Simulering av fjädringssystemet på friktionsmätvagn BV 11

»

Simulering av fjädringssystemet

'52

__ på friktionsmätvagn BV 11

Simulering av fjädringssysternet

52

på friktionsmätvagn BV 11

h b åh b wwwww , b U1 U1 U 1 N N N N N b b l e -J d åm e U ' I U ' I U ' I U T U ' T U W k O O O \ I O \ U ' l J > -U ) t \ ) |' -' 4 b L» M +4 ABSTRACT BAKGRUND Inledning FRIKTION I VÄGSAMMANHANG Allmänt Grundläggande friktionsteori Luftgummihjulets friktionsmeaknism

RullmotStånd

BESKRIVNING AV FRIKTIONSMÄTVAGN BVll Inledning Huvuddata I

Mekanisk uppbyggnad och funktion

Mätutrustning MATEMATISK MODELL

Förenklingar i modellen

Grunddragen i den matematiska modellen Rörelseekvationerna

Numerisk lösning av systemets differential-ekvationer

Rörelseekvationer för "strippad" modell SIMULERINGSPROGRAM FÖR BVll

Huvudprogram

Beräkningsgången i subrutinen RUNGE

Subrutinerna EHMAT, MATMP, MINV

Subrutin PLO4KV Subrutin BINGO Subrutin EVERT

Inläsning av aktuell vägprofil Användning av programmet

Användning av det "strippade" programmet

VTI MEDDELANDE 52 H . k O \ l U '|b J > 11 11 13 14 16 17 17 19 19 26 30 39 39 39 39 40 40 40 40 41 42

MÄTRESULTAT

Allmänt

Normalkraftens inverkan på friktionstalet Normalkraftens inverkan på mäthjulsspin Däckradiens inverkan på mätresultatet

.EXEMPEL PÅ UTSKRIFT AV KURVOR OCH DATA FRÅN

SIMULERINGSPROGRAMMET

REFERENSER BILAGA A

BESTÄMNING AV VAGNENS MASSOR, TYNGDPUNKTSAVSTÅND OCH TRÖGHETSMOMENT

Vagnens massor och tyngdpunktsavstånd

Vagnens tröghetsmoment

BILAGA B

FRAMTAGNING AV FJÄDER- OCH DÄMPKONSTANTER

Fjäder mellan mätarm och belastningsarm

Fjäder mellan bärarm och ramverk Däckens fjäder- och dämpkonstanter Stötdämparnas dämpkonstanter

BILAGA C

BERÄKNING AV NORMALKRAFTENS VARIATION

Ursprunglig modell "Strippad" modell VTI MEDDELANDE 52 59

60

60

61 66

U U U U U U m Ln A Lu M m m m m b LU N +4 Allmänt Ramen 4 Bärarm Mätarm Belastningsarm Strippad modell BILAGA E PROGRAM FÖR SIMULERING AV BVll

Huvudprogram

'

Huvudprogram "strippad" modell Modifiering av Vägprofil

Subrutiner

Statens väge och trafikinstitut (VTI) Fack

581 01 LINKÖPING

REFERAT

I denna rapport beskrivs den matematiska uppbyggnadeng

av modellen till friktionsmätvagnen BVll, samt

dator-program för simulering rörande fjädrings- och dämpnings-egenskapernas inVerkan på mäthjulsbelastning och på I fjädringsrörelserna hos ram och belastningsvikt.

Modelluppbyggnaden och programmet har utvecklats vid

Statens väg- och trafikinstitut (VTI), som ett examens-arbete i ämnet konstruktionsteknik under våren 1977.

Målsättningen har varit att utveckla en matematisk _ modell som är så väl anpassad till den verkliga vagnen

som möjligt. Det är också önskvärt att programmet är

lätt att implementera i datorer av tillräcklig storlek. Den matematiska modellen beskriver dynamiken hos ett

an-tal kopplade svängarmar. Varje sådan arm har frihet att

rotera runt en fix axel i vertikalplanet vinkelrätt färdriktningen. Rörelseekvationer för varje arm ger to-talt 4 ekvationer. De fyra rörelseekvationerna bildar ett system av andra ordningens differentialekvationer med lika antal ekvationer som obekanta. Detta ekvations-system löses numeriskt med hjälp av dator.

Programmet är helt digitalt och skrivet i FORTRAN IV.

Simuleringsresultaten ritas upp på en bildskärm.

National Swedish Road and Traffic ResearCh Institute

Fack i

8-581 01 LINKÖPING SWEDENJ

ABSTRACT

This report describes the mathematical modelling of the friction measuring vehicle BVll and the Computer

program for the simulation of the effect of the suspen-sion and damping pr0perties on the measuring wheel load and on the suspension movements of the frame and

loading weight.The model design and the computer program were developed at the National Swedish Road and Traffic Research Institute as a thesis in construc-tion technology during the spring 1977.

The aim of the study was to develop a mathematical model as well adjusted to the vehicle as possible. It is also desirable that the computer program can easily be implemented in computers of sufficient size. The mathematical model describes the dynamics of a

number of coupted swinging arms.Each arm has freedom to rotate around a fixed axis in the vertical plane per-pendicular to the moving direction of the vehicle. Equations of motion for each arm give 4 equations. The four equations of motion form a system of differen tial equations of the second order,where.the number of equations is equal to the number of unknown.This equation system is numerically solved by means of computer

The computer program is completely digital and written in the FORTRAN IV language.

The result from the simulation are plotted on a monitor. VTI MEDDELANDE 52

och trafikinstitut) utvecklades under senare delen av

1960-talet en lätt trehjulig friktionsmätvagn avsedd

att bogseras av en personbil och som fått beteckningen BV ll.

ändamålet med vagnen var att mäta friktionen på

rull-banor på flygfält, men man planerade äVen att i en framtid kunna använda den till friktionsmätning på väg.

I samband med det senare användningsområdet försågs

vagnen med en styvare fjädring. Under 1976 har en i mäthänseende kompletterad men i övrigt oförändrad BVll använts för friktionsmätning. Man observerade under mätningar på ojämn väg att vagnen dynamiskt sett

upp-förde sig otillfredsställande. Detta har lett fram

till ett önskemål att få vissa frågor i samband härmed bättre belysta.

Inledning

Arbetet med simulering av dynamiska system består i allmänhet av två faser. Första steget är att konstrue-ra en matematisk modell och ange de ekvationer, som bestämmer dennas dynamik. Modellen måste vara tillräck-ligt komplicerad för att ge relevant information och tillräckligt enkel för att lösningen av ekvationerna skall vara praktiskt utförbar.

gande programmeringsarbetet. Föreliggande rapport är en beskrivning av ett program för digital simulering i da-tor av de vertikala svängningar på friktionsmätvagnen

BV ll. Programmet har utvecklats vid VTI som

examens-arbete under våren l977. Programmet är skrivet i FORTRAN IV och körd i en dator av typ EAI PACER 600.

.För närvarande finns två program utvecklade. Dels ett program där hänsyn tas till däckens fjäder- och dämp-konstanter, samt ett program där dessa försummas. Det-ta för att undvika höga frekvenser i systemet. Man kan då öka tidssteget vid lösandet av

differentialekvatio-nerna och därmed få ner körtiderna på datorn.

I de följande avsnitten kommer programmet att presente-ras mera ingående, men kort kan sägas att programmet

tillåter insignaler på kOpplingsdon, bärhjul och mäthjul.

Modellen tillåter tipprörelse för ram, bärarm, mätarm och belastningsarm, medan däremot krängrörelse ej är

införd.

Framställningen i denna rapport är ej en färdig

utred-ningen utan skall ses som ett verktyg eller ett

hjälp-'medel för framtida studier av BV llzs svängningsrörel-sers betydelse för mätresultatet vid friktions- och jämnhetsmätning.

'nu-una

I kapitel 2 redogörs för friktion i vägsammanhang, då

denna teori avsevärt skiljer sig från den klassiska friktionsteorin. Kapitlet är till stora delar ett sammandrag av en tidigare publicerad rapport inom

institutet, se referens nr 2. Kapitel 3 är en beskriv-ning av friktionsmätvagnen BVll med avseende på meka-nisk uppbyggnad och funktion. Även detta kapitel är

2

riska lösningsmetod som använts vid lösandet av rörel-seekvationerna. Kapitel 5 behandlar simuleringsprogram-men. En beskrivning ges av beräkningsgången i de olika programmen, samt hur man använder dem.

Därefter i kapitel 6 diskuteras olika faktorer som kan

inverka på friktionsmätvagnens mätresultat.

Slutligen i kapitel 7 ges exempel på utskrift av

kur-vor och data från programmet.

Slutligen vill författarna rikta ett varmt tack till handledaren Evert Ohlsson för allt stöd och åtskilliga stimulerande och klargörande diskussioner under utarbe-tandet av denna rapport

Staffan Nordmark, för synpunkter vid uppställande av den matematiska modellen och därtill hörande ekvatio-ner

Håkan Jansson för all hjälp i programmeringsarbetet.

Friktion kan sägas bestå dels av "yttre friktion" och

"inre friktion". Yttre friktion äger rum_i ytan på en

kropp. Det är denna friktion vi vardagligt talar om., Inre friktion äger däremot rum inne i materialet i en krOpp;

Ett bildäck av syntetiskt gummi har både elastiska (fjädrande) och viskösa (dämpande) egenskaper, man säger att gummit är viskoelastiSkt. Den fysikaliska modell man kan ställa upp för gummi och gummiliknande material får i sin mest renodlade form utseendet enl

fig 2.1.

f F

h

Fig 2.l Fysikalisk modell för ett gummimaterial.

Om en periodisk sinusrörelse påverkar gummi, uppträder en fasförskjutning mellan fjäderns och dämparens mot* stånd. Detta medför att systemets (gummits) styvhet inte är en enkel summa av komponenternas motstånd. För visko-elastiska material har man därför tagit till begreppen

"komplex elasticitetsmodul", "komplex skjuvmodul". Där modulerna uttrycks i komplexa tal med den reella delen svarande mot den elastiska fjädringen och den imaginära delen svarande mot den Viskösa dämpningen. T ex kan gummits elasticitetsmodul anges som E = 40+-i 40 N/mm

Friktionskraften mellan två, mot varandra glidande ytor

sammansätts av två huvudkomponenter a) adhesionskomponenten

b) hystereskomponenten

êébêêlQB§EQEPQQ§BE§E

När två material bringas i kontakt med varandra, upp-träder bindningar mellan molekylerna i gränsytorna. Den

resulterande kraften i horisontell led från de

moleky-lära bindningarna utgör friktionens adhesionskomponent. Belastningen är av betydelse i den mån den påverkar ' antalet bindningar, dvs ändrar den verkliga

kontakt-ytan. Teoretiskt skulle således mycket stora tangentiella adhesionskrafter kunna uppnås i kontakten mellan mjukt gummi och en mycket slät, torr yta t ex glas. Detta har styrkts experimentellt. Närvaro av mycket tunna skikt

föroreningar eller vatten i kontaktytan förhindrar i

proportion till skiktets utbredning uppkomsten av mole-kylära bindningar.

Adhesionskomponenten ökar med ökande glidhastighet mot

ett maximum vid några få cm/s och avtar sedan. Se fig

2.2. Detta beror på att gummit får en ökad energiför-lust till en viss temperatur och avtar sedan.

*51,0

/

\\

:i: /

_/

\

_\

0.2

0,01 0,1 0,5 1 5 10 50

glidhcstighet m/s

Fig 2.2 Adhesionens beroende av glidhastigheten

stel upphöjning av något slag draperar sig kring upp-höjningen och ger upphov till en symmetrisk tryckför-delning, fig 2.3 a.

Upphöküng

Fig 2.3a Fig 2.3b

Scnematisk framställning av hysteresmekanismen

Om gummiföremålet förflyttas i sidled under samma last förblir inte tryckfördelningen längre symmetrisk. Vid rörelse, som i fig 2.3 b, är gummit på upphöjningens vänstra sida under tilltagande deformation medan det på upphöjningens högra sida befinner sig under avtag-ande deformation. På grund av gummits viskoelasticitet är deformationen-förenad med energiförluster. Den kraft som fås tillbaka vid gummits returfjädring är således

mindre än den som krävdes för deformationen. Den

osym-metriska tryckfördelningen blir som fig 2.3 b visar. Man ser att man får en horisontell komposant motriktad

rörelsen, förutom den vertikala komposanten

(belast-ningen).

Vid låg och måttlig hastignet är hystereskomponenten relativt oberoende av glidhastigneten. Se fig 2.4. Vid torr friktion är adhesionskomoonenten dominerande, medan hystereskomponenten kan vara dominerande vid våt

friktion.

fO ? f b

f'

,

FR

lC

Tl

ON

CO

EF

F.

-2 -a 0 I 2

IO

IO

no

IO

, IO

summa SPEED,V, mph

Fig 2.4 Adnesions- resp hystereskomoonentens beroende

av glidhastigheten.

där fa = adhesionskomponentens friktionstal

fh = hystereskomponentens friktionstal

f = f + f

Luftgummihjulets friktionsmekanism

Friktionskrafter mellan gummihjul och vägbanan kan uppträda endast i samband med en relativrörelse (glid-ning) mellan dem. Gummi saknar nämligen praktiskt

taget helt s k statisk friktion i den klassiska frik-tionsteorins mening. Vidare är friktionskraften kvan-titativt beroende av glidhastigheten och har ett maxi-mum vid O,l-l m/s för att sedan avta med ökande

glid-hastighet.

hjulets varvtal. Eftersom hjulets periferi är elastisk och kontaktytan ständigtväxlar utefter omkretsen, måste varje element förspännas tangentiellt för att kunna överföra krafter. Denna fortlöpande förspänning och avlastning av omkretsen medför att den verkliga periferihastigheten i kontaktytan under kraftöverför-ing skiljer sig från vad som beräknas ur t ex varvtal och rullningsradie. I kontaktytan mellan ett fritt

rullande hjul och en vägbana förekommer ingen betydande

relativ rörelse, men en sådan uppstår i enighet med

vad som nyss nämnts-så snart hjulbromsen ansätts eller hjulet drives. För att bekvämt karakterisera rörelsen dimensionslöst divideras skenbara relativ-hastigheten med körrelativ-hastigheten. Den erhållna storheten benämns slip vid bromsning och spin vid drivning. Slip-värdet kan tydligen variera mellan 0 vid fritt rullande hjul och 1 (l00%) vid låst hjul då relativhastigheten

är lika med körhastigheten.

Friktionstalet, dvs kvoten mellan friktionskraft och normalkraft, varierar med körhastighet och slip. Vid normala kombinationer av körhastigheter och däck ligger friktionstalets maximum vid lO-20% slip. Se fig 2.5.

F r i k t

20

30

SPEED, v, mph

_+-Fig 2.5 40 50 50 ?0

Friktionstaiets beroende av körnastighet v

och Slip.

Rullmotstånd

Vid ett rullande gummihjul sker en kontinuerlig

defor-mation av hjulet.

enl fig 2.6.

Detta karakteriseras av måttet f,

r

_{P A '}

C

W

L

f \\\\s_ :#_ø////

Fig 2.6

VTI MEDDELANDE 52

Framför normalen till vägbanan genom axelcentrum,

räk-nat i rullningSriktningen, trycks ringen samman och bakom normalen fjädrar ringen successivt tillbaka till sin ursprungliga form. Hysteresförluster i ringen med-för att de med-för sammantryckningen erforderliga krafterna ej helt återvinns vid returfjädringen. Vägbanans

resul-terande vertikala reaktionskraft (P), mot det rullande

hjulet, blir härigenom förskjuten i rörelsens riktning, enl fig 2.6. Vägbanans reaktionskraft ger om hjulcentrum

ett moment P- e, som även vid frånvaro av andra motstånd

måste övervinnas för att rullningen skall fortgå. Detta kan bara ske om en friktionskraft i vägbanan (WR, egent-liga rullmotståndet) ger erforderlig motriktat moment

WR. C, se fig 2.6, om hjulcentrum.

Påverkas hjulet av en sidkraft uppstår en motriktad

friktionskraft, som dividerad med hjulbelastningen de-finierar ett "sidfriktionstal" vinkelrätt riktad fram-föringsriktningen. Sambandet mellan maximal utnyttjad sidfriktion och maximal utnyttjad broms- resp

drivfrik-tion kan uttryckas med den s k frikdrivfrik-tionsellipsen. Se

fig 2.7.

åiDFRHâYÖNSKOEFFlüENT 5

"e VFWKUONSTAL ;D

0

BROMSFRlKUONSTAL ?B

Pig QLZ Friktionsellipsen.

BESKRIVNING AV FRIKTIONSMÄTVAGN BV 11:3

'lnledning

BV llz3 är en trehjulig friktionsmätvagn för kontinu-erlig registrering av en beläggningsytas friktion och avsedd att dras av personbil; Se fig 3:1.

*2 2: 13 "' 11 Friktionsmörvagn BV 1 I :3

.. .1

å

?ä

' . '-1

Flg 3.1

i __

' ' 3: ' 'f° i :

De tre hjulen.är lagrade i bakre änden av lika

långa svängarmar. Dessa är lagrade på en gemensam, med

hjulaxlarna parallell axel, som i sin tur är lagrad i

fordonsramens framände. Med denna axel är de tre hju-len sammankopplade Via rullkedjor med en utväxling vald så, att det mittre hjulet, som är mäthjul, under körning roterar långsammare än ytterhjulen och sålunda bromsas.

Det härav resulterande bromsmomentet upptas av ett mätnav, vid vilket mäthjulet är monterat. Mätsignalen

samt en "hastighetssignal" från en tachometergenerator, driven av kedjan i mäthjulets svängarm, överförs via

kabel till dragbilens förarhytt och registreras där av en skrivare.

Den aktuella friktionskoefficienten kan direkt avläsas på skrivarens graderade registreringsremsa. Frammatad remslängd är proPortionell mot av fordonet tillrygga-lagd Vägsträcka och oberoende av hastigheten.

Elektrisk energi till mätutrustningen erhålls från

dragbilens.batteri och registreringsförlOppet startas

med kontrollorgan på mätutrustningen.

3.2 Huvuddata ; 1 _"11 3

Totalvikt 360 kg Största längd 2,30 m Största bredd 1,87 m Höjd 0,50 m Höjd inklusive pejlrör 1,30 m Vertikal dragkroksbelastning 400 N Ytterhjulsbelastning 2 x 1100 N Mäthjulsbelastning 1000 N Lufttryck i ytterhjul 170 kPa Lufttryck i mäthjul 140 kPa

Däck 4.00-8/4 Fabrikat:Trelleborg. Mönster T 49

Mäthjulets slip ca l7.%

Mäthastighet: 20-100 km/h, normalt 70 km/h

'Mekanisk uppbyggnad och funktion

De tVå ytterhjulen och det mellan dessa placerade mät-hjulet är lagrade i var sin svängarm. Dessa tre lika långa armar är i sin främre ände lagrade på en gemen-sam axel - huvudaxeln - vilken i sin tur är lagrad i två stållagerhus fästade vid främre tvärbalken i

for-donets ram.

De bägge yttre svängarmarna uppbär i sina bakändar via_

tryckfjädrar och teleskopstötdämpare fordonets ram. I den främre tvärbalken är en ställbar dragstång

monte-rad. Denna är försedd med utbytbara kOpplingsdon. Den mittre svängarmen med mäthjulet belastas separat av en gaffelformad belastningsarm via tryckfjädrar och teleskopstötdämpare i svängarmens bakre ände.

Belast-ningsarmen är lagrad i rullningslager, monterade på

främre änden av svängarmen. Inuti svängarmarna löper 2 st 1/2" rullkedjor samt 1 st 5/8" rullkedja över

kedjehjul, låsta med kilförband och stOppskruv vid

hjul-aXlarna och huvudaxeln. De tre kedjehjulen på huvud*

axeln och det på mäthjulsaxeln har 23 tänder, kedje-hjulen på ytterhjulsaxlarna har däremot 19 tänder. Mäthjulet får härvid lägre periferihastighet än

ytter-hjulen och bromsas kontinuerligt med ett "slip" av ca 17%.

Då den sammanlagda belastningen på ytterhjulen är mer än dubbelt så stor som mäthjulets, kommer ytterhjulens

rotationshastighet att påverkas endast obetydligt; Vid

bromsning på detta sätt återförs ungefär 83 % av

frik-tionskraften på mäthjulet till ytterhjulen, där den medverkar till framdrivning. Se fig 3:1.

DRIVKRAFT B <;;_: BÄR? .

"_'I - ;HJUL.

IBROMSKRAFTl .

;ROMS-jL---J

_{HJUL *- - -JF'}

KRAFT P

I ÖGLA C© *m* HJUL DRIVKRAFT(_B 6"" BÄR' ) Utväxling bromshjul/bärhjul z==0,83

Det nominella slipet blir då S'wl-Z==l-O,83==O,l7

Genom utväxling gäller också

i

att 2BWJZ°F==O,83F

Kraftjämvikt för ekipaget ger_den i öglan erforderliga

dragkraften D = F -'I2B"\: F - 0,83F = 0,17F

Fig 3.2 Systemfunktion

Bromskraften på mäthjulet upptas av mätnavet och orsa-kar en elastisk förvridning av denna. Förvridningen om-vandlas till en axiell rörelse, vilken utnyttjas till att förskjuta en järnkärna i en mätspole. Under kör-ning roterar den axiellt förskjutbara järnkärnan inuti den stillastående mätspolen. Förskjutningen av

järn-kärnan är direkt prOportionell mot bromskraften på

mäthjulet.Utsignalen till mätutrustningen representerar

då det aktuella friktionstalet under förutsättning att mäthjulsbelastningen är konstant.

På högra svängarmens insida är monterad en tachometer-generator,.som drivs av rullkedjan inuti armen. Gene-ratorns rotationshastighet är ca 1,8 ggr ytterhjulens.

Dess uppgift är att leverera en hastighetsprOportio-nell spänning för drift av skrivarens

registrerings-remsa .

Mätutrustning

Mätutrustningen består av en skrivare, fabrikat Mini-gor RE 501 och en stabilisator - och kontrolldel, hop-byggda till en enhet. Till skrivaren är ansluten en tachometergenerator, fabrikat Servo-Tek Prod USA SA-740B-l, som levererar en hastighetsprOportionell

spänning för drift av skrivarens pappersmatning. Även momentmätnavets lägesgivare, fabrikat Bofors, RLL-2 är ansluten till skrivaren och levererar en signal

pro-portionell mot friktionskraften. Se fig 3:3.

tachometer Friktions-tal skrivare 4=? +- Xmomentmät-nav

Fig 3.3 Blockschema över mätutrustning

MATEMATISK MODELL

Förenklingar i modellen

Däckkontakten sker 1 punkter som sammanfaller med en Vertikal linje gående genom axelcentrum.

Sambandet mellan dämpkraft och hastighet anses .linjära.

Sambandet mellan fjäderkraft och hoptryckning anses linjära.

Plan rörelse, dvs krängning av vagnen kan ej ske.

"Vid beräkning av tröghetsmoment med avseende på sväng-armarna har deras utbredning tvärs längsriktningen försummats.

Modellen gäller endast för positiva normalkrafter. Modellen gäller endast vid måttliga svängningar då approximation av små vinklar införts..

De två bärarmarna är sammanslagna till en bärarm. ' Belastningsarmens rotationsaxel sammanfaller med

mät-armens .

Se figur 4.1 och 4.2.

Al N 9) N \ : \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ ÅÖC \ \ \ \

Figur 4.1 _{Modell av vagñens ram (1) och bärarm (2)}

d3

4

a3

E

1

/ 9

/

_.

/

1;_

I;

J

mz'Iz

C2'K2

\\ \ \\ \ x 3 \ \ \ L E X ? 0 O O. : M \ i \ \ \ \ \ \ ; \ . N O 1 DJ N 7 T N N

/

Figur 4.2 _{Modell av vagnens belastningsarm (1) och} mät-arm (2)

Grunddragen i den matematiska modellen

Den matematiska modellen beskriver dynamiken hos ett

antal kOpplade svängarmar. Varje sådan arm har frihet

att rotera runt en fix axel i vertikalplanet. Framställ-ningen begränsas i fortsättFramställ-ningen till en fyrarmad vagn. Denna har således 1 + 1 + 1 + 1 = 4 frihetsgrader.

Rörelseekvationer för varje arm ger totalt 4 ekvationer

0, 61, 92, 63. Dessa variabler

anger rotationen för Varje arm. med följande obekanta 6

De fyra rörelseekvationerna bildar ett system av andra ordningens differentialekvationer med lika antal ekva-tioner som obekanta. Det är värt att notera att syste-met av differentialekvationer är linjära med konstanta koefficienter ty approximationer av små vinklar har gjorts.

Rörelseekvationerna

Vid uppställande av rörelseekvationerna finns det ett flertal alternativa vägar. Vi nöjer oss här med att

diskutera två av dessa.

A. Svängarmarna snittas upp i sina knutpunkter. Upp-ställning av impulsmomentlagen för varje enskild arm. Efter elimination av snittkrafterna fås då rörelseekvationerna för systemet.

B. Att med utgångspunkt från Lagrange's ekvation

teckna den totala energin för systemet. Insättning och derivering ger då rörelseekvationerna för syste-met.

Alternativ A ger omfattande beräkningar då snittkrafterna

måste elimineras ur ekvationerna. Valet föll därför på alternativ B.

§ê9§ê99§l§_ekyê§ieg

Ekvationen får i detta fall följande utseende:

d aTe aTe BV_ 8R

-är "aq ' _"a +_a *T :'0

_i

_qi

_qi

_qi

'

(M)

där: Te = Systemets totala kinetiska energi

V = systemets totala potentionella energi R = systemets dissipativa energi

qi = generaliserad koordinat

qi = tidsderiverad generaliserad koordinat

Eigeziêäê_s2s§9$9

Te z % I0 éå + % m0 (aoéo + 20)2 +

% Il Di + % ml (al 91 + 20 90 + 20)2 +

% Iz éå + % m2 (az 62 + 0 90 + 20)2 +

% 13 Öå + % m3 (a3 ÖB + 10 90 + å0)2

(4.2)

VTI MEDDELANDE 52

EQE?EEŧllê-§E§EQlE

_i

2

_

2 i

_

2

V--2 ko dO (90 61) +-2 kl (20+-20 90+-dl 61 21) +

1

>

2 4

2

2

-2-k2 (20+20 90+d202-22) +-2-k3 (13 (93-62)

(4.3)

Qiêêiêêäiyê_s2eägia

__1_

2

_. 2 i_

.

-

-_.

2

R--2 Cod0 (90 61) 4-2 Cl (204-20 60+-dl el 21) +

1

.

-

-

. 2

2

-

-

2

'äcz (20+20 G)0+dz 32'22) + C3 d3 (93'92)

(4.4) Dessa uttryck sätts in i Lagrunge's ekvation och deri-veras m.a.p. generliserade koordinaterna Gi, i==0,3.

Därvid erhålles först ramens rörelseekvation 2 '2 .

[ioá-mo aoi-(ml4-m24-m3) 20] 90'*

2

_{0 1 al 91440 m2 az e2+510 m3 a3 63+}

m

2 2 ° 2

-[DO dO+-(Cl+fC2) lá]90+-[TCO.dO+-Cl 20 dl]91-+ \

Å

' 2 2

+C2 20 (12 v 62+ [ko dO+ (kl+k2) ZO]GO+

2

[-ko d0+kl 20 dl] Ol+k2 20 az 92+

+ Eno aO+-20 (mlá-mzi-m3) zO-+ 2 å +-(K +-K

(C

1_+C

2,)0012)00

Bärarmens rörelseekvation .. 2 ..

ml al 20 90 [il4-ml al] Ol-+

2

-

'

2

2'-[-CO dO+cl dl 20] 90+ [CO.dO+Cl dl_ 91+

-k d2+k d SL

_{0 0}

₁

₁

₀

9 + k d2+k dj 9 +

₀

₀

₀

₁

₁₄

_1'

ml al zO+Cl dl zo+kl l zO--Cl dl

zl-Mätarmens rörelseekvation

m2 az .20 90+ [12+m2 az] e2+Cz dz 20 G0

c d2+C

_{2 2}

_{3 3}

d2

6) -c d2é+k

₂

_{3 3 3}

₂

d

_{2 0 0}

2

0+

a_{2 .O}ä + 2 2 2 [F2 d2+k3 då] 92-k3 d3 G34-m2 C2 d2 ZO--C2 d2 22+-k2 d2 ZO-k2 d2 22==0 (4.7)

samt belastningsarmens rörelseekvation

" 2 H 2 . m3 a3 20 90+-[I34-m3 aå] 63-C3 d3 62-+

2

C3 (33

93'k3C3392+k3d393+m3 31320"O

.

2

2

.. _

3

(4'8)

Dessa kopplade differentialekvationer med konstanta

koefficienter kan skrivas:

?0

?0

90

2

9

9

e

ä

A Öl

-FB 61

4-0 91

+-D ä

+

"2

'.2

2

93 93 63 Z 20 E 2 +-F zl ==O (4 9)

22

22

där A, B, C är 4 <4 matriser och D, E, F är 4 <3 matriser.

De ingående elementen i matriserna får följande

ut-seende:

2

I0+m0 a0+(m1+m2+m3 0' 20 ml al' 20 m2 az' 0 m3

2 20 ml al , Il+ml al, O , 0 A: 2 20 m2 a2 , O , 12+m2 az, O Q0 m3 a3 , 0 , O , 13+m3 VTI MEDDELANDE 52

d02+(Cl+C2) 202

-CO d02+cl 20 dl

, c2 20 dz

, 0

d02+Cl dl 20

, cO d02+cl dl2

, 0

, 0

d2 20

, 0

_{, c2 d22+C3 d32 , -c3 d32}

, 0

, -c3 d32

, C3 d32

2+(k +k

2 2

-k d 2+k 2 d

k 2 d

0

1 2

0 '

0 0

1 0 1 ' 2 0 2

'

-k d02+kl dl 20

, ko d02+kl dlz

, 0

,

d2 20

, 0

, <2 d22+k3 d32 ,

, 0

, -k3 d32

,

a0+20(ml+m2+m3), 0 r 0 I \ al , O , 0 I a2 , O , O , a3 , O , 0 ,

+c2 20 , -C1 20 ,

-c2 20

dl

, -cl dl ,

0

d2

, 0

,

-c2 d2

(kl+k2) 20 , -kl 20 , -k2 20

F = I "kl I O

k2 d2 , O , -k2 d2

O

,

0

z

0

Värt att notera är att matriserna A, B, C, D, E, F är

konstanta samt att matriserna A, B, C är symmetriska. 60 91 Sätt 5= 92 _93 f (z, z, 2, t) = - E 21 - F 21 á 22

A§+Bå+cg=f<2,å,2,t

(4.10)

VTI MEDDELANDE 52

Numerisk lösning av systemet med differentialekvationer

Detta ekvationssystem är besvärligt att lösa manuellt

ty ekvationerna är kopplade. I litteraturen och i program-bibliotek finns ett flertal numeriska metoder

till-gängliga för att lösa begynnelsevärdesproblem av typen:

där f är en vektorvärd funktion av vektorn § och tiden t. Dessa metoder är följaktligen ej direkt applicerbara på systemet som är av andra ordningen. Genom att införa

standardsubstitutionen

kan ekvationen (4.10) skrivas:

P Q. + (D Qi + (3 M N H1'

E = 5

(4.11)

Multiplicera ekvationen (4.ll) med A_l från vänster:

$ (4.12)

Ekvationssystemet (4.12) kan skrivas som:

-A"1 B -A'1 C &: A'JL E (4.13)

där enhetsmatrisen E = 0 CD 9 F4 0 t> r 4 o 0 +4 0 C) +4 0 c: o VTI MEDDELANDE 52

bil 0 OI

Ekvationen (4.13) kan skrivas som:

(4.14)

k<

2! _{II 6)}

'<1 + :13

Ekvationen (4.14) kan nu lösas numeriskt i dator och det är således möjligt att för varje fix tidpunkt beräkna derivatornas värden om variablerna är kända för

tidpunk-ten i fråga.

Numeriskt beräknas värdena av variablerna vid tidpunkten (n + 1) At med kännedom om värdena vid tiden nAt. I före-liggande program användes en Runge-Kutta metod som för

ett problem på formen (4.14) innebär:

kl = f (yn, nAt)

E=E<§

_{2 n}

+512

_{2 l'}

(n+-]l)At)

₂

-

__ - -

At -

1

k3 - f (yn + '-2- kz, (n + k4 = f (yn + At k3, (n + 1) At)

At-

-

-+ 7; (kl -+ 2k2 -+ 2k3 -+ k4)

Yêl_êY_Ei駧§9

Matematisk analys av rörelseekvationerna ger att bär-armens och mätbär-armens egenvinkelfrekvens blir i stor-leksordningen 10 Hz varför tidsteget bör väljas till ungefär 0,01 sek.

Detta medför att datorkörningen tar förhållandevis lång tid.

Det finns alltså behov av att ytterligare förenkla

mo-dellen, utan orimlig förlust i noggrannhet, för att få

ner körtiden på datorn. Sålunda införs approximationen att bär- och mäthjulens fjäder- och dämpkonstanter för-summas. Denna nya modell kommer i den fortsatta fram-ställningen att benämnas "strippad" modell. Se figur 4.3 och 4.4.

O

/

/V

d0

L ./ /*. 4øøøøø,,,,øøø*çe /, A 0 A V i 'D-/ i l

S'

/. Al

A 1/4

I 0 /

2

./

/

ä

_/ 2₀

A 77%77'

/

/Ä R

/_

0

;E

Figur 4.3 "Strippad" moaell av vagnens ram (1) och bärarm (2)

d3

. a3 _ // .

/

93

i « a' @ (] m3'I3

/'

V

= GIT/p,

'år-4»-

;

/

{

'

/ r ! m2,12 Eä-å / s /

,

®

.

A

/

5 20 __ a2 __ 22

/ 779777

WWW

/ Z0 dz / /

Figur 4.4 "Strippad" modell av vagnens belastningsarm (1)

och mätarm (2).

Rörelseekvationer för "strippad" modell

På samma sätt som tidigare används Lagrange's ekvation och systemets totala energi kan tecknas

529?El§5ê-§§§59l9

Te z % IO éO2 + % m

% Il élz + % m1 (al

% I2 é22 + % m2 (az

% I3 G332 + % m3 (a3

VTI MEDDELANDE 52 20 60 + 20) (4.16) 1 2 2 + 5 k3 d3 (93 - 62) (4.17) 1 2 0 o -2- C3 (13 (93 - G2) (4.18)

lgâêäêsés_ê2_äyâ99äyållkes

Tvångsvillkoren får följande utseende:

20 + 20 90 + dl 91 = Zl

(z - z - 20 60) (4.20)

N

Deriveras dessa 1 respektive 2 gånger m a p tiden fås:

él = äå (ål - áO - 20 éo)

(4.21)

61 = (3-11 (21 - 20 - 20 60)

(24.22)

62 = äâ (á2 - åo - 20 éo)

(4.23)

öz = äâ (§2 - 50 - 20 60)

(4.24)

Tvångsvillkoren insättes i energiekvationerna och redu-cerar dessa till två frihetsgrader med följande utseende:

Elêåälêäê_§âêäglê

_ 1

-

1

'

Te ' E I0 90 + ä m0 (ao 60 + 20) +

I

₁

_.

_.

_-

₂

₁

a

₁

_o

2

(Zl ' z0 ' 20 G)0) + 5 ml ä_ (Zl ' z0 ' Q0 90)

d

₁

-2

1

2

_{I 2}

₂

₁

20 90 + 29]

+ % 2

_a

_-2

(Zz ' Z0 ' 20 90)

+ 5 m2

2

a2 . _ 2 a: (22 - ZO - 20 90) + 20 90 + 20] +

1

2

1

-

2

3 13 93 + 5 m3 (a3 93 + 20 90 + 20) (4.25)

Eegêazlêllê_ê9êägig

2

_ i

2

_ ;L

_

_

V

2 k0 d0

60

dl (Zl

20

20 90)

+

1

2

1

2

5 kd d3 [63 - a; (22 - zO - 20 90)] (4.26)

QiêêlEêElYê-êE§Eng

2

_ l

2

_ ;L

_

_

R - 2 CO do [60 dl (21 20 20 ©0)] +

i 0 d 2

₂

_{3 3}

é - ?L ('

₃

_dz

₂₂

- '

₂₀

- 2 é )

₀

₀

2

(4 27)

_'

VTI MEDDELANDE 52

Dessa uttryck sätts in i.Langrange's ekvation och deri-veras m.a.p de generaliserade koordinaterna 90,63.

Där-vid erhålles ramens rörelseekvation.

2

Il

I2

I0 + m0 a0

+ 20 (m2 + m2 + m3) + 20

_d

2 +

_d

2 '

1

2

2

m a m a

2

1 1

2 2

2 2

1 1

2 2

v

220

d

+

d > + 0

d 2 +

2

90 +

1

d2

,

c d32 20 9 + k d 2 1 + 59 2 + k 2 2 2-

₃

_d

₃

₀

₀

_d

₃

₀

9 +

₀

2

1

d

d32

k3 20 ä- G3 + m0 a0 +20 (m1 + m2 + m3) +

2

1_

I I m a m a

QT)<_ÅE-+ -åö - 2 20 (rå 1 + å 5) +

dl

az

.

1

2

2

2

2 mlal +m2a2 + x i 1-1 ._

0

_d

2

_d

2

Z0

ml

0 d

₁

d

₁

1

2

I

₁

2

₀

a

₂

a I

₁

Q

₀

_n

2 + m 2 - l - - - 2 +

d 2

1

2

0 d2

(

az)

(i 2

2

1

2

a

2

2

d

2 1

_ä"

0

_+C3

3

-

₂₀

1

1,

_{d 2}

d 2

2

d 2

CL1+A)'Z_c/Q.â_g+

_{0 dl}

_dl

₁

₃

_{0 d 2}

₂

1

2

2

2

d

21_

0

3

1

1

d2

2

k d 2 QL

₀

₀

_d

1 +

39

_d

_Zl

- k

_{3 to}

^

få_

₂

₂₂

- 0

(4 28)

_'

1

1

d2

VTI MEDDELANDE 52

samt belastningsarmens rörelseekvation H . 2 H m3 a3 20 90 + (13 + m3 a3 ) 63 +

d32

2 -

d32

C3 20 az 60 + C3 d3 93 + k3 20 az 90 +

- 2 k₃ d 2 6_{3 3} + m₃ a₃ 2_O + c_{3 d2}-2- å_O -C.132 . d32 d32 C3 3:- 22 + k3 EE_ ZO _ kB dz 22 = 0 (4.29)

Enligt tidigare kan då ekvationen skrivas:

?0

'

?0

90

"

A G3 + B 63 + C 63 + D N +

.0

20

E .1 + F Zl = 0 \4.30)

2

22

där A, B, C är12 x 2 matriser (konstanta och symme*

triska), D, E, F är 2 x 3 matriser (konstanta).

De ingående elementen i matriserna får följande ut-seende:

. 2 2 2 I d + 2 l 1 I 10 {|\ 2 \\lI/ O 2 2 1 + a 2 3 m m /|||\ + 2 2 0 m 2

+

+

mi \ _ I.\ 2 a 2 2 O 2d 2 m

+

+

2 l 0 a a 1 ld 0 m m /.|.\ + 2 O 0 ON I 2 <HH ZWUUWH>ZUW mm

2 32

då

2 O 3 nVN 3 3

k

k

22 32

dd

2 O AVN 3

k

+ 2

My

_oNd

+ 1 2

(3_2

_dd

2 O O Om O 3

k

k

(11! âH aEUUmHLWZUm m N l /|I|\ 2_ 2 a d 0 0 ON Om 2 2 m. I _ l_ l a .d _ 1 'l 2_ l a .d 0 O ON l l m _ \|.) \|) 2 2 2 2 2 I .d 2 + 2 + 1 1 I 6. l 0 ON 1 + {\ )3 Om m ₊ + 2 m 2 + d 2 l m ( + 0 1._ ON d + 1 O. ( a _ O O Om m 2 = D

3 2 2 2 _{qd d} 3 2 d d 0 2 2 2 q3_2 O 3 2 _{d d} 2 d Au 3 k 3 3 3 _k C C _ _ u _ \) 0.1* _{ax d} ax d + + 1.1_ /1l|1_|\ ( l 1 La 1_d 2 2 O 0 d 0 0 C _ O _ O 2 2 2 2 3 2 3 2 d d d d 0 O 2 2 3 ₃ C k + + \l/ ₎ O_1* O 1; AX d _{ax d} + + 1 l ( ( l l l_d ld 2 2 _ ml 2 § 0 13 2 0 qá 2 d d Au d aa d 0 3 O 3 <HH EMUUWUWZUW mm

På samma sätt som tidigare erhålles ekvationen (4.14) § = G y + H _(4.31)

OLi

_?0

där y =

OL2

=

93

90

G0

63

G3

-A'1 B -A-1 C G:

E

0

1

0

₀

₀

E: 0.:

0

1

0

0

A-1 f ₀ H = ._ ; 6 =

0

₀

Ekvationen (4.31) kan nu lösas numeriskt.

Variablerna 91, 92 beräknas sedan genom insättning

i tvångsvillkoren (4.19) och (4.20).

SIMULERINGSPROGRAM FÖR BVll

Huvudprogram

Av flödesschemat, figur 5.1. framgår att i huvudpro-grammet sker följande:

1. Läsning och utskrift av data

2. Uppdatering av den konstanta matrisen G i

diffe-rentialekvationen (4.l4)

3. Integrationsalgoritmen enligt Runge-Kutta utföres 4. Uppdatering av ramens och armarnas vinklar samt

dess derivator

5. Uppdatering av bär- och mäthjuls normalkraft.

Beräkningsgången i subrutinen RUNGE

Denna rutins uppgift är att beräkna högerledet i (4.14) för användning i (4.15). Först sker en uppda-tering av matrisen Hj_(4.l4). Denna matris är tids-beroende och måste beräknas för varje tidssteg. Där-efter multipliceras matrisen G med vektorn § i (4.14). Summation av matriserna i högerledet ger de olika

koefficienterna i Runge-Kutta algoritmen.

Subrutinerna ENHMAT, MATMP och MINV

Dessa är standardrutiner för matrisberäkningar ENHMAT: Uppdaterar enhetsmatrisen

MATMP: Beräknar matrismultiplikationer

MINV: Inverterar matriser med hjälp av Gauss'

elimi-nationsmetod

Subrutin PLO4KV

Standardrutin för uppritning av axelsystem och kurvor på bildskärm.

Subrutin BINGO

Denna rutins uppgift är att läsa in vägprofilen från skivminnet samt att beräkna vägprofilens första- och andraderivator med avseende på tiden. Derivatorna beräknas med hjälp av differanskvoter.

Subrutin EVERT

Subrutinen utför en lineär interpolation mellan väg-banans digitaliserade värden samt dess första- och andraderivator.

Inläsning av aktuell vägprofil

Den vägprofil som har använts vid simuleringen är ett vägavsnitt från Sollefteå inspelat på magnetband den 9.4.75. För att digitalisera den analoga vägpro-filen spelas magnetbandet av med en bandspelare till en alalog/digital-omvandlare. Mellan de digitala

värdena har en lineär interpolation skett med hjälp av subrutinen EVERT. Vid uppdatering av vägprofilen på magnetbandet, har ett högfrekvent brus uppkommit. Detta brus filtreras bort genom att använda upprepad

medelvärdesbildning.

Användning av programmet

Nödvändiga datakort för simulering av vagnen finns

tabellerade i tabell 5.1.

Programmet tillåter valfrihet mellan uppritning av:

a. ramens och b. bärhjulets Vid uppritning Input = 1 Vid uppritning Även valfrihet armarnas vinklar

och mäthjulets normalkraft

av normalkrafterna sättes variabeln

av vinklarna sättes Input = 0

vid placering av insignaler tillåtes. Insignal vid kopplingsdonet AMP (l) = 1.0

annars AMP (1) = 0.

Insignal vid bärhjulet AMP (2) = l.O annars AMP (2) = 0.

Insignal vid mäthjulet AMP (3) = 1.0 annars AMP (3) = 0.

Antalet insignaler L = 3 Antalet frihetsgrader NM = 4

Användning av det "strippade" programmet

Programmet användes på samma sätt som det föregående

programmet med ett undantag:

Antalet frihetsgrader NM har sjunkit till 2.

Observera att däckens fjäder- och dämpkonstant skall

läsas in, trots att dessa data ej används vid

beräk-ningarna.

Tabell 5.1 Sammanställning av datakort för inläsning vid simulering av BVll

. u "

For-Nr Kod Beteckning for Falt mat Enhet

]. TRO Ramens tröghetsmoment 1-10 FlO.3 kgm TRl Bärarmens " 11-20 FlO.3 kgm TR2 Mätarmens " 21-30 FlO.3 kgm

TR3 Belastningsarmens _ 2

tröghetsmoment 31 40 F10'3 kgm'

2 WO Ramens massa 1-10 FlO.3 kg

Wl Bärarmens massa 11-20 FlO.3 kg W2 Mätarmens " 21-30 FlO.3 kg

W3 Belastningsarmens 3l_40 FlO.3 kg

massa

3 A0 Ramens tyngdpunktavst. 1-10 FlO.3 m Al Bärarmens " 11-20 FlO.3 m A2 Mätarmens " 21-30 FlO.3 m A3 Belastningsarmens 31-40 FlO.3 m

tyngdpunktavstånd

4 D0 Ramens fjäderavstånd 1-10 FlO.3 m

D1 Bärarmens " 11-20 FlO.3

02 Mätarmens " 21-30 FlO.3

D3

B3iastnlng§armens

_{fjaderavstand}

31-40 FlO.3

m

Nr

Kod

Beteckning för

_ Fält

Enhet

5 SKO Fjäderkonstant mellan 1-10 F10.3 N/m ramen och bärarm

SKl Barhjulets fjäder- ll_20 F10.3 N/m konstant SK2 Mathjulets fjäder- 21_30 F10.3 N/m kontant SK3 Fjäderkonstant mellan ' belaStningsarm och 31-40 F10.3 N/m mätarm

6

C0

Dämpkonstant mellan

1-10

F10.3

Ns/m

ramen och bärarm

C1 Bärhjulets dämpkonst. 11-20 F10.3 Ns/m C2 Mäthjulets dämpkonst. 21-30 F10.3 Ns/m C3 Dämpkonstant mellan belastningsarm och 31-40 F10.3 Ns/m mätarm 7 SO Axelavstånd 1-lO F10.3 m 8 NM Antal frihetsgrader 1-5 IS L Antal insignaler 6-10 IS

9

TIME

Starttid för simul.

1-10

F10.3

s

TSTEP Langden av integra- ll_20 F10.3 s

tlonssteget

TLAST Tldpunkt da Slmule- 2l_30 F10.3 s

rlng avbryts

10 BGV(l) Ramens tidsoeriverade l_lO F10 3 rad/S begynnelsev1nkel

BGV(2) Bärarmens tidsderlve- ll_20 F10 3 rad/s

rade begynnelseV1nkel

BGV(3) Mätarmens tidsderlve- 21_3O F10.3 rad/S rade begynnelsev1nke1

BGV(4) Belastningsarmens

tidsderiverade be- 31-40 F10.3 rad/s

gynnelsevinkel

BGV(S) Ramens begynnelse- 4l_50 F10 3 rad Vlnkel

Nr Kod Beteckning för Fält For-_mat Enhet 10 BGV(6) BGV(7) BGV(8) Bärarmens begynnelse-vinkel Mätarmens begynnelse-vinkel Belastningsarmens be-gynnelsevinkel 51-60 61-70 71-80 F10.3 F10.3 F10.3 rad rad rad 11 Konstant för kOpp-lingsdonets insignal Konstant för bärhju-lets insignal Konstant för mäthju-lets insignal F10.3 F10.3 F10.3 12 KM Antal datapar per post

vid vägprofilens

upp-läggning i datorn IS

13 STEG Tidsteg mellan

väg-profilens digitala värden '

'F10.3

sek 14

XSTEP XMAX YMAX YSTEP

Steget mellan

grade-ringen på tidsaxeln

vid uppritning av ra-mens och armarnas vinklar

Tidsaxelns maxvärde

vid uppritning av

ramens och armarnas vinklar

Ramens och

armar-nas maxvinklar Steget mellan

gra-dering på vinkelaxeln 11-20 21-30 31-40 F10.3 F10.3 F10;3 F10.3 rad rad VTI MEDDELANDE 52

Nr Kod Beteckning för Fält _matFor- Enhet

15 XSTE

XMA

YMA

YSTE

Steget mellan

grade-ring på tidsaxeln vid

uppritning av bärhju-.lets och mäthjulets

normalkraft

Tidsaxelns maxvärde vid uppritning av bärhjulets och mät-hjulets normalkraft Bärhjulets och mäthju-lets maximala normal-kraft

Steget mellan

grade-ring på normalkrafts-axeln 11-20 21-30 31-40 F10.3 F10.3 F10.3 F10.3

16 INPUT Val av utmatning I5

Tabell 5.2 A0 A1 A2 A3 AMP(l) 'AMP(2)

AMP(3)

ARM(l)

ARM(2)

BGV(1) BGV(2) D0 Dl D2 D3 'Mätarmens

Alfabetisk förteckning över programvariabler som används vid in- och utmatning '

Ramens tyngdpunktsavstånd Bärarmens

ll

Mätarmens

Belastningsarmens tyngdpunktsavStånd Konstant för kOpplingsdonets insignal

Konstant för bärhjulets insignal

Konstant för mäthjulets insignal

Normalkraftens variation kring bärhjulets jämnviktsläge

Normalkraftens variation kring mäthjulets jämnviktsläge

Ramens tidsderiverade begynnelsevinkel Bärarmens

Mätarmens " * "

Belastningsarmens tidsderiverade begynnel-sevinkel

Ramens begynnelsevinkel Bärarmens

Belastningsarmens begynnelsevinkel Dämpkonstant mellan ram och bärarm Bärhjulets dämpkonstant

Mäthjulets "

Dämpkonstant mellan belastningsarm och mätarm Ramens fjäderavstånd Bärarmens Mätarmens Belastningsarmens fjäderavstånd VTI MEDDELANDE 52

DGA(2) DGA(3) KM NM SO SKO SKl SK2 SK3

Ramens tidsderiverade vinkel Bärarmens

Mätarmens- " "

Belastningsarmens tidsderiVerade vinkel

Ramens vinkel I Bärarmens vinkel

Mätarmens vinkel

Belastningsarmens vinkel

Ramens tidsderiverade vinkel (strippad modell)

Bärarmens tidsderiverade vinkel (strippad modell)

Mätarmens tidsderiverade vinkel (Strippad modell)

Belastningsarmens tidsderiverade vinkel (strippad modell)

Ramens vinkel (strippad modell) Bärarmens vinkel (strippad modell) Mätarmens vinkel (strippad modell)_

Belastningsarmens vinkel (strippad modell) Val av utmatning

Pekare till aktuell vägprofildata (beroende

på datats uppläggning)

Antal insignaler

Antal frihetsgrader för vagnen

Axelavstånd mellan ramens och armarnas

svängningsaxlar

Fjäderkonstant mellan ram och bärarm Bärhjulets fjäderkonstant

Mäthjulets fjäderkonstant

Fjäderkonstant mellan belastningsarm och mätarm

STEG TIME TLAST TSTEP TRO TRl TR2 TR3 WO Wl W2 W3 XMAX XSTE XSTEP YMA YMAX YSTE YSTEP

Tidsteg mellan profilens digitala värden Tiden

Tidpunkt då simulering avbryts

Tidsteget i integrationsrutinen

Ramens tröghetsmoment kring dess tyngdpunkt Bärarmens tröghetsmoment kring dess

tyngd-punkt

'

_

Mätarmens tröghetsmoment kring dess tyngd-punkt

Belastningsarmens tröghetsmoment kring dess

tyngdpunkt

Ramens fjädrande massa Bärarmens fjädrande massa Mätarmens fjädrande massa

Belastningsarmens fjädrande massa

Tidsaxelns maxvärde vid uppritning_av bär-hjulets och mätbär-hjulets normalkraft

Tidsaxelns maxvärde vid uppritning av ra-mens och armarnas vinklar

Steget mellan gradering på tidsaxeln vid uppritning av bärhjulets och mäthjulets normalkraft

Steget mellan gradering på tidsaxeln vid uppritning av ramens och armarnas vinklar Bärhjulets och mäthjulets maximala normal-kraft

Ramens och armarnas maxvinklar

Steget mellan gradering på normalkraftsaxel Steget mellan gradering på vinkelaxeln

Tabell 5.3 Aktuella indata för friktionsmätvagn BVll vid test av simuleringsprogram

Kod i pro-4 Kod i mate- Beteckning för Ixnxi Enhet grammet matisk modell

TRO IO Ramens tröghets-' 48.11 kgm2

moment TRl Il Bärarmens trög- 6.88 kgm2 hetsmoment TR2 I2 Mätarmens trög- 3.05 kgm2 hetsmoment TR3 I3 Belastningsar- 1.65 kgm2 mens tröghets-moment WO m0 Ramens massa 163. kg Wl ml Bärarmens massa 104. kg

W2 mzy Mätarmens massa 56. kg

W3 m3 Belastningsar- 37. kg mens massa A0 aO Ramens tyngd- 1.247 m punktsavstånd Al al Bärarmens tyngd- .553 m punktsavstånd A2 a2 Mätarmens tyngd- .528 m punktsavstånd A3 a3 Belastningsar- .854 m mens tyngd-punktsavstånd DO d₀ Ramens fjäder-_o .925 m avstand Dl dl Bärarmens fjä- .600 m deravstånd D2 d2 Mätarmens fjä- .600 m deravstånd D3 d3 Belastningsar- .934 m mens fjäderav-stånd

VTI MEDDELANDE 52

Kod i pro- Kod i mate- Beteckning för Data. Enhet

grammet natisk modell '

SKO

K

Fjäderkonstant

49000.

N/m

mellan ramen ochl

bärarm 0 Bärhjulets fjä- 348000. N/m derkonstant SKl K SKZ K Mäthjulets fjä- 161000. N/m derkonstant Fjäderkonstant 11500. N/m mellan belast-^ ningsarm och mätarm SK3 K Dämpkonstant 2200. Ns/m

mellan ramen och ' bärarm CO C Bärhjulets dämp- 2200. Ns/m konstant Cl C C2 C Mäthjulets dämp- llOO. Ns/m konstant C3 C3 Dämpkonstant llOOE Ns/m mellan belast-ningsarm och mätarm SO 2 Axelavstånd 1.075 m NM Antal frihets- 4 grader vid' "strippad" 2 modell L Antal insigna- 3 ler TIME Starttid för 0 s simul.

TSTEP Längden av inte- 0.005 s

grationssteget

vid "strippad" 0.02 3 modell

TLAST Tidpunkt då si- 10 s

mulering av-bryts

_Kod i mate-matisk modell Kod i pro-grammet Beteckning för Data Enhet BGV(l) BGV(2) BGV (J3) BGV(4) BGV(S) BGV(6) BGV(7) BGV(8) AMP(l) AMP(2) AMP(3) KM STEG

Ramens tidsderive-rade begynnelse-'vinkel Bärarmens tidsde--riverade begyn-nelsevinkel Mätarmens tidsde-riverade begyn-nelsevinkel Belastningsarmens tidsderiverade begynnelsevinkel Ramens begynnel-sevinkel Bärarmens begyn-nelsevinkel Mätarmens begyn-nelsevinkel Belastningsarmens begynnelsevinkel Konstant för kOpplingsdonets insignal Konstant för bär-hjulets insignal Konstant för mät-hjulets insignal Antal datapar per post vid Vägpro-filens upplägg-ning i datorn Tidsteg mellan Vägprofilens digitala värden 44 0.01 rad/s rad/s rad/s rad/s rad rad rad rad sek VTI MEDDELANDE 52

Kod i mate-matisk modell

Kod i

pro-grammet Beteckning för Data Enhet

XSTEP XMAX YMAX YSTEP XSTE XMA YMA YSTE Steget mellan graderingen på tidsaxeln vid uppritning av ramens och ar-marnas vinklar

Tidsaxelns

max-värde vid upp-ritning av

ra-mens och armar-nas Vinklar

Ramens och

armar-nas maxvinklar Steget mellan gradering på vin-kelaxeln Steget mellan gradering på tidsaxeln vid uppritning av bärhjulets och mäthjulets nor-malkraft Tidsaxelns max-värde vid

upp-ritning av bär-hjulets och mät-hjulets normal-kraft Bärhjulets och mäthjulets maxi-mala normalkraft

Steget mellan

gra-dering på normal-kraftsaxeln 10. 10. 1000. 200 rad rad VTI MEDDELANDE 52

)

Läs data Skriv data och initi-alvärden Beräkna och läs in matris elementen i matriserna A,

B,C,D,E,F Invertera AnrOpa .- matrisen A MINV Anropa b_ Multiplicera MATMP matriser Anropa __ Teckna ENHMAT enhetsmatris

Läs in matrisd elementen i matrisen G

Figur 5.1 Flödesschema för huvudprogram

Endast vid "strippad" modell Figur 5.1 VTI MEDDELANDE 52 AnrOpa Runge

__ Starta num. lösning

att beräkna RATE l

Anropa

Runge

b-_{Beräkna RATE 2

Anropa

Runge "'{:Beräkna RATE 3

Anropa

Runge

"{Beräkna RATE 4

I

Beräkna ramens och armarnas vinklar samt dess förstader r'_ _"-"_ _"7 lInför mätar- I 'mens och bär- |

'armens tvångs-:

brillkor

Rita ramens och armarnas vinklar

55

C9

' "' _""1

,Beräkna ram- I

Endast Vidlvinkelns och : "strippad",armvinklarnasl modell landraderiva- : .I Beräkna bär-armens normal-kraft Rita bärar-mens och mät-armens nor-malkraft

\Ja

TIMEZ>TLAST

Gå ett tidssteg

Figur 5.1 Flödesschema för huvudprogram (forts)

Q

)

Uppdatera variabler

Beräkna Vägprofi-Anropa _-.. len samt dess

EVERT ' första- och andra-derivator Anropa .L.- Matrismultipli-MATMP kation

Beräkna hö-gerleder i diffekva-tionen Beräkna RATE

(

3

Figur 5.2 Flödesschema för subrutinen RUNGE

C

J

Uppdaterar

variabler

\Anropa _nu_ Läser in

Bingo Vägprofilen

- NV=NV+1

J

_ Ja Anropa ____ Läser in Nej NV=NV+l Lineär inter-polation av vägprofilen samt dess första- och andraderivator <: RETURN :>

Figur 5.3 Flödesschema för subrutin EVERT

FAKTORER SOM KAN INVERKA PÅ FRIKTIONSMÄTVAGNENS MÄT?

RESULTAT

'

Allmänt

Som framgår av kap 3 känner mäthjulet av det bromsande momentet. Detta moment omvandlas till ett friktionstal på en skrivare. Vid framtagandet av friktionstalet

förutsätter man att:

0 Det uppmätta bromsande momentet är lika med frik-tionskraften multiplicerat med en konstant däcks-radie.

o Friktionskraften är lika med friktionstalet

multi-plicerat med den konstanta normalkraften.

De faktorer som kan misstänkas vara en felkälla i mät-resultatet skulle vara att

0 Normalkraften varierar

o Däckets radie varierar

Värt att notera är att det friktionstal som man vill mäta, är det friktionstal som en personbil skulle

er-fara med samma yttre förhållanden. Detta leder till att hänsyn som, att friktionstalet i framföringsrikt-ningen sjunker i en kurva, inte skall tas med.

6.2 Normalkraftens inverkan på friktionstalet Fig 6.1 _{N dyn} Mb = bromsande moment F = friktionskraft Nd_yn = dynamisk normalkraft mg = statisk mätbelastning R = däckets radie

uupp = uppmatt friktionstal UV = "verkligt" friktionstal Mb = F-R (6.1) F = pupp. mg (6.2) F = pv°Ndyn (6.3) (6.2) och (6.3) ger _ m9 UV - pupp(Ndyn) (6.4)

rSlutsats: Av ovan inses att det "verkliga" friktions-talet starkt beror av den dynamiska normalkraften.

Denna beräknas i bilaga C.

.4

Normalkraftens inverkan på mäthjulets Slip

Som framgår av kap 3 finns en fast utväxling mellan mät-hjulet och bärhjulen. Detta medför att mätmät-hjulet bromsas kontinuerligt med ett Slip av ca 17%. Mäthjulets slip kan avta och öka bärhjulens spin.om mäthjulets normal-kraft blir större än de två bärhjulens normalnormal-krafter

tillsammans. Skulle mäthjulets slip minska, minskar även friktionstalet, eftersom friktionstalet är starkt

beroende av slippet, se fig 2.5.

Däckradiens inverkanåpå mätresultatet

Det uppmätta friktionstalet är direkt proportionellt (6.1) (6.2).

tioner hos friktionstalet kan alltså bero på följande.

mot mäthjulets däckradie, se och

Varia-A- Eiglêslêê29299s9§_222s55ê9_9å_§ä§E§E§_§§éiê

Enligt BVll systemanalys ändrar sig däckets centrum-höjd linjärt med hjulbelastningen. Vid en variation av hjulbelastningen mellan 500-2000 N blir skillnaden av däckets centrumhöjd 13 mm.

B- EêêEiqbsEs9§_igys55ê§_på_êä95§2§_rêêiê

Enligt BVll systemanalys ändrar sig däckets centrumhöjd linjärt med hastigheten. Vid en variation av

hastig-heten mellan O-lOO km/h blir skillnaden av däckets

centrumhöjd 6 mm.

EXEMPEL PÅ UTSKRIFT AV KURVOR OCH DATA FRÅN PROGRAMMET Ursprunglig modell 1000 800 400 200 -200 -400 -600 -800 1000 1000 800 600 400 200 -200 -400 -600 -800 -1000 100 804 601 40 20 -20* -401

-601

A A I ' f ' U T Y v-j r u ull

.q I

Mäthjulets normalkrai,svariation som funktion av tide

I . q 9' ' 10 TIME(s)

'|A. ..':. .. 41

_{|, x!}

_{v v'}

i

i i b I. 4 'i 1 TIME(s) 10 h«.lt.11t1

H * 1' h'

i ,« U

1 'H

Bärhjulets normalkra.tsvariation

: som funktion av tide

/\ .M

(1 A:

_

;

;

NV

V

7\/8

Vägprofilhöjd som funktion av tiden

: M

9

\1'0

TIME(s) -Ti VTI MEDDELANDE 52

40* 20 b -20" -40#

9.

_

TIME (s)

Mätarmens och belastningsarmens vinkeländring som

' _{funktion av tiden. Mätarm = 92 :EJ , Belastningsarm = 9}

10 3

8

l 2 3 5 6 7 9 10

TIME(s) Ramens och bärarmens vinkeländring som funktion av

tiden. Ram = 60 = ak, Bärarm = 61

Vägprofilhöjd som funktion av tiden

Strippad modell erOOO'P

EL 800«

600.; 400 2004 0 -2006 -400« -6000 _8000 -1000 #51000 2 8000 6000 400n 200" 0 .Å -200 -400 -600 -800 -1000

100W

*4 80$

60

40* 20 -20" -40T

-601

l 2

-M

. Li :ut i Ill 1

rv'

'g

M '1"

"

l i Bärhjulets normalkraftsvariationj

ÅA

., N Wax/va

som funktion av tiden

\/ 10

TIME(s) Vägprofilhöjd som funktion av tiden

2; 0,10 m 0,08* H vd 0,06 0,04 0,02 _0,02 _0,04 -0,08 -0,10 ra d 0,06 0,04 0,02 V -0,04 -0,06 -0,08 -0,10 60 40 20 -20 -40 -60 0,08. TIME(s)

o Mätarmens och belastningsarmens vinkeländring som funktion =D, Belastningsarm==03

0 av tiden. Mätarm==02,

_lO TIME(s)

_ Ramens och bärarmens vinkeländring som funktion av tiden

WL Ram :9 O = 46, Bärarm= 61

.

1

2

4

' 52

6

7

9

V ,8 A 7 A

§3

;

<.P

_g

.

§3

00

f

3

Vägprofilhöjd som funktion av tiden

. .. E z ...0 .1. .. .2 .L L 1 .I L 4...LL a; Fb .

| .34-5

a. s. ;P = i". êüü'åü:' 1E S 1E .ut .L L mm ...ha Å , ..-.c I .no-0. .-c. 0. $ 6 11 ... Nu ». r Nm H D Z < Q M D O M Z H B > a. få :71 C71 1E 1i Wai 0--

Referenser

l. Kummer H.W., Unified Theory of Rubber and Tire Friction.

Engineering Research Bulletin B-94. The Pennsylvania State University, Pennsylvania, 1966.

2. Ohlsson Evert, Formgren Carl och Nordström Olle, Friktionen i Vägsammanhang, teorier och

praktiska frågor.

Internrapport 94, Statens väg- och

trafik-institut, 1972.

3. Mattsson Matts, Rungvist Hans, Friktionsmätvagn BVll:3.

Beskrivning och instruktion. Internrapport 44, 1971.

4. Wells D.A., Theory and Proglems Lagrangian Dynamics. Schaum's outline series, 1967.

5. Nordmark S, Klassisk mekanik med tillämpningar inom fordonsdynamiken.

Meddelande nr 3, Statens väg- och trafikinsti-tut, 1976.

6. Sinha B.P., Influence of Road Univenness on Road

Holding and Ride Comfort. .

Rapport nr 28, Statens väg- och trafikinsti-tut, 1973.

7. Nordmark S, Datorprogram för digital simulering av dubbelt körfältsbyte med en tung fordonskom-bination.

Rapport nr 96, Statens Väg- och

trafikinsti-tut, 1976.

8. Fenton J, Handbook of automotive design analysis. Mecrury House Business Publications LTD.

9. Kallin S, Fortran. Studentlitteratur, 1972.

BESTÄMNING AV VAGNENS MASSOR, TYNGDPUNKTSAVSTÅND OCH TRÖGHETSMOMENT

A.l Vagnens massor (m) och tyngdgpnktsavstånd (a).

A;l.l Ramen: Y G (tyngdpunktaxel)

U

_ao

₊

V

_-

5106

₁

_

5105

.

a03' a04

(302

§ I _J

<1'

F

m 3

mos

aOl 020

R]

C 02

JP

m

m 8

Ino:L \\JELL_. __Q§_// d

moz

_

m03

_mos

.FJ i

_{1 = I g}

/

01

103L

205

J

Fig A.l Förenklad modell av ramverket

a01==0,435 m 201==O,86O m m01==24'kg a02==0,925 m 202==l,lOO m m02==16 kg a03==l,075 m 203==O,305 m m03==2><5 kg a04==l,075 m 204==l,100 m m04==6l kg a05==l,720 m 205==O,93O m m05==2><l2 kg a06==2,160 m 206==l,360 m m06==28 kg Zm0==163 kg VTI MEDDELANDE 52

.1.

Gemensam tyngdpunktaxel aO blir

6 . a_O ==ÅL - 2_{mO 1:1} a .-m ._{01 01} 'a₀ ==;L(m_{mO 01} a₀₁ +-m₀₂ 'a₀₂ *#m₀₃ 'a₀₃ 4-m₀₄ a₀₄+-m₀₅ a₀₅ + m06'a06)-1,247 m 1353132512_ I Y G (tyngdpunktsaxel) a

l

1

C

312

m

12

all

,I

ü//

,G

mll

12

911

,4

Fig A.2 Förenklad modell av bärarm

all==0,530 m Rll==l,060 m mll==2><35 kg a12==0,600 m 212==O,275 m m12==2><17 kg

Zml==104 kg

Massorna mll och m12 är dubblerade, då de två

bärar-marna är sammanslagna till en bärarm.

a =-Ã4(a_{1 ml 11} -m₁₁ +-a₁₂'m₁₂)==O 553 m_'

.1.

MäEêL-tm_

* Y a ÅÅG (tyngdpunktsaxel) ;a

.322

m

a _ 22 21 __ / m 21

JL22

221

Fig A.3 Förenklad modell av mätarm

a21==0,485 m 221==O,97O m m21==35 kg a22==0,600 m 222==0,275 m m22==21 kg Em2 = 56 kg a = Å;(a_{2 m2 21}-m₂₁ +-a₂₂ -m₂₂)==0 528 m_'

êêlêêäaiagêêäaz

Y 1 G (tyngdpunkts-Ål _{a3 axel)}

a32

m

a31

/_32_

Tåg;

IH31

1-_\

231

32

.

Fig A.4 Förenklad modell av belastningsarm

.2.

a3l= 0,442 m

9431:0,884 m

m3l= 6 kg

a32==0,934 m 232==O,100 m m32==31 kg Zm3==37 kg

a.==;L (a_{3 m3 31} 'm₃₁ 49a₃₂ 'm₃₂)==O 854 m_'

Vagnens'tröghetsmoment

a) b) A G (tyngdpunktsaxel) A G (tyngdpunktsaxel) 1

F'-F a

m m 2 a m-22 2 2 a) JG==-I§-4-ma b) JG==m°a Figpr A.5 n

JGtot=

_l-l

JGi

Bâmâäls se fig A.l

2 m '2

__ 01 01

.

_

2_

2

JGOl---12 +mOl (a0 am) _15,14

kgm-J

₍₂₀₂

m

_{02 a0 a02}

(

-

)2

-1 66 k m2

_°

_g

2 m -2

_ 03 03

_

2_

2

JG03

12

+m03 (ao

303) _0'38 kgm

VTI MEDDELANDE 52

.2. .2. J

₍₃₀₄

-m

₀₄

(a

₀

-a

₀₄

)2 --1 80

_'

2

m -2

_ 05 05

_

2_

2

7005"

12

05 (ao

305) ' 5'52 kgm

J

_G06

-m

₀₆

(a -a)2

₀₆

₀

-2334km

_{" "}

_g

6

JGOtot=

_1-1

JGOi

z 48'11 kgm

êêäêzm se fig A-2

2

m. -2

_ 11

11

_

2_

2

JG11'

12

+m11 (al 311) " 6'60 kgm

m -2 2

__ 12 12

_

2 _

2

JG12- 12 +m12(al alz) -O,28 kgm

2'

₂

JGltot=

_1-1

JGli

= 6'88 kgm

gägêgg se fig A.3 m -2 2

_ 21 21

.

_>

2_

2

J021

12

+m21 (a2 a21) _ 2'81 kgm

m -2 2

_ 22 22

_

2_

2

JG22'

12

+m22 (az

322)

0'25 kgm

2

2

JG2tot= 1:1 J(321

= 3'05 kgm

VTI MEDDELANDE 52 2 2

.2.

_{§§l§§§2323§êxgl se fig A. 4}

2

J :åm3l.231 *Dm .(a -_ )

G31

12

31

3 531

J

_G32

==m

₃₂

'(a -a

₃

₃₂

)2

2

JGBtot:: ,2 Jg31

_1=l VT I MEDDELANDE 5 2 2

_{:1445 kgm2}

0,20 kgm 1,65 kgm 2 2

FRAMTAGNING AV FJÄDER- OCH DÄMPKONSTANTER

'Fjäder mellan mätarm och belastningsarm Uppmätta Värden:

Tråddiameter d==8 mm

Fjäderns medeldiameter Dm==63 mm

Antal verksamma varv n==15,5

Skjuvmodulen G==8-lO4 N/mm2 Fjäderkonstant K

.44 . 4. 4

I(=-§-é--= 8 10 8 3.==lO,6 N/mm

8°n-Dm3 8-15,5'63

Enligt experimentell mätning, se diagram 1 blir

Välj K= 11,5 N/mm

Fjäder mellan bärarm och ramverk Uppmätta värden:

Tråddiameter d==lO mm

Fjäderns medeldiameter Dm==66 mm

Antal verksamma varv n==l4,5,

4 Skjuvmodulen G==8°lO" N/mm2 Fjäderkonstant K 4 4 4 K: God _ 8 10 10 :=24'O N/mm 8-n Dm3 8-l4,5°66 VTI MEDDELANDE 52

Enligt experimentell mätning, se diagram 2 blir ;_Ag __900 _

K--A6 -âåjg-24,5 N/mm

Välj K= 24,5 N/mm

_F jäd er kr aft [N ]

/

/Å

/

500

//

/

250

//

Å /

/Y

//

,/

25 50

H0ptryckning 6 [mm]

Diagram l. Fjäderkraften som funktion av hOptryckningen för fjäder mellan mätarm och belastningsarm.

Bilaga B

Sid 4 (6)

2

_V E

/

ä

.2

'U m

E 750

/

//

500

/

250

/

///

/

5

10

15

20

25

30

35

HOptryckning ölmml

Diagram 2. Fjäderkraften som funktion av hcptryckning för fjäder mellan bärarm OCh ramverk.