ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Linjär differentialekvation (DE) med konstanta koefficienter är en ekvation av följande typ )
(
... 2 1 0
) 1 ( 1 )
( a y a y a y a y f x
y n + n− n− + + ′′+ ′+ = (1) (kortare L(y)=f(x) )
där koefficienter an−1,...,a2,a1,a0 är konstanter.
Om f(x)=0 kallas ekvationen
0
... 2 1 0
) 1 ( 1 )
( +a − y − + +a y′′+a y′+a y=
y n n n (2)
(kortare L(y)=0)
homogen, annars icke-homogen (eller inhomogen).
Den allmänna lösningen till ekvation (1) är
) ( )
( )
( x y x y x
y =
H+
pdär yH(x) är den allmänna lösningen till den homogena DE (2) och yp( x) är en partikulärlösning till DE (1) .
Den allmänna lösningen till en homogen DE är linjär kombination av n oberoende partikulärlösningar (som vi kallar baslösningar)
n n
H c y c y c y
y = 1 1+ 2 2 +...+ .
Vi söker linjärt oberoende partikulärlösningar på formen erx
y= .
Substitutionen i (2 ) och förkortning med e ger rx 0
... 2 2 1 0
1
1 + + + + =
+a −r − a r ar a
rn n n . (3)
Ekvationen (3 ) kallas den karakteristiska ekvationen.
När vi bestämmer den homogena lösningen y , kvarstår att finna en partikulär lösning H yp till
) (
... 2 1 0
) 1 ( 1 )
( a y a y a y a y f x
y n + n− n− + + ′′+ ′+ = . (1) Vi betraktar DE (1) då högerledet f( x) är en av följande funktioner:
polynom Pn( x), e , ax sinbx, cosbx, Pn(x)eaxsinbx, Pn(x)eaxcosbx eller )
cos ) ( sin
) (
(P x bx Q x bx
eax n + m .
För att bestämma en partikulär lösning ypi de flesta fall ( ”enkla” fall) antar vi attyp är an funktionen av samma typ som ekvationens högerled där ingående polynom har obestämda koefficienter. I några fall, så kallade "resonansfall" , multiplicerar vi den "enkla ansatsen"
med x ). v
Sida 1 av 13
"Enkelt fall" (grundregeln)
Betrakta ekvationen L(y)= eax(P1(x)sinbx+P2(x)cosbx). "Enkelt fall" till ekvationen uppstår om a+bi INTE är en lösning till den karakteristiska ekvationen. I detta fal används ansatsen yp=eax[Q1(x)⋅sin(bx)+Q2(x)⋅cos(bx)] där Q1(x) och Q2(x) är två polynom med obestämda koefficienter vars grad är max(grad(P1(x)),grad(P2(x)))
Resonansfall (grundregeln)
Resonansfall till ekvationen L(y)= eax(P1(x)sinbx+P2(x)cosbx) uppstår om a+bi är en lösning (av multipliciteten v) till den karakteristiska ekvationen. I detta fal används en ny ansats yq = xvyp=xv eax[Q1(x)⋅sin(bx)+Q2(x)⋅cos(bx)] där Q1(x) och Q2(x) är två polynom med obestämda koefficienter vars grad är max(grad(P1(x)),grad(P2(x))) Vi kan ovanstående regel dela i tre speciella fall:
Resonansfall för ekvationen L(y) = f(x) uppstår i följande tre fall :
1. Högersidan är ett polynom f(x)= P(x) och (samtidigt) r= 0 är en lösning till den karakteristiska ekvationen.
2. Högersidan f(x)=eaxP(x) och (samtidigt) r= a är en lösning till den karakteristiska ekvationen.
3. Högersidan f(x)=eaxP1(x)sinbx+eaxP2(x)cosbx och (samtidigt) r= a+bi är en lösning till den karakteristiska ekvationen.
Några exempel på högerledet och motsvarande ansats för en partikulär lösning yp.
Om höger sidan är ett polynom då definieras ansatsen med hjälp av ett polynom med obestämda koefficienter. ( Om vi har ett resonansfall då multiplicerar vi med xv den tänkta ansatsen)
Högerledet polynom P( x) Vanligt enkelt fall Ansats yp =Q( x) , där Q( x)är polynom av samma grad som P( x)
Resonansfall uppstår om r=0 är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv
Ansatsen yp =xvQ( x) x
x 2
6 3+ Ax3+Bx2 +Cx+D xv(Ax3+Bx2 +Cx+D)
2 2 2+
− x Ax2+Bx+C xv(Ax2+Bx+C)
x
−2 Ax+ B xv(Ax+B)
3 /
−2 A Ax v
Sida 2 av 13
Om höger sidan är en produkt av ett polynom och exponentialfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter. (Exponentialfunktionen behåller samma exponent)
Högerledet eax
x P( )⋅
Vanligt "enkelt" fall.
Ansats yp =Q(x)⋅eax
Resonansfall uppstår om r=a är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv .
Ansatsen innehåller faktor x dvs v
ax v
p x Q x e
y = ( )⋅ e x
x2 2) 3 2
(− + − (Ax2+Bx+C)e−3x xv(Ax2+Bx+C)e−3x e x
x 3) 4
( − (Ax+B)e4x xv(Ax+B)e4x
e5x
3 Ae5x Axve5x
Om höger sidan är en produkt av ett polynom och en sinus- eller cosinusfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter.
Ansatsen innehåller både sinus- och cosinusfunktion även om högerledet innehåller endast en av dem.
Högerledet ) sin(
)
1(x bx
P ⋅ +
) cos(
)
2(x bx
P ⋅
Vanligt "enkelt" fall.
Ansats yp = ) sin(
)
1(x bx
Q ⋅ +Q2(x)⋅cos(bx)
Resonansfall uppstår om r=bi är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv .
Ansatsen innehåller faktor x v )
2 sin(
) 3
(x− x (Ax+B)sin(2x)+(Cx+D)cos(2x) xv[(Ax+B)sin(2x) )]
2 cos(
)
(Cx+D x
+ )
3 cos(
) 2
(x+ x (Ax+B)sin(3x)+(Cx+D)cos(3x) xv[(Ax+B)sin(3x) )]
3 cos(
)
(Cx+D x
+ )
4 sin(
4 x Asin(4x)+Bcos(4x) xv[Asin(4x)+Bcos(4x)]
) 5 cos(
3 x
− Asin(5x)+Bcos(5x) xv[Asin(5x)+Bcos(5x)]
Om höger sidan är e en produkt av ett polynom , exponentialfunktion och en sinus- eller cosinusfunktion då definieras ansatsen med en liknande funktion där polynomet har obestämda koefficienter. Ansatsen innehåller både sinus och cosinusfunktion även om högerledet innehåller endast en av dem.
(Anmärkning: Det här fallet faktiskt täcker alla föregående fall.) Högerledet
eax [P1(x)⋅sin(bx)+ )]
cos(
)
2(x bx
P ⋅
Vanligt "enkelt" fall.
Ansats yp =
eax[Q1(x)⋅sin(bx)+Q2(x)⋅cos(bx)]
Resonansfall uppstår om r=a+bi är en rot av multipliciteten v till den karrakt. ekv . Ansatsen innehåller faktor x v
) 2 sin(
) 3
4 (
x x
e− x − e−4x[(Ax+B)sin(2x)+(Cx+D)cos(2x)] xve−4x[(Ax+B)sin(2x) )]
2 cos(
)
(Cx+D x
+
Sida 3 av 13
=================================================
Exempel 1.
Lös följande DE med avseende på y( x) 10
2 6 6
5 ′+ = 2 + +
′′− y y x x
y .
Lösning:
i) Vi bestämmer först den homogena lösningen y , H
d vs den allmänna lösningen till ekvationen y′′−5y′+6y=0. Den karakteristiska ekvationen
0 6
2− r5 + = r
har två reella olika rötter r1 =2 och r2 =3 .
Därför är
y
1= e
2x ochy
2= e
3xtvå baslösningar ochx x
H H
e c e
c y
y c y
c y
3 2 2
1
2 2 1
1
+
=
⇒ +
=
är den allmänna lösningen till homogena ekvationen.
ii) För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi (vi har ett "enkelt" eftersom 0 finns inte bland ekvationens rötter) ett polynom av andra graden
C Bx Ax
yp = 2 + + .
För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator B
Ax
y′p =2 + , A
yp′′ =2
och substituerar i ekvationen 10 2 6 6
5 ′+ = 2 + +
′′− y y x x
y ⇒
10 2 6 ) (
6 ) 2
( 5
2A− Ax+B + Ax2 +Bx+C = x2 + x+ ⇒ 10 2 6 ) 6 5 2 ( ) 10 6 (
6Ax2 + B− A x+ A− B+ C = x2 + x+ .
Identifiering av koefficienter ger följande system med tre ekvationer:
= +
−
=
−
=
10 6 5 2
2 10 6
6 6
C B A
A B A
Från första ekvationen har vi A=1, andra ger B=2,
och slutligen från tredje får vi C=3.
Detta ger yp = Ax2 +Bx+C =1x2 +2x+3. Slutligen
. 3 2 )
(
) ( ) ( ) (
2 3 2 2
1 + + + +
=
⇒ +
=
x x e c e c x y
x y x y x y
x x
p H
Svar: y(x)=c1e2x +c2e3x +x2 +2x+3
Sida 4 av 13
Exempel 2.
Lös DE med avseende på y( x) 21
20 5 ′=− −
′′− y x
y .
Lösning:
i) Homogen lösning.
Först löser vi den homogena ekvationen 0
5 ′=
−
′′ y y
Den karakteristiska ekvationen 0
2− r5 = r
har två reella olika rötter r1 =0 och r2 =5 .
Därför är
y
1= e
0⋅x ochy
2= e
5xtvå baslösningar ochx H
H
e c c
y
y c y c y
5 2 1
2 2 1 1
1 +
⋅
=
⇒ +
=
är den allmänna lösningen till homogena ekvationen.
ii)Partikulär lösning.
Den här gången 0 är en lösning av multiplicitet 1 till den karakteristiska ekvationen och vi har ett resonansfall.
För att bestämma en partikulär lösning ansätter vi )
1(
B Ax x
yp = + .
För att bestämma koefficienter A, B, och C beräknar vi derivator Bx
Ax
yp = 2 + , B Ax
y′p =2 + , A
yp′′ =2
och substituerar i ekvationen 21
20 5 ′=− −
′′− y x
y ⇒
21 20
) 2
( 5
2A− Ax+ B = − x − ⇒
21 20 ) 5 2 (
10 + − =− −
− Ax A B x .
Identifiering av koefficienter ger system med två ekvationer:
−
=
−
−
=
−
21 5
2
20 10
B A
A
Från första ekvationen har vi A=2, och andra ger B=5.
Alltså yp = Ax2 +Bx=2x2 +5x Slutligen
. 5 2 )
(
) ( ) ( ) (
2 5
2
1 c e x x
c x y
x y x y x y
x p H
+ + +
=
⇒ +
=
Svar: y(x)=c1 +c2e5x +2x2 +5x
=============================================================
Sida 5 av 13
ÖVNINGSUPPGIFTER:
A) enkla fall
Uppgift 1. Högerledet är ett polynom ("enkla" fall)
( Tips: Vi har ett "enkelt" fall eftersom 0 är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE) Lös följande DE med avseende på y( x)
a) 2y′+16y =5 b) y′−12y =−24x−10 c) y′ 4+ y= x d) y′+ y = x2 +6x+4 e) y′′+6y′+5y =2 f) y′′+ y′−2y= x
g) y′′−4y = x2 h) y′′+5y=5x2 +5x+2 i) y′′+4y=4x3+6x j) y′′+ y′+ y= x+1
k) Bestäm den lösning till y′′−4y =−4x som satisfierar y(0)=2,y′(0)=1.
Svar:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−8x Ansats för en partikulär lösning: yp = A
En partikulär lösning: yp =5/16
Den allmänna lösningen : y=c1e− x8 +5/16 Svar: y =c1e− x8 +5/16
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e12x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax+B
En partikulär lösning: yp = x2 +1
Den allmänna lösningen : y=c1e12x +2x+1 Svar: y =c1e12x +2x+1
c) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−4x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax+B
En partikulär lösning:
16 1 4 1 −
= x yp Svar:
16 1 4
4 1
1 + −
=ce− x
y x
d) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax2 +Bx+C En partikulär lösning: yp = x2 +4x
Sida 6 av 13
Svar: y =c1e−x +x2 +4x
e) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x +c2e−5x Ansats för en partikulär lösning: yp = A
En partikulär lösning: yp =2/5 Svar: y =c1e−x +c2e−5x +2/5
f) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x +c2ex Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax+B
En partikulär lösning:
4 1 2 −
−
= x yp Svar:
4 1
2 2
2
1 + − −
= − x
e c e c
y x x
g) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x +c2e2x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax2 +Bx+C
En partikulär lösning:
8 1 4
2 −
−
= x yp Svar:
8 1 4
2 2 2 2
1 + − −
= − x
e c e c
y x x
h) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1sin(x 5)+c2cos(x 5) Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax2 +Bx+C
En partikulär lösning: yp = x2 +x
Svar: y =c1sin(x 5)+c2cos(x 5 )+x2 +x
i) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1sin(2x)+c2cos(2x) Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax3+Bx2 +Cx+D
En partikulär lösning: yp = x3
Svar: y =c1sin(2x)+c2cos(2x)+x3
j) Lösning till den homogena ekvationen: )
2 cos( 3 2 )
sin( 3 2 2
2
1e x c e x
c y
x x
H
−
−
+
=
Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax+B En partikulär lösning: yp = x
Svar: y ce x c e x x
x x
+ +
= − − )
2 cos( 3 2 )
sin( 3 2 2
2 1
k) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x +c2e2x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ax+B
En partikulär lösning: yp = x
Sida 7 av 13
Den allmänna lösningen är y=c1e−2x +c2e2x +x. Från begynnelsevillkoren får vi c1 =1 och c2 =1.
Svar: Den lösning som satisfierar givna begynnelsevillkor är y=e−2x +e2x +x
Uppgift 2. Högerledet är av typ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 ("enkla" fall)
( Tips: a är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har "enkla fall") Lös följande DE med avseende på y( x)
a) y′+2y =10e3x b) y′−2y =(4x+4)e4x c) 2y′+ y =(5x2 +9x+2)e2x d) y′′− y=9xe2x
e) y′′−y′−6y=36ex f) y′′+4y=25xe−x Svar:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x Ansats för en partikulär lösning: yp = Ae3x
En partikulär lösning: yp =2e3x Svar: y =c1e−2x +2e3x
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e2x Ansats för en partikulär lösning: yp =(Ax+B)e4x En partikulär lösning: yp =(2x+1)e4x
Svar: y =c1e2x +(2x+1)e4x
c) Lösning till den homogena ekvationen: 1 2
x
H ce
y = − Ansats för en partikulär lösning: yp =(Ax2 +Bx+C)e2x En partikulär lösning: yp =(x2 +x)e2x
Svar: x
x
e x x e c
y = 1 −2 +( 2 + ) 2
d) Lösning till den homogena ekvationen: yH = c1e−x + c2ex Ansats för en partikulär lösning: yp =(Ax+B)e2x
En partikulär lösning: yp =(3x−4)e2x Svar: y =c1e−x +c2ex +(3x−4)e2x
e) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x +c2e3x Ansats för en partikulär lösning: yp = Aex
En partikulär lösning: yp =−6ex Svar: y =c1e−2x +c2e3x −6ex
Sida 8 av 13
f) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1sin(2x)+c2cos(2x) Ansats för en partikulär lösning: yp =(Ax+B)e−x
En partikulär lösning: yp =(5x+2)e−x
Svar: y =c1sin(2x)+c2cos(2x)+(5x+2)e−x
Uppgift 3. Högerledet är av typ 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥) ("enkla" fall) ( Tips: a+bi är inte en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har "enkla fall")
Lös följande DE med avseende på y( x)
a) y′+3y=6sinx+2cosx b) y′−3y=13cos2x c) y′+y=2xsinx d) y′′−y′=10sin2x e) y′+ y =6e2xsin3x
Lösning till c) y′+y=2xsinx
Den tillhörande homogena ekvationen y′ y+ =0 har lösningen yH =c1e−x. Ansats för en partikulär lösning yp =(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx och
x D Cx x C x B Ax x A
y′p = sin +( + )cos + cos −( + )sin substitueras i DE y′+y=2xsinx:
x D Cx x C x B Ax x
Asin +( + )cos + cos −( + )sin +(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx=2x sinx eller
x
Asin +Axcosx+Bcosx+C cosx −Cxsinx−Dsinx+Axsinx+Bsinx+Cxcosx+Dcosx
=2x sinx
Vi identifierar koefficienter framför lika funktioner på båda sidor:
Uttrycket x sin förekommer på båda ledet: på VL har vi x −Cx sinx+Ax sin och på HL x har vi 2x sinx. Identifiering av koefficienter ger
=2
− C
A (ekv1)
Uttrycket x cos , som finns bara på vänster ledet, ger x
=0 + C
A (ekv2)
Uttrycket sin ger x
=0 +
−D B
A (ekv3)
Uttrycket cos ger x
=0 +
+C D
B (ekv4)
Ekvationer 1och 2 ger A=1och C=−1. Ekvationer 3 och 4 ger B=0och D=1. Därför yp =(1x+0)sinx+(−1x+1)cosx Alltså yp = xsinx+(−x+1)cosx
Svar c: y= yH +yp =c1e−x+xsinx+(−x+1)cosx
Svar a-e:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−3x Sida 9 av 13
Eftersom 0± inte är en rot till den karakt. ekv. ansats för en partikulär lösning år av 1i samma typ som högerledet: yp = Asinx+Bcosx
En partikulär lösning: yp =2sinx Svar: y =c1e−3x +2sinx
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e3x
Eftersom 0± inte är en rot till den karakt. ekv. ansats för en partikulär lösning år av 2i samma typ som högerledet: yp = Asin2x+Bcos2x
En partikulär lösning: yp =2sin2x−3cos2x Svar: y =c1e3x +2sin2x−3cos2x
c) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x
Ansats för en partikulär lösning:yp =(Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx En partikulär lösning: yp = xsinx+(−x+1)cosx
Svar: y =c1e−x +xsinx+(−x+1)cosx
d) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1+c2ex Ansats för en partikulär lösning: yp = Asin2x+Bcos2x En partikulär lösning: yp =−2sin2x+cos2x
Svar: y=c1 +c2ex −2sin2x+cos2x
e) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x Ansats för en partikulär lösning: yp =e2x(Asin3x+Bcos3x) En partikulär lösning: yp =e2x(sin3x−cos3x)
Svar: y =c1e−x+e2x(sin3x−cos3x)
=================================================
B) Resonansfall
Uppgift 4. Vi betraktar en linjär DE av andra ordningen y′′+ay′+by= f(x), där a och b är konstanter. Ekvationens högerled f( x) finns nedan. Låt r , 1 r2vara lösningar till den
karakteristiska ekvationen. Bestäm för vilka värden på r , 1 r får vi s. k. "resonansfall". 2 a) f(x)=x2+3x+8
b) f(x)=(x2+x+3)e3x
c) f(x)=(x2 +x+5)e3xsin(5x) d) f(x)=(x2+x+5)e4xcos(3x) e) f(x)=(x2+x+3)sin(5x)
Sida 10 av 13
Svar:
a) Eftersom högerledet är ett polynom uppstår resonansfall om minst en lösning r eller 1 r till 2 den karakteristiska ekvationen är 0.
b) Eftersom högerledet är av typ
P ( x ) e
ax (där a=3) uppstår resonansfall om minst en lösning r eller 1 r till den karakteristiska ekvationen är lika med 3 . 2c) Eftersom högerledet är av typ eax(P(x)sinbx+Q(x)cosbx) (där a=3 och b=5) uppstår resonansfall om r1,2 =3±5i
d) Om r1,2 =4±3i
e) Om r1,2 =0±5i=±5i
Uppgift 5. Vi betraktar en linjär DE av andra ordningen y′′+ay′+by= f(x), där a och b är konstanter. Lösningar till den karakteristiska ekvationen r , 1 r2 och ekvationens högerled
) ( x
f är givna nedan. Bestäm om DE kan betraktas som "enkelt fall" eller "resonansfall".
a) r1=2, r2 =−4 , f(x)=x2+3x+8 b) r1 =2, r2 =0 , f(x)=x2+3x+8 c) r1=2, r2 =0 , f(x)=(x2+x+3)e3x d) r1 =2, r2 =3 , f(x)=(x2+4x+3)e3x e) r1=2, r2 =0 , f(x)=(x2+x+5)e3xsin(5x) f) r1=2, r2 =3 , f(x)=(x+3)e3xcos(5x)
g) r1=3+5i, r2 =3−5i , f(x)=(5x+3)e3xsin5x)
Svar: a) enkelt fall b) resonansfall c) enkelt fall d) resonansfall e) enkelt fall f) enkelt fall g) resonansfall
Uppgift 6. Högerledet är ett polynom (resonansfall)
( Tips : 0 är en rot till den karakt. ekv. i följande DE och vi har resonansfall) Lös följande DE med avseende på y( x)
a) y′′+6y′=2 b) y′′+ y′=2x c) y ′′′−4y′=16x d) y′′′−2y′′=24x Svar:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1 +c2e−6x Ansats för en partikulär lösning: yp =x1⋅Advs yp =Ax En partikulär lösning:
3 yp = x
Svar:
3
6 2 1
e x c c
y= + − x+
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1+c2e−x Sida 11 av 13
Ansats för en partikulär lösning: yp =x1⋅(Ax+B)dvs yp = Ax2 +Bx En partikulär lösning: yp = x2 −2x
Svar: y =c1+c2e−x +x2 −2x
c) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1+c2e−2x +c3e2x Ansats för en partikulär lösning: yp =x1⋅(Ax+B)dvs yp = Ax2 +Bx En partikulär lösning: yp =−2x2
Svar: y =c1+c2e−2x +c3e2x −2x2
d) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1 +c2x+c3e2x
Ansats för en partikulär lösning (anm. 0 är en dubbel rot till den karakt. ekv):
)
2 (
B Ax x
yp = ⋅ + dvs yp = Ax3 +Bx2 En partikulär lösning: yp =−2x3−3x2 Svar: y =c1+c2x+c3e2x −2x3 −3x2
Uppgift 7. Högerledet är av typ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 (resonansfall)
( Tips: a är en rot till den karakt. ekv. i följande DE dvs vi har ett " resonansfall") Lös följande DE med avseende på y( x)
a) y′+2y=5e−2x b) y′−3y=(2x+2)e3x c) y′+ y=(2x+1)e−x d) y′′− y=(4x+4)ex
e) y′′−2y′+y=2ex ( Resonansfall med v=2.) Svar:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−2x
Ansats för en partikulär lösning: yp = x1Ae−2x dvs yp = Axe−2x En partikulär lösning: yp =5xe−2x
Svar: y =c1e−2x +5xe−2x
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e3x
Ansats för en partikulär lösning: yp = x1(Ax+B)e3x dvs yp =(Ax2+Bx)e3x En partikulär lösning: yp =(x2 +2x)e3x
Svar: y =c1e3x +(x2 +2x)e3x
c) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x
Ansats för en partikulär lösning: yp = x1(Ax+B)e−x dvs yp =(Ax2 +Bx)e−x En partikulär lösning: yp =(x2 +x)e−x
Svar: y =c1e−x +(x2 +x)e−x
Sida 12 av 13
d) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e−x +c2ex
Ansats för en partikulär lösning: yp =x1(Ax+B)ex dvs yp =(Ax2 +Bx)ex En partikulär lösning: yp =(x2 +x)ex
Svar: y =c1e−x+c2ex +(x2 +x)ex
e) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1ex+c2xex Ansats för en partikulär lösning: yp =x2⋅Aex dvs yp = Ax2ex En partikulär lösning: yp =x2ex
Svar: y=c1ex+c2xex+x2ex
Uppgift 8. Högerledet är av typ 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥) ("resonans" fall) ( Tips: a±bi är rötter till den karakt. ekv. i följande DE och vi har resonansfall )
Lös följande DE med avseende på y( x) a) y′′+4y=8cos2x b) y′′+ y=sinx c) y′′−4y′+5y =6e2xsinx
Svar:
a) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1sin2x+c2cos2x
(Lägg märke till att 0± är rötter till den karakt. ekv. och vi har ett s k resonansfall): 2i Ansats för en partikulär lösning: yp = x(Asin2x+Bcos2x)
En partikulär lösning: yp =2xsin(2x) Svar: y =c1sin2x+c2cos2x+2xsin(2x)
b) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1sinx+c2cosx
(Lägg märke till att 0± är rötter till den karakt. ekv. och vi har ett s k resonansfall): 1i Ansats för en partikulär lösning: yp = x(Asinx+Bcosx)
En partikulär lösning: yp xcosx 2
−1
=
Svar: y c x c x xcosx
2 cos 1 sin 2
1 + −
=
c) Lösning till den homogena ekvationen: yH =c1e2xsinx+c2e2xcosx (Lägg märke till att 2± är rötter till den karakt. ekv. ): 1i
Ansats för en partikulär lösning: yp =xe2x(Asinx+Bcosx) En partikulär lösning: yp =−3xe2xcosx
Svar: y =c1e2xsinx+c2e2xcosx−3xe2xcosx
Sida 13 av 13