STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676 Stabilitet för linjära system med konstanta koefficienter.

Sida 1 av 17

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Innehåll

Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp).

Stabilitet för ett linjärt homogent system med konstanta koefficienter.

Nod, spiralpunkt och centrum

================================================

Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp).

Låt

) , (

y x dt Q dy

y x dt P dx



(sys 1)

vara ett autonomt system där x(t) och y(t) är obekanta funktioner.

Lösningar till systemet







 0 ) , (

0 ) , (

y x Q

y x

P (sys A)

kallas kritiska punkter till (sys 1).

DEFINITION 1. Låt 



 





1 1

1 y

K x vara en kritisk punkt till (sys 1) och 



 



 ) (

) ) (

( y t

t t x

X en lösning

till systemet.

i) Vi säger att K₁är en stabil kritisk punkt, om för varje  0 existerar  0 så att för varje lösning X(t) som för t  satisfierar t₀ |X(t₀)K₁|, gäller





 |

) (

|X t K₁ för t . t₀

ii) Vi säger att en stabil kritisk punkt K₁ är asymptotiskt stabil om det existerar  0 så att

1 1

0) | lim ( )

(

|X t K X t K

t 





   .

Om en kritisk punkt inte är stabil säger vi att den är instabil.

(2)

Sida 2 av 17

Vi kan rita lösningar x(t) och y(t) till (sys 1)i separata koordinatsystem med t- och x-axeln respektive t- och y-axeln men det är praktiskt att rita parametriska kurvor 



 



 ) (

) (

t y

t

x i ett xy- plan (fasplan) som vi gör nedan. Lösningskurva kan betraktas som en bana(trajektoria) som beskrivs av punkten 



 



 ) (

) (

t y

t

x då t varierar mellan t0 och  . En figur med några karakteristiska lösningskurvor (trajektorier) kallas systemets fasporträtt.

---

Stabilitet för ett linjärt homogent system med konstanta koefficienter

Här betraktar vi stabilitet för ett linjärt homogent system med konstanta koefficienter,

dy dt cx

dy

by dt ax

dx









(sys 0)

eller, på matrisformen, XAX där 



 



 d c

b

A a .

Kritiska punkter får vi genom att lösa följande (linjära homogena) system











 0 0 dy cx

by

ax ,

som kan ha exakt en lösning, om determinanten  0 d c

b

a , eller oändligt många lösningar om 0. I den här lektionen är vi intresserade av fallet 0 dvs fallet med exakt en kritisk punkt K=(0,0) (eller K= 

 



 0 0 ).

METOD 1. Bestämning av punktens typ med hjälp av egenvärden ₁och ₂. För att bestämma egenvärden till A löser vi ekvationen

0 )

det(A I  , dvs 0

) ( )

( 





 d c

b

a .

Efter föränkling får vi följande andragradsekvation 0

) (

)

2(ad  adbc 

 (*) (den karakteristiska ekvationen) Vi betecknar

(3)

Sida 3 av 17 d

a

  (Alltså är  matrisens spår (trace) dvs summan av element på huvuddiagonalen) och

bc ad



 (matrisens determinant), Då kan vi skriva (*) som

20

 (**).

Från den karakteristiska ekvationen (**) har vi



 



 



 



2 2

,

1 2 2



  (***).

Uttrycket under rottecken bestämmer om egenvärdena blir reella eller komplexa.

Fall 1. Om 0

2





 



 





har ekvationen (**) två reella och olika lösningar ₁₂.

Fall 2. Om 0

2





 



 





har (**) reella och lika lösningar₁ ₂ (s.k. dubbelrot).

Fall 3. Om 0

2





 



 





har vi komplexa lösningar.

Vi ska analysera varje fall för sig.

Fall 1. Reella och olika lösningar till (**) ₁₂. Fall1 uppstår om 0 2

2





 



 





1a) Anta att både ₁ och ₂ är negativa tal.

Lösningar till XAX har följande form X(t)c₁K₁e^¹^t c₂K₂e^²^t. Eftersom exponenter är

negativa har vi 



 







 0

) 0 ( limX t

t .

Kritiska punkten 



 



 0

0 är stabil och kallas stabil nod. Om vi ritar några lösningskurvor

kring origo (s. k. fasporträtt) får vi en figur som ser ut (i gruva drag) som nedanstående graf:

(4)

Sida 4 av 17

Origo stabil nod

Fig 1. Stabil nod.

Anmärkning: Om vi betraktar en lösningskurva för c₂ 0 och c₁0 dvs en lösning av följande typ

e t

K c t

X( ) ₁ ₁ ^¹ (=sK₁ , där sc₁e^¹^t  en skalär parameter) , inser vi att en sådan lösningskurva är en del av den räta linje, som genom origo, vars riktningsvektor är K₁. Punkten X(t)c₁K₁e^¹^t ”rör sig” på denna linje från en start punkt X(0) mot origo (men aldrig kommer till origo). I ovanstående figur visar reda pilar de lösningskurvor som är parallella med egenvektorer. Om |₁||₂ |, ochc₁0, c₂ 0, då tangerar en lösningskurva, X(t)c₁K₁e^¹^tc₂K₂e^²^t e^¹^t(c₁K₁c₂K₂e(^²^^¹⁾^t) vektorn K₁.

1b) Anta nu att både ₁ och ₂ är positiva tal. Lösningar X(t)c₁K₁e^¹^t c₂K₂e^²^t

och därför |X(t)| om t gäller för alla lösningar förutom lösningen 



 



 0 ) 0 (t

X .

Kritiska punkten 



 



 0

0 är instabil och kallas en instabil nod. Lösningskurvor ser ut som ovan

med pilar riktade bort från origo:

Fig 2.

1c) Anta nu att ₁ och ₂ har olika tecken.

(5)

Sida 5 av 17 I det här fallet är kritiska punkten 



 



 0

0 instabil och kallas en sadelpunkt. Vi har vi följande

situation kring origo i detta fall :

Fig 3.

Sadelpunkt är en instabil punkt.

Anmärkning: Från formeln  



 



 



2 2

,

1 2 2



  ser vi att sadelpunkt förekommer om och

endast om ∆ < 0 eftersom i detta fall blir 0 2

2





 



 





och ₁, ₂har olika tecken. (Sista

eftersom

2 2

2

2 



 







 



 



 

om 0.

Fall 2. Reella och lika ₁₂. Detta uppstår om 0 2

2





 



 





.

Då är X(t)(c₁K₁c₂K₂)e^¹^t eller X(t)c₁Ke^¹^t c₂(tKP)e^¹^t Stabilitet:

2a) Om ₁₂ 0_{då är }



 



 0

0 en stabil (degenererad) nod.

2b) Om ₁ ₂ 0_{då är }



 



 0

0 en instabil (degenererad) nod.

Fall 3. Komplexa egenvärden. Detta fall uppstår om 0 2

2





 



 





.

Beteckna ²

2

2 

 ____



 



 . Då kan vi skriva

i



     



 



 

 2 2 2

2 2

, 1

(6)

Armin Ha

3a) Om spiraler



 (

limX t

t

3b) Om spiraler

3c) Om funktion och utan

alilovic: EXTRA

m Re₁,₂ runt origo.



 



 0 ) 0

t .

m Re₁,₂ runt origo.

m Re₁,₂ ner. Lösning n riktningsf

A ÖVNINGAR ,

20

 dvs

Punkten på

20



dvs |X(t)|

Instabil spiralpunkt

20

 dvs

gskurvor är fält). Ett cen

Stabil spiralpunkt

SF1676

S

0

 då å en sådan l

 0 då

 om t

0

 då ä r ellipser pli ntrum är en

Stabi

Sida 6 av 17 är 



 



 0 0 en s

lösningskur

är 



 



 0 0 en

 i detta fa

är 



 



 0 0 ett c

isserade run n stabil pun

litet för linjär

7

stabil spira rva går mot

instabil sp all.

centrum. Lö nt origo. Se n

nkt.

ra system me

alpunkt. Lö origo då t

iralpunkt.

ösningar är nedanståend

ed konstanta

ösningskurv går mot 

Lösningsku

periodiska de figurer (

a koefficiente

or är dvs

urvor är

a med

er.

(7)

Armin Ha

Anmär att för v

 ) (

|X t₀

======

Kort sa ( Vi bet Först b

det(A

och bes

Reella  i) Båda ii) Båda iii) ₁oc Komple iv) Om v) Om R vi) Om

alilovic: EXTRA

kning. Cen varje  0



 



 



 | 0

0 , g

=========

ammanfattn traktar falle estämmer v

0 )

 I , d

stämmer ₁_,

1och ₂. egenvärden a ₁och ₂

ch ₂ har o exa ₁och

) Re(₁_,₂ är

A ÖVNINGAR ,

ntrum är en existerar  gäller | X

=========

ning för M et det(A)  vi egenvärd dvs ( )

c a



 

2 

, 2 2



n negativa:

är positiva olika tecken

2 dvs ₁ r negativ dv

positiv dvs r noll dvs 

SF1676

S stabil kritisk

0 så att f

 



 



 | 0 ) 0 (t X

=========

ETOD 1 fö 0 så att sys den till A ge

)

( 

 d

b



 



² 2

 .

stabil n a: instabil n

: sadelp

i



2 

,

1 .

vs  0: st

0

 : in

0

 : c

Stabi

Sida 7 av 17 k punkt enl för varje lös



 för t

========

ör klassifice stemet har enom att lös

 eller0 ²

nod. (Här k nod. (Här ka unkt ( sade

.

tabil spiral nstabil spir entrum ( c

litet för linjär

7

igt ovanståe sning X(t)

t0

 .

ering av kr endast en k sa ekvation

0







kan också rä an också räk elpunkt är

punkt.

alpunkt.

entrum är e

ra system me

ende definit ) som för t

ritiska punk kritisk punkt

en

0

äknas fallet knas fallet  instabil)

n stabil krit

ed konstanta

tion. Man k t0

t satisfi

kten.

t, origo)

(**)

2 0

1 



2 0

1 



tisk punkt)

a koefficiente

kan visa ierar

0 .) .)

.

er.

(8)

Sida 8 av 17

Uppgift 1. Klassificera kritiska punkten (0,0) som stabil/instabil för nedanstående homogena system. Bestäm också punktens typ (nod, sadelpunkt, centrum eller spiralpunkt).

a)

y dt x

dy

y dt x

dx

3 2

2









b)

y dt x

dy

y dt x

dx







 2

2

c)

y dt x

dy

y dt x

dx

2 2











d)

y dt x

dy

y dt x

dx

3 4

3









e)

y dt x

dy

y dt x

dx

2 2

2









f)

y dt x

dy

y dt x

dx

2 2

2











Lösning: För matrisen 



 



 d c

b

A a kan vi direkt skriva den karakteristiska ekvationen

20

 (**) där  ad (matrisens spår)

och adbc (matrisens determinant), a)  ad 5, adbc341.

Notera att 0 visar direkt att origo är sadelpunkt och därmed instabil.

(Vi behöver inte fortsätta och bestämma  . Om vi gör detta får vi olika reella lösningar ₁_,₂ som igen ger sadelpunkt.)

b)  0, 3, Den karakteristiska ekvationen 0

3

0 ²

2   



som ger ² i 3. Rent imaginära egenvärden medför att (0,0) är ett centrum och därmed stabil punkt

c)  4, 3, Den karakteristiska ekvationen 0

3 4

0 ²

2    



som ger ₁1 och ₂ 3. Två negativa reella lösningar. Punkten är en stabil nod.

d) ₁ 1 och ₂ 5. Två positiva reella lösningar. Punkten är en instabil nod.

e)  3, 6, Den karakteristiska ekvationen

(9)

Sida 9 av 17 0

6 3

0 ²

2    



2 15 2

3

2 ,

1  i

 . Två komplexa egenvärden. Negativa reelldelar

2 ) 3

Re(₁_,₂  . Punkten är en stabil spiralpunkt.

f)  3, 6, Den karakteristiska ekvationen 0

6 3

0 ²

2    



2 15 2

3

2 ,

1  i

 . Två komplexa lösningar. Positiva reelldelar

2 ) 3

Re(₁_,₂  . Punkten är en instabil spiralpunkt.

=======================================================

(10)

Sida 10 av 17

METOD 2 Klassificering av kritiska punkten (0,0) med hjälp av ,  och  



 



 ² 2

 .

Ovanstående analys av homogena systemet

d X c

b

X a 



 







som har en kritisk punkt (0,0) om det(A)≠0, visar att punktens typ beror av följande tre storheter: trace(A)ab, det(A)adbc, och  



 





2

R  .

Här är sammanfattning som ger punktens typ med hjälp av ,  och R :

1. 0 (oavsett värdet på ) sadelpunkt (sadelpunkt är en instabil kritisk punkt) 2. 0, 0

2





 



 





och  0 stabil nod (två negativa reella egenvärden)

3. 0, 0 2

2





 



 





och  0 instabil nod (två positiva reella egenvärden)

4. 0, 0

2





 



 





och  0 stabil (degenererad) nod

5. 0, 0

2





 



 





och  0 instabil (degenererad) nod

6. 0, 0 2

2





 



 





och  0 stabil spiralpunkt

7. 0, 0 2

2





 



 





och  0 instabil spiralpunkt

8. 0, 0 2

2





 



 





och  0 centrum (centrum är en stabil kritisk punkt)

Ovanstående fall kan enklare memoreras med hjälp av en figur i  planet. (Här är denna sammanfattning i en figur från kursboken, Zill-Wright):

(11)

Armin Ha

--- Några e I ovanst

0

 oc

Vi ser o

Om  ---

Hur ska

Först be I) Om

alilovic: EXTRA

--- exempel på tående graf ch  0. också att

2





 då är ori0 ---

a man i pra

eräknar vi d m 0 då ä

A ÖVNINGAR ,

--- hur vi tolka

ser vi, blan

2 0

2





 



 

go en sadelp ---

aktiken utf

determinante är origo en s

SF1676

S --- ar ovanståen nd annat att v

dvs 2





 

punkt (ober ---

föra klassif

en  . sadelpunkt (

Stabi

Sida 11 av 1 --- nde figur:

vi har stabil

2

2





svarar m

roende av v ---

ficering me

(oberoende

litet för linjär

17

---

l punkt enda

mot område

ärdet på ) ---

ed _{ , }



 2



om spåret 

ra system me

---

ast i andra k

et ovanpå pa

.

---



 



² och

 är >0, <

ed konstanta

kvadranten

arabeln i fig

---

h  :

< 0 eller =0)

a koefficiente

dvs om

guren.

er.

(12)

Sida 12 av 17 II) Om 0 beräknar vi  



 



 ² 2

 som bestämmer om ₁ och ₂ är reella eller komplexa.

Slutligen beräknar vi  som bestämmer stabilitet.

Uppgift 2. Bestäm med hjälp av ,  



 



 ² 2

 och  stabilitet för (0,0) i systemet

AX

X' där A definieras nedan:

a) 



 





 

2 2

2

A 1 b) 



 



 2 4

3

A 1 c) 



 







 

5 2

2

A 1 d) 



 





 

12 1

1 A 10

e) 



 



 5 1

0

A 2 f) 



 



 

 1 2

10 A 2

Lösning:

a) 60, 0 4 / 2 15

2









 



 





(  komplexa tal), ₁_,₂ 0

3

  .

Därmed är origo en instabil spiral.

b) 100. Därmed är origo en sadelpunkt. Sadelpunkt är en instabil punkt .

c) 90, 2 0

2





 



 





( ₁ och vi har en degenererad nod), ₂ 0

6



  .

Därmed är origo en stabil degenererad nod.

d) 1210. Därmed är origo en sadelpunkt. Sadelpunkt är en instabil punkt .

e) 100, 4 0 9 2

2







 



 





(  reella och olika tal så att origo är en nod), ₁_,₂

(13)

Sida 13 av 17 0

7

  .

Därmed är origo en instabil nod.

f) 60, 0 2 6

2









 



 





(  komplexa tal) ₁_,₂

0

 .

Därmed är origo ett centrum. Centrum är en stabil punkt.

Uppgift 3. Vi betraktar systemet

y dt x

dy dt y dx









För vilka värden på den reella parametern  är (0,0)

a) en instabil spiralpunkt b) en stabil spiralpunkt c) ett centrum d) sadelpunkt

Lösning.

Systemets matris är 



 





 

 1

1

A 0 .

Vi beräknar

1

 , 1

2 2

 



 







 



 



 

och  

a) Punkten (0,0) är en instabil spiralpunkt om

0

 , 0

2





 



 





och  0

dvs om följande tre olikheter är uppfyllda o1: 10 ,

o2: 1 0 2

2



 



 





och

o3: 0

(14)

Sida 14 av 17 Olikheten o1 gäller för alla  .

Från o2 har vi ² 4 som ger 2 2. Detta tillsammans med o3 0 ger svaret 2

0 .

Svar a) 02.

b) Punkten (0,0) är en stabil spiralpunkt om

0

 , 0

2





 



 





och  0 eller

0

1 , 1 0 2

2



 



 





och 0

som ger 2  0 Svar b) 2  0

c) Punkten (0,0) är ett centrum om

0

 , 0

2





 



 





och  0 eller

0

1 , 1 0 2

2



 



 





och  0

Alla tre krav är uppfyllda om  0. Svar c)  0

d) Punkten (0,0) är en sadelpunkt om 0.

Vi har 10 så att sadelpunkt inte kan förkomma i vårt system.

Svar d) Detta fall ( att (0,0) blir sadelpunkt) kan inte förkomma i vårt system.

(15)

Sida 15 av 17 Uppgift 4. Vi betraktar systemet

. y dt x

dy

y dt x

dx















För vilka värden på den reella parametern  är (0,0) a) en sadelpunkt b) ett centrum

Lösning.



 







 



 1

A 1 .

Vi beräknar

2 1





  ,

 

0 1 1

2

2 2 2

2













 



 



  

och  0

a) Punkten (0,0) är en sadelpunkt om 0 dvs ²10 eller ² 1 som ger (,1)(1,).

b) Punkten (0,0) är ett centrum om

0

 , 0

2





 



 





och  0 eller

0

2 1

 , ² 10 och 00

Första och andra krav är ekvivalenta och ger 11. Tredje kravet (0=0) är alltid uppfylld.

Svar b) 1 1

Uppgift 5. Vi betraktar DE x(t)3x(t)2x(t)0 a) Skriv systemet som ett homogent linjärt system.

b) Klassificera kritiska punkten (0,0) . Lösning:

Vi skriver ekvationen som x(t)3x(t)2x(t) och inför en ny variabel genom att beteckna y

x . På detta sätt får vi följande system

(16)

Sida 16 av 17 .

3 2x y y

y x









 





 

3 2

1

A 0 .

Vi beräknar

0 2



 , 0

4 2 1 2 3 2

2 2





 



 







 



 





och  30 .

Därmed är (0,0) en instabil nod.

Uppgift 6. Vi betraktar DE x(t)3x(t)2x(t)0 a) Skriv systemet som ett homogent linjärt system.

b) Klassificera kritiska punkten (0,0) .

==============================

Stabilitet för ett linjärt icke-homogent system med (alla) konstanta koefficienter Anta att följande system med (alla) konstanta koefficienter

g dy dt cx

dy

f by dt ax

dx









(sys 1) (eller X’=AX+F)

(där även f och g är konstanter), har det( ) 0 d c

b

A a .

Då har systemet exakt en kritisk punkt (x₁,y₁), som vi får genom att lösa













. 0

0 g dy cx

f by ax

Med hjälp av substitutionen 



 







1 1

y X x

H får man ett homogent system H’=AH vars kritiska punkten är (0,0).

(17)

Sida 17 av 17

Därför bestäms stabilitet till kritiska punkten (x₁,y₁) med hjälp av matrisen 



 



 d c

b A a

(dvs. på samma sätt so i homogena fallet).

Uppgift 7.

Bestäm och klassificera kritiska punkter till systemet

a) 2 3

3













y x y

y x

x b)

3 2

2













y x y

y x x

Lösning:

a) Från

















0 3 2

0 3 y x

y

x får vi en kritisk punkt (1,2).

Från 



 





 

2 1

1

A 1 har vi 2130. Därmed är (1,2) en sadelpunkt

Svar a) En kritisk punkt (1,2), som är en sadelpunkt

b) Från

















0 3 2

0 2 y x

y

x får vi en kritisk punkt (1,1).

Från 



 



 2 1

1

A 1 har vi

0 1



 , 0

4 1 5 2 3 2

2 2





 



 







 



 





och  30 .

Därmed är (1,1) en instabil nod.

Svar b) En kritisk punkt (1,1), som är en instabil nod.