Ř ET Ě ZOVÉ ZLOMKY CONTINUED FRACTIONS

(1)

Technická univerzita v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A

PEDAGOGICKÁ

Katedra: matematiky a didaktiky matematiky Studijní program: 2. stupeň

Studijní obor (kombinace)

matematika – anglický jazyk

ŘETĚZOVÉ ZLOMKY CONTINUED FRACTIONS

Diplomová práce: 09–FP–KMD–007

Autor: Podpis:

Dalibor HANZAL Adresa:

Západní 2743 407 47, Varnsdorf

Vedoucí práce: doc. RNDr. Jiří Taufer, CSc.

Konzultant:

Počet

stran grafů obrázků tabulek pramenů příloh

66 0 0 0 8 0

V Liberci dne: 22. 5. 2009

(2)

(3)

Prohlášení

Byl(a) jsem seznámen(a) s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL.

Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Diplomovou práci jsem vypracoval(a) samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.

Datum: 22. 5. 2009

Podpis:

(4)

Pod ě kování

Děkuji vedoucímu práce doc. RNDr. Jiřímu Tauferovi, CSc. za podnětné rady a připomínky, které pomohly k dokončení této práce. Dále děkuji svým rodičům za podporu, obzvláště pak Mgr. Anně Hanzalové za jazykovou korekturu, a všem ostatním, kteří mě při psaní této práce podporovali.

(5)

Ř ET Ě ZOVÉ ZLOMKY

HANZAL Dalibor DP – 2009 Vedoucí DP: doc. RNDr. Jiří Taufer, CSc.

Resumé

Diplomová práce poskytuje stručný přehled o řetězových zlomcích a zabývá se jejich aproximačními vlastnostmi. V první části je popsána teorie celého aparátu, tedy základní pojmy a vlastnosti řetězových zlomků. Druhá část se zabývá teorií zobrazení čísel pomocí řetězových zlomků a přesností těchto zobrazení. Ve třetí části práce jsou pak uvedeny rozvoje několika konkrétních čísel a funkcí v řetězce, na základě čehož jsou v závěru shrnuty hlavní výhody vyjádření čísel řetězovými zlomky.

Klíčová slova:

řetězový zlomek – konečný, nekonečný, pravidelný, periodický; sblížený zlomek;

aproximace.

CONTINUED FRACTIONS Summary

This Diploma Thesis presents a brief overview of continued fractions and deals with their approximation properties. In the first part, the theory of this issue is described, such as basic terms and the properties of continued fractions. The second part deals with the theory of expressing numbers as continued fractions and the accuracy of these expressions. In the third part, some concrete numbers and functions are expressed as continued fractions. And finally, the conclusion sums up the main advantages of expressing numbers as continued fractions.

Key words:

continued fraction – finite, infinite, simple, periodic; convergent; approximation.

KETTENBRÜCHE Zusammenfassung

Die Diplomarbeit gewährt einen kurzen Einblick in das Thema Kettenbrüche und befasst sich mit ihren Approximationseigenschaften. Im ersten Teil ist die Theorie des ganzen Gebietes beschrieben, d.h. die Grundbegriffe und Eigenschaften der Kettenbrüche. Der zweite Teil behandelt den theoretischen Aspekt der Darstellung von Zahlen mittels Kettenbrüche und die Genauigkeit dieser Darstellungen. Im dritten Teil der Arbeit sind Kettenbruchentwicklungen einiger konkreter Zahlen und Funktionen präsentiert. Diese liegen auch der Zusammenfassung der Hauptvorteile der Darstellung von Zahlen durch Kettenbrüche in der Schlussfolgerung zugrunde.

Schlüsselwörter:

Kettenbruch – endlich, unendlich, regulär, periodisch; Konvergent;

Approximation.

(6)

Obsah

1. Úvod ...7

2. Vlastnosti aparátu ...8

2.1 Základní pojmy ...8

2.2 Sblížené zlomky ...12

2.3 Nekonečné řetězce ... 20

2.4 Řetězce s přirozenými prvky ... 24

3. Zobrazení čísel řetězci ... 29

3.1 Vyjádření reálných čísel řetězci ...29

3.2 Sblížené zlomky jako nejlepší přiblížení ... 34

3.2.1 Řád přiblížení ...36

3.2.2 Euklidův algoritmus ...42

4. Rozvoj v řetězce ...44

4.1 Rozvoj některých konstant v řetězce ... 44

4.1.1 Rozvoj Ludolfova čísla ... 44

4.1.2 Rozvoj Eulerova čísla ... 48

4.2 Rozvoj některých funkcí v řetězce ...51

4.2.1 Rozvoj mocninné funkce ... 52

4.2.2 Rozvoj logaritmické funkce ...55

4.2.3 Rozvoj exponenciální funkce ...57

4.2.4 Rozvoj funkce y = arctg x ... 58

4.2.5 Rozvoj funkce y = tg x ... 59

4.2.6 Rozvoj funkce y = tgh x ... 60

4.2.7 Aproximace funkcí sin x a sinh x lomenou racionální funkcí ... 61

4.2.8 Aproximace funkcí cos x a cosh x lomenou racionální funkcí ... 63

5. Závěr ... 65

Použitá literatura ... 66

(7)

1. Úvod

Problematika řetězových zlomků byla známa dříve, než by se mohlo zdát.

Jak se můžeme dočíst v různých zdrojích (Collins [1], Danilov [2]), algoritmy podobné řetězovým zlomkům používali již matematici ve starém Řecku (Euklidův algoritmus, archimédovské aproximace pro 3 ) či Indii (matematik Aryabhata používal řetězový zlomek k řešení lineární rovnice). Ve středověku se řetězcům značně přiblížil Omar al-Chajjám (přibližně 1040n.l. – 1123n.l.), který pracoval s Euklidovým algoritmem. Avšak první písemnou zmínku o použití řetězového zlomku v dnešní podobě najdeme v knize „Algebra“ italského matematika Raffaela Bombelliho z 16. století, kde jsou pomocí řetězových zlomků vyjádřeny 13 a 18 . Řetězovými zlomky se poté zabývala řada významných matematiků 17. století, například William Brouncker a John Wallis, kteří vymysleli rozvoj pro 4 π, či Christian Huygens, jenž zkoumal použití sblížených zlomků k nalezení nejlepších aproximací. Nicméně systematický rozvoj teorie řetězových zlomků se datuje až od roku 1737 díky knize Leonharda Eulera De Fractionlous Continious a práci Johana Lamberta a Josepha Louise Lagrange. V následujících stoletích se o řetězové zlomky zajímali mnozí významní matematici, jako například Oskar Perron, Karl Friedrich Gauss či Augustin Cauchy.

Řetězové zlomky jsou i dnes předmětem zájmu matematiků, a to zejména pro jejich teoretické i praktické užití při přibližných výpočtech, avšak není jim věnováno tolik prostoru, kolik by si takovýto praktický a efektivní algoritmus zasloužil. Tyto nedostatky shledáváme především v oblasti vzdělávání. Proto si tato práce klade za cíl zpracovat souvislý text zabývající se řetězovými zlomky a na základě některých konkrétních aproximací pomocí řetězových zlomků poukázat na jejich aproximační vlastnosti.

(8)

2. Vlastnosti aparátu

2.1 Základní pojmy

Nechť jsou dány posloupnosti

{ }

ai ⁿi₌₁,

{ }

bi ⁿi₌₁. Řetězovým zlomkem (neboli řetězcem) nazýváme výraz ve tvaru

1 0

2 1

3 2

3

a b a b

a b a +

+

+ +

⋱ .

n n

b +a

Jelikož je však takovýto zápis dosti nepraktický, můžeme v literatuře (Danilov [2], Schwarz [6], Weisstein [8]) najít i jiné tvary vyjádření řetězců zavedené různými autory, například:

1 2

0

1 2

... ⁿ

n

b b b

a + a + a + + a (Pringsheim),

1 2

0

1 2

... ⁿ

n

b b b

a +a +ɺ a + +ɺ ɺ a (Muller),

a +0 ¹ 1

b a +

2 2 ...

b a +

n n

b

+a (Rogers).

Zlomek ⁿ

n

b

a nazýváme n-tým článkem řetězce, b an a prvky_n n-tého článku řetězce,

b ,1 b ,₂ b , ... jsou jeho dílčí čitatelé,₃ a ,1 a ,₂ a , ... dílčí jmenovatelé,₃

(9)

a se nazývá nulový prvek řetězce.0

Písmena a ,₀ a ,₁ a ,…,₂ a_n a b ,₀ b ,₁ b ,…,₂ b_n zde značí nezávisle proměnné. Předpokládáme, že a ,₀ a ,₁ a ,…,₂ a_n a b ,₀ b ,₁ b ,…,₂ b_n jsou komplexní čísla. Z tohoto důvodu je také nutno určit, za jakých podmínek má daný výraz smysl.

Jelikož v řetězovém zlomku dochází k dělení, bude mít daný výraz smysl pouze tehdy, nebudeme-li dělit nulou. To znamená, že musíme určit n podmínek:

n 0 a ≠ ,

1 ⁿ 0

n n

a b

− +a ≠ ,

1 2

1 n 0

n

n n

n

a b a b

a

− −

−

+ ≠

+

, atd.

Pro lepší názornost můžeme řetězový zlomek přepsat do jiné podoby:

1 0

2 1

3 2

3

a b a b

a b a +

+

+ +

⋱

=

n n

b +a

( ( )

¹

)

¹ ¹ ¹ ¹

0 1 1 2 2 3 ... _n 1 _n _n ...

a b a b a b a b a

− −

−

     

 

= +  +  +  +   

Na takto zapsaném řetězovém zlomku můžeme vidět, že žádný výraz v závorce se nesmí rovnat nule a těchto výrazů je právě n.

Definice 1.

Nechť jsou dány posloupnosti

{ }

ai iⁿ₌₁,

{ }

bi ⁿi₌₁. Řetězec zapsaný ve tvaru

(10)

1 0

2 1

3 2

3

a b a b

a b a +

+

+ +

⋱

n n

b +a

nazveme konečným řetězovým zlomkem, jinak také n-členným řetězcem, nebo řetězcem s n členy.

Definice 2.

Nechť jsou dány nekonečné posloupnosti

{ }

an n^+∞₌₀,

{ }

bn n^+∞₌₁. Existuje-li

1 0

2 1

3 2

3

lim

n

n n

a b a b

a b a

b a

→∞

 

 

 + 

 

 + 

 

 

⋱

,

zavádímenekonečný řetězový zlomek ve tvaru

1 0

2 1

3 2

3

a b a b

a b a +

+

+ +

⋱

,

n n

b +a

+

⋱ který nabývá hodnoty této limity.

(11)

Zatím jsme zde uvedli pouze takzvaný zobecněný (nebo také zevšeobecněný) řetězový zlomek. Ale v teorii čísel se obyčejně vyšetřují řetězce ve tvaru

0 1

2 3

1 1

1 a

a

a a

+ +

⋱

,

1 an

+

kde a₁, a₂, a₃, ..., a_n jsou přirozená čísla, a₀ je libovolné celé číslo a b =_i 1 pro všechna i=1, 2,…,n, které se nazývají pravidelné. Proto i my budeme, půjde-li o aplikace v teorii čísel, pracovat s řetězci pravidelnými.

Analogicky jako u řetězců zobecněných nazveme zlomek 1

an n-tým článkem řetězce, a ,0 a ,₁ a , …,₂ a_n prvky daného řetězce, an n-tým prvkem řetězce,

a nulovým prvkem řetězce.0

V další části diplomové práce budeme konečné pravidelné řetězce psát převážně ve tvaru

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

a nekonečné pravidelné řetězce ve tvaru

[

a a a0; ,1 2,...

]

. (1)

Řetězec

[

0; ,1 2,...,

]

k k

s = a a a a ,

(12)

kde 0≤ ≤ , nazveme úsekem řetězce. Analogicky pak při libovolnémk n k ≥0 nazveme s_k úsekem nekonečného řetězce. Libovolný úsek libovolného (konečného nebo nekonečného) řetězce je tedy konečný řetězec.

Řetězec

[

; 1, 2,...,

]

k k k k n

r = a a ₊ a ₊ a

nazvemezbytkem konečného řetězce. Podobně pak nazveme řetězec

[

; 1, 2,...

]

k k k k

r = a a ₊ a ₊

zbytkem nekonečného řetězce. Všechny zbytky konečného řetězce jsou tedy opět konečné řetězce, zatímco zbytky nekonečného řetězce jsou rovněž nekonečné řetězce.

Pro konečné řetězce platí vztah

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

] [

= a a a0; ,1 2,...,a_k₋1,r_k

] (

⁰^{≤ ≤}^k ⁿ

)

^, ⁽²⁾

jak plyne přímo z definice. Analogický vztah

[

a a a0; ,1 2,...

] [

= a a a0; ,1 2,...,a_k₋1,r_k

] (

^{k ≥}⁰

)

platí pro nekonečné řetězce.

2.2 Sblížené zlomky

Každý konečný řetězec

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

je vlastně výsledek konečného počtu racionálních úkonů nad jeho prvky, a je tedy racionální funkcí těchto prvků. Proto se dá vyjádřit jako podíl dvou mnohočlenů

( )

(

⁰0 ¹1 ²2

)

; , ,...,

n n

P a a a a

Q a a a a ,

kde a a a₀; ,₁ ₂,...,a_n jsou celé koeficienty. U tohoto vyjádření je ovšem potřeba poukázat na odlišné podmínky. Oproti původnímu tvaru

(13)

0 1

2 3

1 1

1 a

a

a a

+ +

⋱

,

1 an

+

kde máme n podmínek (nesmíme dělit nulou, tedy:

n 0 a ≠ ,

1

1 0

n n

a⁻ +a ≠ ,

2 1

1 0

n 1

n n

a

a a

−

+ ≠

+

, atd.),

vystačíme u vyjádření

( )

(

⁰0 ¹1 ²2

)

; , ,...,

n n

P a a a a

Q a a a a

pouze s podmínkou jednou, a to jmenovatel se nesmí rovnat nule.

Mají-li prvky číselné hodnoty, je řetězec vyjádřen ve tvaru obyčejného zlomku p

q, ale toto vyjádření samozřejmě není jediné. Pro další je důležité, abychom měli nějak definované vyjádření konečného řetězce ve tvaru obyčejného zlomku. Toto vyjádření nazvemekanonické a definujeme ho pomocí indukce.

Pro řetězec

[ ]

a0 =a0 s počtem členů 0 zvolíme jako kanonické vyjádření zlomek ⁰

1 a .

Nechť je nyní dáno kanonické vyjádření pro řetězec s počtem členů menším než n.

V n-členném řetězci

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

můžeme dle vzorce

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

] [

= a a a0; ,1 2,...,a_k₋1,r_k

] (

⁰^{≤ ≤}^k ⁿ

)

položit

(14)

[

0 1 2

] [

0 1

]

0 1

; , ,..., _n ; 1

a a a a a r a

= = + .r

Zde

[ ]

1 1; 2,..., _n r = a a a

je n − -členný řetězec, pro který je tedy kanonické vyjádření již určeno.1 Nechť má tvar

1

r p q

= ′

′ . Pak

[

0; ,1 2,..., _n

]

0 q a p⁰ q

a a a a a

p p

′ ′

′ +

= + =

′ ′ .

Tento zlomek zvolíme za kanonické vyjádření řetězce

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

. Položíme-li

[

0; ,1 2,..., _n

]

p

a a a a

= q ,

[ ]

1 1; 2,..., _n p

r a a a

q

= = ′

′,

dostaneme pro čitatele a jmenovatele kanonického vyjádření vztahy p=a p0 ′+ ,q′

q= p′. (3)

Zároveň vidíme, že byla takto jednoznačně určena kanonická vyjádření pro konečné řetězce s libovolným počtem členů.

Definice 3.

Kanonické vyjádření úseku

[

0; ,1 2,...,

]

k k

s = a a a a

řetězce

[

a a a0; ,1 2,...

]

označíme

k k

p q

(15)

a nazveme hosblíženým zlomkem řádu k daného řetězce.

[

0; ,1 2,...,

]

^k

k k

k

s a a a a p

= = q

Tento zlomek je zcela jednoznačně definován pro všechna k =0,1, 2,.... Konečné řetězce mají konečný počet sblížených zlomků, zatímco nekonečné jich mají nekonečně mnoho.

Pro n-členný řetězec je tedy

[

0; ,1 2,..., _n

]

ⁿ

n

a a a a p

= q .

Takový řetězec má tedy celkem n + sblížených zlomků, a to řádů 0, 1, 2, ...,1 n.

Vlastnosti sblížených zlomk ů

Uveďme si nyní několik vět, které popisují vlastnosti sblížených zlomků, zformulovaných podle Chinčina [3].

Věta 1. (Zákon znázornění sblížených zlomků.) Pro libovolné k ≥2

1 2

k k k k

p =a p ₋ + p ₋ ,

1 2

k k k k

q =a q ₋ +q ₋ . (4)

Důkaz.

V případě k =2 se tyto vzorce ověří bezprostředně. Předpokládejme jejich platnost pro všechna k <n; všimněme si řetězce

[

a a1; 2,...,a_n

]

(16)

a označme

' ' r r

p

q jeho sblížené zlomky řádu r . Podle vzorce (3) pro čitatele a jmenovatele kanonického vyjádření

0 1 1

n n n

p =a p′₋ +q′₋ ,

1

n n

q = p′₋ ,

a jelikož dle našeho předpokladu

1 2 3

n n n n

p′₋ =a p′₋ + p′₋ ,

1 2 3

n n n n

q′₋ =a q′₋ +q′₋

(zde je a_n a ne a_n₋₁, protože řetězec

[

a a1; 2,...,a_n

]

začíná a₁ a nikoliv a₀), je dle vzorce (3)

( ) ( )

0 2 3 2 3

n n n n n n n

p =a a p′₋ + p′₋ + a q′₋ +q′₋ =

(

0 2 2

) (

0 3 3

)

n n n n n

a a p′₋ +q′₋ + a p′₋ +q′₋ =

1 2

n n n

a p ₋ p₋

= + ,

2 3 1 2

n n n n n n n

q =a p′₋ +p′₋ =a q ₋ +q₋ , což jsme chtěli dokázat.

Tyto rekurentní vzorce (4), které nám vyjadřují čitatele a jmenovatele sblíženého zlomku řádu n pomocí prvku a_n a pomocí čitatelů a jmenovatelů dvou předcházejících sblížených zlomků, jsou základem celé teorie řetězců.

Pro zevšeobecněné řetězové zlomky mají vzorce (4) tvar

1 1 1 1

k k k k k

p ₊ =a ₊ p +b₊ p ₋ ,

1 1 1 1

k k k k k

q ₊ =a₊q +b q₊ ₋ . Přičemž

1 1

p₋ = , q₋₁= ,0

0 0

p =a , q =₀ 1.

(17)

Věta 2.

Pro všechna k ≥0

( )

1 1 1 ^k

k k k k

q p₋ −p q ₋ = − .

Důkaz.

Násobíme-li vzorce

1 2

k k k k

p =a p ₋ + p ₋ ,

1 2

k k k k

q =a q ₋ +q ₋ ,

resp. q_k₋₁ a p_k₋₁, a odečteme pak první od druhého, najdeme

( )

1 1 1 2 1 2

k k k k k k k k

q p₋ −p q ₋ = − q ₋ p ₋ −p ₋q ₋ , a jelikož

0 1 0 1 1

q p₋ −p q₋ = , je věta dokázána.

Důsledek.

Pro všechna k ≥1

1

( )

1 1

1 ^k

k k

k k k k

p p

q q q q

−

− −

− = − . (5)

Za předpokladu, že všechny prvky počínaje a₁ jsou kladné, lze z této rovnice vyčíst, že každý zlomek lichého řádu je větší než zlomek sudého řádu bezprostředně následující.

Věta 3.

( )

¹

2 2 1 ^k

k k k k k

q p₋ −p q ₋ = − ⁻ a .

Důkaz.

Násobíme-li vzorce

(18)

1 2

k k k k

p =a p ₋ + p ₋ ,

1 2

k k k k

q =a q ₋ +q ₋ ,

resp. q_k₋₂ a p_k₋₂, a odečteme pak první od druhého, dostaneme pomocí věty 2:

( ) ( )

¹

2 2 1 2 1 2 1 ^k

k k k k k k k k k k

q p₋ −p q ₋ =a q ₋ p ₋ − p ₋q ₋ = − ⁻ a , jak jsme chtěli dokázat.

Důsledek.

Pro všechna k ≥2

( )

¹

2

2 2

1 ^k _k

k k

k k k k

p p a

q q q q

−

− −

− = − .

Za předpokladu, že všechny prvky počínaje a₁ jsou kladné, nám tato rovnice ukazuje, že sblížené zlomky sudých řádů tvoří rostoucí posloupnost, zatímco sblížené zlomky lichých řádů tvoří posloupnost klesající.

Z těchto několika posledních výsledků můžeme odvodit další větu.

Věta 4.

Sblížené zlomky sudého řádu tvoří rostoucí posloupnost, kdežto sblížené zlomky lichého řádu tvoří posloupnost klesající. Přitom libovolný sblížený zlomek lichého řádu je větší než libovolný sblížený zlomek sudého řádu.

Konkrétně pro konečný řetězec α =

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

je tedy každý sblížený zlomek sudého řádu menší než α , zatímco každý sblížený zlomek lichého řádu je větší než α (s výjimkou posledního sblíženého zlomku rovného α ).

Věta 5.

Pro všechna ^k

(

¹^{≤ ≤}^k ⁿ

)

(19)

[

0 1 2

]

¹ ²

1 2

; , ,..., _n ^k ^k ^k

k k k

p r p

a a a a

q r q

− −

= +

+ ; (6)

(zde p q r_i, ,_i _i se vztahuje na řetězec na levé straně rovnice).

Důkaz.

Dle již zmíněného vzorce (2) pro konečné řetězce platí

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

] [

= a a a0; ,1 2,...,a_k₋1,r_k

]

.

Řetězec na pravé straně této rovnice má patrně jako sblížené zlomky řadu k −2 a k −1 resp. zlomek ²

2 k k

p q

−

a ¹

1 k k

p q

−

. Pro jeho sblížený zlomek ^k

k

p q

′

′ řádu k , je dle vzorce (4) z věty 1

1 2

k k k k

p′ = p ₋r +p ₋ , q_k′ =q_k₋₁r_k +q_k₋₂. Jelikož

[

0, 1,..., 1,

] [

0, 1,...,

]

k

k k n

k

p a a a r a a a

q ⁻

′ = =

′ ,

je věta dokázána.

Věta 6.

Pro každé k ≥1

[

1 1

]

1

; ,...,

k

k k

k

q a a a

q ₋ = ⁻ .

Důkaz.

Pro k =1 je tento vztah patrný, protože nabývá tvaru

1 1 0

q a

q = .

Nechť k >1 a nechť je již dokázáno, že

[ ]

1

1 2 1

2

; ,...,

k

k k

k

q a a a

q

−

− −

−

= . (7)

Na základě vztahu (4) z věty 1 máme

(20)

2 1

1 1 2

k k ; k

k k

k k k

q q q

a a

q q q

− −

− − −

 

= + =  

 

a odtud na základě vzorců (2) a (7) dostaneme

[

1 1

]

1

; ,...,

k

k k

k

q a a a

q ₋ = ⁻ ,

jak jsme chtěli dokázat.

2.3 Nekone č né ř et ě zce

Ve spojení s nekonečnými řetězci je nutno zmínit několik vět týkajících se jejich konvergence (Chinčin [3]). Každému nekonečnému řetězci (1) totiž odpovídá nekonečná posloupnost sblížených zlomků

0 0

p q , ¹

1

p

q , … , ^k

k

p q , … ,

kde každý sblížený zlomek je reálné číslo. Má-li tato posloupnost limitu α , označíme toto číslo stejným znakem α jako řetězec a budeme psát

[

a a a0; ,1 2,

]

α = … _.

Řetězec (1) v tomto případě nazveme konvergentní. Pokud zmíněná posloupnost limitu nemá, řekneme, že řetězec (1)diverguje.

Věta 7.

Konverguje-li nekonečný řetězec (1), konverguje i každý jeho zbytek; naopak, konverguje-li jeden ze zbytků řetězce(1), konverguje také řetězec (1).

Důkaz.

Označme ^k

k

p

q sblížené zlomky daného řetězce a ^k

k

p q

′

′ sblížené zlomky libovolného jeho zbytku, například r_n.

Na základě vzorce (6) dostaneme

(21)

[

0 1 2

]

¹ ²

( )

1 2

; , ,..., 0,1,...

k

n n

n k k

n k n k k

n n

k

p p p

p q

a a a a k

q p

q q

q

− −

+ +

+ − −

′ +

= = ′′ =

′ +

. (8)

Odtud bezprostředně plyne, že pokud konverguje zbytek r_n, má při tom zlomek

n k n k

p q

+ +

limitu, a to α, která je rovna

1 2

n n n

p r p

q r q

α ⁻ ⁻

− −

= +

+ .

Jestliže ale řešíme vztah (8) vzhledem k ^k

k

p q

′

′ , přesvědčíme se stejným postupem o správnosti opačného závěru, čímž dokončíme důkaz věty 7.

Věta 8.

Hodnota konvergentního nekonečného řetězce je větší než libovolný sblížený zlomek sudého řádu a menší než libovolný sblížený zlomek lichého řádu.

Věta 9.

Hodnota α konvergentního nekonečného řetězce (1) vyhovuje při libovolném 0

k ≥ nerovnosti:

k k

p

α −q < 1

k k 1 q q + .

Věta 9 platí i pro konečný řetězec

[

a a a0; ,1 2,...,a_n

]

α =

pro všechna k <n, přičemž v případě k = −n 1 se nerovnost změní v rovnost, jelikož ⁿ

n

p α = q .

(22)

Věta 10.

Ke konvergenci řetězce(1) je nutné a stačí, aby řada

1 n n

a

∞

∑

= ⁽⁹⁾

byla divergentní.

Důkaz.

Podle věty 4 je patrné, že ke konvergenci řetězce je nutné a postačí, aby ty dvě posloupnosti, o nichž se mluví v oné větě, měly tutéž limitu (existence limity pro každou posloupnost zvláště plyne z věty 4 ve všech případech). A to, jak můžeme zjistit podle vzorce (5), platí právě tehdy, když

k k 1

q q + → ∞

(

^{k → ∞}

)

^. ⁽¹⁰⁾

Tato podmínka je tudíž nutná a postačující ke konvergenci daného řetězce.

Nechť řada (9) konverguje. Podle druhého vzorce (4) qk>q_k₋₂

(

^{k ≥}¹

)

^.

Pro libovolné k máme tudíž buď q_k>q_k₋₁, nebo q_k₋₁>q_k₋₂. V prvním případě nám druhý ze vzorců (4) dává

qk<a q_k _k+q_k₋₂,

a odtud při dostatečně velkých k (když a_k<1, což na základě konvergence řady (9) nutně platí pro k≥k₀),

qk< ² 1

k k

q a

−

− ;

v druhém případě nám stejný vzorec dává pro a_k<1

qk<

(

1+a_k

)

q_k₋1< ¹ 1

k k

q a

−

− ; pro všechna k≥k₀ tudíž platí

qk< 1 1 _k q^l

−a ,

(23)

kde l < k . Je-li l≥ , lze nak₀ q_l užít téže nerovnosti. Pokračujeme-li v těchto úvahách, dojdeme k nerovnosti

qk<

(

¹ k

)(

¹ ^sl

) (

^{... 1} r

)

q

a a a

− − − ^, ⁽¹¹⁾

kde k > l >...>r≥k₀ a s<k₀. Avšak na základě předpokládané konvergence řady (9) nekonečný součin

( )

0

1 _n

n k

a

∞

=

∏

−

je patrně konvergentní, tzn. má kladnou hodnotu, kterou označíme λ. Patrně

( )( ) ( ) ( )

0

1 _k 1 _l ... 1 _r 1 _n

n k

a a a ^∞ a λ

=

− − − ≥

∏

− = ^;

označíme-li tedy Q největší z čísel

0, 1,..., _k0 1

q q q ₋ , můžeme na základě nerovnosti (11) soudit, že

q <k Q

λ

(

k≥k0

)

, tudíž

1

k k

q ₊q <

2 2

Q

λ

(

k≥k0

)

.

Vztah (10) tedy neplatí, takže je daný řetězec divergentní.

Nechť nyní řada (9) diverguje. Jelikož q >_k q_k₋₂ pro všechna k ≥2, tak, označíme-li c menší z čísel q ,₀ q , budeme mít₁ q_k ≥c pro libovolné k ≥0. Druhý ze vzorců (4) nám tedy dává

2

k k k

q ≥q ₋ +ca (k ≥2).

Postupné užití této nerovnosti nám dává

2 0 2

1 k

k n

n

q q c a

=

≥ +

∑

a

2 1 1 2 1

1 k

k n

n

q ₊ q c a ₊

=

≥ +

∑

^,

(24)

odkud

2k 2k 1

q +q ₊ >

2 1

0 1

1 k

n n

q q c a

+

=

+ +

∑

^.

Jinak řečeno, pro všechna k

1

k k

q +q ₋ >

1 k

n n

c a

∑

= ^.

Výše jsme dokázali tuto nerovnost pro lichá k , je ale patrné, že stejným způsobem ji lze dokázat i pro k sudá.

Odtud však plyne, že v součinu q q_k _k₋₁ alespoň jeden z činitelů převyšuje

1

1 2

k n n

c a

∑

= . Protože druhý činitel v žádném případě není menší než c, dostaneme

1 k k

q q ₋ > ²

1

1 2

k n n

c a

∑

= ^.

Na základě předpokládané divergence řady (9) plyne odtud vztah (10), a tudíž konvergence daného řetězce. Tím je věta 10 dokázána úplně.

2.4 Ř et ě zce s p ř irozenými prvky

Mluvíme-li o řetězcích s přirozenými prvky, máme na mysli řetězce pravidelné. Za našich předpokladů o těchto řetězcích a na základě věty 10 můžeme prohlásit, že pokud je takovýto řetězec nekonečný, je vždy konvergentní, a můžeme tedy mluvit o jeho hodnotě. Pokud je konečný a jeho poslední prvek je

n 1

a = , je r_n₋₁ =a_n₋₁+1 celé číslo a my můžeme daný n-členný řetězec

[

a a a0; ,1 2,…,a_n₋1,1

]

napsat ve tvaru n − -členného řetězce1

[

a a a0; ,1 2,…,a_n₋1+1

]

_,

kde je poslední prvek očividně větší než jedna. Čitatelé a jmenovatelé sblížených zlomků jsou u pravidelných řetězců celá čísla.

Věta 11.

Sblížené zlomky jsou ireducibilní.

(25)

Jinými slovy čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla.

Důkaz.

Důkaz nám vyplývá ze vzorce

( )

1 1 1 ^k

k k k k

q p₋ −p q ₋ = − ,

protože každý společný dělitel čísel p_k a q_k je současně dělitelem výrazu

1 1

k k k k

q p₋ −p q ₋ .

Vzorec

1 2

k k k k

q =a q ₋ +q ₋

nám pak ukazuje, že pro každé k ≥2 platí q_k >q_k₋₁. Posloupnost q q₁, ₂,…,q_k,… je tedy stále rostoucí. O řádu růstu těchto čísel nás informuje následující věta.

Věta 12.

Pro každé k ≥2 platí

( )

1 1

22 ^k

qk ≥ ⁻ .

Důkaz.

Pro k ≥2 platí

1 2 1 2 2 2

k k k k k k k

q =a q ₋ +q ₋ ≥q ₋ +q ₋ ≥ q ₋ . Při postupném užití této nerovnosti dostaneme

2_k 2^k 0 2^k

q ≥ q = , q₂_k₊₁ ≥2^kq₁≥2^k, což nám dokazuje větu 12.

Vsunuté zlomky

Nechť je k ≥2 a i libovolné celé kladné číslo. Potom má rozdíl

(26)

1 2 1 2

( 1) ( 1)

k k k k

p i p p i p

q i q q i q

− − − −

+ + +

+ + − + ,

jenž je roven výrazu

[

1 2

][

1 2

]

( 1) ( 1)

k

k k k k

q ₋ i q ₋ q i₋ q ₋

−

+ + + ,

pro všechna i ≥0 stejné znaménko, které je závislé pouze na paritě čísla k . Z toho vyplývá, že zlomky

2 2 k k

p q

−

, ² ¹

2 1

k k

p p

q q

− −

+

+ , ² ¹

2 1

2 2

k k

p p

q q

− −

+

+ , ..., ² ¹

2 1

k k k k

p a p p

q a q q

− −

+ =

+ (12)

vzrůstají, je-li k sudé, a klesají, je-li k liché. Krajní z těchto zlomků jsou sblížené zlomky stejné parity a členy ležící mezi nimi, pokud existují, nazveme zlomky vsunuté.

Medianta zlomk ů

Definice 4.

Nechť jsou dány dva různé zlomky a c

b ≠ d s kladnými jmenovateli. Mediantou dvou zlomků a

b a c

d se nazývá zlomek a c

b d + + .

Medianta dvou zlomků leží velikostí vždy mezi nimi.

Toto poslední tvrzení si můžeme dokázat následovně.

Nechť je a c

b≤ d . Potom je také bc−ad ≥ , a tedy0 ( ) 0

a c a bc ad

b d b b b d

+ − = − ≥

+ + , 0

( )

a c c ad bc

b d d d b d

+ − = − ≤

+ + .

(27)

Mediantu dvou zlomků potřebujeme především kvůli rozložení sblížených a vsunutých zlomků a jejich tvorbě. Tvoříme-li medianty postupně od sblíženého zlomku ²

2 k k

p q

−

k sblíženému zlomku ¹

1 k k

p q

−

, můžeme vidět, že každý ze vsunutých

zlomků z posloupnosti (12) je mediantou zlomku předcházejícího a zlomku ¹

1 k k

p q

−

.

Takto můžeme postupovat až do té doby, kdy nově utvořená medianta splyne se sblíženým zlomkem ^k

k

p

q . O této mediantě víme, že leží mezi zlomky ¹

1 k k

p q

−

a ²

2 k k

p q

−

. Dále víme, že hodnota α daného řetězce leží mezi zlomky ¹

1 k k

p q

−

a ^k

k

p q , a o zlomcích ²

2 k k

p q

−

a ^k

k

p

q můžeme na základě jejich parity prohlásit, že leží na téže straně čísla α . Z těchto úvah vyplývá, že celá posloupnost (12) leží na jedné straně čísla α , zatímco zlomek ¹

1 k k

p q

−

na straně druhé. Vezmeme-li tedy v úvahu,

že zejména zlomky ² ¹

2 1

k k

p p

q q

− −

+

+ a ¹

1 k k

p q

−

leží vždy na opačných stranách čísla α , můžeme prohlásit, že hodnota řetězce leží vždy mezi libovolným sblíženým zlomkem a mediantou utvořenou z něj a zlomku předcházejícího.

Díky těmto zákonitostem můžeme tvořit další sblížené zlomky, pokud známe dva předcházející. Jestliže neznáme prvek a_k, využijeme znalosti velikosti řetězce α a pomocí sblížených zlomků ²

2 k k

p q

−

, ¹

1 k k

p q

−

vytvoříme další sblížený

zlomek ^k

k

p

q . Nejdříve vytvoříme mediantu těchto daných zlomků, poté sestrojíme mediantu právě vzniklé medianty s ¹

1 k k

p q

−

, dále najdeme mediantu nově vzniklé

medianty se zlomkem ¹

1 k k

p q

−

a takto budeme pokračovat do té doby, než utvoříme

poslední mediantu na stejné straně α jako výchozí zlomek ²

2 k k

p q

−

, která bude ležet

(28)

mezi všemi těmito mediantami a bude rovna ^k

k

p

q . Následující medianta pak bude

1 1

k k

p p

q q

−

+

+ a bude ležet na druhé straně čísla α . Na tyto úvahy navazuje následující věta.

Věta 13.

(

1

)

k 1

k k k k

p

q q q q

α

+

− >

+ ^.

Důkaz.

Na základě vzájemného rozložení čísla α a jeho sblížených a vsunutých zlomků víme, že vsunutý zlomek

1 1

k k

p p

q q

+ +

+

+ ,

který leží mezi ^k

k

p

q a α, leží blíže ke zlomku ^k

k

p

q než k číslu α. Tudíž

( )

1

1 1

k k k k 1

k k k k k k k

p p p p

q q q q q q q

α ⁺

+ +

− > + − =

+ + ^.

To nám dokazuje větu 13.

Tato věta nám doplňuje větu 9, a tak dostáváme vedle horní meze pro rozdíl ^k

k

p

α− q také mez dolní.

(29)

3. Zobrazení č ísel ř et ě zci

3.1 Vyjád ř ení reálných č ísel ř et ě zci

Řetězové zlomky můžeme použít k vyjádření jakéhokoliv reálného čísla, což si nyní dokážeme. Předpokládejme, že se opět jedná o řetězce pravidelné, kde je poslední prvek každého konečného řetězce různý od jedné (jak jsme si již ukázali v kapitole 1.4).

Věta 14.

Každému reálnému číslu α odpovídá jediný řetězec, který má za hodnotu toto číslo. Tento řetězec je konečný, je-li α číslo racionální, a nekonečný, je-li α číslo iracionální.

Důkaz.

Nejdříve dokážeme, že každé reálné číslo může být vyjádřeno řetězcem, potom ukážeme rozdílné vyjádření u racionálních a iracionálních čísel a nakonec dokážeme jednoznačnost tohoto vyjádření řetězcem.

Označme a₀ největší celé číslo, které nepřevyšuje α. Není-li α celé číslo, pak vztah

0 1

a 1 α = +r

dovoluje určit číslo r₁. Přitom platí r₁>1, jelikož

0 1

1 a

r = −α <1.

Obecně, není-li r_n celé číslo, označíme a_n největší celé číslo nepřevyšující r_n a určíme číslo r_n₊₁ vztahem: