ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)

Sida 1 av 10

ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)

Vi betraktar ett system av linjära icke-homogena DE (av första ordningen) med konstanta koefficienter i homogena delen

) (

) (

) (

1 1

2 2

1 21 2

1 1

1 11 1

t f x a x dt a

dx

t f x a x dt a

dx

t f x a x dt a

dx

n n nn n

n

n n

n n



























där )x₁(t),x₂(t),...,x_n(t är obekanta funktioner av variabeln t.

Ovanstående system skriver vi oftast på matrisformen )

(t F AX

X  (sys 1)

där



















) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n

 ,

























) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n

 ,



















mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

och



















) (

) (

) (

2 1

t f

t f

t f F

n

 ,.

Exempel:

t x

dt x dx

t x

dt x dx

cos 6

2

sin 3

2 1 2

2 1 1













är ett icke-homogent linjärt system med två differentialekvationer och två obekanta.

Samma system på matrisformen är XAX F

Där _



 





2 1

x

X x , _



 







 



2 1

x

X x 



 



 6 2

3

A 1 och 



 



 t F t

cos sin

---

Sida 2 av 10 LÖSNINGSMETODEN

i) Först bestämmer vi den allmänna lösningen X till den homogena systemet _h AX

X (sys 0)

ii) Därefter bestämmer vi en partikulär lösning X till ”hela” systemet _p )

(t F AX

X  (sys 1)

iii) Den allmänna lösningen till ”hela” systemet XAX F(t) är X  Xh Xp

FUNDAMENTAL MATRIS.

Anta att vi har bestämt den allmänna lösningen till homogena systemet XAX och fått

n n

h c X c X c X

X  _{1 1} _{2 2} (*)

där X₁, …, X fundamentalläsningsmängd (dvs n stycken linjärt oberoende lösningar). _n Den allmänna lösningen (*) kan vi skriva på matrisformen som produkten

C X_h 

där matrisen [X₁|X₂||X_n] och vektorn



















cn

c c

C 

2 1

är en konstant vektor.

Definition: (Fundamentalmatris.) En matris [X₁|X₂||X_n], vars kolonner är n

stycken linjärt oberoende lösningar (dvs fundamentalläsningar) till homogena systemet (sys0) kallas fundamentalmatris.

Uppgift 1. Ett homogent system har följande fundamentallösningsmängd

e t

X₁ ²

1 1



 





  och X₂ e^3t 2 1



 



 . Bestäm tillhörande fundamentalmatris  .

Lösning: Först skriver vi lösningarna som kolonnvektorer

Sida 3 av 10



 





 



 





  ^{t t}_t

e e e

X ₂

2 2

1 1

1 och _



 







 



 ^{t t}_t

e e e

X ₃

3 3

2 2 2

1 .

Därefter bildar vi matrisen _



 





 



 ^t_t ^t_t

e e e X e

X ₃

3 2 2 2

1| ] 2

[ .

Svar: _



 





 

 ^t_t ^t_t e e e e

3 3 2 2

2

Egenskaper: En fundamentalmatris  har följande egenskaper:

1. det( ) = W där W är Wronskis determinant för lösningarna X₁, …, X . _n Detta är uppenbart eftersom matrisen  och W har samma kolonner.

2. Eftersom kolonner i matrisen  uppfyller ekvationen X AX, satisfierar  följande ekvation



 A (sys 2) 

BESTÄMNING AV EN PARTIKULÄR LÖSNING TILL XAX F(t).

METOD 1. VARIATION AV PARAMETRAR.

Anta att vi har bestämt den allmänna lösningen till homogena systemet XAX och fått

n n

h c X c X c X

X  _{1 1} _{2 2} (*)

där X₁, …, X fundamentalläsningsmängd (dvs n stycken linjärt oberoende lösningar). _n Som sagt ovan kan vi bilda fundamentalmatrisen matris [X₁|X₂||X_n] och skriva den allmänna lösningen till homogena delen som

C

X_h  (*)

För att bestämma en partikulär lösning använder vi följande ansats )

(t V

X_p  (**).

Sida 4 av 10

Med andra ord byter vi konstant vektor C i homogena lösningen mot en, just nu okänd, vektorfunktion )V(t (Vi ”varierar” konstanter eller parametrar). Vi bestämmer V(t) så att (**) blir en lösning till (sys 1), genom att substituera ansatsen (**) i systemet

) (t F AX

X  (sys 1)

Först beräknar vi X_p V(t)V(t) (produktregeln gäller även för matriser) och substituerar i (sys 1). Vi får

 





V(t) V (t) AV(t)F(t) (***)

Eftersom  A (se ovanstående sys2) , gäller också   V(t) AV(t) så att vi (***) förenklas till

 

V (t) F(t) (****) Viktigt att komma ihåg!!!

Från (****) bestämmer vi V (t), )

( )

(t ¹F t V ^ .

(Anmärkning: det( är alltid ) 0 eftersom kolloner är linjärt oberoende lösningar. Därför är

 alltid inverterbar.) Härav ^V(t)



^{1F(t)dt.}

(Anmärkning: Vi integrerar vektorer (och matriser) elementsvis, dvs genom att integrera varje element)

Därefter )X_p V(t (= ^



^{1F )(t dt)}

Slutligen X X_hX_p ( =c₁X₁c₂X₂c_nX_n+^



^{1F )(t dt)}

Anmärkning: Vi kan skriva ^{X Xh Xp C}



^1F(^t)^dt(^C



^1F(^t)^dt)^som liknar den kända formeln för lin. DE av första ordningen. Skillnaden i exponents tecken kommer eftersom, i ett system, flyttar vi alla obekanta till högersidan.

SAMMANFATTNING om lösningsmetoden (matrismetoden) för systemet )

(t F AX

X  (sys 1)

Sida 5 av 10

Steg 1. (Homogena delen) Vi bestämmer en fundamentalläsningsmängd X₁, …, X och den _n allmänna lösningen X_h c₁X₁c₂X₂c_nX_n till homogena delen XAX (med hjälp av egenvärden och egenvektorer till matrisen A).

Steg 2. Vi bildar en fundamentalmatris [X₁|X₂||X_n] .

Steg 3. (En partikulär lösning. ) En partikulär lösning bestämmer vi genom ansatsen )

(t V X_p 

där V(t) uppfyller ekvationen: V(t) F(t)

Härav )V(t)^1F(t och därefter ^V(t)



^{1F(t)dt.}

Därefter substitueras V(t) i ansatsen X_p V(t) Steg 4. Slutligen X  X_hX_p.

=========================================

Uppgift 2. Lös följande system

t e y x y

t e y x x

t t

sin '

cos















Lösning: Vi skriver systemet på matrisformen )

(t F AX

X  (sys 1)

där 



 



 y

X x , 



 



 

 1 1

1

A 1 och _



 



 

t e

t F e_t

t

sin cos .

i) Först löser vi homogena delen X AX. Den karakteristiska ekvationen

0 )

det(A I  eller 0 (1 ) 1 0 2 2 0

) 1 ( 1

1 )

1

( _{2 2}

















 



   





har komplexa lösningar _1,2  1i.

För ₁ 1i bestämmer vi en tillhörande egenvektor från

Sida 6 av 10













 



 







 







 









 



 







 







 











0 0 0

0 1

1 0

0 )

1 ( 1

1 )

1 (

iv u

v iu v

u i i v

u





Vi väljer en egenvektor t ex 



 



 1 K i .

Motsvarande baslösning är

 



 



i e ^{ ti} Y ^{(1 )}

1 (Eulers formel) = ^t e^t

t i t

t i t t

i t i e



 









 

 



 





sin cos

cos ) sin

sin

1 (cos =

t

t e

t i t t e

t 



 



 



 





sin cos cos

sin .

Vi väljer X₁Re(Y)= e^t t

t



 





cos

sin och X₂ Im(Y) e^t t t



 



 sin cos .

Därför är den allmänna lösningen _h ^t e^t

t c t t e c t

X c X c

X 



 



 



 



 



 sin

cos cos

sin

2 1

2 2 1

1 .

Fundamentalmatrisen är 



 



 

 t t

t e^t t

sin cos

cos

sin .

Vi bestämmer  som vi använder nedan . (Notera att ^1 det( är alltid ) 0 eftersom kolloner är linjärt oberoende lösningar. Därför är  alltid inverterbar.)

Anmärkning:

Om 



 



 d c

b

M a och det(M)0 då är 



 







 



a c

b d M M

) det(

1 1

Inversen till kM där k0 är en skalär, och det(M)0 är (kM)^1k^1M^1 . I vårt fall har vi



 



 



 











 

^{  }

t t

t e t

t t

t

e ^t t ^t

sin cos

cos sin sin

cos

cos sin

1

1 1

En partikulär lösning får vi genom ansatsen X_p V(t) där V(t) bestäms ur )

( ) (t F t V 

 .

Sida 7 av 10

Härav _



 







 







 



 



  ^{ }

1 0 sin

cos sin

cos

cos ) sin

( )

( ¹

t e

t e t t

t e t

t F t

V _t

t

t .

Därför 



 







 







 ^dt _t t

V 0

1 ) 0

( (Vi behöver endast en partikulär lösning, kostanterhar vi i den allmänna lösningen)

En partikulär lösning är X_p V(t)= 



 





t t

t e^t t

sin cos

cos

sin 



 



 t

0 = 



 



 t te^t t

sin cos .

Slutligen X X_hX_p= ^t e^t t c t t e

c t 



 



 



 





sin cos cos

sin

2

1 + 



 



 t te^t t

sin cos .

Svar: X  ^t e^t

t c t t e

c t 



 



 



 





sin cos cos

sin

2

1 + 



 



 t te^t t

sin cos .

Uppgift 3. Lös följande system

e t

y x y

t y x x

2 3

2

'  







Lösning: Vi skriver systemet på matrisformen F

AX

X  (sys 1)

där 



 



 y

X x , 



 



 2 2

1

A 1 och 



 



 _t e F t₃ .

i) Först löser vi homogena delen X AX.

Matrisen A har två egenvärden ₁0, ₂ 3 med motsvarande egenvektorer



 





  1 1

K1 och 



 



 2 1

K1 (kolla själv). Därmed bidar

e t

X₁ ⁰

1 1



 





  och X₂ e^3t 2 1



 



 fundamentallösningsmängd.

Därför är den allmänna lösningen X_h c₁X₁ c₂X₂ c₁ c₂ e^3t 2 1 1

1 



 



 



 





 



 .

Sida 8 av 10

Fundamentalmatrisen är _



 





 

 ^t_t

e e

3 3

2 1

1 .

Vi bestämmer  som vi använder nedan . ^1



 



 





 



 



^ _{ t  t}

t t

t e e

e e

e ^{3 3}

3 3 3

1 2 1

3 1 1 1 2 3

1

ii) En partikulär lösning får vi genom ansatsen X_p V(t) där V(t) bestäms ur )

( ) (t F t V 

 .

Härav _



 







 



 







 



 





  ^ _{  }

1 2 3 1 1

2 3 ) 1 ( )

( ₃

3 3

3 3 1

t t t

t

t te

e t e

t e t e

F t

V .

Därför























 























 



 











_ _{   }

3 27 9

9 3 9

3 3 3

1 1 2 3 ) 1

( _{3 3}

3 2

3 3

3 2

3 3

t e te

e t

e t te

t e te dt

e t t

V _{t t}

t

t t

t

t t

.

Därmed är

) (t V X_p  =



























 





 ^{ }

3 27 9

9 3 2

1 1

3 3

3 2

3 3

t e te

e t e

e

t t

t

t t

=

Slutligen X  X_hX_p=c₁ c₂ e^3t 2 1 1

1 



 



 



 





 +

Sida 9 av 10

BESTÄMNING AV EN PARTIKULÄR LÖSNING TILL XAX F(t). METOD 2. OBESTÄMDA KOEFFICIENTER

Om höger ledet innehåller endast kostanter, polynom, exponentialfunktioner sinus- eller cosinusfunktioner kan vi bestämma en partikulär lösning med hjälp av en lämpligt ansats som innehåller polynom med obestämda koefficienter.

Exempelvis:

om 



 





  6

F 10 , försöker vi med vi ansatsen 



 



 b X_p a

om 



 



  t F t

2

3 , försöker vi med vi ansatsen 



 







 

d ct

b X_p at .

Anmärkning: Om polynom i höger ledet har (högst) grad k, vanligtvis försöker vi med samma grad k för polynom (med obestämda koefficienter) i ansatsen. Men det kan hända att en sådan ansats saknar lösning (s.k. resonansfall). Då måste vi höja graden för ansatsen.

Uppgift 4. Bestäm en partikulär lösning till F

AX

X  (sys 1)

där 



 



 y

X x , 



 



 4 1

2

A 1 och 



 



 6 F 4 .

Lösning:

Vi försöker med ansatsen 



 



 b X_p a :

Substitutionen av 



 



 b

X_p a och 



 





 0

0

Xp i systemet F

AX X  ger





 



 0

0 



 







 







 





6 4 4

1 2 1

b

a .

Härav

Sida 10 av 10 0

6 4

0 4 2











 b a

b a

som ger a2, b1.

Därför är 



 







  1 2

Xp en partikulär lösning.