Kvadrat-komplettering Utveckla

Konjugatregeln

) )(

( ^{2 2}

3

3 b a b a ab b

a − = − + −

Bevis:

VL b a b ab b a ab b a a b ab a b a

HL=( − )( ² + − ²)= ³ + ² + ³− ² − ² − ³ = ³ − ³ = Ex.

Förenkla

) 2 ( 2

4 2 )

2 )(

2 ( 2

) 2 2 )(

2 ( ) 2 ( 4

) 2 ( 2 ) 4 ( 4

) 8 ( 2 16 4

16

2 ^{2 2 2}

2 2

3 3 2

3 2

3

+ +

= + +

−

+ +

= −

−

= −

−

= −

−

−

x x x x

x

x x x x

x x

x x

x

Om vi byter motb −bi formeln för a³ −b² får vi a³ +b³ =(a+b)(a² −ab+b²) Ex.

Förenkla

− =

= −

−

= −

−

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

−

2 2

2 2 2

2 4 4

2

2 4

2 2

4 4

2 4

* ) 1 (

) 1 ) ((

* ) 1 (

) 1 (

* ) 1 (

* ) 1 ( 1 1

1 1 1 1

x x

x x

x x x

x

x x

x x

x x

x x

Konjugatregeln ger: ₂

2 2

2 2

2 1

* ) 1 (

) 1 )(

1 (

x x x

x x

x −

− = +

−

Kvadrat-komplettering

Utveckla

2 2

2

2

* 2

2 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + P P

x P x

x

2 2

2⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ +

= P

px x

Subrahera med

2

2⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ P i VL och HL:

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + ^{2 2 2 2 2}

2 2

2 2

P Px P

P x x P

Addera Q i VL och HL:

Q Px x P Q

x P ⎟ + = + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + ^{2 2 2}

2 2

Formel för kvadrat-komplettering av en andragrads-pollynom Ex.

Vilka värden kan uttrycket x² + x2 −1 anta? (Största och minsta värde) Kvadrat-komplettering ger

(

1

)

2

2 1 2 2

2 1

1 2

2 ^{2 2} ₂

2 ⎟ − = + −

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

− =

=

−

=

+ x x

Q x P x

Minsta värde:

Oavsett vad vi stoppar in för värden på x så gör kvadraten att det blir ett positivt tal.

Uttrycken är som minst då x=−1 ty

(

x+−¹

)

² är positivt för alla andra värden på x Största värde:

Kan bli hur stor som helst Största värde saknas:

Andragradsekvationer

0 0

;

2 1 2 2 1

0 3

2

=

− +

⇔

= + +

a x a a x a

a x a x a

Sätt:

a Q a a P a

=

=

2 0 2 1

2 + + =0

⇔ x Px Q

Formel för kvadrat-komplettering ger:

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

=

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

−

=

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

= +

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

= + +

P Q x P

P Q x P

P Q x P

P Q x P

P Q x P

P Q x P

Q Px x

2 2

2 1

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 2

2 0 2

Om

lösningar reella

ekvationen Saknar

2 0

läsningar Reella

2 0

2 2

≤

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

≥

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ P Q P Q

Ex.

a) 2x² − x3 +1=0 Lösning:

( )

2 1 1

4 1 4 3 16

1 4 3

16 8 16

9 4 3 2

1

2 2 3

2 2 3 0

2 0 1 2 3

2 1

2

2 2

=

=

⇔

±

=

⇔

±

=

⇔

−

±

=

⇔

−

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇔

= + + +

= +

−

x x

x x

x x

Q xp P x

x x

b) 1

3 2 4

2 − + = x x

1 2

±

≠

−

≠ x x

4 ! 5

! 2

8 13 8 3 64

169 8

3 64

160 64

9 8 3 2

5 8 3 8 3

2 0 5 4 0 3

10 3 4 6 3 4 4 ) 2 ( 3 ) 1 ( 4

2 1

2

2 2

2 2

OK x

OK x

x x

x x

x x

x x x

x x

x

−

=

=

⇔

±

=

⇔

±

=

⇔ +

±

=

⇔

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

=

⇔

=

−

−

=

⇔

=

−

−

⇔ +

=

−

⇔ +

=

−

⇔

c) x+3+3= x Lösning:

(*) 3

3= − ⇒

+ x

x

(*)betyder notering till senare

Kvadrering ger: (Vid kvadrering gäller ekvialens-pilar)

( )

* i prövning eftersom

Falsk!

1

* i prövning eftersom

OK!

6

2 5 2 7 4

24 4 49 2 7

2 6 7 2 0 7

6 7 9

6 3

3 3

2 1

2 2

2 2

=

=

⇔

±

=

⇔

−

±

=

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

=

⇔

= +

−

⇔ +

−

= +

⇔

−

= +

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Ex.

2 3 5+ =− +

x

Rooten ur ett uttryck är alltid positivt eller 0.

Svar:

Lösning saknas ty: x+5+3≠ Negativt