Illustrera och variera
En granskning av illustrativa representationer inom momentet multiplikation i två olika
läroböcker
Författare: Annie Fransson, Gabriella Johannesson & Rebecka Örnwigh Handledare: Oduor Olande
Självständigt arbete II, 15hp
Abstrakt
Syftet med den här studien är att undersöka och kritiskt granska de illustrativa representationerna i Favorit Matematik 2A och Eldorado 2A, inom momentet multi- plikation. Genom begrepp från variationsteorin analyseras illustrationer och hur dessa samspelar för att synliggöra vanliga svårigheter inom multiplikation. Med utgångs- punkt i variationsteorin har illustrationerna analyserats utifrån de fyra variations- mönstrena; kontrast, separation, generalisering och fusion. Resultatet av studien visar att det förekommer flest informativa illustrationer i de två analyserade läroböckerna.
Det framkommer också att de vanligaste variationsmönstren i informativa och mixade illustrationer är separation och generalisering. Utifrån studiens analys och diskussion framkommer det att båda läroböckerna använder illustrationer som främjar ett additivt tänkande, men endast en av läroböckerna använder sig av någon slags multiplikativ illustration som uppmanar till ett multiplikativt tänkande. Slutsatsen av studien är att läroböckerna använder sig av olika illustrationer, trots att de ska förmedla samma lärandeobjekt. Det bidrar till att olika variationsmönster kan uppstå och därigenom sker lärandet på olika sätt. Likaså kan en slutsats dras utifrån att inte alla illustrationer innehåller ett variationsmönster, illustrationen kan dock ändå bidra till lärande.
Nyckelord
Multiplikation, illustrationer, läroböcker, variationsmönster, multiplikativt tänkande, upprepad addition, årskurs 2
Tack
Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Oduor Olande för god handledning under arbetets gång. Vi skulle också vilja tacka våra klasskamrater som under opponerings- tillfällen har gett oss återkoppling och feedback.
Innehållsförteckning
1 Inledning 1
2 Syfte och frågeställningar 2
3 Centrala begrepp 2
4 Tidigare forskning 3
4.1 Multiplikation 3
4.2 Multiplikativt tänkande 3
4.3 Representationer 4
4.4 Illustrationer i matematikläroböcker 5
4.5 Multiplikativa illustrationer 6
4.6 Sammanfattning tidigare forskning 7
5 Teoretiska utgångspunkter 7
5.1 Variationsteorin 8
5.1.1 Lärandeobjekt 8
5.1.2 Kritiska aspekter och kritiska drag 8
5.1.3 Variationsmönster 8
5.2 Studiens förhållningssätt till teorin 10
6 Metod 10
6.1 Urval 10
6.2 Genomförande 11
6.3 Studiens tillförlitlighet och trovärdighet 11
6.4 Etiska aspekter 11
6.5 Analysmetod 11
7 Resultat och analys 12
7.1 Användandet av illustrationer i läroböckerna 13
7.1.1 Favorit Matematik 2A 13
7.1.2 Eldorado 2A 17
8 Diskussion 21
8.1 Hur de illustrativa representationerna används 21 8.2 På vilket sätt illustrationer används inom multiplikation 23
8.3 Metoddiskussion 25
8.4 Förslag på vidare forskning 26
9 Sammanfattning och slutsatser 26
Referenser 28
Bilagor
Bilaga 1 – Sammanställning av resultat - Favorit Matematik 2A Bilaga 2 – Sammanställning av resultat – Eldorado 2A
1 Inledning
”Det skulle kanske kunna gå att öka elevernas lust att lära matematik om vi mer tydligt lyfter fram, diskuterar och provar exempel på matematiska bilder som en hjälp i tänkandet.” (Hagland, 2007:31).
Det framgår från citatet att användningen av varierande uttrycksformer kan ses som en viktig komponent i matematikundervisningen. En mångfald av uttrycksformer kan bli en tillgång för problemet, genom alternativa lösningsvägar och tolkningar. Varje gång en elev möter olika teckensystem som exempelvis matematiska bilder, symboler och begrepp krävs det att eleven kan tolka och skapa mening av innehållet (Norberg, 2020). Tillsammans utgör de en komplexitet av de lärandeinnehåll som matematik- läroböckerna ämnar förmedla. Matematikläroböcker används frekvent under matematiklektionerna och de får därmed en betydande roll i elevernas undervisning av matematik (Glasnovic, 2018). Läroböcker i matematik avsedda för tidiga skolår är fyllda med illustrativa bilder som bemöter mottagaren med olika intentioner.
Illustrationer kan ha som syfte att underlätta förståelsen av texter. Ett dilemma är dock att illustrationens syfte inte alltid blir synligt för eleven (Eriksson, 2009). Norberg (2020) skriver att elever skapar mening på olika sätt. Det kan medföra att det menings- skapande som läroboken vill förmedla med sin design inte alltid är det som eleven lär sig. Olika teckensystem kan strida mot varandra vilket kan bidra till att en förvirring uppstår mellan den information som förmedlas via illustration och skrift (Norberg, 2014). Av dessa insikter väcktes en tanke att undersöka hur illustrationer faktiskt används i olika matematikläroböcker för att bidra till lärande i matematik.
Illustrationer kan användas för att bibehålla elevernas intresse och nyfikenhet, men framförallt för att underlätta deras inlärning (Norberg, 2014; Pettersson, 1991). I kunskapskraven i matematik för årskurs 1–3 (Skolverket, 2018) står det att elever med hjälp av bilder och konkreta föremål ska ha förmågan att förklara egenskaper hos olika begrepp. Med den här kunskapen ska eleverna sedan kunna förklara hur de går tillväga när de löser en uppgift. Att kunna tolka och använda bilder anses alltså viktigt.
Bilder kan framförallt hjälpa elever som har det svårt i undervisningen, men kan också hjälpa samtliga elever (Eriksson, 2009). Skolverket (2018) skriver att skolan ska bidra till att eleverna utvecklar en nyfikenhet för att lära sig nya saker och på detta sätt skapa sig en grund för fortsatt utbildning. De skriver också att det är skolans ansvar att eleverna efter avslutad grundskola ska kunna använda sig av ett matematiskt tänkande. Vidare handlar undervisningen i matematik om att utveckla olika förmågor.
En av förmågorna är metodförmågan, som går ut på att välja och tillämpa lämpliga metoder (Skolverket, 2018). Metodförmågan genomsyrar tillsammans med de andra förmågorna en stor del av undervisningen (Larsson, 2016). Given den roll som läro- böcker har för vanlig klassrumsundervisning är det angeläget att se hur illustrationer möjliggör för lärande av begreppet multiplikation och metoder knutet till begreppet.
Den här studien kommer därför att undersöka två läroböckers användning av illustrationer i utvalda avsnitt inom multiplikation. Tre olika avsnitt har valts ut från varje lärobok som fokuserar på: ”från addition till multiplikation”, ”multiplikation med 2” och ”kommutativa lagen”.
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med detta självständiga arbete är att kritiskt granska illustrationer inom momentet multiplikation i två olika läroböcker avsedda för årskurs 2. Studien utgår ifrån följande frågeställningar:
• Vilka illustrationer används inom multiplikation i de två läroböckerna?
• På vilka sätt används illustrationer inom multiplikation i de två läroböckerna?
3 Centrala begrepp
Multiplikation
Begreppet multiplikation kan definieras som termer av lika stora grupper (Beckmann, 2018). Multiplikation grundar sig i tre olika aritmetiska räknelagar: den kommutativa- , associativa- och distributiva lagen (Karlsson & Kilborn, 2015). Räknelagarna kan i korthet förklaras: den kommutativa lagen innebär att faktorerna a och b kan multipliceras i valfri ordning, men ändå uppnå samma produkt, det vill säga a·b = b·a. Den associativa lagen innebär att fler än två faktorer går att multiplicera i valfri ordning med hjälp av parenteser, men ändå ge samma produkt, (a·b)·c = a·(b·c). Den distributiva lagen kan förklaras genom en multiplikation med en parentes, faktorn i talet ska multipliceras med alla termer inom parentesen, a·(b+c) = a·b+a·c (a.a.).
Enligt kunskapskraven ska elever lära sig räknesättet multiplikation, dess egenskaper och användning (Skolverket, 2018). En förståelse för multiplikation inkluderar bland annat att kunna resonera multiplikativt och utföra beräkningar (Larsson, 2016).
Multiplikativt tänkande beskriver Drake (2012) som förståelsen för multiplikation och division, samt kopplingen mellan räknesätten. När elever använder sig av olika strategier för att förstå och lösa uppgifter inom räknesätten multiplikation och division menar Solem, Alseth och Nordberg (2011) att de besitter ett multiplikativt tänkande. Clark och Kamii (1996) anser att elever även behöver ha en abstrakt för- måga för att kunna tänka multiplikativt och beräkna matematiska multiplikations- uppgifter. Det finns alltså en koppling mellan begreppsförmåga och metodförmåga.
Larsson (2016) skriver att resonemang bildas när dessa förmågor och kunskaper kan kopplas till representationer.
Illustrationer
Illustrationer finns till för att främja lärande, främst genom att underlätta förståelsen av en text (Norberg, 2014). Det finns flera olika matematiska illustrationer. En del illustrationer förmedlar information, medan andra illustrationer är dekorativa och fungerar som utsmyckning (Brenner, Herman, Ho & Zimmer, 1999). Edens och Potter (2008) delar in illustrationer i två grupper, fritt översatta till informativa och dekorativa. Informativa illustrationer innehåller detaljer och information som hjälper eleven att lösa uppgiften. Dekorativa illustrationer är inte nödvändiga för att lösa upp- giften och de ger heller inte eleven någon information om hur uppgiften ska lösas (a.a.). Vissa dekorativa illustrationer kan dessutom distrahera och störa lärandet (Jellis, 2008). Dekorativa illustrationer innehåller inte någon matematisk information.
De kan dock hjälpa eleven att resonera och argumentera runt illustrationen och den matematiska uppgiften (Lowrie, Diezmann & Logan, 2012). Edens och Potter (2008) anser att en dekorativ illustration kan ge mottagaren en visuell tanke som gör det
matematiska problemet mer lättillgängligt eller förståeligt, då den kopplar samman tidigare erfarenheter och andra kreativa tankar som möjligtvis bidrar till en lösning.
4 Tidigare forskning
4.1 Multiplikation
Multiplikation är ett av de fyra räknesätten som tillsammans utgör grunden för aritmetiken (Larsson, 2016). Ett vanligt sätt att introducera multiplikation för yngre skolbarn är genom upprepad addition (Clark & Kamii, 1996). Upprepad addition innebär att en multiplikation representeras genom att addera ett antal lika stora grupper, exempel: 4·3 = 3+3+3+3. Elever kan dock under senare år behöva förändra sitt tänkande angående multiplikation då ett additivt tänkande inte är tillräckligt (Hurst, 2015). I vilken grad elever behöver förändra sitt tänkande beror på hur de från början har lärt sig multiplikation och division. Multiplikation och division lärs vanligtvis ut som två skilda räknesätt, vilket kan ifrågasättas då det finns många viktiga länkar dem emellan. Om eleverna från start lär sig dessa kopplingar, är det större chans att de kommer förstå multiplikationens innebörd. Vidare skriver Hurst (2015) att det finns tre kritiska aspekter i förståelsen för multiplikation: förståelsen för vad multiplikation är, förståelsen av multiplikativa illustrationer och förståelsen av multiplikativa begrepp. Förståelsen av multiplikativa illustrationer innebär att eleven lär sig se multiplikation som något som blir större, och inte något som adderas.
Multiplikativa begrepp hjälper eleven att uttrycka sig med rätt begrepp och få en djupare förståelse. Även Larsson (2016) skriver att multiplikation introduceras genom upprepad addition, men att det kan bli problematiskt. En anledning är att det kan bli svårt att föreställa sig decimaltal som adderas flera gånger. Likaså kan det bli svårigheter när de naturliga talen blir flersiffriga.
4.2 Multiplikativt tänkande
Forskningen är överens om att multiplikativt tänkande är avgörande för framgång inom matematik, vilket grundar sig i att om eleven förstår multiplikationens grunder stödjer de även många andra viktiga matematiska delar (Hurst, 2017). Ett multiplikativt tänkande är däremot svårt att lära sig. Tidigare studier har visat att många elever inte besitter ett grundligt multiplikativt tänkande (Clark & Kamii, 1996).
Clark och Kamiis (1996) forskning visar att multiplikation kräver ett utvecklat multiplikativt tänkande. I deras studie intervjuades 336 barn i årskurs 1–5 individuellt för att se utvecklingen mellan additivt och multiplikativt tänkande. Resultatet visade att det multiplikativa tänkandet utvecklas långsamt hos eleverna, endast 48–49 % av femteklassarna visade en fallenhet för multiplikativt tänkande. Resultatet visade också att de elever som inte hade ett multiplikativt tänkande löste uppgifter felaktigt genom att räkna additivt. Multiplikation är inte endast ett effektivare sätt att räkna upprepad addition på, utan en process som kräver multiplikativt tänkande. Studiens resultat tyder på att elever redan i årskurs 2 bör påbörja inlärningen av multiplikation.
En av Clark och Kamiis (1996) slutsatser angår det undervisningssätt som multiplikation lärs ut på idag, då det skapar antaganden om att en elev som kan upprepad addition också kan multiplikation.
Hurst och Hurrell (2016) beskriver det multiplikativa tänkandet som viktigt för både elevers utvecklande av matematiska begrepp och resonemang. I Hurst och Hurrells (2016) studie medverkade 400 grundskoleelever för att undersöka deras multiplikativa tänkande. Ett antal utvalda frågor ställdes till varje elev för att komma åt deras multiplikativa tänkande och få fram deras förståelse av multiplikation. En viktig del i denna studie är att multiplikativt tänkande normalt sett inte är fullt utvecklat i tidiga åldrar. Resultatet visade att ungefär en fjärdedel av eleverna visade en stark förståelse och kunnighet för multiplikativa begrepp, och en mindre andel visade en rimlig nivå. Dessutom var det knappt hälften av eleverna som kunde svara på ett lämpligt sätt, på två eller färre av frågorna. De frågor som flest elever hade svarat fel på visade sig handla om missförstånd mellan illustration och tal, samt den kommutativa lagen.
I Larssons (2016) studie har elever under fem terminer blivit intervjuade och till- delade uppgifter både individuellt och i par. Genom undersökningen ville de ta reda på elevernas koppling mellan tre komponenter inom multiplikation: beräkningar, aritmetiska egenskaper och modeller för multiplikation. Larsson (2016) går i sin studie djupare in på multiplikativa resonemang och då framförallt betydelsen av hur multiplikation presenteras i de tidigare åldrarna. Multiplikativt resonemang syftar till en liknande innebörd som multiplikativt tänkande, men med fokus på att eleven kan se skillnaden mellan multiplikativa och additiva jämförelser. Likt Clark och Kamii (1996) skriver Larsson (2016) att olika läromedel vanligtvis väljer att inleda multiplikation med upprepad addition. Resultatet av studien tyder på att elevernas förståelse för multiplikation var sammankopplad med upprepad addition. Upprepad addition har både en positiv och negativ inverkan på elevernas förståelse och konceptualisering av multiplikation. Det gynnade elevernas förståelse av beräkningar och distribution, däremot låg svårigheten i att använda kommutativitet för att konceptualisera decimalmultiplikation. Larsson (2016) menar att det krävs ett mer generellt sätt att se på multiplikation. Slutsatsen av studien är likvärdig med Clark och Kamii (1996) och Hurst och Hurrell (2016): multiplikation som upprepad addition av lika stora grupper är inte tillräcklig eftersom metoden inte går att tillämpa på annan multiplikation än naturliga tal.
4.3 Representationer
Det finns olika matematiska representationer. Brenner et al. (1999) beskriver bilder, diagram, symboler och fysiskt material som olika uttrycksformer och sätt att representera det matematiska objektet. Brenner et al. (1999) menar att det finns representationer som ger eleven nya insikter och stöttning till att lösa matematiska problem. Genom att gestalta det matematiska objektet på flera olika sätt får eleven en djupare förståelse för problemet. Genom att växla och bemöta olika representationsformer blir eleven säkrare på varierande problem (a.a.). Edens och Potter (2008) beskriver sammanhanget mellan en mental bild och en representation.
En mental bild kan liknas med en visuell tanke, som representerar den information som tas in. Den mentala bilden gör att den aktuella representationen blir mer central och gör den lättare att finna ett sammanhang till. Genom den mentala bilden skapas kreativa tankar och representationens information blir mer lättillgänglig (a.a.).
Representationer kan kategoriseras in i interna och externa representationer (Lowrie, Diezmann & Logan, 2012). Interna representationer skapas av en enskild individ och kan definieras som de mentala bilder som individen skapar. Externa representationer
är istället något som skapas av andra eller för andra. Den här studien kommer enbart att undersöka externa representationer i form av illustrationer.
4.4 Illustrationer i matematikläroböcker
De flesta illustrationer som används i matematiska läroböcker ämnar hjälpa eleven att förstå uppgiften. Eleven behöver dock förstå sambandet mellan illustration och skrift, samt ha en förståelse för vad symbolerna representerar (Deloache, Uttal &
Pierroutsakos 1998). Har inte eleven full förståelse för illustrationen kan det istället leda till att eleven misslyckas med uppgiften. Lowrie, Diezmann och Logan (2012) genomförde en studie om grafiska representationer där elever i årskurs 6 fick lösa uppgifter med hjälp av bildstöd. Resultatet visade att elever som svarat fel på en upp- gift, kunde resonera på ett annat sätt om bildstödet ändrades. I en studie som gjorts med svenska förstaårselever, undersöktes elevernas användande av illustrationer i matematiska läroböcker (Norberg, 2014). Studien tittade på illustrationer i subtraktionsuppgifter i 21 vanligt förekommande läroböcker i svensk matematik- undervisning. Resultatet visade att illustrationer kan hjälpa eleven att förstå uppgiften, men det kan också skapa förvirring. Norberg (2014) talar även om svårigheter och utmaningar kring olika matematiska illustrationer i läroböcker. Eleven kan möjligtvis ha svårt att förstå skillnaden eller meningen med varför viss information uttrycks i bild och annan i skrift. I en senare studie av Norberg (2020) undersöks subtraktions- uppgifter i 20 olika matematikläroböcker för årskurs 1. Studien tittade på hur läro- böckerna var designade för att erbjuda meningsskapande i lärandet. Analysen fokuserade därför både på hur läroböcker var designade, samt hur eleverna tolkade och förstod uppgifterna genom designen. Resultatet visade att det var stora skillnader mellan hur läroböckerna designas och hur subtraktion presenteras. Det framkom även att eleverna arbetar och skapar mening på olika sätt. Det gör att eleverna ibland skapar mening från det ämnade meningsskapandet och ibland inte, och eleven kan då träna på annat matematiskt innehåll än det som uppgiften var designad för. En slutsats som drogs var att olika teckensystem, som skriftspråk och bild, kan strida mot varandra och medför därför en komplexitet som ibland kan undvikas.
Flera forskare delar in illustrationer som antingen förmedlare av information eller som dekoration. Brenner et al. (1999) skriver att det finns olika matematiska illustra- tioner som kan förmedla information. Författarna kallar dem, fritt översatt för för- klarande bilder och översiktliga bilder. Förklarande bilder kan göra det enklare att förstå problemet, men ger inte någon direkt hjälp för att lösa det. I en del förklarande bilder kan dock en god problemlösare hitta alternativa lösningsvägar. Översiktliga bilder kan förtydliga problemet och göra det lättare att lösa uppgiften. En lyckad översiktlig bild kan bidra till nya upptäckter av matematiska mönster och generaliseringar. Vidare kan bilder även vara dekorativa (a.a.). I en studie om grafiska representationer som genomfördes med elever i årskurs 4 och 5 fick eleverna rita en bild för att hjälpa till i problemlösning (Edens & Potter, 2008). Kategorierna informativa och dekorativa illustrationer användes för att beskriva vilka olika illustrationer som finns. Likt Edens och Potters (2008) studie om informativa och dekorativa illustrationer, har Jellis (2008) konstaterat att det finns liknande kategorier som delar in illustrationer som antingen informativa eller dekorativa. Hon har valt att kalla dem för väsentliga, relaterade, dekorativa och negativt dekorativa. Väsentliga och relaterade illustrationer kan liknas med Edens och Potters (2008) informativa illustrationer, då illustrationerna innehåller information som är nödvändig för att
eleven ska kunna lösa uppgiften. Dekorativa illustrationer fungerar enbart som dekoration och är inte till hjälp för att lösa uppgiften. Negativt dekorativa illustrationer var huvudsakligen dekorativa, men kunde innehålla drag som gick att identifiera med texten. Då illustrationens drag inte gick att likställa med texten fullt ut ledde det till att en del elever svarade fel (Jellis, 2008).
Den här studien fokuserar på de illustrationer som läroböckerna använder i informativt eller dekorativt syfte. Trots att dekorativa illustrationer inte rent visuellt visar vägen till lösningen av det matematiska problemet används de i läroböcker.
Studien undersöker därför vilken roll för elevens lärande samtliga läroböckers illustrationer har i de utvalda avsnitten.
4.5 Multiplikativa illustrationer
Day och Hurrell (2015) är två australienska forskare som använder flera argument för att använda multiplikativa illustrationer i undervisningen av multiplikation, grundat i att främja elevers förståelse av beräkningsstrategier. Day och Hurrell (2015) anser att elever behöver förstå kopplingen mellan hur och varför i förhållande till multiplikation. Det innebär att de behöver ha kännedom om multiplikation i både skriftlig beräkning och huvudräkning. Elever behöver en förståelse för varför en multiplikation räknas ut på ett visst sätt, inte bara memorera tabeller. För att lyckas med detta har författarna gett förslag på ett antal multiplikativa illustrationer.
Figur 1 är ett typexempel på hur elever idag delar upp sina blå kulor om det blir ombedda att skapa fyra grupper med tre tillhörande blå kulor i varje grupp. Det som visas i figur 1 är i synnerhet korrekt, men inte det mest användbara och effektiva sättet att representera multiplikationen 4·3. Figur 1 uppmuntrar främst till att använda sig av upprepad addition, alltså ett additivt tänkande, vilket inte är en fungerande strategi i alla matematiska situationer (Day &
Hurrell, 2015).
Figur 2 är en multiplikativ illustration som visar 4·3.
Det är en enkel och korrekt beräkning av upprepad addition, men genom den rektangulära helheten upp- muntrar den också till andra förståelser av multiplikationens innebörd. Förståelse för figur 2 är en mycket viktig del för att bygga en bra grund i sitt multiplikativa tänkande (Day & Hurrell, 2015).
Ytterligare en positiv fördel med att använda multiplikativa illustrationer är att eleverna enklare ut- vecklar och ser den kommutativa lagen (Day & Hurrell, 2015). De multiplikativa illustrationerna (figur 2) går att rotera 90 grader för att enkelt påvisa kommutativitet (Hurst, 2015). Eleven får då se att 3·4 och 4·3 är lika mycket (Day & Hurrell, 2015).
Enligt Larsson (2016) är användandet av upprepad addition en anledning till att eleverna senare inte känner till den kommutativa lagen. Multiplikativa illustrationer kan visa kommutativitet genom att lära eleven se hur många grupper av samma antal
som går att hitta (Day & Hurrell, 2015). Om vi återigen tittar på figur 2, kan vi titta både lodrätt och vågrätt och på det viset uppmärksamma eleven på multiplikationens olika grupper. Enligt Hurst (2015) är det ett mer effektivt sätt att visa multiplikationens kommutativitet på, än att vrida den multiplikativa illustrationen 90 grader. Elevernas förståelse av det här kan dessutom utvecklas genom att lösa upp- gifter som går ut på att bygga egna multiplikativa illustrationer.
Hurst (2015) skriver om olika faktorer som behövs för att förstå multiplikation, som bland annat multiplikativa illustrationer. De multiplikativa illustrationerna är kritiskt avgörande i utvecklandet av multiplikativt tänkande. När Hurst (2015) skriver om multiplikativa illustrationer menar han att de behöver bli mer än bara en representation, de behöver bli verkliga verktyg. Ett samband mellan representation och den verkliga matematiken behöver möjliggöras för att nå lärandet.
4.6 Sammanfattning tidigare forskning
Det har visat sig att illustrationer kan ha olika syften och kan vara ämnade både som informativa och dekorativa. Illustrationen kan både bringa hjälp och förståelse till en uppgift, liksom den kan skapa förvirring (Lowrie, Diezmann och Logan, 2012;
Norberg, 2014). I momentet multiplikation ingår det att eleven ska förstå vad multiplikation är, ha förståelsen av multiplikativa illustrationer och ha förståelsen av multiplikativa begrepp (Hurst, 2015). Genom tidigare forskning har det dock framkommit att svårigheter finns.
För att förstå vad multiplikation är behöver eleven förstå sambandet och kopplingen mellan addition och multiplikation, samt kopplingen mellan multiplikation och division. Hurst (2015) anser dock att svårigheter kan uppkomma om elever endast ser multiplikationer som en upprepad addition. Multiplikation behöver sedermera ses som delar, som tillsammans blir en helhet. Vidare går det att ringa in liknande svårig- heter i användandet av multiplikativa illustrationer. Eleven behöver se multiplikationen som mer än en upprepad addition och använda sig av ett multiplikativt tänkande (a.a.). Används enbart ett additivt tänkande kan eleven gå miste om viktiga kopplingar mellan multiplikation och division (Day & Hurrell, 2015). Med multiplikativa illustrationer kan multiplikationens kommutativitet enklare påvisas, liksom en förståelse för multiplikationens innebörd kan utvecklas med ett multiplikativt tänkande (Hurst & Hurrell, 2016). Hurst (2015) anser dessutom att det kan tillkomma svårigheter för eleven om innebörden av multiplikativa begrepp inte framgår. Eleven behöver förstå vikten vid att behärska ett matematiskt språk med multiplikativa begrepp, för att kunna förstå, diskutera och föra resonemang om momentet multiplikation. Ett gott matematiskt och framförallt multiplikativt språk främjar förståelsen för eleven (a.a.).
5 Teoretiska utgångspunkter
Detta självständiga arbete kommer att ha variationsteorin som teoretisk utgångspunkt med fokus på teorins variationsmönster: kontrast, separation, generalisering och fusion (Lo, 2014).
5.1 Variationsteorin
Variationsteorin har sina rötter i den vetenskapliga utvecklingen inom fenomeno- grafin, som grundar sig i hur människor kan uppleva ett fenomen på skilda sätt (Kroksmark, 2007). Grundarna till fenomenografin, Marton och Booth (1997) har genom experiment och observationer studerat människors olika uppfattningar och tolkningar, angående synen på olika fenomen. Variationsteorin har i sin tur utvecklats för att få en större förståelse för hur människors uppfattningar inom undervisning och lärande sker, dels för att få en större förståelse för hur samma sak kan uppfattas på olika sätt (Lo, 2014).
”Sätt att erfara” är återkommande ord inom variationsteorin. (Lo, 2014). Teorin vill således belysa att det är genom skillnader vi erfar och i sin tur lär oss. Det går förslagsvis inte att erfara att något är långt om du inte har erfarit att något är kort, alltså att längd kan variera (Runesson, 2011). Variationsteorin kan på detta sätt användas för att möjliggöra lärande. Inom variationsteorin finns ett antal fenomen som har större betydelse för hur olika saker eller fenomen kan uppfattas inom lärande och undervisning. De fenomen som bearbetas är bland annat lärandeobjektet och kritiska aspekter (Lo, 2014).
5.1.1 Lärandeobjekt
Inom variationsteorin skriver Lo (2014) att lärandeobjektet är ett centralt begrepp.
Lärandeobjektet kan ses som en utgångspunkt för lärandet. Holmqvist (2006) be- skriver lärandeobjektet som en speciell förmåga som utvecklas eller som kunskaper inom skolämnena. Under arbetets gång kan lärandeobjektet ändras och är inte förut- bestämt (Lo, 2014). Inom variationsteorin anses lärandeobjektet ha två olika aspekter;
den specifika och den generella aspekten (Lo, 2014). Den specifika aspekten är ett kortsiktigt mål och gäller den kunskap som eleverna ska skaffa sig inom ett specifikt ämne. Den generella aspekten är ett långsiktigt mål, som inkluderar de kunskaper som eleverna tar till sig och utvecklar när de lär sig specifika aspekter. Vidare skriver Lo (2014) om vikten vid att tänka igenom lärandeobjektet och varför eleverna ska lära sig det. Ett lärandeobjekt kan ha olika betydelser från person till person (Holmqvist, 2006).
5.1.2 Kritiska aspekter och kritiska drag
Innebörden av kritiska aspekter och kritiska drag kan enligt Lo (2014) uppfattas som tämligen lika, vilket inte alltid är fallet. Kritiska aspekter innebär att det finns dimensioner av variationer, till skillnad mot kritiska drag som syftar till att det finns ett värde i dimensioner av variationer. Det kan förklaras genom att beskriva en triangel som är stor, grön och liksidig, vilket motsvarar triangelns kritiska drag som då är: stor, grön och liksidig. När de kritiska dragen har skiljts ut går det att särskilja dem från några av de kritiska aspekterna som i detta fall kan bli storlek, färg och sidovinkel. Det grundar sig i att vi behöver förstå de kritiska aspekterna, som i detta fall bland annat var storlek, för att sedan ha möjlighet till att förstå storlekens dimensioner som exempelvis stor och liten.
5.1.3 Variationsmönster
Lo (2014) beskriver att variationsteorin har tagit fram variationsmönster med för- hoppningen att skapa urskiljning i lärandeobjektet, samt att skapa möjliga separationer och variationer. Variationsmönster skapar möjlighet till lärande genom
att eleverna kan urskilja variation. I variationsmönstret ingår framförallt fyra begrepp, som också kommer ligga till grund för denna studie: kontrast, separation, generalisering och fusion. Enligt variationsteorin går det inte att endast förlita sig på likheter, teorin hävdar nämligen att det är genom skillnader och medvetna variationer elever på egen hand kan se och urskilja lärandeobjektet. Lo (2014) beskriver vikten av att det skapas möjligheter för lärande till eleverna, samt hur medvetna val av variationsmönster kan bidra till det. De fyra ledande begreppen ämnar ge eleven möjlighet till lärande genom urskiljning, då något ställs i kontrast mot ett annat.
Kontrast
Begreppet kontrast är det mest ledande begreppet inom variationsteorin (Lo, 2014).
Kontrast bildas när en elev får förståelse för skillnaden mellan två olika värden som kontrasteras mot varandra. Att se kontraster i ett lärandeobjekt kan förslagsvis inne- bära att eleven ställer addition i jämförelse mot subtraktion, då kontrasterna blir som tydligast. Lo (2014) beskriver att kontrast ska leda till att eleven lättare kan urskilja vad det verkliga lärandeobjektet är, genom att sätta det i kontrast till vad det inte är.
Separation
Begreppet separation förklarar Lo (2014) grundar sig i variationsmönstret kontrast.
Kontrast innebär som ovan nämnt att eleven kan sätta olika värden i kontrast till varandra. Om eleven sedan kan urskilja värdet från objektet anser författaren att det rent bildligt har skett en separation från lärandeobjektet, samt att en variation har skapats. Eleven såg möjligen lärandeobjektet som en odelad helhet tidigare, men med hjälp av separation kan eleven nu se värdet och vidden av variation, det vill säga att fokusera på värdet separat. Att se separation kan för eleven innebära att hen kan benämna, ändra eller ställa värdet i fokus till något annat sammanhang, en djupare förståelse har då skapats. Separation skulle förslagsvis kunna grunda sig i värdena stor och liten, för att sedan leda eleven till en dimension av begreppet storlek.
Begreppet innebär således att eleven kan urskilja en tydlig variation från lärande- objektet (a.a.).
Generalisering
Generalisering (Lo, 2014) innebär att eleven förstår vad lärandeobjektet representerar, trots att olika aspekter till lärandeobjektet varieras. Lärandeobjektet ska i generalisering således beaktas som centralt, men för att variationsmönstret ska ta sig uttryck behöver aspekterna runt lärandeobjektet varieras. Detta kan beskrivas med hjälp av ett lektionstillfälle med geometriska figurer. Eleverna tillhandahålls först två olika geometriska figurer, förslagsvis en triangel och en kvadrat. För att behärska generalisering av olika trianglar behöver eleverna introduceras för trianglar av olika slag, det vill säga trehörningar med olika vinklar, storlekar och färger. Eleven behöver förstå var det konstanta värdet ligger, vad i en trehörning är oförändrat. När eleven har fått förståelsen för vad som kännetecknar gruppen trianglar, oavsett om det är rätvinkliga eller trubbiga, har det skett en generalisering. Skillnaden mellan separation och generalisering är således hur många variationer som går att urskilja från lärandeobjektet, är det fler än en blir det generalisering (Lo, 2014).
Fusion
Begreppet fusion förklarar Lo (2014) strävar mot att eleven har en förståelse av att olika variationer i flera dimensioner förekommer samtidigt. Det kan uppnås om eleven är medveten om flera kritiska aspekter och dess förhållande till varandra. Ett
exempel kan vara att ge eleverna ett flertal matematiska uppgifter med varierat sammanhang såsom enheter, vikt eller längd men att grundprincipen eller räknesättet kvarstår. I grundprincipen eller räknesättet som kvarstår finns vanligtvis flertalet kritiska aspekter som eleven behöver förhålla sig till.
5.2 Studiens förhållningssätt till teorin
Variationsteorin kommer vara ett ramverk för vår analys av studien. Inom variations- teorin behöver man först kunna urskilja vad lärandeobjektet är och inte är, och då krävs variation av olika variationsmönster (Holmqvist, 2006). De olika kritiska aspekterna behöver dessutom varieras för att ge en full förståelse av lärandeobjektet.
Studien kommer utgå från tre lärandeobjekt: sambandet mellan addition och multiplikation, multiplicera tal med två och kommutativa lagen. Utifrån tidigare forskning (t.ex. 4.5) har flertalet svårigheter för förståelsen av multiplikation identifierats. Baserat på dessa svårigheter har tre kritiska aspekter uppdagats, som ligger till grund för studien:
• Sambandet och kopplingen mellan räknesätten. Eleven behöver förstå sam- banden mellan de räknesätt som läroböckerna använder, exempelvis sam- bandet addition och multiplikation.
• Det matematiska språket som används i läroböcker. Det innebär att eleven behöver förstå multiplikativa begrepp för att kunna förstå multiplikation.
• Multiplikation som delar, som tillsammans bildar en helhet. Eleven behöver förstå att flertalet grupper tillsammans bildar en produkt.
Studien undersöker vilka kritiska aspekter som kan uppkomma ur lärandeobjekten genom läroböckernas illustrationer. Begreppet kritiska drag som tidigare har nämnts i texten, kommer inte att användas i denna studie. Kritiska drag baseras på värdet av variationer, vilket inte är aktuellt i studien. Studien undersöker endast vilka variationer som förekommer, vilket således blir kritiska aspekter.
6 Metod
6.1 Urval
Arbetet utgick från ett bekvämlighetsurval (Denscombe, 2018). Läroböckerna valdes utifrån vilka som var mest lättillgängliga för oss. Urvalet fortsatte sedan att utgå från tre kriterieurval (a.a.). Första kriteriet vi hade var att de två läroböckerna skulle vara aktuella, alltså att böckerna fanns eller används på skolor idag. Det andra kriteriet var att dessa läroböcker fanns för elever på lågstadiet. Tredje och sista kriteriet var att matematikböckerna skulle behandla multiplikation. Valet föll på Favorit Matematik 2A (Ristola, Tapaninaho & Vaaraniem, 2018) och Eldorado 2A (Olsson & Forsbäck, 2016). Till varje nytt avsnitt i läromedlet Favorit Matematik 2A finns det likaså filmer att tillgå. Filmerna kommer dock inte att granskas i detta arbete. Det första avsnittet vi har valt heter ”från addition till multiplikation” i Favorit Matematik 2A, och
”multiplikation” i Eldorado 2A. Det andra avsnittet heter ”multiplikation med 2” i Favorit Matematik 2A och ”2:ans tabell” i Eldorado 2A. Det tredje avsnittet kallas
”kommutativa lagen” i båda läroböckerna. Läroböckernas avsnitt kan dock likställas med varandra då de behandlar samma saker. Vi har valt att kalla avsnitten för ”från
addition till multiplikation”, ”multiplikation med 2” och ”kommutativa lagen” i resten av arbetet. Anledningen till att vi valde att analysera de tre avsnitten, var för att det är de inledande avsnitten för multiplikation i läroböckerna.
6.2 Genomförande
Datainsamlingen inleddes med att leta efter kapitel i vardera bok som behandlade de matematiska avsnitten ”från addition till multiplikation”, ”multiplikation med 2” och
”kommutativa lagen”. Samtliga uppgifter i läroböckernas avsnitt kontrollerades och valdes ut baserat på om deras illustrationer var informativa eller dekorativa. Studien analyserade alltså inte de uppgifter som saknade illustration. Varje illustration under- söktes, sedan fastställdes både lärandeobjekt och alternativa kritiska aspekter utifrån illustrationerna (5.2). För att ge en rättvis bild av de separata läroböckerna in- kluderades även den tillhörande texten till illustrationerna. Texterna inkluderades genom att vi läste och förstod uppgiftsbeskrivningen. Efter det fortsatte analysen och illustrationerna blev granskade och kategoriserade utifrån de fyra variationsmönstren (5.1.3).
6.3 Studiens tillförlitlighet och trovärdighet
När studiens tillförlitlighet undersöks syftar det till att stärka reliabiliteten och validiteten (Christoffersen & Johannessen, 2015). För att stärka studiens reliabilitet har vi valt att inte värdera innehållet av läromedlets illustrationer, utan sorterar och kategoriserar dem utifrån väldefinierade begrepp från tidigare forskning. Den valda teorin innefattar definierade variationsmönster som en stor del av studien förlitar sig på, vilket gör analysen mer trovärdig. För att stärka validiteten i studien har vi valt att fokusera på alla illustrationer i respektive läroboks avsnitt. På så sätt blir studiens utgångsläge inte vinklat eller anpassat för ett visst resultat. All data har således samlats in och sedan analyserats, vilket ger studien en större trovärdighet (a.a.). Enligt Graneheim och Lundman (2004) blir trovärdigheten starkare om resultatet i studien blir densamma, oavsett vem som utför studien. I vår studie hade resultatet möjligen skiljt sig från en forskare till en annan, då uppfattningen av variationsteorins variationsmönster kan tolkas och uppfattas olika.
6.4 Etiska aspekter
Vi har varit i kontakt med förlagen Studentlitteratur och Natur & Kultur för att få tillåtelse av respektive förlag att använda oss av Favorit Matematik 2A och Eldorado 2A i studien, samt att använda oss av deras illustrationer. Förlagen kontaktades ytter- ligare en gång för att säkerhetsställa att illustrationerna och referenserna används korrekt. Detta gjorde vi för att ta hänsyn till upphovsrättslagen (SFS, 1960:729). De avbildade illustrationerna i den här studien kommer att refereras till illustratörerna och vilken lärobok som illustrationen används i, frånsett de bilder som är utformade för denna studie.
6.5 Analysmetod
Studien använder sig av en kvalitativ innehållsanalys där materialet analyseras i flera steg för att urskilja lämpliga kategorier (Graneheim & Lundman, 2004). Vid användandet av en kvalitativ innehållsanalys är det viktigt att inte låta egna värderingar blandas med resultatet (a.a.). För att minska risken att det sker, har en plan utformats över hur analysen ska gå till (Bryman, 2018). Analysen sker därför i
olika steg. Det ramverk som studien tillämpar utgår ifrån väldefinierade begrepp från tidigare forskning. Utifrån begreppen utformades en struktur för studiens analys (figur 3).
Figur 3. Struktur för studiens analys.
Första steget i analysen är att bestämma om en uppgifts illustrationer är informativa eller dekorativa. I genomförandet av analysen fann vi att vissa uppgifter kunde inne- hålla inslag som var både informativa och dekorativa. Det kan liknas med det som Jellis (2008) kallar för en negativ dekoration. Illustrationen är då i huvudsak dekorativ och stämmer inte överens med tillhörande text, men har vissa inslag som överens- stämmer. Sådana illustrationer kan därför bli missvisande (a.a.). Till skillnad från negativa dekorationer, kunde vissa illustrationer i vår studie vara i huvudsak informativa men ha dekorativa inslag. En del illustrationer kunde då liknas med det som Brenner et al. (1999) kallar för förklarande bilder. De kan göra det enklare att förstå uppgiften, men ger inte någon direkt hjälp för att lösa den. Sammantaget för illustrationerna vi fann i den här studien, kunde en illustration som först ansågs vara informativ, också ha dekorativa inslag. Likaså kunde en illustration som först ansågs vara dekorativ, ändå fylla ett informativt syfte. Det gick därför inte att kategorisera in alla illustrationer som antingen informativa eller dekorativa. En ny kategoriseringen lades till som vi har valt att kalla för mixade illustrationer. Analysen gjordes sedan om på nytt där den nya kategorin inkluderades.
Det andra steget i analysen är att hitta uppgifternas lärandeobjekt och kritiska aspekter. Utifrån de kritiska aspekterna inleds sedan det tredje steget, som innebär att analysera vilka variationsmönster som finns i uppgifternas illustrationer. Analysen utgick då ifrån de variationsteoretiska begreppen: kontrast, separation, generalisering och fusion. De olika kategorierna av illustrationer används i analysen för att se vilka illustrationer som finns. Genom att använda variationsteoretiska begrepp kan vi se på vilket sätt de illustrativa representationerna främjar förståelse genom att skapa variation.
7 Resultat och analys
I detta kapitel redovisas studiens resultat utifrån de valda frågeställningarna. Läro- böckerna framförs var för sig med tillhörande rubriker som utgår från de valda avsnitten. Under rubrikerna redogörs först vilka illustrerade representationer som används och därefter på vilket sätt de används utifrån de begrepp som studien utgår ifrån i sin analys.
7.1 Användandet av illustrationer i läroböckerna
Studien har analyserat illustrationer i sammanlagt 46 uppgifter som tillhör de utvalda avsnitten. Favorit Matematik 2A innehöll totalt 25 uppgifter och Eldorado 2A inne- höll 21 uppgifter. Varje uppgift innehåller en eller flera illustrationer. I Favorit Matematik 2A:s uppgifter fanns 30 illustrationer. Eldorado 2A:s uppgifter innehöll 26 illustrationer. Studiens frågeställningar besvaras genom att presentera hur illustrationerna fördelats i de olika kategorierna utifrån studiens analytiska ramverk.
Resultatet redovisas utifrån varje lärobok. Syftet är inte att jämföra läroböckerna, utan att synliggöra vilka illustrationer som kan användas och på vilket sätt inom multiplikation. Först kommer en sammanställning av fördelningen mellan illustrationerna och därefter redovisas resultatet med hjälp av beskrivningar och uppgiftsexempel från varje avsnitt i respektive lärobok.
7.1.1 Favorit Matematik 2A
Favorit Matematik 2A är en av två läroböcker i serien avsedda för årskurs 2. Kapitel 4 i Favorit Matematik 2A behandlar multiplikation och innehåller de avsnitt som vi har valt ut: från addition till multiplikation, multiplikation med 2 och kommutativa lagen. Några återkommande illustrationer är ekorren Kurre och skatan Sally, som figurerar som huvud- karaktärer i hela bokserien och är ibland involverade i upp- gifterna.
Resultatet redovisas översiktligt i tabell 1. Totalt använde Favorit Matematik 2A fler informativa illustrationer än dekorativa. Totalt var 18 illustrationer informativa och sju
illustrationer var dekorativa. Resterande fem illustrationer kategoriseras som mixade illustrationer. Fem uppgifter hade illustrationer där kontrast bildades och 13 illustrationer innehöll separation. Generalisering fanns i tio uppgifter och fusion fanns i tre uppgifter. Av de uppgifter med informativa illustrationer, var det en som inte hade något variationsmönster. Övriga informativa illustrationer innehöll minst ett variationsmönster. Samtliga dekorativa illustrationer saknade variationsmönster. Av kategorin mixade illustrationer fanns det en illustration som inte innehöll variations- mönster. Den kompletta sammanställningen går att hitta som bilaga 1.
Tabell 1. Tabellöversikt över antal analyserade uppgifter och variationsmönster. Uppgifterna kan inne- hålla fler än en illustration som kategoriserats. Variationsmönstren förkortas med första bokstaven i varje begrepp: kontrast, separation, generalisering och fusion.
Från addition till multiplikation
I detta avsnitt från Favorit Matematik 2A be- handlas ”från addition till multiplikation”. I avsnittet finner vi en uppgift med en informativ illustration (figur 4). Eleven ska lösa olika delar i uppgiften där de först ska skriva den upprepade additionen, sedan en multiplikation och till sist beräkna.
Illustrationen är informativ eftersom eleven inte hade haft möjlighet att lösa uppgiften utan den. Lärandeobjektet i uppgiften (figur 4) är att förstå sambandet mellan addition och multiplikation.
I uppgifternas (figur 4) illustrationer synlig- görs två kritiska aspekter som berör
multiplikation. En kritisk aspekt som uppgiften visar är det faktum att eleven möjligtvis inte ser multiplikationen i uppgiften som delar, som tillsammans ska bilda en helhet (Hurst, 2015). Cirklarna i grupperna ska ses som delar, som sedan ska multipliceras till en helhet. Den andra kritiska aspekten som synliggörs i illustrationen innefattar sambandet och kopplingen mellan räknesätten. Eleven behöver förstå sambanden mellan de räknesätt som läroböckerna använder, i detta fall sambandet mellan addition och multiplikation (Hurst, 2015). Utifrån de kritiska aspekterna i illustrationen (figur 4) visas variationsmönstren separation och generalisering.
Genom A-B, C-D och E-F möjliggörs variationsmönstret separation, då färgen på cirklarna är konstanta men antalet cirklar varieras. Det går således att separera uppgiftens delar från varandra. Uppgiften möjliggör likaså till variationsmönstret generalisering. Eleven får genom illustrationen se variationer av vad som kan känneteckna multiplikation. Variationer som tar sig i uttryck i form av cirklar i olika färger och antal, samt upprepad addition som leder till multiplikation.
Följande uppgift (figur 5) finns också under avsnittet som behandlar ”från addition till multiplikation”. Uppgiften innefattar två olika delar, A och B. De två olika delarna innefattar en informativ illustration i form av tärningar och rutor med upprepad addition.
Illustrationen krävs för att eleven ska kunna
utföra uppgiften, eftersom
uppgiftsbeskrivningen säger ”dra streck”
mellan tärningarna, den upprepade additionen och till sist multiplikationen. I uppgiftens mitt finns sex par stövlar i olika färger, dessa stövlar är tillsammans en mixad illustration. En mixad illustration innebär som tidigare nämnt att uppgiften delvis ger information som gör uppgiften lättare att lösa, samtidigt som den enbart skulle kunna ses som dekorativ. Dessa stövlar är uppdelade i par, vilket skulle kunna
underlätta för eleven i användandet av 2:ans tabell i uppgiftens första del. Stövlarna är dock i huvudsak dekorativa då uppgiftsbeskrivningen inte nämner några stövlar.
Den bidrar inte heller till något tankesätt för uppgiftens andra del, då uppgiften behandlar multiplikation med 5. Uppgiftens (figur 5) lärandeobjekt syftar till att lära eleven se kopplingen mellan addition och multiplikation, genom att dra streck mellan en addition som överensstämmer med en multiplikation.
I denna uppgift (figur 5) går det att se två kritiska aspekter utifrån illustrationerna.
Den första kritiska aspekten synliggör sambandet och kopplingen mellan räknesätten (Hurst, 2015). Eleven behöver förstå sambanden mellan de räknesätt som uppgiften använder, vilket är addition och multiplikation. Den andra kritiska aspekten som illustrationen visar är att eleven möjligen inte ser multiplikationen i uppgiften som delar, som tillsammans bildar en helhet (Hurst, 2015). Utifrån de kritiska aspekterna i uppgiften (figur 5) finns variationsmönstren kontrast, separation och generalisering.
I uppgiften ska eleven dra streck mellan en addition och multiplikation, vilket ger eleven en bild av vad summan eller produkten är, samtidigt som den ger en bild av vad något inte är. Det vill säga, om eleven drar ett streck mellan 2+2 och 2·2 syns det likaså att 2+2 inte är 2·2·2·2. Detta bidrar till variationsmönstret kontrast. Separation är det variationsmönster som anser att alla värden utom ett är konstanta, det värdet varierar. I denna uppgift finner vi i varje separat del att varje tärning har samma värde men visas i olika mängder, tärningens värde är således konstant men mängden förändras. Variationsmönstret generalisering tar sig i uttryck genom att eleven behöver granska uppgiftens alla delar. Därefter bör eleven använda samma form av uträkning men sätta den i förhållande till olika värden, 2:ans och 5:ans tabell. Det går således att generalisera och överföra räknesättet från uppgift till uppgift, trots att värdet och mängd förändras.
Multiplikation med 2
Uppgiften som redovisas till höger (figur 6) tillhör Favorit Matematik 2A:s avsnitt som be- handlar ”multiplikation med 2”. Illustrationen är informativ. I uppgiftens nedre del visas ena delen av illustrationen, i form av bokstäver kombinerat med siffror. Denna del är informativ då eleven behöver den för att utföra uppgiften korrekt. Ytterligare en informativ del av illustrationen finns vid uppgiftens första be- räkning (A. 2+2 =__). Där har illustratören valt att skissa två 2:or för att hjälpa eleven att förstå uppgiftens utförande. Lärandeobjektet i figur 6 är multiplikation med 2, då samtliga tal inne- fattar siffran 2.
Utifrån illustrationen (figur 6) går det att se den kritiska aspekten som berör sam- bandet och kopplingen mellan räknesätten (Hurst, 2015). Eleven behöver förstå sam- banden mellan räknesätten addition och multiplikation för att ha möjlighet att lösa uppgiften. Utifrån de kritiska aspekterna i uppgiften (figur 6) finns variationsmönstret kontrast. Kontrast innebär som tidigare nämnt att en elev lär sig vad något är genom att se vad något inte är. Eleven ser i denna illustration siffror som visar vilken bokstav som ska fyllas i efter varje multiplikation. Om elevens uträkning blir fel, blir således
även bokstaven fel. Förhoppningen är att eleven efter avslutad beräkning kan läsa det ord som har skapats, men om det inte är fallet kan eleven sätta det i kontrast till en annan siffra som visar en ny bokstav.
Nästa uppgift (figur 7) är likaså från avsnittet som behandlar ”multiplikation med 2”, trots att den inte illustrerar eller involverar multiplikation med 2.
Illustrationerna i uppgiften är informativa, då den utan illustrationerna inte hade varit möjlig att utföra. Lärandeobjektet i figur 7 är att eleven ska förstå sambandet mellan addition och multiplikation, trots att det i denna uppgift inte är speciellt tydligt.
Den första kritiska aspekten som
illustrationen (figur 7) synliggör är den som berör det matematiska språket i uppgiften. Uppgiftens instruktioner beskriver matematiska begrepp som eleven behöver sätta i perspektiv till uppgiften. Den andra kritiska aspekten handlar om att förstå multiplikation som delar som tillsammans bildar en helhet. I det här fallet (figur 7) är de små illustrationerna delar som tillsammans blir en helhet (Hurst, 2015).
Utifrån de kritiska aspekterna i figur 7 finns variationsmönstren generalisering och fusion. Generalisering blir tydligt då eleven behöver upprepa samma tankesätt, men i form av olika värden och mängder. Eleven behöver således ta reda på vad varje illustration är värd för att summan ska bli rätt. En kortfattad definition av generalisering går att sammanställa med orden: när något hålls konstant, men i olika kontexter. Variationsmönstret fusion förekommer likaså i denna matematikuppgift.
Fusion skapas specifikt genom det röda diademet, då det dyker upp vid olika tillfällen, men behåller sitt värde. Eleven behöver använda kunskapen om diademets värde i två olika steg, vilket skapar en förståelse för variationer i olika dimensioner (Lo, 2014).
Kommutativa lagen
I Favorit Matematik 2A:s avsnitt som be- handlar ”kommutativa lagen”, finns denna uppgift på första sidan (figur 8). En uppgift vars illustrationer är både informativa och dekorativa. Den delen av illustrationen som anses vara informativ är de staplade kvadraterna, eftersom staplarna krävs för att uppgiften ska vara möjlig att lösa. Den del av illustrationen som är dekorativ är de skruvar som är placerade i det högra hörnet, de hjälper inte eleven att lösa uppgiften. Uppgiften är ut- formad för att eleven ska se kopplingen mellan faktorerna och produkten, för att sedan göra en jämförelse. Lärandeobjekt är att förstå den kommutativa lagen.
Utifrån den informativa illustrationen med de staplade kvadraterna (figur 8) fram- kommer en kritisk aspekt (Hurst, 2015). Den kritiska aspekten handlar om att eleven
behöver förstå multiplikation som delar, som sedan tillsammans bildar en helhet. I denna uppgift (figur 8) är det lätt att urskilja delarna, då illustrationen visar staplar av kuber som tillsammans blir en helhet (Hurst, 2015). Utifrån den kritiska aspekten i figur 8 kan variationsmönstret separation möjliggöras. Genom separation får eleven lära sig att kunna urskilja eller se värden mellan två ting. I uppgiftens tre delar får eleven lära sig att se hur en multiplikation kan skilja sig i faktorernas ordning, men slutligen bidra till samma produkt.
7.1.2 Eldorado 2A
Eldorado 2A är en av två läroböcker i serien, avsedda för årskurs 2. Kapitel 5 i Eldorado 2A handlar om multiplikation och innehåller de avsnitt som behandlar: från addition till multiplikation, multiplikation med 2 och kommutativa lagen.
Alla uppgifter som analyseras i Eldorado 2A innehåller illustrationer. En återkommande illustration i boken är den apa som framställs vara en huvudkaraktär.
Resultatet redovisas översiktligt i tabell 2. Av totalt 21 uppgifter visade resultatet att Eldorado 2A:s avsnitt innehöll
uppgifter med 14 informativa illustrationer och sju dekorativa. Resterande fem uppgifter hade mixade illustrationer. Tre uppgifter hade illustrationer som innehöll kontrast och sju innehöll separation. Generalisering fanns i nio uppgifter och fusion fanns i fem. Av de uppgifter med informativa illustrationer var det två som inte hade något variationsmönster. Övriga informativa illustrationer innehöll minst ett variationsmönster. Samtliga dekorativa illustrationer saknade variationsmönster.
Likaså fattades det variationsmönster i två av de mixade illustrationerna. Den kompletta sammanställningen går att hitta som bilaga 2.
Tabell 2. Tabellöversikt över antal analyserade uppgifter och variationsmönster. Uppgifterna kan inne- hålla fler än en illustration som kategoriserats. Variationsmönstren förkortas med första bokstaven i varje begrepp: kontrast, separation, generalisering och fusion.
Från addition till multiplikation
I första uppgiften (figur 9) behandlas ”från addition till multiplikation”. Uppgiftens illustrationer är både informativa och dekorativa.
Tärningarna på sidan är informativa, då de krävs för att kunna lösa uppgiften. Apan och de små gröna tillhörande tärningarna är dekorativa, dessa hjälper inte eleven att lösa uppgifterna. I denna uppgift (figur 9) är lärandeobjektet att förstå multiplikation genom att se sambandet mellan addition och multiplikation.
Utifrån uppgiftens (figur 9) illustration kan två kritiska aspekter synliggöras som behandlar multiplikation. En kritisk aspekt innebär att eleven inte ser sambandet mellan addition och multiplikation. Den andra kritiska aspekten inne- bär att eleven inte ser multiplikationen som en del,
som sedan bildar en helhet (Hurst, 2015). Utifrån de kritiska aspekterna i figur 9 går det att urskilja variationsmönstren generalisering och fusion. Generalisering går att urskilja då flera värden varieras, som antalet och prickar på tärningarna. Däremot kvarstår tankesättet addition och multiplikation i uppgiften. Tillsammans kännetecknar det variationsmönstret generalisering. Variationsmönstret fusion går såväl att urskilja i uppgiften, mer specifikt när den övre och undre delen av uppgiften sätts mot varandra. När dessa delar motsätts får eleven se olika dimensioner av en och samma uppgift, det vill säga flera dimensioner av variationer.
Den här uppgiften (figur 10) går att hitta under avsnittet som behandlar ”från addition till multiplikation”, dock behandlar inte illustrationen det. Här ska eleven med hjälp av illustrationerna rita och sedan skriva multiplikationen, samt ange vad svaret blir.
Illustrationerna på denna sida är både informativa och dekorativa. Apan som syns uppe i högra hörnet är en dekorativ illustration, den ger ingen information och hjälper inte eleven att lösa uppgiften. De övriga illustrationerna på sidan är däremot informativa, de behövs för att kunna lösa uppgiften. Lärandeobjektet i figur 10 är att lära sig multiplicera tal med två.
I figur 10 går det utifrån illustrationen att urskilja en kritisk aspekt. Denna kritiska aspekt innebär att eleven möjligtvis inte kan sätta ihop delarna för att få en helhet i uppgiften (Hurst, 2015).
Eleven behöver förstå att antalet barn ska multipliceras med antalet frukter, för att få delarna att bli en helhet. Utifrån den kritiska aspekten i figur 10 går det att se variationsmönstren generalisering och fusion. Generalisering framkommer i uppgiften eftersom kontexten till lärandeobjektet i illustrationerna varierar.
Räknesättet är densamma, men antalet barn och frukter varierar mellan varje del av uppgiften. Fusion återspeglas genom de olika variationerna av räknesättet multiplikation, eleven får räkna multiplikation med hjälp av bananer, äpplen, päron och andra frukter. Variationsmönstret tydliggörs likaså i det första exemplet då eleven får se ännu en dimension av variation till hur multiplikation kan illustreras med hjälp av cirklar och siffror.
Multiplikation med 2
I denna uppgift (figur 11) visas en illustration från avsnittet som behandlar ”multiplikation med 2”. I uppgiften ska eleven skriva ned antalet suddgummi och sedan multiplicera talet med 2, samt räkna ut den totala kostnaden. Uppgiften har en mixad illustration, eftersom delar av illustrationen är nödvändiga för att lösa upp- giften, och andra delar är enbart dekorativa.
Skylten som beskriver vad varje sudd kostar bidrar med viktig information. Eleven kan behöva skyltens information för att kunna lösa uppgiften. De suddgummi som är illustrerade är dekorativa, eftersom de inte bidrar med någon information som hjälper eleven att lösa upp- giften. Trots att suddgummina är dekorativa kan de för somliga elever bidra till en kontext och en förståelse för vad ett sudd är för något. Lärande- objektet i denna uppgift (figur 11) är att lära sig multiplicera tal med två.
Utifrån uppgiftens (figur 11) illustration går det att urskilja en kritisk aspekt. Den kritiska aspekt som kan uppstå är att eleven inte förstår multiplikationen som en del som tillsammans bildar en helhet (Hurst, 2015). Eleven behöver till exempel förstå att 5 suddgummi som kostar 2 kr/st blir sammanlagt 10 kr. Antalet suddgummi och vad de kostar stycket blir delen i uppgiften, medan den sammanlagda kostnaden blir helheten. Utifrån den kritiska aspekten i figur 11 går det att urskilja variationsmönstret generalisering. Generalisering går att se då priset på suddgummina alltid är den- samma, men att antalet sudd och totalpriset förändras. I den första delen av uppgiften anges eleven köpa 5 sudd och betala 10 kronor, för att sedan köpa 7 sudd och räkna ut det totala priset.
Kommutativa lagen
I detta avsnitt behandlas uppgifter utifrån
”kommutativa lagen”. I den här uppgiften (figur 12) ska eleven räkna hur många det är av varje sort, sedan skriva ned det totala antalet från två olika håll. Illustrationen i uppgiften är informativ, då den innehåller detaljer och information som hjälper till att lösa uppgiften.
Lärandeobjektet i figur 12 är den kommutativa lagen.
Utifrån uppgiftens illustrationer (figur 12) finns två kritiska aspekter. Den första kritiska aspekten som kan uppstå i uppgiften är att eleven inte förstår sambandet mellan talen och illustrationen, och förstår då inte den kommutativa lagen (Hurst, 2015). Det kan också vara att eleven inte förstår vad som menas med att ”titta ifrån två håll”, vilket också blir den andra kritiska aspekten som kan uppstå.
Eleven behärskar då inte det matematiska
språket och uppgiften i sig kan bli svår att lösa (Hurst, 2015). Utifrån de kritiska aspekterna i illustrationen (figur 12) går det att urskilja två av de fyra variationsmönstren, nämligen generalisering och fusion. För att generalisering ska möjliggöras behöver eleven förstå lärandeobjektet, vilket är den kommutativa lagen.
Eleven behöver således förstå att det är olika mängder och föremål på illustrationerna, men att räknesättet kvarstår. I uppgiftens sista del som föreställer tomma plåtar (figur 12) förekommer fusion. Uppgiften har flera dimensioner av variation och kan därför ses som fusion. Eleven behöver förstå att illustrationen har ett nytt sammanhang, men att grundprincipen med räknesättet kvarstår.
Även den här uppgiften (figur 13) illustrerar hur eleven ska arbeta med den kommutativa lagen. Uppgiften uppmanar att dra streck mellan de rutor som hör ihop och stämmer överens med varandra. Illustrationen i denna uppgift är informativ, eleven behöver de rutor som finns för att kunna para ihop och lösa uppgiften. Lärandeobjektet blir även i denna uppgift (figur 13) den kommutativa lagen.
I uppgiften (figur 13) går det att urskilja två möjliga kritiska aspekter utifrån
illustrationen. Den första kritiska aspekten är sambandet och kopplingen mellan de två rutor som hör ihop (Hurst, 2015). Eleven behöver till exempel förstå att 5·2 är samma sak som 2·5=__, även fast uppgifterna inte är identiskt illustrerade. Den andra kritiska aspekten som kan uppstå är det faktum att eleven inte kan behärska det matematiska språket i uppgiften (Hurst, 2015). Somliga elever kan ha svårigheter med att förstå vad orden ”vilka hör ihop” innebär. Utifrån de kritiska aspekterna i figur 13
går det att urskilja variationsmönstren kontrast och separation. Kontrast går att se då eleven behöver sätta rutorna med multiplikationer i förhållande till varandra, de behöver jämföra och se vad något är genom att se vad något inte är.
Variationsmönstret separation går att se då en av faktorerna kvarstår och likaså är räknesättet konstant, men en av faktorerna varierar. Det går således att separera de olika multiplikationerna från varandra, genom att ett värde varierar.
Till sist går det att hitta denna uppgift (figur 14) i avsnittet. Uppgiften innehåller två illustrationer, en som visar en ask med kiwi och den andra visar en apa. Illustrationen som avbildar en ask med kiwi är en informativ illustration, då eleven behöver den för att kunna lösa sista uppgiften. Däremot är apan som syns i högra hörnet en dekorativ illustration. Eleven ska i den här uppgiften (figur 14) visa och utvärdera sin förståelse för kapitlet, som involverar alla tre nämnda lärandeobjekt.
I illustrationerna (figur 14) går det att se tre kritiska aspekter. Den första kritiska aspekten som synliggörs i uppgiften är möjligen att eleven inte förstår sambandet och kopplingen i vardera uppgift (Hurst, 2015). Eleven behöver förstå sambandet mellan addition och multiplikation. Den andra kritiska aspekten är att eleven behöver be- härska det matematiska språk som används (Hurst, 2015). Den tredje och sista aspekten som synliggörs är att eleven möjligtvis inte ser sambandet mellan delen och helheten i multiplikationen (Hurst, 2015). Utifrån de kritiska aspekterna i illustrationerna (figur 14) går det inte att urskilja något variationsmönster, eftersom det inte går att urskilja några värden från varandra. Variationsmönster innebär som tidigare nämnt att möjligheten till variation ska skapas, vilket det inte gör i denna illustration. Den informativa illustrationen som avbildar en ask med kiwi visar endast lärandeobjekt utan urskiljning av variation. Asken går inte att sätta i variation till något annat i illustrationen.
8 Diskussion
I detta självständiga arbete redovisas en analys av Favorit Matematik 2A och Eldorado 2A:s illustrationer som i samband med avsnitten behandlar olika delar av multiplikation. I följande kapitel diskuteras frågeställningarna utifrån resultatet, samt val av metod och genomförande. Därefter presenteras förslag på vidare forskning och slutligen sammanfattas studiens resultat och slutsatser.
8.1 Hur de illustrativa representationerna används
För att besvara frågeställningen: vilka illustrationer används inom multiplikation i de två läroböckerna? har vi valt att kategorisera de valda läroböckernas illustrationer utifrån de tre nämnda kategorierna: informativa-, dekorativa- och mixade illustrationer. Resultatet av hur många illustrationer som placerades i kategorierna i vardera lärobok visade sig vara nästintill identiskt uppdelade.
