Avd. Matematisk statistik
KONTROLLSKRIVNING I SF1901 SANNOLIKHETSL ¨ARA OCH STATISTIK OCH SF1910 TILL ¨AMPAD STATISTIK,
ONSDAGEN DEN 22:e NOVEMBER 2017 KL 08.00–10.00.
Till˚atna hj¨alpmedel : minir¨aknare
Svara med minst tre v¨ardesiffrors noggrannhet!
F¨or godk¨ant kr¨avs att minst 3 av 5 uppgifter ¨ar korrekt besvarade.
Efternamn:
F¨ornamn:
Personnummer :
Uppgift 1
F¨or de oberoende h¨andelserna A och B s˚a g¨aller det att P (A) = 0.1 och att P (B) = 0.3.
Best¨am P (A|A ∪ B).
...
Uppgift 2
I ett system skickas signaler i form av nollor och ettor fr˚an en s¨andare till en mottagare. Vid
¨overf¨oringen kan dock fel intr¨affa och en nolla kan bli en etta och tv¨artom. En skickad nolla kommer att mottas felaktigt som en etta med sannolikhet 0.05 och en skickad etta kommer att mottas felaktigt som en nolla med sannolikhet 0.01. F¨arre ettor ¨an nollor skickas varf¨or sannolikheten ¨ar 0.4 att en signal som skickas ¨ar en etta och sannolikheten ¨ar 0.6 att den ¨ar en nolla. Antag att mottagaren har tagit emot en etta. Vad ¨ar sannolikheten att det var en etta som skickades?
...
Uppgift 3 Den stokastiska variabeln X har t¨athetsfunktionen
fX(x) =
3
2
√x, f¨or 0 ≤ x ≤ 1 0, f¨or ¨ovrigt Ber¨akna v¨ardet p˚a f¨ordelningsfunktionen f¨or Y =√
X i punkten x = 1/2, dvs F√X(1/2).
...
Var god v¨and!
2
Uppgift 4
De oberoende stokastiska variablerna X och Y har b˚ada sannolikhetsfunktionen p(k), d¨ar p(1) = 0.5, p(2) = 0.2, p(3) = 0.3 och p(k) = 0 f¨or ¨ovriga v¨arden p˚a k. Ber¨akna P (X + Y = 4).
...
Uppgift 5
De stokastiska variablerna X och Y har standardavvikelserna D(X) = 2 och D(Y ) = 6. De
¨ar beroende med kovariansen C(X, Y ) = 3. Ber¨akna standardavvikelsen f¨or 2X + Y + 27.
...
Lycka till!
L¨osningsf¨orslag
Uppgift 1 Eftersom h¨andelserna A och B ¨ar oberoende, s˚a g¨aller
P (A ∩ B) = P (A) P (B) = 1 10· 3
10 = 3 100. Fr˚an additionssatsen f¨oljer vidare
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 1 10+ 3
10 − 3
100 = 37 100. Enligt definitionen av betingad sannolikhet, s˚a g¨aller slutligen
P (A|A ∪ B) = P (A ∩ (A ∪ B))
P (A ∪ B) = P (A)
P (A ∪ B) = 1/10
37/100 = 10
37 = 0.270, d¨ar P (A ∩ (A ∪ B)) = P (A) f¨oljer eftersom A ⊂ A ∪ B.
Uppgift 2
L˚at S0och S1beteckna h¨andelserna att en nolla respektive en etta skickas och l˚at M0respektive M1 beteckna h¨andelserna att en nolla respektive en etta mottas. Vi vet att P (M1|S0) = 0.05 och att P (M0|S1) = 0.01, vilket implicerar att P (M0|S0) = 0.95 respektive P (M1|S1) = 0.99.
Vidare vet vi att P (S0) = 0.6 och att P (S1) = 0.4. Vi vill best¨amma P (S1|M1) och f˚ar med Bayes sats
P (S1|M1) = P (M1|S1)P (S1)
P (M1|S0)P (S0) + P (M1|S1)P (S1) = 0.99 · 0.4
0.05 · 0.6 + 0.99 · 0.4 = 0.930.
Uppgift 3
Fr˚an definitionen av f¨ordelningsfunktionen och sambandet mellan f¨ordelnings- och t¨athets- funktionerna, s˚a f¨oljer
F√X1 2
= P√
X ≤ 1 2
= P
0 ≤ X ≤ 1 4
=
1/4
Z
0
fX(x) dx =
1/4
Z
0
3 2
√x dx = [x3/2]1/40 =1 4
3/2
= 1
8 = 0.125.
Uppgift 4
De stokastiska variablerna X och Y uppfyller X + Y = 4 om n˚agon av f¨oljande tre disjunkta h¨andelser intr¨affar: X = 1 och Y = 3, X = 3 och Y = 1 eller X = Y = 2. Eftersom X och Y
¨ar oberoende, s˚a ¨ar
P ((X = 1) ∩ (Y = 3)) = P (X = 1) P (Y = 3) = p(1)p(3) = 0.5 · 0.3 = 0.15.
4
P˚a samma s¨att g¨aller
P ((X = 3) ∩ (Y = 1)) = P (X = 3) P (Y = 1) = p(3)p(1) = 0.15, samt
P ((X = 2) ∩ (Y = 2)) = P (X = 2) P (Y = 2) = (p(2))2 = 0.04, s˚a sammanfattningsvis f˚ar vi
P (X + Y = 4) = P ((X = 1) ∩ (Y = 3)) + P ((X = 3) ∩ (Y = 1)) + P ((X = 2) ∩ (Y = 2))
= 0.15 + 0.15 + 0.04 = 0.340.
Uppgift 5
Fr˚an r¨aknereglerna f¨or variansen av en linj¨arkombination av stokastiska variabler och de givna v¨ardena p˚a D(X), D(Y ) och C(X, Y ) f˚ar vi
V (2X + Y + 27) = 22· V (X) + 12· V (Y ) + 2 · 2 · 1 · C(X, Y )
= 4V (X) + V (Y ) + 4C(X, Y ) = 4(D(X))2 + (D(Y ))2+ 4C(X, Y )
= 4 · 22+ 62+ 4 · 3 = 16 + 36 + 12 = 64.
F¨oljaktligen g¨aller
D(2X + Y + 27) =p
V (2X + Y + 27) = 8.
