2 Koordinater och fält

2 Koordinater och fält

För att kunna referera till olika punkter i rummet är det lämpligt att införa en fix referenspunkt origo O och ett system av koordinater. Det är också praktiskt att införa en högerortonormerad bas relaterad till detta koordinat- system.

Cartesiska koordinater

Det cartesiska koordinaterna x, y och z är välkända. Som ortonormerade basvektorer väljer vi här ex, ey och ez, som är riktade längs med de positiva x-, y- respektive z-axlarna. Detta betyder till exempel att ex pekar i riktning av ökande x vid konstanta värden på y och z. En ekvivalent formulering är att ex är ortogonal mot de ytor där x är konstant medan y och z varierar.

Motsvarande gäller för ey och ez. Som alternativ till beteckningarna ex, ey

och ez används ofta i, j respektive k.

Exempel: Ortsvektorn r för en punkt P kan uttryckas som en linjärkom- bination av de cartesiska basvektorerna ex, ey och ez med koefficienter som ges av punktens cartesiska koordinater x, y och z:

r = xex+ yey+ zez. (16)

Naturligtvis finns det (även med ett givet val av origo O) oändligt många olika cartesiska koordinatsystem relaterade till varandra genom rotationer kring O. Men det finns också många andra typer av koordinatsystem; här nöjer vi oss med att beskriva så kallade cylindriska koordinater och sfäriska koordinater.

Cylindriska koordinater

De cylindriska koordinaterna ⇢, och z är relaterade till de cartesiska koor- dinaterna x, y och z enligt¹

x = ⇢ cos

1För två-dimensionella problem kan man använda polära koordinater ⇢ och utan z.

y = ⇢ sin

z = z. (17)

Motsvarande ortonormerade basvektorer e⇢, e och ez beror nu på vilken punkt i rummet man betraktar. De är definierade så att till exempel e⇢ pe- kar i riktning av ökande ⇢ vid konstanta värden på och z. En ekvivalent formulering är att e⇢ är ortogonal mot ytan där ⇢ är konstant medan och z varierar. Motsvarande gäller för e och ez. Vi kan naturligtvis uttrycka basvektorerna e⇢, e och ez som linjärkombinationer av de cartesiska bas- vektorerna ex, ey och ez:

e⇢ = cos ex+ sin ey

e = sin ex+ cos ey

ez = ez. (18)

En godtycklig vektor A kan uttryckas i endera basen:

A = A⇢e⇢+ A e + Azez

= A⇢(cos ex+ sin ey) + A ( sin ex+ cos ey) + Azez

= (A⇢cos A sin )ex+ (A⇢sin + A cos )ey+ Azez

= Axex+ Ayey+ Azez. (19)

Komponenterna är alltså relaterade enligt

Ax = A⇢cos A sin Ay = A⇢sin + A cos

Az = Az. (20)

Övning: Uttryck de cylindriska koordinaterna ⇢, och z i de cartesiska koordinaterna x, y och z. Uttryck de cartesiska basvektorerna ex, ey och ez

som linjärkombinationer av de cylindriska basvektorerna e⇢, e och ez.

Övning:Uttryck ortsvektorn r för en punkt P som en linjärkombination av de cylindriska basvektorerna e⇢, e och ez med koefficienter som beror på punktens cylindriska koordinater ⇢, och z.

Sfäriska koordinater

De sfäriska koordinaterna r, ✓ och är relaterade till de cartesiska koordi- naterna x, y och z enligt

x = r sin ✓ cos y = r sin ✓ sin

z = r cos ✓. (21)

Vi inför motsvarande ortonormerade basvektorer er, e✓ och e så att till exempel er pekar i riktning av ökande r vid konstanta värden på ✓ och (och alltså är ortogonal mot ytan där r är konstant medan ✓ och varierar).

Det gäller att

er = exsin ✓ cos + eysin ✓ sin + ezcos ✓ e✓ = excos ✓ cos + eycos ✓ sin ezcos ✓

e = exsin + eycos . (22)

Övning: Uttryck de sfäriska koordinaterna r, ✓ och i de cartesiska koor- dinaterna x, y och z. Uttryck de cartesiska basvektorerna ex, ey och ez som linjärkombinationer av de sfäriska basvektorerna er, e✓ och e .

Övning: Uttryck ortsvektorn r för en punkt P som en linjärkombination av de sfäriska basvektorerna er, e✓ och e med koefficienter som beror på punktens sfäriska koordinater r, ✓ och .

Fält

En funktion av läget i rummet (ofta representerat genom motsvarande ortsvek- tor r med avseende på origo O) kallas i det här sammanhanget ofta för ett fält.

Om funktionsvärdena är skalärer eller vektorer har vi ett skalärfält respektive ett vektorfält. Ett skalärfält kan visualiseras genom sina olika nivåytor där fältet antar ett konstant värde. Ett vektorfält kan visualiseras genom sina fältlinjer, som är kurvor som överallt är parallella med fältet.

Exempel:Väderleksrapporten ger välkända exempel på fält: Vid en viss tid- punkt utgör temperaturen och vindstyrkan som funktion av läget ett skalär- fält respektive ett vektorfält. Temperaturens nivåkurvor kallas för isotermer

och fältlinjerna åskådliggör de kurvor som till exempel en ballong som driver i vinden skulle följa.

Exempel:En elektrisk punktladdning q i origo alstrar en elektriskt potential som ges av skalärfältet

(r) = q 4⇡✏0

1

|r|, (23)

där den så kallade elektriska konstanten ✏0 ' 8.85 · 10 ¹²F/m.

Övning: Uttryck (r) i

a) de cartesiska koordinaterna x, y och z.

b) de cylindriska koordinaterna ⇢, och z.

c) de sfäriska koordinaterna r, ✓ och . d) Skissera nivåytorna.

Exempel: Punktladdningen i exemplet ovan kan också beskrivas genom en elektrisk fältstyrka som ges av vektorfältet

E(r) = q 4⇡✏0

r

|r|³. (24)

Övning: Uttryck E(r) som en linjärkombination av

a) de cartesiska basvektorerna ex, ey och ez med koefficienter som beror av x, y och z.

b) de cylindriska basvektorerna e⇢, e och ez med koefficienter som beror av

⇢, och z.

c) de sfäriska basvektorerna er, e✓ och e . med koefficienter som beror av r,

✓ och .

d) Skissera fältlinjerna.

Exempel: En elektrisk dipol i origo med dipolmoment p kan konstrueras genom att placera punktladdningar +q och q i punkter med ortsvektorerna

1

2qp och _2q¹p och sedan ta gränsen q ! 1. Den elektriska potentialen i punkten med ortsvektorn r ges då av

(r) = q 4⇡✏0

1

|r _2q¹p| q 4⇡✏0

1

|r +_2q¹p|, (25) där bidragen från de två punktladdningarna har erhållits genom att förskju- ta motsvarande uttryck för en punktladdning i origo med vektorerna _2q¹p respektive _2q¹p. För att kunna ta gränsen q ! 1, det vill säga ¹q ! 0, gör vi en potensserieutveckling i ¹_q:

1

|r _2q¹p| =

✓ (r 1

2qp)· (r 1 2qp)

◆ 1/2

=

✓

r· r 1

qr· p + O(1 q²)

◆ 1/2

= (r· r) ^1/2

✓

1 1

q r· p

r· r +O(1 q²)

◆ 1/2

= 1

|r|

✓ 1 + 1

2q r· p

r· r +O(1 q²)

◆

. (26)

På samma sätt får vi att 1

|r +2q¹p| = 1

|r|

✓

1 1

2q r· p

r· r +O(1 q²)

◆

, (27)

och slutligen att

(r) = q

4⇡✏0

1

|r|

✓ 1 + 1

2q r· p

r· r +O(1 q²)

◆ q

4⇡✏0

1

|r|

✓

1 1

2q r· p

r· r +O(1 q²)

◆

= 1

4⇡✏0

r· p

|r|³ +O(1 q)

! 1

4⇡✏0

r· p

|r|³ (28)

då q ! 1. Potentialen för en elektrisk dipol p i origo är alltså

= 1

4⇡✏0

r· p

|r|³ . (29)

Övning:Uttryck den elektriska potentialen för en elektrisk dipol i origo med dipolmoment p riktad längs med z-axeln (alltså med p = pez)

a) i cartesiska koordinater b) i cylindriska koordinater c) i sfäriska koordinater.

d) Skissera nivåytorna.

Övning:Bestäm den elektriska fältstyrkan E(r) för en elektrisk dipol i origo med dipolmoment p genom att placera punktladdningar +q och q i punkter med ortsvektorerna _2q¹p och _2q¹p och sedan ta gränsen q ! 1.

Övning:En elektrisk ström I flyter genom en oändligt lång rak ledare genom origo i riktningen som ges av enhetsvektorn n. Den magnetiska fältstyrkan B(r) ges då av

B(r) = µ0I 2⇡

n⇥ r

|r|² (n· r)², (30)

där µ0' 1.26 ⇥ 10 ⁶ H/m är permeabiliteten för vacuum.

a) Uttryck B i ett lämpligt koordinatsystem.

b) Skissera fältlinjerna.