Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1922, SF1923 och SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 2018 KL 08.00–13.00.

Examinator f¨or SF1922/SF1923: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator f¨or SF1924: Bj¨orn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen), minir¨aknare.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 6 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang.

Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 24 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 22–23 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Uppgift 1

Tv˚a defekta enheter har av misstag hamnat tillsammans med tre felfria enheter. F¨or att finna de felfria plockar man i tur och ordning bort en enhet i taget och testar denna. Detta forts¨atter tills man antingen har funnit de b˚ada defekta eller de tre felfria.

a) Best¨am f¨ordelningen f¨or X, antalet testade enheter. (5 p) b) Best¨am det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt ¨aven D (X). (5 p)

Uppgift 2

En komplicerad utrustning f¨or automatisk styrning av en produktionsprocess inneh˚aller bland annat 200 elektroniska komponenter. Tiden tills en enskild komponent g˚ar s¨onder beskrivs av en exponentialf¨ordelad stokastisk variabel med v¨antev¨arde 10 ˚ar. Antag att olika komponenter g˚ar s¨onder oberoende av varandra.

F¨or en ny utrustning, best¨am, med l¨amplig och v¨almotiverad approximation, sannolikheten att mer ¨an 15% av de ursprungliga komponenterna har g˚att s¨onder (och d¨arf¨or blivit utbytta) inom

ett ˚ar. (10 p)

Uppgift 3

I en modell f¨or utnyttjandet av ett besprutningsflygplan antar man att flygplanet ¨ar tillg¨angligt 20 % av tiden, under transport 30 % av tiden och i arbete resten av tiden. Man g¨or m¨atningar vid n = 25 tidpunkter och ser att flygplanet ¨ar tillg¨angligt 28 % av g˚angerna, i transport 40 % av g˚angerna och i arbete resten av g˚angerna.

Testa p˚a niv˚an 5 % ifall andelen tid flygplanet ¨ar tillg¨angligt, i transport eller i arbete signifikant

skiljer sig fr˚an modellens antagande. (10 p)

Uppgift 4

Weibullf¨ordelningen ¨ar en vanlig f¨ordelning f¨or att beskriva livsl¨angder f¨or komponenter. En sto- kastisk variabel X s¨ags vara Weibullf¨ordelad om

P (X > x) = e^−(λ·x)β, x > 0 d¨ar λ > 0 och β > 0 ¨ar f¨ordelningens parametrar.

a) H¨arled t¨athetsfunktionen till X. (3 p)

F¨or en viss sorts komponenter ¨ar β = 2, medan λ ¨ar ok¨and. Man g¨or d¨arf¨or observationer av livsl¨angderna p˚a 5 oberoende komponenter och erh˚aller v¨ardena (enhet: ˚ar)

0.26 0.30 0.34 0.74 0.95

b) Ber¨akna maximum-likelihoodskattningen av λ. (4 p)

c) Skatta p˚a l¨ampligt s¨att kvantilen L₁₀, dvs det v¨arde som uppfyller P (X ≤ L₁₀) = 10%. (3 p) Uppgift 5

En metallurg ¨onskar skatta skillnaden ∆ mellan halterna av ett visst ¨amne i tv˚a prov A och B. Hon g¨or sju best¨amningar p˚a prov A och elva best¨amningar p˚a prov B och f˚ar resultaten x1, x2, . . . , x7

resp. y₁, y₂, . . . , y₁₁. Hon ber¨aknar medelv¨ardena av sina observationer och f˚ar x = 9.58, y = 8.35 och standardavvikelserna till s_x = 2.25 respektive s_y = 3.36.

De sju resp. elva observationerna antas vara oberoende och komma fr˚an N (µ+∆, σ)- resp. N (µ, σ)- f¨ordelningar.

a) Best¨am ett 95% konfidensintervall f¨or ∆. (5 p)

b) Ge ett 95% konfidensintervall f¨or den ok¨anda standardavvikelsen σ. (5 p) Uppgift 6

En vanlig fr˚agest¨allning i samband med planeringen av f¨ors¨ok ¨ar ”Hur m˚anga m¨atningar m˚aste jag g¨ora?” Denna uppgift handlar om denna fr˚agest¨allning.

Vi vill m¨ata en storhet θ och antar att m¨atningarna X₁, . . . , X_n ¨ar oberoende och N (θ, σ₀)- f¨ordelade d¨ar σ₀ ¨ar k¨ant. Vi vill testa hypotesen

H₀ : θ = 10 mot alternativet

H₁ : θ > 10.

Data betecknas med x₁, . . . , x_n.

forts tentamen i SF1922/1923/1924 2018-05-29 3

a) Best¨am k = k(σ₀, n), dvs uttryck k som en funktion av n och σ₀, s˚a att beslutsregeln Om ¯x ≥ k f¨orkasta H₀

Om ¯x < k f¨orkasta ej H0

blir ett test p˚a signifikansniv˚an 5%. (5 p)

Ledning: Best¨am f¨ordelningen f¨or ¯X och utnyttja definitionen av signifikansniv˚a.

b) Man vill att beslutsregeln i a)-delen skall ha styrka ≥ 90% f¨or alternativet θ = 10.5. Detta inneb¨ar att man vill ha P ( f¨orkasta H₀ ) ≥ 0.9 d˚a θ = 10.5.

Best¨am det minsta n (som funktion av σ₀) s˚a att detta blir uppfyllt. (5 p)

L ¨OSNINGAR TILL

TENTAMEN I SF1922/1923/1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL 8.00–13.00.

Uppgift 1 a) M¨ojliga v¨arden p˚a X ¨ar Ω_X = {2, 3, 4} och

P (X = 2) =

2 2

₃

3

5 2

= 1 10

dvs sannolikheten att tv˚a av tv˚a p˚a m˚af˚a dragna enheter ¨ar defekta (hypergeometrisk f¨ordelning).

Vidare s˚a ¨ar

P (X = 3) =

2 0

₃

3

5 3

+

2 1

₃

1

5 2

· 1 3 = 1

10+ 2 10 = 3

10

dvs sannolikheten f¨or att antingen ¨ar tre av tre dragna hela, eller s˚a av tv˚a draga ¨ar en hel och en trasig och detta f¨oljs av en trasig. Slutligen,

P (X = 4) =

2 1
· ³₂

5 3

= 6

10 .

dvs sannolikheten att av tre dragna ¨ar en defekt och tv˚a hela. Notera att sannolikheterna summeras till 1, vilket naturligtvis kan anv¨andas f¨or att r¨akna ut t.ex. P (X = 3) ur de tv˚a andra.

b) V¨antev¨ardet ber¨aknas E (X) = X

k

kP (X = k) = 2 · 1

10 + 3 · 3

10+ 4 · 6 10 = 7

2 = 3.5 och

E X²
=X

k

k²P (X = k) = 2²· 1

10 + 3²· 3

10+ 4²· 6

10 = 127 10 dvs V (X) = E (X²) − (E (X))² = 12.7 − (3.5)² = 0.45 s˚a D (X) =√

0.45 ≈ 0.67.

Uppgift 2

L˚at X beskriva livsl¨angden f¨or en komponent. D˚a X ¨ar exponentialf¨ordelad med E (X) = _λ¹ = 10 s˚a ¨ar parametern λ = 1/10. Sannolikheten att komponenten g˚ar s¨onder inom ett ˚ar ber¨aknas till

p = P (X ≤ 1) = Z 1

0

f_X(x) dx = Z 1

0

λe^−λxdx =−e^−λx¹

0 = 1 − e^−λ1= 1 − e^−0.10 ≈ 0.0952.

forts tentamen i SF1922/1923/1924 2018-05-29 2

L˚at Y beskriva antalet komponenter (av de ursprungliga n = 200) som g˚att s¨onder inom ett

˚ar. D˚a ¨ar Y en Bin(n, p) ≈ N(np,pnp(1 − p)) = N(19.03, 4.15)-f¨ordelad stokastisk variabel.

(Normalapproximationen motiveras av att np(1 − p) = 17 > 10.) Allts˚a ¨ar P (Y /n > 0.15) = P Y − np

pnp(1 − p) > 0.15n − np pnp(1 − p)

!

≈ 1 − Φ (2.64) = 1 − 0.9959 = 0.0041.

(Exakt r¨akning ger 0.00475.)

Uppgift 3

Detta ¨ar test av given f¨ordelning. L˚at x1, x2, x3 vara antalet g˚anger som flygplanet var tillg¨angligt, under transport eller i arbete av de n m¨attillf¨allena. Data sammanfattas av

Syssels¨attning

Tillg¨anglig Transport Arbete

Observerade frekvenser, x_i 7 10 8 n = 25

Modell, p_i 0.20 0.30 0.50 1

npi 5 7.5 12.5 25

Vi vill testa om

H₀ : p₁ = 0.2, p₂ = 0.3, p₃ = 0.5.

Eftersom np₁ > 5 s˚a ¨ar np_i > 5 f¨or varje i vilket medf¨or att χ²-test kan anv¨andas. Vi bildar Q_obs och j¨amf¨or de observerade frekvenserna x₁, x₂, x₃ och de f¨orv¨antade frekvenserna i modellen

Q_obs =

3

X

i=1

(x_i− np_i)²

np_i = 3.253.

Om modellen ¨ar korrekt (dvs under H₀) ¨ar Q_obsett utfall fr˚an en χ²(2)-f¨ordelad stokastisk variabel.

Vi f¨orkastar H0 f¨or stora v¨arden p˚a Qobs och ur tabell f˚ar vi att χ²_0.05 = 5.99. Eftersom Qobs = 3.253 < χ²_0.05(2) = 5.99 s˚a kan vi inte utesluta att modellen ¨ar korrekt.

Svar: H₀ ska ej f¨orkastas, vi kan inte utesluta att modellen ¨ar korrekt.

Uppgift 4 a) F¨or x > 0 och med P (X > x) = e^−(λx)β s˚a ¨ar

F_X(x) = P (X ≤ x) = 1 − P (X > x) = 1 − e^−(λx)β och

f_X(x) = d

dxF_X(x) = 0 − e^−(λx)β(−λ^β· βx^β−1) = λ^ββx^β−1e^−(λx)β, och f_X(x) = 0 om x ≤ 0. (Not: β = 1 ger exponentialf¨ordelningen med intensitet λ.)

b) Baserat p˚a m¨atningar x₁, . . . , x_n, utfall av oberoende Weibull-f¨ordelade stokastiska variabler X1, . . . , Xn (med k¨ant v¨arde p˚a β) ¨ar ML-skattningen av λ det v¨arde som maximerar

ln(L(λ)) = ln(f_X1(x₁) · · · f_Xn(x_n)) = {ober} =

n

X

i=1

ln(f_Xi(x_i)) =

n

X

i=1

ln

λ^ββx^β−1_i e^−(λxi)β

= nβ ln(λ) + n ln(β) + (β − 1)

n

X

i=1

ln(x_i) − λ^β

n

X

i=1

x^β_i.

Nu ¨ar

d

dλln(L(λ)) = nβ

λ − βλ^β−1

n

X

i=1

x^β_i = β λ

"

n − λ^β

n

X

i=1

x^β_i

#

= 0 om

λ^β = n Pn

i=1x^β_i . Allts˚a, ML-skattningen av λ ¨ar

λ^∗_obs = ^β

s n

Pn

i=1x^β_i =

r n

Pn

i=1x²_i =

r 5

1.7233 = 1.703.

(Notera att d˚a β = 1 skall λ skattas med 1/x.) c) Vi s¨oker L_0.10 s˚a att

0.10 = P (X ≤ L_0.10) = F_X(L₁₀) = 1 − e^−(λL10)β dvs

L₁₀= (− ln(0.90))^1/β/λ som skattas med

L^∗_10,obs= (− ln(0.90))^1/2/λ^∗_obs =p− ln(0.90)/1.703 = 0.19.

Uppgift 5 a) Den sammanv¨agda variansskattningen s² ¨ar

s² = 6s²_x+ 10s²_y

16 = 8.954 Konfidensintervallet ges av

I_∆= x − y ± t_α/2(n_x+ n_y − 2)s s

1 n_x + 1

n_y = (1)

= 9.58 − 8.35 ± t0.025(16)s r1

7+ 1

11 = 1.23 ± 2.12 · s

8.954 1 7+ 1

11



= 1.23 ± 3.07. (2)

b) Konfidensintervallet f¨or σ² ges av I_σ² =

 16s²

χ²_0.025(16), 16s² χ²_0.975(16)



= (4.97, 20.73)

eftersom kvantilerna χ²_0.025(16) och χ²_0.975(16) ¨ar 28.8 respektive 6.91. Drar vi roten ur gr¨anserna s˚a erh˚aller vi ett konfidensintervall f¨or σ, dvs Iσ = (2.23, 4.55).

Uppgift 6 a) ¯X ¨ar N (θ, σ₀/√

n)-f¨ordelad. Om H₀ ¨ar sann, dvs θ = 10, s˚a ska P ( ¯X > k) = 0.05. Vi f˚ar

forts tentamen i SF1922/1923/1924 2018-05-29 4

0.05 = P ( ¯X > k) = P

¯X − 10

σ0

√n

> k − 10

σ0

√n

!

= 1 − Φ k − 10

σ0

√n

!

dvs vi har ^k−10_√σ0

n

= λ_0.05 som ger k = 10 + λ_0.05^√σ0_n = 10 + 1.64^√σ0_n. b) Om θ = 10.5 s˚a ¨ar ¯X N (10.5, σ₀/√

n)-f¨ordelad, dvs 0.9 ≤ P ( f¨orkasta H₀ ) = P ( ¯X > k) = P



X > 10 + 1.64¯ σ₀

√n



=

P

¯X − 10.5

σ0

√n

> 10 + 1.64^√σ0_n− 10.5

σ0

√n

!

= P

¯X − 10.5

σ0

√n

> 1.64 −0.5√ n σ0

!

=

= 1 − Φ



1.64 − 0.5√ n σ0

 . Detta ger (utnyttja λ_0.9 = −λ_0.10)

1.64 − 0.5√ n

σ₀ ≤ −λ_0.10 ⇒ n ≥ (1.64 + λ_0.10)²

0.5² σ²₀ ≈ 34.1 · σ²₀.