑 𝜔 = −∞∞ 𝑥(𝑛𝑇)𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑇
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7
DTFT - FÖR EN FYRKANTPULS
För en fyrkantpuls (T=1)
…0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 … kan man ”enkelt” visa att
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8
) 2 sin(
) 2 sin( 5 )
(
d X
-2 - 0 2
x[n]
|Xd()|
FREKVENSOMRÅDE FÖR DT-SPEKTRUM
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9
(− 𝜋𝑇 , 𝜋𝑇 , ) = (−0.5𝜔𝑠, 0.5𝜔𝑠) i radianer/s (−0.5𝑓𝑠, 0.5𝑓𝑠) i Hertz
Nyquist medför:
10
• x(t) och X() är lika goda beskrivningar av signalen
•x(t) är en beskrivning i tidsplanet och X() är beskrivningen i frekvensplanet.
• En omvandling åt vänster i uttrycket ovan kallas invers fouriertransformering
FOURIERTRANSFORMPAR
) ( )
(t X
x
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 11
Om insignalen är reell så är
• Fouriertransformens belopp en jämn funktion
•Fouriertransformens fas en udda funktion
) ( )
( X
X
) (
)
( j j
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 12
En reell signal x(t) är given i tidsplanet.
• Om signalen dessutom är jämn så kommer även X(j ) att bli reell.
• Om signalen är udda så kommer X(j ) att bli rent imaginär.
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 13
LINJÄRITET
Om signalen i tidsplanet kan delas upp i två termer så kan dessa Fouriertransformeras var för sig
) ( )
( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
(
2 1
2 1
2 2
1 1
X b X
a t
x b t
x a
X t
x
X t
x
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 14
EX 1. LINJÄRITET.
Om en signal kan delas upp delsignaler...
…så kan fouriertransformen beräknas för varje delsignal för sig och resultaten kan adderas.
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 15
i figuren visas X() för delfunktionerna (rött och blått) samt summan (grönt och överst)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 16
DUALITET
) ( 2
) (
) ( )
(
x jt
X
X t
x
Det råder symmetri
mellan tidsfunktion och frekvensfunktion
F() F(t)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 17
) 0
( )
(
) ( )
(
0
t
e j
X t
t x
X t
x
TIDSFÖRSKJUTNING
Om signalen förskjuts i tiden så påverkas endast fasdelen hos transformen!
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 18
FÖRDRÖJD SIGNAL
f(t)
Beloppet av F(w)
Fasvinkel F(w)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 19
IMPULSFUNKTIONEN
• En impulsfunktion innehåller alla frekvenser
•En fördröjd impuls har en förändrad faskaraktär
1 )
(t
1 0
)
(t t0 e jt
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 20
FÖRFLYTTNING I FREKVENSPLANDET
En förflyttning i frekvens ger påverkan på fasen i tidsplanet
t
e j
t x X
t x X
) 0
( )
(
) ( )
(
0
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 21
MODULATION
Modulation innebär i detta sammanhang multiplikation med en bärvåg
) (
2 ) 1
( 2
) 1 cos(
) (
) ( )
(
0 0
0
X X
t t
x
X t
x
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 22
MODULATION ETT EXEMPEL
En puls moduleras med en sinuston
tidsplanet: frekvensplanet:
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 23
FÖRÄNDRING AV SKALA
Om skalan på signalen i tidsplanet ändras så
ändras också skalan i frekvens-planet
) 1 (
) (
) ( )
(
a X a at
x
X t
x
Belopp X(jw)
x(t)
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 24
DIFFERENTIERING
) (
) ) (
(
) (
) (
j F j
dt t f d
j F t
f
n n
n
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 25
INTEGRERING
) ( )
0 ( )
1 ( )
(
) ( )
(
j X X
j d
x
X t
x
t
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 26
STEGFUNKTIONENS FREKVENSINNEHÅLL
Om man integrerat en impulsfunktion så får man ett
steg.
t
dt t t
u
j X t
t x
) ( )
(
1 )
( )
( )
(
) 1 (
)
(
j t
u
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 27
PARSEVALS FORMEL
d X
X dt
t x t
x
X t
x
X t
x
) ( )
( 2
) 1 ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
* 2 1
* 2 1
2 2
1 1
TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 28
SPEKTRAL ENERGITÄTHET
Om man känner till en signals fouriertransform (X()) så kan totala energin (E) och spektrala energitätheten (G(j)) beräknas
2 2
) ( )
( )
( )
(
) ( )
( 2
) 1 (
X X
X G
d X
X dt
t x E
