Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

Kap 2 –

Förändringshastigheter och derivator

1

GENOMGÅNG 2.1

2

• Ändringskvoter

• Begreppet derivata

HASTIGHET

Vad menas med begreppet hastighet?

Ex. 80 km/h 80km

1h

HASTIGHET

h km t

s

1

 80





Jämför med Räta linjens k-värde!!

Ändringskvot

Förändring i y-led

Förändring i x-led



Ändringskvot

Ändringskvot y

x

 



Var har du sett detta förr?

Ändringskvot

y

x k

 



Ändringskvot

y  k x  m

LINJERS LUTNING

9

•

•

(1,5)

(0,3)

2 steg i y- led

1 steg i x- led

LINJERS LUTNING

10

•

•

(1,5)

(0,3)

∆y = 2

∆x = 1

Linjens lutning =

12  2

 

 x y

RÄTA LINJENS EKVATION

11

m kx

y  

k = linjens lutning

m = var linjen skär y- axeln

RÄTA LINJENS EKVATION

12

k = linjens lutning k = linjens derivata

DERIVATAN

En introduktion

Begreppet derivata

(x + h)

Begreppet derivata

h

x f

h x

f x h

f ( ) ( )

0 ) lim

(

'  

 

) ( )

(x h f x

f  

hx



y

KURVORS LUTNING

16

VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???

VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

Positiv

+

Lutning = 0

Nega tiv -

Lutning = 0

Positiv +

Begreppet derivata

Derivative Tracer (GeoBra)

GENOMGÅNG 2.2

20

• Gränsvärde

• Derivatans definition

• Deriveringsregler

Sekant

sekant

Tangent

tangent

Begreppet derivata

h x 



) ( )

(x h f x f

y   

 )

(x h f 

x

) (x f

h x 

) ( )

(x h f x

f  

h h

x f h

x f x

y (  )  ( )

 



Begreppet derivata

h

x f

h x

f x h

f ( ) ( )

0 ) lim

(

'  

 

Begreppet derivata

DERIVATANS DEFINITION

y

x

Derivatans definition

Boken sidan 81

Sekant

sekant

Tangent

tangent

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]

x 1

x² 2x

x³ 3x²

x⁴ 4x³

x⁵ 5x⁴

x^a ax^a-1

Ser Du

mönstret?

Var hittar du detta i formelbladet?

Deriveringsregler, exempel

1 4

)

(x  x 

f f ´(x)  4

x x

x

f ( )  4 ²  f ´(x)  x8 1 x

x x

x

f ( )  4 ³  ²  f ´(x) 12x²  2x 1

3 4

) 3 (

2 x

x x

f  

3 1 2

3 3

1 4

) 6

´(  x   x  x

f

5 2 5 3

, 0 ) (

4  3 

 x

x x

f ^{3 2}

3 2 2

3 2 3

)

´( x x x

x x

f    

Vad hände med

5 2 ?

Derivatan av en konstant

4

y  y ' ? 

DESMOS - [ y = 4 ]

Kurva med derivata

Kurva med derivata

Vid vilka värden på x är kurvans lutning lika med noll?

2 3

)

(x  x³  x  f

3 3

)

´(x  x²  f

Kurvans funktion är:

Kurvans derivata är:

Vi sätter derivatan lika med noll:

0 3 3x²  

1 1

3

3x²   x²   x  

1  1

x x₂  1

Kurva med derivata

Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

Kurva med derivata

( ) (1 1)3 3 ( 1) 2 f       

Vi sätter in x = -1

2 3 1 )

1

(     f

( 1) 4 y1 4 f    

( ) (1 1)3 3 ( 1) 2 f       

Vi sätter in x = +1

2 3 1 )

1

(     f

( 1) 0 y2 0 f    

1 4

y 

2 0

y 

Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

Extrempunkternas koordinater:

 1, 4 och 1,0   

Deriveringsregler, exempel

2 3

)

(x  x³  x 

f f ´(x)  x3 ² 3

4 ) (x 

f f ´(x)  0

x x

x x

f ( )  3 ⁴  ³  f ´(x) 12x³  3x² 1

6 4

) 6 (

4 x

x x

f  

6 6 1

6 1 4

) 24

´( ³

3   

 x x

x f

5 2 5 3

, 0 ) (

4  3 

 x

x x

f ^{3 2}

3 2 2

3 2 3

)

´( x x x

x x

f    

DESMOS

› Graf 1

› Graf 2

› Graf 3

› Graf 4

GENOMGÅNG 2.3

38

Deriveringsregler 1

Funktion

Derivata

Funktion och derivata

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]

x 1

x² 2x

x³ 3x²

x⁴ 4x³

x⁵ 5x⁴

xⁿ nx^n-1

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]

x^-1 -x^-2 (-1*x^-2)

x^-2 -2x^-3

x^-3 -3x^-4

x^-4 -4x^-5

x^-5 -5x^-6

xⁿ nx^n-1

Vi deriverar…

x

y  y '  3 x

x

y  y ' 2  x

x

y  y '  1 x

Fundering

Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

' 0 y 

y 

Fundering

Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

' 2

y  x

y 

Fundering

Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

' 2

y   x

y 

Vi deriverar…

x

y  y '  x 0

1

 x

y y '   1 x

2

 x

y y '   2 x

 1

y y '  0

'  x 

y

Vi deriverar…

4 4

1



 x

y x

4

´   x

y

OBS!

Vi deriverar…

25

)

( x x

f 

Beräkna f´(2)

35

´( ) 2

f x  5 x^

264 ,

0 5 2

) 2 2

´(   ^{ 35}  f

Uppgift 2332, sid 95

Matematik 3c- boken

(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

2 3

5   1 5

Vi deriverar…

5 2

)

( x x

f 

Beräkna f´(2)

3

2 5

´( ) 5

f x  x^

3

2 2 2 5

´( ) 0, 264

f  5 ^ 

Uppgift 2332, sid 95

Matematik 3c- boken

(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Vi deriverar…

Uppgift 2333, sid 95

Matematik 3c- boken

Bestäm f´(x) om

x x x

f 5

3 )

(  

1 2

1 1 2

2

1

5 5 2

( ) 3 3 3 5

f x x

x x x

x

x ^

     

1 3

2 2

1 1

'( ) 3 ( 5 )

2 2

f x   x^    x^

2 3 2

1

2 5 2

) 3 (

' x  x^  x^

f ^{1 3}

2 2

3 5

'( )

2x 2 f x

x

 

3 5

'( ) 2 2x

f x  x  x ^{3 1 1 1 2 1 1}

2 2 2 2 2 2 2

5 5 5 5 5

2 2 2 2 2x x

x x x x x x x x

   

   

Vi deriverar…

Uppgift 2333, sid 95

Matematik 3c- boken

2 3 2

1

2 5 2

) 3 (

' x  x^  x^ f

2 3 2

1

2 5 2

) 3 ( '

x x

x

f  

x x x x

f 2

5 2

) 3 (

'   _{x  x  x x}2 _{ x  x  x  x x} 1

2 1 2 1 2

3

GENOMGÅNG 2.4

57

Deriveringsregler 2

Uppgift 2130

A (1,2)

2 1

y x  ^y

x





2 1

y x  y ' 2 x

?2 2

'

y  x

Hur ser derivatan ut?

2 2 1

y x  x 

Hur ser derivatan ut?

3 4 2 2 1

y x  x  x 

Deriveringsregler

Vi deriverar…

a x

x

f ( ) 

a a

x

f ´( )  ^x  ln x x

f ( )  5

5 ln 5

)

´(x  ^x  f

ln e

ln e

Vad visar din räknare om du slår in ln ?e

ln e  1

lg10 1 

Jämför ln e med lg10

ln e & lg 10

ln e  1

Vi deriverar…

e x

x

f ( ) 

e e

x

f ´( )  ^x  lnVAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar…

e x

x

f ( ) 

e e

x

f ´( )  ^x  lnVAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar…

e x

x

f ( ) 

e e

x

f ´( )  ^x  ln e x

x

f ( )  ²

e e

x

f ´( )  2 ^2x  ln

VAD INNEBÄR DETTA?

y e 

Naturliga logaritmer

Logaritmlagar

Logaritmer ett exempel

Uppgift 2419, sid 105

Matematik 3bc- boken

GENOMGÅNG 2.5

78

2.5 Grafisk och numerisk derivering

lg10 1 

Jämför ln e med lg10

ln e & lg 10 (rep.)

ln e  1

Uppgift 2130 (rep.)

A (1,2)

2 1

y x  ^y

x





2 1

y x  y ' 2 x

?2 2

'

y  x

Hur ser derivatan ut? (rep.)

2 2 1

y x  x 

Hur ser derivatan ut? (rep.)

3 4 2 2 1

y x  x  x 

Grafisk och numerisk derivering

Sid 113

Matematik 3bc- boken

Grafisk och numerisk derivering

' 3 1,2 ln1,2 3 1,2

x x

y y 

 

  





Grafisk och numerisk derivering

Sid 113

Matematik 3c- boken

Grafisk derivering med räknare

) 2 ( '

f f (x)  3x0,7^x

Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Svar: f ´(2)  0,42

Tryck [2ND] + CALC

Numerisk derivering med räknare

) 2 ( '

f f (x)  3x0,7^x

Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Med räknare

9 , 1 1 , 2

) 9 , 1 ( )

1 , 2 ) (

2

´( 

 f  f

f

2 , 0

) 9 , 1 ( )

1 , 2 ) (

2

´( f f

f  

Svar: f ´(2)  0,42

Derivering med räknarens inbyggda funktion

) 2 ( '

f f (x)  3x0,7^x

Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Tryck <MATH> + 8 Med räknare

Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter>

Svar: f ´(2)  0,42

nDeriv(3x*0,7^x,x,2)

Derivering med räknarens inbyggda funktion

TI-82, Äldre TI-84 etc.

) 2 ( '

f f (x)  3x0,7^x

Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Tryck <MATH> + 8 Med räknare

Mata in värden enligt nedan

Tryck <Enter>

Svar: f ´(2)  0,42

nDeriv(3X*0,7^X,X,2)

Vi jämför…