Analys av ledtid för volymprodukter till en nyckelkund hos
Fredriksons Verkstads AB.
Frida Johansson
LiTH-MAT-EX-2010/17-SEFredriksons Verkstads AB.
Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet Frida Johansson
LiTH-MAT-EX-2010/17-SE
Examensarbete: 30 hp Nivå: A
Handledare: Martin Ohlson, Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet Tommy Johansson, Fredriksons Verkstads AB, Vadstena
Examinator: Martin Ohlson,
Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet Linköping: juni 2010
Detta arbete är resultatet av mitt examensarbete utfört på Fredriksons Verk-stads AB i Vadstena under våren 2010. Jag vill rikta ett stort tack till mina han-dledare, Tommy Johansson och Martin Ohlson, som hjälp mig under arbetets gång. Även ett stort tack till personal på Fredriksons som svarat på frågor och hjälp mig hitta relevant information.
Linköping, juni 2010
Frida Johansson
Fredriksons Verkstads AB i Vadstena är en modern verkstadsindustri med kom-petens främst inom plåtbearbetning, svetsning, skärande bearbetning och sys-temmontage. Verksamheten kan delas in i de tre delarna kontraktstillverkn-ing, konstruktion och produktion. Kontraktstillverkningen består av serier till livsmedels-, medicinteknisk och verkstadsindustrin. Fredriksons Conveyor So-lutions konstruerar egna produkter i form av transportörsystem till livs- och läkemedelsindustrin.
Fredriksons kunder ställer i allt högre grad krav på reducerade ledtider och ökad leveransprecision. Syftet med examensarbetet är därför att försöka reduc-era Fredriksons interna ledtider för ett specifikt produktsortiment.
Ett första steg i arbetet med ledtidsreduceringen är att ta fram bra utarbe-tade prognoser. Framförallt har kvantitativa tidsseriemetoder analyserats. De enkla tidsseriemetoderna glidande medelvärde och exponentiell utjämning har undersökts i syfte att förbättra Fredriksons prognoser. Därutöver har en mer teoretisk fördjupning i avancerade tidsseriemetoder, främst ARMA-processer, genomförts.
Andra faktorer som påverkar produktionsledtiden är exempelvis partiformn-ing, ställtider, säkerhetsmekanismer, kötider och sekvensering. Även dessa fak-torer har analyserats och åtgärder har föreslagits i syfte att reducera Fredriksons interna ledtider.
Nyckelord: Kötid, Ledtidsreduktion, Partiformning, Prognostisering, Sekvensering, Ställtid, Säkerhetsmekanismer
Fredriksons Verkstads AB in Vadstena is a modern engineering industry with expertise mainly in the sheet metal, welding, cutting processing and assembly systems. Activities can be divided into three parts contract manufacturing, en-gineering and conveyor solutions. Contract manufacturing consists of series of food, medical and general industries. Fredriksons Conveyor Solutions designs their own products in the form of conveyor systems for food and pharmaceuti-cal industries.
Fredriksons customers have increasing demands for reduced lead times and improved delivery performance. The purpose of this master thesis is therefore to try to reduce Fredriksons internal lead times for a specific product range.
A first step in the process of lead time reduction is to produce good fore-casting. In particular, the quantitative time series methods have been analysed. The simple time series methods moving average and exponential smoothing has been studied in order to improve Fredriksons forecasts. In addition, a more the-oretical study in the advanced time series methods, mainly ARMA-processes, has been implemented.
Other factors affecting the production lead time are for example, lot siz-ing, setup times, security mechanisms, queue times and sequencing. Although these factors were analysed and measures have been proposed in order to reduce Fredriksons internal lead times.
AR Autoregressiv MA Moving Average
ARMA Autoregressive Moving Average
ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average FORSYS Forecasting System
TSS Total Sum of Squares SSE Sum of Squared Errors MAD Mean Absolute Deviation MSE Mean Squared Error
ME Mean Error
EOQ Economic Order Quantity SMED Single Minute Exchange of Die PIA Produkter I Arbete
LOH Lageromsättningshastighet
1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Syfte . . . 2 1.3 Metod . . . 2 1.4 Datainsamling . . . 2 1.5 Läsanvisningar . . . 2 2 Nulägesbeskrivning 5 2.1 Historik . . . 5 2.2 XANO Industri AB . . . 6 2.2.1 Affärsidé . . . 6 2.2.2 Strategi . . . 6 2.2.3 Vision . . . 6 2.3 Fredriksons Verkstads AB . . . 6 2.3.1 Företagets koncept . . . 6 2.3.2 Fabriken . . . 7 3 Teoretisk referensram 9 3.1 Prognostisering . . . 9 3.1.1 Prognosverksamhet . . . 9 3.1.2 Prognostyper . . . 10 3.1.3 Efterfrågemodeller . . . 10 3.1.4 Prognosmetoder . . . 11
3.1.5 Prognosfel och prognosuppföljning . . . 27
3.2 Partiformning . . . 30
3.2.1 Ekonomisk orderkvantitet . . . 30
3.2.2 Lagerhållninskostnader . . . 30
3.2.3 Ordersärkostnader . . . 31
3.2.4 Ekonomiska orderkvantiteter med restriktioner . . . 31
3.3 Ställtidsanalys . . . 33 3.3.1 Ställtidsreduktion i en EOQ-modell . . . 33 3.3.2 SMED . . . 34 3.4 Säkerhetsmekanismer . . . 35 3.4.1 Säkerhetslager . . . 35 3.4.2 Säkerhetsledtid . . . 37 3.4.3 Ökade behov . . . 37 3.5 Ledtid . . . 37
3.5.1 Genomloppstid och produktionsledtid . . . 37
3.5.2 Faktisk och planerad ledtid . . . 38
3.6 Ledtidsreduktion . . . 38
3.6.1 Överlappning av operationer . . . 38
3.6.2 Orderklyvning . . . 39
3.6.3 Flödesanalys . . . 39
3.6.4 Kapacitet och kapacitetsutnyttjande . . . 41
3.7 Köteori . . . 43 3.7.1 M/M/1-kö . . . 43 3.7.2 M/M/c-kö . . . 44 3.7.3 Littles formel . . . 45 3.7.4 M/G/1-kö . . . 45 3.7.5 Prioriterade köer . . . 46 3.7.6 Kötid . . . 47 3.8 Sekvensering . . . 48 3.8.1 Sekvensering i en resurs . . . 48
3.8.2 Sekvensering i två eller flera resurser . . . 49
4 Analys 51 4.1 Prognostisering . . . 51 4.1.1 Tidsseriemetoder . . . 51 4.1.2 Avancerade tidsseriemetoder . . . 52 4.2 Partiformning . . . 56 4.2.1 Fredriksons lagerhållningskostnader . . . 57 4.2.2 Ställtidsreduktion i en EOQ-modell . . . 57
4.3 Jämförelse mellan säkerhetslager och säkerhetsledtid . . . 58
4.4 Kötid och sekvensering . . . 59
4.5 Värdeflödesanalys . . . 62 5 Åtgärdsförslag 67 5.1 Prognostisering . . . 67 5.2 Partiformning . . . 67 5.3 Ställtid . . . 68 5.4 Säkerhetsmekanismer . . . 68 5.5 Sekvensering . . . 68 5.6 Flödesgrupp . . . 69 A Analys av prognoser 73 A.1 Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong . . . 73
Inledning
Detta kapitel beskriver examensarbetets bakgrund och syfte. Dessutom görs en redogörelse för arbetsmetodiken och i slutet av kapitlet följer en läsanvisning.
1.1
Bakgrund
Ett examensarbete motsvarande 20 veckors heltidsstudier genomförs som ett sista steg för en magisterexamen i matematik. I detta arbete ska jag som student med hjälp av inhämtade kunskaper från min utbildning på Matematikprogram-met på Linköpings Tekniska Högskola självständigt identifiera och analysera problem. Denna process sammanställs slutligen i en akademisk rapport.
Examensarbetet har genomförts på Fredriksons Verkstads AB i Vadstena. Handledare på Fredriksons har varit LEAN koordinator Tommy Johansson, medan handledare på MAI har varit Martin Ohlson, forskarassistent. I min matematikutbildning har jag inriktad mig en del mot produktionslogistik, vilket gjorde att det passade bra att genomföra examensarbetet på Fredriksons.
Fredriksons Verkstads AB erbjuder kontraktsuppdrag av kvalificerade indus-triprodukter från idé till färdig produkt i små och medelstora serier. Uppdragen kan omfatta konstruktion, prototyptillverkning, serietillverkning och dokumen-tation. Företaget arbetar inom branscher som livsmedel, medicinteknik, miljö och energi. Fredriksons eftersträvar en hög förädlingsgrad i sina uppdrag med högt teknikinnehåll.
Fredriksons Conveyor Solutions utvecklar och producerar conveyorlösningar. Produkterna löser kundernas logistik från förpackad vara till pallhantering. Kun-derna finns inom branscherna livsmedel och medicinteknik.
Fredriksons kunder ställer i allt högre grad krav på reducerade ledtider samt ökad leveransprecision. För att möta dessa krav krävs en gedigen analys av befintliga flöden och arbetssätt, därför har detta examensarbete initierats av Fredriksons. Examensarbetet kommer att beröra de interna ledtiderna i produk-tionen för ett av Fredriksons produktsortiment i syfte att reducera ledtiderna.
1.2
Syfte
Syftet med examensarbetet är att reducera ledtiderna för ett av Fredriksons produktsortiment som tillhör en av deras nyckelkunder.
1.3
Metod
Inledningsvis undersöktes affärssystemet som Fredriksons använder, dels för att se hur de arbetar idag med exempelvis parametersättningen, men även för att hitta relevant information för att kunna analysera ledtiderna.
Kunskaper inom produktionslogistik och matematik, främst matematisk statistik, som är relevanta då ledtider ska analyseras inhämtades och sam-manställdes till den teoretiska referensramen. Källorna till de inhämtade kun-skaperna består av böcker, kurslitteratur samt utdelat utbildningsmaterial vid Linköpings Tekniska Högskola.
Med hjälp av teoriavsnittet analyserades prognostisering, partiformning, ställtider, säkerhetsmekanismer, kötider och sekvensering i syfte att reducera Fredriksons ledtider. Detta dokumenterades sedan i analysdelen.
Rapporten avslutas med ett åtgärdsförslag som åtgärdar de identifierade problemen i analysen.
1.4
Datainsamling
Den information detta arbete har krävt har i någon form funnits tillgänglig på Fredriksons Verkstads AB. Data kommer från intervjuer, Fredriksons intranet och företagets egna produktdata.
Vid inhämtning av information har stor vikt lagts vid att datan är korrekt och aktuell. För att säkerställa att informationen har tolkats och använts på rätt sätt har en kontinuerlig dialog hållits med berörda personer på Fredriksons Verkstads AB.
1.5
Läsanvisningar
Kapitel 1: Inledning
Det första kapitlet beskriver examensarbetets bakgrund och syfte. Även ar-betsmetodiken beskrivs i detta kapitel.
Kapitel 2: Nulägesbeskrivning
Kapitlet inleds med en kort historisk om företaget, därefter följer XANO-koncernens affärsidé, strategi och vision. Slutligen görs en nulägesbeskrivning av Fredriksons Verkstads AB, där företagets koncept och fabrikens uppbyggnad presenteras.
Kapitel 3: Teoretisk referensram
Detta kapitel tar upp teorier och synsätt inom främst produktionslogistiken, som har någon form av anknytning till ledtider. Teorin ligger till grund för analysen och åtgärdsförslaget. Detta kapitel rekommenderas att läsa för de som vill få en teoretisk förståelse för lösningen.
Kapitel 4: Analys
I kapitlet analyseras faktorer som påverkar företagets ledtider. Kapitlet bygger på teorier beskrivna i den teoretiska referensramen och detta kapitel rekomen-deras att läsas för att förstå åtgärdsförslaget.
Kapitel 5: Åtgärdsförslag
Utifrån examensarbetets syfte, den teoretiska referensramen och analysen pre-senteras här åtgärderdsförslag som kan hjälpa Fredriksons att reducera sina ledtider.
Nulägesbeskrivning
Detta kapitel ger en översiktlig bild av Fredriksons Verkstads AB. Inledningsvis pre-senteras en kort historik om företag och därefter görs en presentation av koncernen XANO, följt av en presentation av Fredriksons Verkstads AB.
2.1
Historik
År 1917 grundades företaget i Vadstena av Adolf Fredrikson. På den tiden var verksamheten inriktad på försäljning och reparation av fordon som exempelvis personbilar, lastbilar för transport av mjölkkannor och lantbruksmaskiner. Före-taget var Vadstenas första återförsäljare av bilar. Sonen Gustav Fredrikson tog över företaget 1931 och inriktningen på verksamheten ändras. Fredriksons bör-jade tillverka diselkraftverk och mobila elkraftverk, eftersom de lokala lant-brukarnas elnät till gårdarna var dåligt utbyggda. Kraftverken användes sedan bland annat till mjölkmaskinerna på gårdarna. 1940 började företaget ta fram ett system som kunde tömma, rengöra och hantera de tunga 50 liters rostfria mjölkkannorna som användes vid mjölktransporter.
1960 förändrades marknaden inom mejeribranschen då mjölkkannorna över-gick till returemballage i plast. Tre år senare installerades det första disksys-temet som var anpassat efter de nya plastemballagen på Motala Mejeri. Det nya systemet nådde framgångar och kompletta system började levereras över hela världen. Samma år började sonen Jan-Erik Fredrikson i firman och i slutet av 1970-talet övertog han företaget.
I samband med en konkurs såldes sedan företaget 1991 till Bo Hellman och tomgodshanteringen vidareutvecklades. Några år senare tog Fredriksons affär-sområden form och nya kunder för legotillverkning tillkom. 2006 sålde Bo Hell-man bolaget till XANO Industri AB, men stannade kvar som VD för Fredriksons fram till sin pension år 2007, då Kristian Rustan tog över som VD. Strax innan hade en systerfabrik startats upp i Suzhou i Kina för att kunna möta kundernas önskemål om att finnas på den asiatiska marknaden.
2.2
XANO Industri AB
XANO är ett börsnoterat bolag och Fredriksons ingår som tidigare nämnt i XANO-koncernen sedan 2006.
2.2.1
Affärsidé
XANO utvecklar, förvärvar och driver varuproducerande företagsgrupper med unika och/eller marknadsledande produkter.
2.2.2
Strategi
XANOs produkter skall ha ett högt teknikinnehåll. Servicenivå och leverans-beredskap skall vara förstaklassig. Koncernens bolag skall ha lokal förankring och skapa varaktiga relationer med såväl kunder som leverantörer.
2.2.3
Vision
XANO skall vara en ledande aktör inom utvalda marknadssegment. XANO skall skapa starka enheter av företag där synenergierna utnyttjas optimalt.
2.3
Fredriksons Verkstads AB
Fredriksons är en modern verkstadsindustri med ca 220 stycken anställda och en omsättning på ca 400 miljoner kronor. De har lång erfarenhet av plåt och skärande bearbetning främst inom rostfritt och aluminium och i företaget finns stor erfarenhet av systemmontage av komplexa produkter. Alltså ligger Fredrik-sons kompentens främst inom plåtbearbetning, svetsning, skärande bearbetning och systemmontage.
2.3.1
Företagets koncept
Fredriksons verksamhet kan delas in i de tre delarna kontraktstillverkning, kon-struktion och produktion.
Kontraktstillverkning
Huvuddelen av Fredriksons omsättning kommer från kontraktstillverkning av små till medelstora serier till livsmedels-, medicinteknisk och verkstadsindustrin. Konstruktion
Fredriksons har en egen avdelning med projektering, design, prototyptillverkn-ing, serietillverkning och teknisk dokumentation.
Produktion
Företaget konstruerar även egna produkter i form av transportörsystem till livs-och läkemedelsindustrin.
2.3.2
Fabriken
Fredriksons har en modern fabrik med bred produktionskapacitet. I dagsläget finns bland annat tre lasermaskiner på 4, 5 respektive 6 kW. Det finns en stor variation i maskiner för skärande bearbetning exempelvis 5-axliga svar-var, bäddfräsar, svarvar och trycksvarvar. För att kunna leva upp till sina hårda kvalitetskrav finns ett toppmodernt mätrum.
Teoretisk referensram
I detta kapitel presenteras den teoretiska bakgrund som detta examensarbete bygger på. Teorin ska dels ligga till grund för åtgärdsförslaget, dels ge läsaren en grundläg-gande förståelse för ämnesområdet.
3.1
Prognostisering
3.1.1
Prognosverksamhet
En prognos är en välgrundad uppskattning av framtida skeenden. Då den framti-da efterfrågan för en artikel inte är känd behöver man använframti-da sig av någon typ av prognostisering. På lång sikt behöver ekonomiavdelningen prognostisera för att kunna göra en budgetplanering och marknadsavdelningen skapar prognoser för planering av nya produkter. På kortare sikt inom produktionen behöver man prognoser för att göra processval, kapacitetsplanering, materialplanering och lagerstyrning.
Produktionsledtiden för ett tillverkande företag, som Fredriksons, är uppde-lad i två delar. I den första delen, innan kundorderpunkten (den punkt i produk-tionskedjan där en order är kopplad till en specifik artikel) planeras produktio-nen baserad på prognos och efter kundorderpunkten är planeringen baserad på kundorder. Tiden efter kundorderpunkten är leveransledtiden. Prognostisering och ledtidsanalys hänger alltså samman. Bra utarbetade prognoser bidrar till att ledtider kan reduceras.
Några grundläggande egenskaper hos prognoser är enligt [7]: • Prognosen är vanligtvis fel.
• En bra prognos är mer än en enskild siffra. • Aggregerade prognoser är säkrare.
• Prognossäkerheten avtar med prognoshorisonten. • Prognoser skall inte ersätta känd information.
3.1.2
Prognostyper
Prognoser brukar delas upp i två olika typer av prognoser, kvalitativa och kvan-titativa. Till kvalitativa prognoser som även brukar kallas intuitiva prognoser räknas exempelvis expertutlåtanden, marknasundersökningar och säljkårs-uppskattningar.
Kvantitativa prognoser utgår ifrån historiska situationer, då framtida ufall uppskattas. Tidsseriemetoder som exempelvis glidande medelvärde och expo-nentiell utjämning är den vanligaste typen av kvantitativa prognoser.
Kausala metoder som regressionsanayls och ekonometriska modeller är en annan grupp av kvantitativa metoder. Kausala metoder utgår från att en vari-abels utveckling kan förklaras av någon eller några andra variabler, vilket be-nämns enkel respektive multipel regression vid regressionsanalys. Ekonometriska modeller försöker beskriva en del av ekonomin utifrån en serie oberoende ekvationer [7].
3.1.3
Efterfrågemodeller
Valet av prognosmetod baseras på en efterfrågemodell, vilket är en beskrivning av hur den underliggande process som genererar efterfrågetidsserien ser ut.
Att dela upp en tidsserie av efterfrågedata i tidsseriekomponenter benämns dekomposition. De fem olika tidsseriekomponenterna är trend, säsong, cykel, nivå och slump. Trend, T , är en gradvis ökning eller minskning av efterfrå-gan. Ett mönster av efterfrågefluktuationer som ofta återkommer årsvis kallas säsong, S. Cykel, C, är ett mönster som återkommer efter ett antal år, ofta kopplad till en konjunkturscykel. Nivån, N , är den grundläggande genomsnit-tliga efterfrågan över tiden. Slump, E, slumpmässiga variationer som ej kan förklaras och som saknar urskiljbart mönster. Enligt [7] finns det två generella former for hur tidsseriekomponenterna kombineras i en efterfrågemodell. Vanli-gast är den multiplikativa modellen där efterfrågan, D, är produkten av de fem komponenterna
D = T × S × C × N × E.
I en additiv modell adderas istället komponenterna
D = T + S + C + N + E.
Konstant modell
En konstant modell innehåller en konstant nivåterm och en slumpterm,
där
Dt = efterfrågan i period t
a = nivå
εt = slumptal i period t.
Slumptalet är en oberoende stokastisk variabel med väntevärde noll och konstant standardavvikelse [7].
Trendmodell
Enligt [7] innehåller en trendmodell en konstant nivåterm, en trendterm och slumpinverkan,
Dt= a + bt + εt,
där
b = trenden per period
t = periodindex.
Kombinerad trend- och säsongsmodell
I en trend- och säsongsmodell ingår en konstant nivåterm, en trendterm, en säsongsterm och slumpen. Nedan visas ett exempel där säsongstermen repre-senteras av ett säsongsindex,
Dt= (a + bt)ct+ εt,
där
ct = säsongsindex i period t.
Enligt [7] uppträder säsongseffekterna normalt som diskreta steg.
I [14] beskrivs vilka steg som bör följas då en dekomposition ska genomförs i syfte att ta fram en efterfrågemodell. De första tre stegen går ut på att identifiera faktorerna säsong, trend och cykel. Det fjärde och sista steget handlar om att förbereda en prognos för den kommande tidsperioden.
3.1.4
Prognosmetoder
Tidsseriemetoder
Glidande medelvärde
Glidande medelvärde är en enkel prognosmetod, då efterfrågan antas vara gan-ska stabil över tiden. Glidande medelvärde ges av
Ft+1= Dt+ Dt−1+ · · · + Dt−N +1 N = 1 N t X i=t−N +1 Di,
där
Ft+1 = prognos för period t + 1, gjord i period t
Dt = efterfrågan observerad i period t
N = antalet observationer i medelvärdesbildningen
t = tidsperiod.
Valet av antalet perioder, N , beror på hur stabil efterfrågan antas vara. Om den inte är helt konstant bör antalet perioder inte vara så många. Få perioder ger en mer följsam prognos och en med fler perioder ger en stabilare prog-nos. Glidande medelvärde reagerar långsamt på systematiska förändringar och kräver samtidigt ett stort datamaterial, eftersom den bygger på de N senaste periodernas efterfrågan [7].
Exponetiell utjämning
Exponentiell utjämning är en prognosmetod som är enkel att använda och kräver få data för prognosuppdatering. Exponentiell utjämning ges av
Ft+1= αDt+ (1 − α)Ft,
där
Ft+1 = prognos för period t + 1, gjord i period t
Dt = efterfrågan observerad i period t
α = utjämningkonstant (värde mellan 0 och 1)
t = tidsperiod.
Valet av utjämningskonstantens värde bestäms ofta genom att söka ett α-värde som ger bäst prognosanpassning till historiska data, t.ex. genom att minimera medelabsolutfelet. Medelabsolutfelet är en typ av prognosfel som behandlas län-gre fram. I praktiken hamnar ofta värdet mellan 0,05 och 0,3. Ett hölän-gre α-värde ger snabbare reaktion på förändringar, men ger samtidigt större känslighet för slumpinverkan. Ett lägre α-värde ger därmed en stabilare prognos, men rea-gerar långsammare på systematiska förändringar [7].
Vid en jämförelse med glidande medelvärde och dess val av antalet perioder, N , gäller det approximativa förhållandet
α = 2 N + 1.
Exponentiell utjämning med trend (Holts metod)
Holts metod utnyttjar exponentiell utjämning med särskild trendhänsyn och även trenden uppdateras genom exponentiell utjämning. Holts metod ges av
Ut= αDt+ (1 − α)(Ut−1+ Tt−1),
där
Ut = exponentiellt utjämnad medelefterfrågan i period t
α = utjämningskonstant för medelefterfrågan
Dt = efterfrågan i period t
Tt = exponentiellt utjämnad trend för period t
β = utjämningskonstant för trenden.
Utjämningskonstanten för trend β väljs även den mellan 0 och 1. Den kan ges samma värde som utjämningskonstanten för efterfrågan, men oftast ges trendtermen mer stabilitet, d.v.s. β ≤ α.
Summan av den exponentiellt utjämnade efterfrågan och trenden blir enligt [7] efterfrågeprognosen för nästkommande period.
Ft+1= Ut+ Tt,
där
Ft+1 = prognos för period t + 1, gjord i period t.
För prognoser längre fram i tiden läggs en trendterm till för varje ny period.
Ft,t+τ = Ut+ τ Tt, τ ≥ 1,
där
Ft,t+τ = prognos för period t + τ , gjord i period t.
Exponentiell utjämning med säsong
Vid prognostisering med exponentiell utjämning med hänsyn till multiplikativa säsongsindex blir formeln enligt [7]:
Ft+1= αDt St + (1 − α)Ft St St+1, där St = säsongsindex för period t St+1 = säsongsindex för period t + 1.
Exponentiell utjämning med trend och säsong (Winters metod) Winters metod utgår enligt [7] ifrån följande kombinerade trend- och säsongsmod-ell som bygger på Holts metod. Vi har
där
a = nivå
b = trend per period
t = periodindex ct = säsongsindex i period t εt = slumptal i period t. Vidare är Ut= α Dt St−N + (1 − α)(Ut−1+ Tt−1), Tt= β(Ut− Ut−1) + (1 − β)Tt−1, St= γ Dt U t+ (1 − γ)St−N, där
Ut = exponentiellt utjämnad medelefterfrågan i period t
α = utjämningskonstant för medelefterfrågan
Dt = efterfrågan i period t
St = säsongsindex för period t
N = antal perioder
Tt = exponentiellt utjämnad trend för period t
β = utjämningskonstant för trenden
γ = utjämningskonstant för säsongen.
Utjämningskonstanten för säsong väljs även den mellan 0 och 1. Den kan ges ungefär samma värde som α. Efter uppdatering av säsongsindex måste dessa normeras så att summan blir lika med N .
Efterfrågeprognosen för kommande perioder fås sedan enligt följande:
Ft,t+τ = (Ut+ τ Tt)St−N +τ, 1 ≤ τ ≤ N,
där
Ft,t+τ = prognos för period t + τ gjord i preiod t.
Säsongstermen måste justeras om prognosen syftar längre fram än en hel säsong. För exempelvis N < τ ≤ 2N blir säsongstermen St−2N +τ.
Avancerade tidsseriemetoder
Det här avsnittet inleds med att beskriva autokovarians och autokorrelation eftersom de är basverkyg som används i de flesta avancerade metoder. Därefter beskrivs ARMA (autoregressive/moving average) processer som utnyttjas i Box-Jenkins metod. Avsnittet avslutas med kortfattade beskrivningar av några andra avancerade tidsseriemetoder.
Autokovarians och autokorrelation
Autokorrelationen bland stegvisa värden av en tidsserie är enligt [14] ett ny-ckelverktyg för att identifiera förloppet och ta fram en modell som svarar mot
datamaterialet. Graden av korrelationen mellan två variabler mäts med korre-lationskoefficienten, vars värden ligger mellan -1 och +1. Ett värde nära +1 betyder att det är ett starkt positivt linjärt beroende mellan de två variablerna. Det betyder att om värdet på den ena variabeln ökar så tenderar även den den andra variabelns värde att öka. Ett värde nära -1 betyder istället det motsatta, ökning i en variabel ger minskning i den andra. Om korrelationskoefficienten är 0 finns ingen korrelation mellan variablerna.
En autokorrelationskoefficient liknar en korrelationskoefficient förutom att den beskriver förhållandet mellan värden på samma variabel, men vid olika tidpunkter. I en mängd med fullständigt slumpmässiga data så kommer autoko-rrelationens värde vara nära eller lika med 0, men data med exempelvis tydliga säsongsvariationer kommer vara starkt autokorrelerade.
Autokorrelationsfunktionen kan uttryckas genom att normalisera autokovariansfunktionen:
Definition 3.1 Låt {Xt} vara en stationär tidsserie. Autokovariansfunktionen
av {Xt} vid tidpunkt k är
γX(k) = Cov(Xt+k,Xt).
Autokorrelationsfunktionen av {Xt} vid tidpunkt k är
ρX(k) =
γX(k)
γX(0)
= Cor(Xt+k,Xt).
Definition 3.2 Låt x1, . . . ,xn vara observationer i en tidsserie.
Stickprovs-medelvärdet av x1, . . . ,xn är ¯ x = 1 n n X t=1 xt. Stickprovsautokovariansfunktionen är ˆ γ(k) = 1 n n−|k| X t=1 (xt+|k|− ¯x)(xt− ¯x), − n < k < n. Stickprovsautokorrelationsfunktionen är ˆ ρ(k) = γ(k)ˆ ˆ γ(0), − n < k < n. ARMA-processer
ARMA-processerna används för att modellera en observerad tidsserie som ett utfall av en stokastisk process. ARMA-processerna kan delas in i de tre generella klasserna autoregressiv (AR), moving average (MA) och autoregressiva moving average (ARMA). Stokastiska processer i diskret tid kallas ofta tidsserier. Nedan följer några användbara definitioner och satser för ARMA-processer. För mer detaljer se [4] och [5].
Definition 3.3 En stokastisk process {Xn|n = . . . , − 2, − 1,0,1,2, . . .} kallas ett
vitt brus om väntevärdet E[Xn] = 0 för alla n och autokovariansfunktionen ges
av
γX(n,n + k) =
σ2 k = 0
0 k 6= 0.
Definition 3.4 En stokastisk process {Yn} är en autoregressiv process av
ord-ning p, en så kallad AR(p)-process, om
Yn+ a1Yn−1+ a2Yn−2+ · · · + apYn−p= Xn, n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} är ett vitt brus. Polynomet A(s) = 1 + a1s + a2s2+ · · · + apsp kallas
AR-polynomet. Sats 3.1 Om A(s) = p X k=0 aksk
har konvergensradien R1 och
C(s) =
∞
X
k=0
cksk
har konvergensradien R2, så gäller att
D(s) = A(s)C(s) = ∞ X k=0 dksk, där dk=P ∞
i=0aibk−i har konvergensradien ≥ min(R1,R2).
Sats 3.2 Om polynomet A(s) = p X k=0 aksk
har alla sina rötter utanför den komplexa enhetscirkeln, så existerar en lösning till
Yn+ a1Yn−1+ a2Yn−2+ · · · + apYn−p= Xn, n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} är ett vitt brus. Alltså existerar en (unik) svagt stationär process {Yt}
som satisfierar ekvationen, nämligen
Yt= ∞ X i=0 ciXt−i, där C(s) = A(s)1 =P∞ k=0cksk och P∞i=0|ci| < ∞.
Sats 3.3 Låt A(s) vara som i Sats 3.2. Då kan {ck; k = 0,1, . . .} beräknas enligt
följande. Eftersom A(s)C(s) = 1 så ger den första satsen: a0c0= 1 a0c1+ a1c0= 0 a0c2+ a1c1+ a2c0= 0 .. . a0cn+ a1cn−1+ · · · + apcn−k = 0 ∀n ≥ p.
Den sista ekvationen är en homogen linjär differensekvation med konstanta ko-efficienter och har lösningen
ck= r
X
ν=1
Pν(k)ukν, k ≥ 0,
där uν är en rot till det karakteristiska polynomet
p(s) = a0sp+ a1sp−1+ · · · + ap.
Pν(s) är ett polynom av grad mν− 1, där mν är multipliciteten av uν. De totalt
p okända koefficienterna i {Pν(s); ν = 1, . . . ,r} bestäms av ekvationerna ∞ X k=0 akcn−k = δ0,n, n = 0, . . . ,p − 1, där δ0,n= 1 n = 0 0 n 6= 0.
Sats 3.4 AR(q)-processens autokovariansfunktion kan skrivas
γY(k) = r
X
ν=1
Pν(k)ukν, ∀k = 0,1, . . . ,
där de p okända koefficienter bestäms ur ekvationerna
p
X
i=0
ciγY(j − i) = c0σ2δ0,j, ∀j = 0, . . . ,p − 1.
Exempel 3.1 AR(1)-process
Antag att {Yn} är en stationär serie som uppfyller ekvationen
Yn+ aYn−1= Xn, n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} ∼ N (0,σ2), |a| < 1 och Xn är okorrelerad med Ys för varje s < n. Då
fås E[Yn] = 0 och γ Y(k) = Cov(Yn,Yn+k) = (−a)kγY(0), γY(0) = σ 2 1−a2. Autokorrelationsfunktionen av {Yn} är alltså ρY(k) = γY(k) γY(0) = (−a)|k|.
Definition 3.5 En stokastisk process {Yn} är en moving average process av
ordning q, en så kallad MA(q)-process, om
Yn= b0Xn+ b1Xn−1+ · · · + bqXn−q, n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} är ett vitt brus. Polynomet B(s) =P q
k=0bksk kallas MA-polynomet.
Sats 3.5 MA(q)-processens autokovariansfunktion kan skrivas
γY(k) = σ2(b 0bk+ b1bk+1+ · · · + bq−kbq) k = 0, . . . ,q − 1 σ2b 0bq k = q 0 k > q. Exempel 3.2 MA(1)-process
Betrakta serien som defineras av ekvationen
Yn= Xn+ bXn−1, n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} ∼ N (0,σ2) och b är en reellvärd konstant. Då fås E[Yn] = 0, E[Yn]2=
σ2(1 + b2) < ∞ och γY(n + k,n) = σ2(1 + b2), k = 0, σ2b, k = ±1, 0, |k| > 1. Autokorrelationsfunktionen av {Yn} är ρY(k) = 1, k = 0, b/(1 + b2), k = ±1, 0, |k| > 1.
Definition 3.6 En stokastisk process {Yn} är en autoregressiv moving average
process av ordning (p,q), en så kallad ARMA(p,q)-process, om
Yn+ a1Yn−1+ a2Yn−2+ · · · + apYn−p= b0Xn+ b1Xn−1+ · · · + bqXn−q,
n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn} är ett vitt brus.
Sats 3.6 Låt A(s) =Pp
k=0aksk och B(s) =P q
k=0bksk. Om A(s) har alla sina
rötter utanför enhetscirkeln, så existerar det en unik svagt stationär lösning till ekvationen, nämligen Yn= ∞ X k=0 ckXn−k, där C(s) =P∞ k=0cksk= B(s)A(s) ochP∞k=0|ck| < ∞.
Koefficienterna kan nu bestämmas ur a0c0= b0 a0c1+ a1c0= b1 a0c2+ a1c1+ a2c0= b2 .. . cn+ a1cn−1+ · · · + anc0= bn n ≤ min(p,q) cn+ a1cn−1+ · · · + apcn−p= bn p ≤ n ≤ q cn+ a1cn−1+ · · · + anc0= 0 q + 1 ≤ n ≤ p cn+ a1cn−1+ · · · + apcn−p= 0 n ≥ max(p,q + 1).
Den sista ekvationen är återigen en homogen linjär differensekvation med kon-stanta koefficienter, vars lösning är
ck= r
X
ν=1
Pν(k)ukν, k ≥ max(0,q + 1 − p).
De p konstanterna i polynomet Pν(k) och ck för 0 ≤ k < max(0,q + 1 − p) fås
ur de första ekvationerna ovan.
Sats 3.7 Låt Yn=P∞k=0ckXn−k, då gäller p X k=0 akγY(j − k) = σ2 q X k=j bkck−j, j ≥ 0. Speciellt fås p X k=0 akγY(j − k) = 0, ∀j ≥ max(p,q + 1) med lösningen γY(k) = p X ν=1 Pν(k)ukν, k ≥ max(0,q + 1 − p).
Som randvillkor kan exempelvis
γY(t) = σ2 ∞ X k=0 ckct+k användas. Exempel 3.3 ARMA(1,1)-process
Autokovariansfunktionerna av processen definerad av
Yn+ aYn−1= Xn+ bXn−1, {Xn} ∼ N (0,σ2),
med |a| < 1 är givna av
γ(0) = σ2 1 + (b − a) 2 1 − a2 , γ(1) = σ2 b − a +(b − a) 2(−a) 1 − a2 , γ(k) = (−a)k−1γ(1), k ≥ 2.
Enkel linjär prediktion
I det här avsnittet behandlas problemet att prediktera värdena Yn+k, k > 0,
av en stationär tidsserie med känt väntevärde, µ, och autokovariansfunktion,
γ, i termer av värdena {Yn, . . . ,Y1} upp till tid n, enligt en modell beskriven
i [4]. Målet är att hitta den linjära kombinationen av 1, Yn, Yn−1, . . . ,Y1, som
prognostiserar Yn+kmed så litet medelkvadratfel som möjligt. Den bästa linjära
prediktorn i termer av 1, Yn, Yn−1, . . . ,Y1betecknas här PnYn+koch har formen
PnYn+k= g0+ g1Yn+ · · · + gnY1.
Det som återstår är att uttrycka koefficienterna g0, g1, . . . ,gn, genom att hitta
de värden som minimerar
S(g0, . . . ,gn) = E[Yn+k− PnYn+k]2.
Eftersom S är en kvadratisk funktion av g0, . . . ,gn och är nedåt begränsad av
noll, så är det klart att det åtminstone är ett värde av (g0, . . . ,gn) som minimerar
S och att minimum uppfyller ekvationerna ∂S(g0, . . . ,gn)
∂gj
= 0, j = 0, . . . ,n. Utveckling av derivatorna i ekvationen ovan ger ekvationerna
E " Yn+k− g0− n X i=1 giYn+1−i # = 0, E " (Yn+k− g0− n X i=1 giYn+1−i)Yn+1−j # = 0, j = 1, . . . ,n.
Med vektornotation kan ekvationerna skrivas
g0= µ 1 − n X i=1 gi ! och Γngn= γn(k), där gn= (g1, . . . ,gn)0, Γn = [γ(i − j)]ni,j=1, γn(k) = (γ(k),γ(k + 1), . . . ,γ(k + n − 1))0. Detta ger PnYn+k= µ + n X i=1 gi(Yn+1−i− µ) och E[Yn+k− PnYn+k]2= γ(0) − g0nγn(k).
Box-Jenkins
Box, Jenkins och Reinsel, [3], har haft en stor betydelse för området inom statis-tisk prognostisering. De har föreslagit en bred klass av underliggande statisstatis-tiska modeller för efterfrågemönster, likväl som en procedur för att välja ut en pas-sande medlem ur klassen baserad på tillgängliga data. Modellerna är mer kom-plexa än t.ex. den enkla regressionsmodellen och metoderna för exponentiell utjämning. Detta gör att prognoserna blir mer tillförlitliga, vilket säkerligen är av stort intresse framförallt på medellång och lång sikt.
Box och Jenkins modeller bygger på ARMA-processer. I [10] diskuteras tre steg som involveras i statistisk prognostisering av tidserier: val av modell, beräkning av parametrarna i modellen och slutligen användning av modellen för prognostisering. Box-Jenkins ansats medför att de två första stegen behöver utarbetas i detalj, eftersom det finns många olika klasser av modeller att välja på. Stegen som ingår i ansatsen är specifikation, identifikation, beräkning och verifiering.
Specifikation är ett påstående om exakt vilken klass av modeller som är under möjlig aktning (t.ex. ARMA-modeller). Identifikation betyder val av en försöksmodell ur klassen genom att använda historiska data och kunskap om de teoretiska egenskaperna hos de olika lämpliga modellerna (t.ex. behöver p och
q bestämas för ARMA-modellen). Enligt [14] kan identifikationssteget i sin tur
delas in i tre steg: uppnå stationaritet genom subtraktion, välja p och q för icke säsongsdata och slutligen välja p, q och säsongsparametrar för säsongsdata.
Innan man kan identifiera p och q i ARMA-ekvationen så måste datamateri-alet vara horisontellt, vilket betyder trendrensat. Om datamateridatamateri-alet innehåller en trend kan den tas bort genom att genomföra succesiva subtraktioner av datan. Det är det som menas med att stationaritet uppnås genom subtraktion. Så fort datamaterialet är stationärt, kan p och q identifieras genom att titta på autokorrelationerna och de partiella autokorrelationerna av den subtraherade datan. En generell regel är, när autokorrelationerna avtar exponentiellt mot noll ger det en AR-modell, vars ordning kan uttryckas av antalet partiella autoko-rrelationer som är skilda från noll. Om de partiella autokoautoko-rrelationerna avtar exponentiellt mot noll är modellen MA och dess ordning uttrycks av antalet statistiskt signifikanta autokorrelationer. En ARMA-modell fås när både au-tokorrelationerna och de partiella auau-tokorrelationerna avtar exponentiellt mot noll.
Med beräkning menas statistisk beräkning av parametrarna för den valda modellen. Parametrarna kan bestämmas t.ex. genom att pröva vilka värden som ger det minsta prognosfelet i minsta kvadratmening. Verifiering innebär att den valda modellen kontrolleras för att se hur tillförlitlig den är i termer av att förklara given data. Statistiska test är användbara speciellt för att undersöka om residualerna uppvisar uppförandet för ett vitt brus. Om de inte gör det är det nödvändigt att gå tillbaka och genomföra en ny identifiering.
ARIMA-process
I verkligheten används ARMA-processerna sparsamt, eftersom de flesta tidsserie-variabler i praktiken inte är stationära. Detta gör att tidsserierna måste differ-entieras d perioder tillbaka tills dess att stationaritet uppnås. De differentierade ARMA-modell kallas för autoregressive integrated moving average (ARIMA) processer [3].
Definition 3.7 En autoregressive integrated moving average (ARIMA) process
av ordning (p,q,d) defineras som
Wn+ a1Wn−1+ · · · + apWn−p= Xn+ b1Xn−1+ · · · + bqXn−q,
där Wn=OdYn.OYn= Yn− Yn−1, d står för antalet gånger som serien
differ-entieras för att bli stationär, Wn är den differentierade tidsvariabeln och Yn är
ARMA-modellen enligt Definition 3.6.
Parzens ARARMA-modeller
Parzens ansats om tidsserieprognostisering är väldigt kraftfull och den har flera fördelar jämfört med Box-Jenkins metodik. Den saknar begränsningen att data-materialet måste göras stationärt genom subtraktion och Parzens ansats kan göras fullständigt automatiserad, d.v.s. att det inte krävs någon som väljer ut och analyserar en modell. Parzen klassificerar tidsserierna i tre kategorier: de som har långt minne, de som har kort minne och de som endast innehåller vitt brus.
Istället för att använda subtraktion för att överföra tidsserierna med långt minne till tidsserier med kort minne, rekommenderar Parzen en AR(1)- eller en AR(2)-modell, vars parametrar a1 eller a1 och a2 kan vara > 1, i syfte att
ta bort ickestationariteten. En ARMA-modell rekommenderas för de med ko-rt minne, vilka redan är stationära, så att residualfelen ska bli slumpmässiga. Namnet ARARMA kommer ifrån att tidsserier med långt minne modelleras med AR-termer och att de med kort minne också oftast modelleras med AR-termer, eftersom Parzen föredrar att exempelvis använda en AR(4)-modell istället för en ARMA(1,1)-modell. MA-termer används bara i de fall då AR-termerna inte kan uppnå slumpmässiga residualer.
Det första steget i Parzens ansats är att avgöra om tidsserierna har långt eller kort minne. Vid långt minne står valet mellan en AR(1)- och en AR(2)-modell. Då det finns en ihållande trend bör en AR(1)-modell användas och en AR(2)-modell rekommenderas att använda om trenden är måttlig, vilket betyder att den inte är ihållande och att den innehåller cykliska variationer. Därefter när serierna är i stationaritet skall en lämplig modell väljas, vilket i många fall är en AR(p)-modell. Då återstår att bestämma modellens ordning, vilket kan göras med hjälp av Akaikes informationskriterium eller ett annat kriterium som kallas CAT. Beskrivning av dessa kriterier utelämnas med hänvisning till [8].
AEP-filter
AEP har utvecklats från en AR-modell till en modell som kombinerar långsiktiga och kortsiktiga komponenter. Modellens form är
Yt= [ψ0t+ ψ1tt + · · · + ψqttq+ φ1tYt−1+ · · · +φptYt−p] × [Iltzlt× I z2t lt × · · · × I zLt Lt ] + Xt.
Potensen q tillhör det långsiktiga minnet med tillhörande koefficient ψj, p är
antalet autoregressiva termer som beskriver det kortsiktiga minnet med koef-ficient φi och L är säsongens längd med tillhörande koefficinet Il. z1t termen
antar värdet 1 om det är säsong 1 vid tidpunkt t och 0 annars. Värdena på aj,
φi och säsongsindikatorn Iluppdateras enligt följande:
ψjt= ψj(t−1)+ |ψj(t−1)| ˆ Xt ˆ Yt ×t j ¯ t × µt, φit= φi(t−1)+ |φi(t−1)| ˆ Xt ˆ Yt ×Yt−i ¯ Yi × µt, Ilt= Il(t−1)+ Il(t−1) ˆ Xt ˆ Yt × zlt× µt,
där ˆXtär en felterm, ˆYtär värdet på Ytuttryckt från parametrar som erhölls vid
tiden t−1, ¯t och ¯Yifås ur ¯t = αt+(1−α)(t−1) och ¯Yi= αYt−i+(1−α) ¯Yt−i, där α
är konstanten som används vid exponentiell utjämning och µtär en tidsjusterad
dämpande faktor som ligger mellan 0 och 1. Se [14] för mer detaljer. Kalmanfilter
Vid användning av AEP uppdateras parametrarna automatiskt i själva mod-ellen till skillnad från Kalmanfilter där användaren själv måste bestämma san-nolikheterna för hur parametrarna ska uppdateras. Skillnanden mellan AEP och Kalmanfilter är enligt [14] annars så liten att den ena kan ses som ett specialfall av den andra. I praktiken är AEP mer lämplig att använda för prognostisering eftersom den är lättare att använda och endast kräver lite eller ingen information från användaren. Modellen för Kalmanfilter är
Zt= µt+ Si,t+ Xt,
µt= µt−1+ βt+ δµt,
βt= βt−1+ δβt,
Si,t= Si,t−1+ δSi,t,
där Xt, δµt och δβt är normalfördelade med väntevärde 0 och varians νX, νµ
respektive νβ, och där Zt = ln(Yt), och µt, βt och St är naturliga logaritmen
för nivå, trend och säsong i serien. Kalmanfilteransatsen börjar med att nivån, trenden och säsongen preliminärt uttrycks, för att sedan uppdateras genom att använda ekvationerna ovan.
Både AEP och Kalmanfilter är så kallade anpassningsbara prognosmetoder. En av de största fördelarna med anpassningsbara metoder att de kan anpassa sig till förändringar i data. Ibland kan dock anpassningsbara metoder överreagera.
Om en ändring i mönstret är permanent så fungerar anpassningsbara metoder bäst, är däremot förändringen temporär så rekommenderas ej anpassningsbara metoder. Det finns dessvärre inget sätt att i förväg avgöra om en förändring i da-ta är permanent eller temporär. Problemet med permanenda-ta kontra temporära förändringar kan hanteras genom att kontrollera hastigheten av anpassningen. Detta görs genom den dämpande faktorn i AEP och i Kalmanfilter genom speci-fikationen av sannolikheterna för ändringarna av parametrarna. Om anpassnin-gen är väldigt långsam så blir den anpassningsbara metoden som de metoder med konstanta parametrar. För snabbare anpassningar finns risken för överreak-tion, vilket leder till försämrad prognostillförlitlighet. En annan stor fördel med de anpassningsbara metoderna är den rekursiva beräkningen av modellernas parametrar, vilket ger mycket enklare beräkningsprocedurer. Metoderna kräver inte heller att gammal data lagras, eftersom all tidigare data finns lagrad i parametrarnas värden.
Lewandowskis FORSYS
FORSYS, som står för Forecasting System, liknar Winters metod för exponen-tiell utjämning förutom att parametrarna α, β och δ är anpassningsbara istället för konstanta. FORSYS tillåter användaren att justera data för speciella hän-delser som exempelvis variationer i antalet arbetsdagar för olika månader och temperaturförändringar. Sådana justeringar läggs först in i modellanpassningen och sedan även i planeringshorisonten om så krävs.
Förutom egenskapen att kunna ta hänsyn till speciella händelser använder FORSYS en ansats för att förutsäga en trends förändring från kort till lång sikt. Principen för den så kallade SL (short to long) prognostiseringen är det att förändringar på kort sikt i data inte nödvändigtvis är permanenta, vilket betyder att dessa förändringar inte nödvändigtvis påverkar prognosen på lång sikt. För att uppnå en SL prognos, så varierar FORSYS trendparametrarna i en modell för exponentiell utjämning [14].
Kausala metoder
Regressionsanalys
Regressionsanalys är en mängd av statistiska tekniker som kvantifierar beroen-det av en given ekonomisk variabel på en eller flera andra variabler. Metoden använder tidigare observationer för att hitta den ekvation som bäst beskriver sambanden mellan variablerna. Metoden kräver att data samlas in för de ak-tuella variablerna, att ekvationens form specifieras, att ekvationens koefficienter beräknas och att ekvationens tillförlitlighet utvärderas [9].
Exempel på en enkel regressionsmodell är trendprojektion. Enligt [7] kan trendprojektion vara att föredra framför exponentiell utjämning med trend om en mycket tydlig trend föreligger. Den vanligaste metoden för kurvanpassning då en underliggande linjär trend kan antas är minsta kvadratmetoden. Med denna metod som är en typ av linjär regression minimeras summan av kvadratfelen för avvikelse mellan efterfrågedata och trendlinjen. Ekvationen för regressionslinjen skrivs:
yt= a + bt,
där
yt = linjens värde i period t
a = konstant term, linjens värde vid t=0
b = linjens trendterm
t = periodindex.
De bästa skattningarna av a och b fås ur sambanden:
b = P tDt− N ¯t ¯D
P t2− N ¯t2 ,
a = ¯D − b¯t,
där
Dt = efterfrågans värde i period t
N = antalet perioder ¯
t, ¯D = medelvärden.
Prognosen i form av trendprojektion skrivs allmänt på formen:
Ft= a + bt,
där
Ft = prognos för efterfrågan i period t, med hänsyn till trend
a = skattning av nivå vid t=0
b = skattning av trenden per period.
I många beslutssituationer kan mer än en variabel användas för att förklara eller prognostisera en speciell beroendevariabel. Principen för enkel regressionsanalys är inte tillräcklig i dessa fall utan multipel regressionanalys behöver användas. Multipel regressionsanalys tillåter att hänsyn tas till mer än en variabel. I [14] förklaras i sju olika steg hur multipel regressionsanalys kan användas i praktiken. Steg 1. Formulering av problemet. Först måste företagets ledare meddela vad problemet är och vad som önskas få förklarat eller uträtt. Formuleringen skall börja med en beskrivning av beslutfattarens situation och en identifiering av variabeln eller variablerna som ska prognostiseras.
Steg 2. Val av ekonomiska och andra relevanta indikatorer. Identifiera möjliga faktorer som har stort inflytande och fastställ vilka av dessa som bör tas med i regressionsekvationen.
Steg 3. En f ¨orsta testk¨orning av multipel regression. Den första körnin-gen ska inkludera all data på de oberoende och beroende variablerna. En an-vändbar utdata av testkörningen är den enkla korrelationsmatrisen som används i steg 4.
Steg 4. Studera korrelationsmatrisen. En grundprincip för att få en bättre prognos från den här metoden är att noggrant välja ut de variabler som ska inkluderas i regressionsekvationen. Oberoende variabler vars enkla korrelation-er inte liggkorrelation-er så nära ±1 bör plockas ut. I slutet av det här steget ska före-tagsledaren ha identifierat tre eller fyra alternativa regressionsekvationer som verkar bra och som kan testas vidare.
Steg 5. Beslut bland individuella regressioner. Nu ska ett dataprogram användas för att bestämma koefficienterna i de utvalda ekvationerna baserad på tillgänglig data. För var och en av dessa ekvationer kan sedan hänsyn tas till signifikansen av hela regressionslinjen, av regressionskoefficienterna och av prog-nosens standardavvikelse. Så fort en regressionsekvation hittas, vars oberoende variabler signifikant påverkar beroende variabeln, är den vanliga proceduren att försöka öka R2-värdet genom att introducera ytterliggare oberoende variabler.
Steg 6. Kontrollera giltigheten av regressionsantaganden. När två eller tre bra ekvationer har identifierats så måste ledaren undersöka om de uppfyller de fyra antagandena, som är: att ett linjärt förhållande existerar, att regres-sionsfelen har konstant varians, att residualerna är oberoende av varandra och att två eller flera oberoende variabler inte är starkt korrelerade.
Steg 7. F¨orbereda en prognos. Så fort ledaren har hittat en regressionsek-vation med ett tillräckligt högt R2-värde och som uppfyller antagandena och
signifikanskravet kan ekvationen användas för prognostisering. Konsekvensen av att göra så är att hänsyn måste tas till konfidensintervallet för individuella prognoser och tillförlitligheten hos de oberoende variablernas värde.
Den största vinsten från en regressionsanalys är inte så ofta själva prognostis-eringen, utan det är förklaringen och förståelsen för situationen som behandlas.
R2-statistikan mäter proportionen av variationen i beroendevariabeln som
förk-laras av den multipla regressionsekvationen, alltså hur bra ekvationen anpassas till datamaterialet. R2-statistikan kan enligt uttryckas som
R2=T SS − SSE T SS , där T SS = n X t=1 (Dt− ¯D)2, SSE = n X t=1 (Ft− Dt)2, och Dt = efterfrågan i period t
Ft = prognostiserad efterfrågan i period t
¯
D = medelvärde
t = periodindex
T SS står för totala kvadratsumman (total sum of squares) och SSE betyder
summan av kvadratfelen (sum of squared errors) [9]. Ekonometriska modeller och ledande indikatorer
På samma sätt som enkel regressionsanalys är ett specialfall av multipel regres-sion är multipel regresregres-sion ett specialfall av ekonometriska modeller. Multipel regression innehåller endast en ekvation medan ekonometriska modeller kan inkludera flera olika multipla regressionsekvationer. En ekonomterisk modell är alltså ett system av linjära multipla regressionsekvationer som involverar flera variabler som är beroende av varandra. I vissa fall används dock benämningen ekonometrisk på enkla, multipla och system av multipla regressionsekvationer.
Ansatsen för ledande indikatorer är en tidsserieteknik som försöker prog-nostisera framtida ekonomiska aktiviteter genom att följa och analysera flera dataserier som tenderar att leda ekonomisk aktivitet och som kan ge en varn-ingssignal om vad som må hända i den allmänna ekonomin. Ledande indikatorer är tidsserier vars rörelser är korrelerade med rörelserna för en primär serie, men som tenderar att inträffa mer avancerat för rörelserna i den primära serien. Typisk exempel i en affärsverksamhet är order som en ledande indikator på varupartier som sänds, och order tillsammans med varupartier som sänds som en ledande indikator på intäkter [14].
3.1.5
Prognosfel och prognosuppföljning
Prognosfel
Vid prognostisering är det viktigt att oavsett prognosmetod kunna undersöka metodens precison. För att kunna göra detta måste man kunna mäta prognos-felen. Prognosfelet i period t defineras som:
et= Dt− Ft,
där
et = prognosfelet i period t
Dt = efterfrågan i period t
Ft = prognos för period t.
Medelabsolutfelet, M AD (Mean Absolute Deviation), är det vanligaste måttet på en prognosmetods precision. Medelabsolutfelet beräknas som medelvärdet av prognosfelens absolutvärde. M AD = 1 N N X t=1 |et| = 1 N N X t=1 |Dt− Ft|.
Med exponentiell utjämning kan M AD-värdet uppdateras, vilket är lämpligt att göra i samband med prognosuppdatering.
M ADt= α|et| + (1 − α)M ADt−1.
Medelkvadratfelet, M SE (Mean Squared Error), är en annan mått på en prog-nosmetods precision. M SE = 1 N N X t=1 e2t.
Medelkvadratfelet är i princip kvadraten på det traditionella spridningsmåttet, standardavvikelsen. Det finns även ett samband mellan standardavvikelse och medelabsolutfel. Vid normalfördelning blir förhållandet:
σt=
r π
2M ADt≈ 1,25 × M ADt.
För att avgöra om prognosen ligger över eller under efterfrågan kan precisions-måttet medelfelet, M E (Mean Error), användas.
M E = 1 N N X t=1 et.
Vid uppdatering av medelfelet med hjälp av exponentiell utjämning blir formeln:
M Et= αet+ (1 − α)M Et−1.
Prognosuppföljning
Kontroll av efterfrågedata
Det finns en vanlig metod för kontroll av efterfrågedata som relaterar den in-nevarande periodens absolutfel till medelabsolutfelet. Om det aktuella absolut-felet är större än en viss faktor av medelabsolutabsolut-felet bör värdena på efterfrågan kontrolleras, d.v.s.
T SDt=
|Dt− Ft|
M ADt−1
där
T SDt = kontrollsignal för efterfrågan (Tracking Signal)
M ADt−1 = exponentiellt utjämnat medelabsolutfel i period t − 1.
Kontrollsignalen jämförs med en faktor k1 som ofta väljs till 4, vilket svarar
mot en sannolikhet om 99,86% att normalfördelningens area är inom kontroll-gränsen, se tabell 3.1. D.v.s. att om T SD är mindre än 4 så kan prognosen ej förkastas.
Kontrollgräns k1 Motsvarande kontroll- Sannolikhet att
normal-(medelabsolutfelet) gräns vid fördelad efterfrågan är standardavvikelse inom kontrollgränserna
2 1,6 89,04%
3 2,4 98,36%
4 3,2 99,86%
Tabell 3.1: Kontrollgränser för MAD och standardavvikelse [7].
Kontroll av prognosmetodens medelvärdesriktighet
Genom att studera förhållandet mellan medelfelet och medelabsolutfelet kan man kontrollera prognosmetodens medelvärdesriktighet.
T SFt= |M Et| M ADt , där T SFt = kontrollsignal för prognosmetoden
M ADt = exponentiellt utjämnat medelabsolutfel i period t
M Et = exponentiellt utjämnat medelfel i period t.
Kontrollsignalen jämförs sedan med en faktor k2, se tabell 3.2. Konfidensgraden
för metoden beror på värdet på utjämningskonstanten α.
Konfidensgrad (%) Kontrollgräns k2 Kontrollgräns k2
då α=0,1 då α=0,2 80 0,36 0,54 90 0,45 0,66 95 0,51 0,74 98 0,60 0,81 100 1,00 1,00
Tabell 3.2: Konfidensgrad för prognosmetodens medelvärdesriktighet [7].
3.2
Partiformning
Hur stora kvantiteter ska produceras och/eller köpas in varje gång ett behov uppstår? Orderkvantitet, partistorlek eller batchstorlek är olika benämningar på denna kvantitet. Att bestämma denna kvantitet kallas partiformning och syftet med detta är att åstadkomma en avvägning mellan lagerhållningskostnader och ordersärkostnader.
3.2.1
Ekonomisk orderkvantitet
EOQ-modellen även kallad Wilson-formeln som beräknar den ekonomiska or-derkvantiteten, EOQ (Economic Order Quantity), är en enkel modell för op-timering av partistorlek, som Fredriksons kan ha nytta av. För att beräkna den ekonomiska orderkvantiteten hittar man en avvägning mellan lagerhåll-ningskostnader och ordersärkostnader, se figur 3.1. För att kunna använda EOQ-modellen förutsätts enligt [7] att:
• Produktefterfrågan per tidsenhet (D) är konstant och känd.
• Ordersärkostnaden (K) är känd och oberoende av orderkvantiteten.
• Lagerhållningskostnaden per enhet och tidsenhet (H) är konstant och känd. • Inleverans till lagret sker av hela orderkvantiteten på en gång.
Härledning av Wilson-formeln för bestämning av den optimala orderkvantiteten (Q∗):
Antalet gånger en order behöver placeras beror på hur stor efterfrågan är och orderkvantiteten (Q). Kostnaden för lagerhållning beräknas utifrån medellagret. Totalkostnadsfunktionen uttrycks därför som:
C = KD Q+ H
Q
2.
Orderkvantiteten som ger den lägsta kostnaden fås nu genom:
dC dQ = −K D Q2 + H 2 = 0 d2C dQ2 = 2K D Q3 > 0 ⇒ Q∗= r 2KD H
3.2.2
Lagerhållninskostnader
Kostnaden för lagerhållning, H, är kapitalbindningskostnad, kostnad för materi-alhantering, lagerhyra, försäkring, kassationer och inkurans. Lagerhållningskost-naden bestäms som lagerhållningräntan multiplicerat med artikelvärdet [7].
Figur 3.1: Kostnadselementen som funktioner av orderkvantiteten [7].
3.2.3
Ordersärkostnader
Vid inköp innefattar ordersärkostnaderna, K, administrativ orderhanteringstid och kostnad för dokumenthantering. Vid produktion är ställkostnaden eller up-psättningskostnaden den väsentliga delen i ordersärkostnaden, men även kost-naden för administrativ orderbehandling inkluderas. När ställkostkost-naden ska räk-nas ut tas kapacitetskostnaden per tidsenhet och multipliceras med ställtiden [7].
3.2.4
Ekonomiska orderkvantiteter med restriktioner
Wilson-formeln behandlar bara enskilda artiklar. Det vanligaste är dock att ett lagersystem består av flera olika artiklar, vilka kan behandlas separat förutsatt att de är oberoende av varandra. Flera artiklar kan t.ex. konkurrera om en viss lageryta eller så kan det finnas budgetrestriktioner för maximal kapitalbindning i lager. Ställkostnad kan också vara en begränsande faktor för hur stora kvan-titeter som kan produceras. I dessa fall behövs optimeringsmodeller för att lösa problemet med bestämning av ekonomiska orderkvantiteter [7].
För Fredriksons är problemet med ställtidsrestriktioner aktuellt att titta när-mare på hur det kan lösas. Det är lämpligt att betrakta ställtidsrestriktionen som en ställkostnadsrestriktion.
Vi vill minimera totalkostandsfuntionen
Ctot= N X i=1 Ki Di Qi + Hi Qi 2 , då PN i=1 KiDi Qi ≤ M Qi≥ 0 ∀i
där Ctot = totalkostnad Ki = ordersärkostnad för artikel i Hi = lagerhållningskostnad för artikel i Di = efterfrågan för artikel i Qi = orderkvantitet för artikel i M = maximal ställkostnad.
Målfunktionen innehåller order- och lagerhållningkostnad, vilket leder till att minimeringsproblemet inte blir linjärt. Vi kan lösa det genom att skapa en Lagrange-funktion enligt följande metodik:
1. Separat optimerning med Wilson-formeln Q∗ i =
r 2KiDi
Hi
.
2a. Undersök om lösningen är tillåten med avseende på bivillkoret. Om inte villkoret är bindande är lösningen i 1. optimal.
2b. Om bivillkoret är bindande d.v.s.PN i=1 KiDi Qi > M bildas Lagrange-funktionen: L = Ctot+ λ P i KiDi Qi − M , där λ = Lagrange-multiplikatorn.
De optimala orderkvantiteterna bildas nu genom att lösa ekvationerna:
∂L ∂λ = X i KiDi Qi − M = 0, (3.1) ∂L ∂Qi = −KiDi Q2 i +Hi 2 − λ KiDi Q2 i = 0 ⇒ KiDi Q2 i (1 + λ) = Hi 2 ⇒ Q∗iL = s 2KiDi(1 + λ) Hi (3.2) (3.2) i (3.1) ger: X i KiDi s Hi 2KiDi(1 + λ) = M ⇒ λ = . . . Q∗L= [. . .]
Även fallet då det finns en begränsning på hur stor den maximala kapitalbind-ningen i lager får vara har undersökts. Det är dock svårt att finna någon praktisk tillämpning på detta för Fredriksons, då det i dagsläget bara finns möjlighet att sätta en maximal kapitalbindning i lager för hela sortimentet med artiklar. An-talet artiklar är alldeles för många för att de praktiskt skulle kunna utnyttja modellen som i så fall skulle se ut enligt följande:
Vi vill minimera totalkostandsfuntionen Ctot= N X i=1 Ki Di Qi + Hi Qi 2 , då PN i=1viQi≤ M Qi≥ 0 ∀i där Ctot = totalkostnad Ki = ordersärkostnad för artikel i Hi = lagerhållningskostnad för artikel i Di = efterfrågan för artikel i Qi = orderkvantitet för artikel i
M = maximal kapitalbindning i lager
vi = artikelvärdet för artikel i.
Metodiken är därefter densamma som i fallet då vi har en ställtidsbegränsning.
3.3
Ställtidsanalys
Den tid det tar att ställa om en produktionsutrustning från tillverkning av en produkt till en annan typ av produkt kallas ställtid. Ställtiden är oberoende av partistorleken. Ställtiden defineras som tiden från den sista korrekta en-heten i ett parti till den första korrekta enen-heten i nästa parti. Under ställtiden kan produktionsutrustningen inte användas för bearbetning, vilket betyder att ställtiden är kapacitetskrävande [7].
Genom att minska ställtiden ökar den tillgängliga kapaciteten och flexi-biliteten i produktionen. En sänkning av ställtiden bidrar även till en reducer-ad ledtid, eftersom ställtiden är en del av ledtiden. En ställtidsreduktion gör även att man kan ha mindre partistorlekar. Förhållandet mellan ställtid och ekonomisk orderkvantitet behandlas senare. Även kvalitén kan förbättras i och med en minskning av ställtiden eftersom korta ställtider leder till små partistor-lekar, vilket gör att defekta artiklar snabbare upptäcks. Lagernivåerna påverkas också positivt av en ställtidsreduktion, eftersom inte lika mycket behöver ligga på lager om man producerar små kvantiteter ofta [11].
3.3.1
Ställtidsreduktion i en EOQ-modell
Sambandet mellan optimal ekonomisk orderkvantitet (EOQ) och ställtid ges enligt [11] av EOQ =r 2KD H = r 2rvD cs ⇒ Q ∗ R Q∗ = r sR s
där
K = ordersärkostnad (ställkostnad)
c = kapacitetskostnad per tidsenhet
s = ställtid
H = lagerhållningskostnad per enhet och tidsenhet
r = lagerhållningsränta
v = artikelvärde
D = efterfrågan per tidsenhet
Q∗ = gammal optimal orderkvantitet
Q∗R = ny optimal orderkvantitet efter ställtidsreduktion
s = gammal ställtid
sR = ny ställtid efter reduktion.
Figur 3.2: Effekter av ställtidsreduktion [11].
3.3.2
SMED
Det finns två olika typer av ställ, invändiga och utvändiga. Invändigt ställ är det verkliga stället som kräver att maskinen stannar och utvändigt ställ är arbete som är relaterat till stället men som kan förberedas medan maskinen körs.
En beprövad metod för ställtidsreduktion är SMED (Single Minute Exchange of Die) som går ut på att invändiga och utvändiga ställ identifieras och
omvand-las. Båda ska sedan reduceras [11]. Riktlinjer för SMED
• Analysera ställtiden
- Vad kan förberedas i förväg? - Vad är den verkliga ställtiden? - Vad kan göras efter stället?
• Standardisera processen och produkterna - Standarddimensioner för verktyg och fixturer. - Begränsat antal av produkttyper.
• Eliminera justeringar och slöseri (waste)
- Göra sig av med behovet av justering av utrustning efter ställen. - Få första arbetsbiten av ett nytt parti korrekt.
3.4
Säkerhetsmekanismer
Det finns generellt två olika typer av osäkerhet, tid och kvantitet. Osäkerheten kan antingen bero på osäkerhet i efterfrågan eller osäkerhet i tillgången. För att gardera sig mot osäkerhet och alltså kunna producera och leverera produkter i rätt antal, i rätt kvantitet och i rätt tid, så införs säkerhetsmekanismer. Det förekommer tre principiellt olika typer av säkerhetsmekanismer enligt [7]:
• Säkerhetslager • Säkerhetsledtid • Ökade behov
3.4.1
Säkerhetslager
Säkerhetslager används för att kompensera för osäkerhet i prognoser. Bristsitu-ationer uppstår om efterfrågan blir större än beräknat. Blir däremot efterfrågan mindre än beräknat, så inkommer order till lagret tidigare än planerat och kost-nad för lagerhållning uppstår. Säkerhetslagrets storlek bestäms vanligtvis baser-at på önskad servicenivå. Två vanliga servicenivåbegrepp är enligt [7] SERV1
och SERV2. SERV1 beskriver sannolikheten att kunna leverera direkt ur lager
under en ordercykel och SERV2 beskriver andel av efterfrågan som kan
lever-eras direkt ur lager.
I det första fallet bestäms säkerhetslagret som en säkerhetsfaktor multiplicerad med standardavvikelsen för prognosfelet under ledtiden:
SS = kσL= kσLγ,
där
SS = säkerhetslager
σ = standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel per period
σL = standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel under ledtiden
k = säkerhetsfaktor (erhålls ur statistiktabell)
L = ledtiden i antal prognosperioder
