Kap 2 Linjära ekvationssystem
Ex. lös ekvationssystemet (2 ekvationer bildar ett system)
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
=
−
= +
24 4 2
7 3
y x
y x
1 substitionsmetoden:
Lös ut x ur (1) och sätt in i (2) Vi får då;
(1)
y x
y
x+3 =7⇒ =7−3 (2)
1 10 24
4 6 14 24 4 ) 3 7 (
2 − y + y= ⇒ − y− y= ⇒ x=− y=−
2Eliminationsmetoden
Använd eliminationsmetoden för lite mer komplicerade linjära ekvationer
1 100 10
10
72 12 6
2 2
28 1 12 4
72 12 6
4 2 3 7 1
3
24 4 2
−
=
⎭ =
⎬⎫
⎩⎨
⎧
=
=
−
⇒
→
⎭ +
⎬⎫
⎩⎨
⎧
= +
=
−
⎭ ⇒
⎬⎫
⎩⎨
⎧
= +
=
−
y x x
y x
ekvation ekvation
ekvation y
x y x
med och med rar multiplice y
x y x
Ex. Lös ekvationssystemet
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
−
= +
−
=
− +
3 2
1 2
6 2
z y x
z y x
z y x
lösbart eftersom det finns 3 obekanta och 3 ekvationer
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
= +
−
=
− +
−
⎪⇒
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
−
= +
−
=
− +
6 2
1 2
3 27
! 3 2
1 2
6 2
z y x
z y x
y x
z y x
z y x
z y x
Ekv2+ekc3-> ekv3
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
=
⎪⇒
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
=
− +
−
→ +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
=
−
=
− +
−
→ +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
−
=
− +
−
⎪ ⇒
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
−
=
− +
−
⇒
2 1 2
! 12
6
5 3
3 27
3 3
2 7 3
5 3
3 27
2 2
1
7 3
2 27 2 4
3 27 2
7 3
1 2
3 2
!
x y z
x y x
y x
Ekv Ekv
Ekv y x
y x
y x
Ekv Ekv
Ekv
y x
y x
y x ramed
multiplice y
x
z y x
z y x
Ex. En andragradskurva har ekvationen c
bx ax
y= 2 + + där a, b och c är konstanter
Kurvan går igeom punkterna (-2; 6), (1; 6) och (-1, 2) Bestäm a, b och c
0 0
>
a a≠
Insättning av punkterna ger följande ekvationssystem att lösa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⎪⇔
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
−
−
−
= + +
⎪⇔
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
−
=
−
−
= +
−
⎪ ⇔
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
−
=
−
−
= +
−
⇔
−
⎪ −
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
= + +
= +
−
⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
− +
−
= + +
= +
− +
−
2 2 2
2
18 2 3 6
6 2
4 24
12
16 3
6 2 4 3
* 2
3 2
18 3
6
6 2
4
4
* 3 4
* 2 2
6 6 2
4
!
2 )
1 ( ) 1 (
6 1
1
*
6 )
2 ( ) 2 (
2 2
2
c b a
c b
c b a
c c b
b c b a Ekv
c b
c b
c b a
Ekv Ekv
c b a
c b a
c b a
c b
a
c b a
c b
a
Alltså y−2x2 +2x+2 Ex. Lös ES
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
= +
= +
8 2
8 2
y x
py x
För alla värden på konstanten p
1 0
0 4 8 2
1
1 2 1
0 ) 1 (
8 2 2
2 8 1
2
8 2
≠
=
=
⎭⇔
⎬⎫
⎩⎨
⎧
=
=
⇔ +
≠
⎭ −
⎬⎫
⎩⎨
⎧
=
−
=
⇔ +
→
⎭ +
⎬⎫
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
= +
Dåp y
y x py x p
Med P FörlängEkv p
y py Pkv x
Ekv y Ekv
x py x
Vi måste nu studera fallet då p=1
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
=
=
⇔ +
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
= +
= +
0 0
8 2
8 2
8 1
2 x y
y x
y x
0=0 ger oändligt många lösningar då p=1 t
y t x
2 8−
=
= t är ett godtyckligt tal
