Tillämpad Matematik I Övning 3

Tillämpad Matematik I Övning 3

Allmänt

Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.

Uppgifter

Typuppgifter i första hand

1. Bestäm f ' x då f x är x², x³ x, x^{5 3}, sin x 2Π, ⁹

x³, ^x2

x x , ln x , ^x, cos x , x 8⁴ respektive sin x Π. 2. Bestäm f ' x då f x är 4 x², sin 5x , ¹

4 2x³, ln 3x , ^7x, cos 6x respektive 2x 8⁴. 3. Bestäm f ' x då f x är x sin x , _{x 1}^x , _{cos x}^x , ^2x

4 2x³, ln4x² x, ^7xln 2x , cos²6x , ^2xsin 4x , sin x respektive x²2x 8⁴. 4. Bestäm största och minsta värde till f x x² 2x i intervallet 2, 1 .

5.Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y x i den punkt på kurvan som har x–koordinaten lika med¹₄.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 y,y_T,y_N

6. Vilket värde har ^y_x då x _{tan t}¹ , y sin 4t och t ^Π₃? Ledning: Kedjeregeln!

7. Bestäm f_x, f_y, f_xx^'', f_xy^'', f_yx^'' och f_yy^'' i punkten 3, 1 då f x, y 3x³y² x ^{x y} och i 2,Π då f x, y xsin x y²cos 2x y . 8. Bestäm y ' i punkten 1, 2 då 4x y² 12x y 13 5x.

9. Sök ^y_x i punkten x 2, y 1 på kurvan x²y 2sinΠy² 2x.

10.En räv promenerar längs stigen x y³ 1. Sök y då x 0, y 1 och x 4.

1.0 0.5 0.5 1.0 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 y

11.Låt V och A vara volymen respektive arean för ett klot. Sök ^V_A som funktion av A.Ledning :V_klot ^4Π₃^r3, A_klot 4Πr².

12.En vattentank läcker så att volymen i m³är V t 250 4t², där tiden t mäts i sekunder. Sök volymflödet ur tanken då t 2 s samt precis då den blir tom.

13.Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av uttrycket s t ¹₄tt² 2tm. Sök läge, hastighet och acceleration då t 4 s.

14.Enligt Newton är kraften F mx. Bestäm erforderlig kraft då massan 5 kg svänger enligt x t ₁₀₀¹ sin4t ^Π₄m.

15.Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S c mh , där S är hudarean i m², c ¹₆, m patientens vikt i kg och h längden i m.

a Ange enheten på konstanten c.

b En patient med längden 180 cm håller diet. Vikten rasar med 1 kg vecka.

Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 110 kg ?

16.En investering I0i $ tillväxer med räntan r enligt I t I0

rt 100. Bland finansfolk brukar man höra ''69 regeln '' som innebär att tiden T till dess att en investering fördubblat sitt värde är ungefär T ⁶⁹_r. Ge ett stöd för detta

17.För en viss typ av gas gäller sambandet pV² 18 mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 3 och V 6.

18.Under en arbetsdag med grävskopan ökar volymen av en konformad grushög med ^V_t 9Π. Vid en tidpunkt var radien r 2, höjden h 2 och ^r_t 3. Sök ^h_t vid denna tidpunkt.Ledning :V_kon ¹₃Πr²h.

19.Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant flöde 300 cm³min. Med vilken hastighet minskar radien då den är 5 cm ?Ledning :Vsfär 4

3Πr³.

20.I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med flödet 5 cm³min ut genom en öppning i spetsen. Sök ^r_t och ^y_t då djupet y 9 cm .Ledning :Vkon 1

3Πr²h.

21.En rektangel med basen x är inskriven i en cirkel med radien 2. Sök x då rektangelns area är maximal.

x

22.En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m². Sök sidan x på den kvadratiska bottnen så att lådans volym blir maximal.

23.Av ett snöre med längden L formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Hur stor volym kan en sådan cylinder ha ?

24.I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets inskriven enligt figur. SökΘså att parallelltrapetsens area blir så stor som möjligt

25.En cirkelsektor med medelpunktsvinkelnΘ, radien r och båglängden b har omkretsen 1. SökΘså att arean blir maximal.

q r

b

26.I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D och E är alltid konstant L. Hur stor kan en sådan triangel bli ?

A

B

D C E L

27.I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant L. Hur stor kan en sådan

rektangel bli ? ^L

28.Sök minsta avståndet L från punkten 0, 1 till kurvan y x², x 0.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 y

L

29.I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maximal.

8 6

30.En stege med längden L lutas mot en vägg. Hur långt ut från väggen ska dess kontaktpunkt med marken vara för att en så lång person som möjligt ska kunna gå under stegen på avståndet ^L₄från väggen ?

h_max? L

L 4 x

y

31.Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V . Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area.

32.Bestäm maximala volymen för en cylindrisk konservburk om totala arean är konstant A.

33.Bestäm maximala volymen för en öppen cirkulär kon med given mantelyta A.Ledning :V_kon ¹₃Πr²h.

34.En leverantör av nypon behöver hyra in arbetare för att plocka rent sina 900 buskar.Varje arbetare kan plocka rent 5 buskar h och avlönas med 50 kr h. Leverantören måste även betala en förman med 75 kr h samt en fast kostnad på 80 kr arbetare. Hur många arbetare ska leverantören hyra in för att minimera sin kostnad ?

35.En raket skjuts iväg rakt upp. På avståndet 3 mil från uppskjutningsplatsen noterar en radarstation att vid en viss tidpunkt är avståndet 5 mil till raketen samt att detta avstånd ökar med 40 mil h. Sök raketens hastighet v vid denna tidpunkt.

36.En person iaktar ett flygplan som flyger på konstant höjd 4000 m. Vid detta tillfälle var elevationsvinkelnΘ 30 och dess ändringshastighet Θ 0.01 rad s. Sök plantets hastighet.

Extrauppgifter i andra hand i mån av tid

37. Bestäm f ' x då f x är x² x , cos x³ x , x ^{5 3}, sin ^2x, ⁸

x³, ^{x2 2}

x x , ln x x², ^4x, tan x , 3x 8⁴ respektive tanΠx . 38. Bestäm f ' x då f x är 4 cos x ², tan²5x , ¹

1 x , ln 3x ², ^{ln x}_{7 x}, cos³3x respektive 7 ^x 8⁴.

39. Bestäm f ' x då f x är xsin x², _{x 1}^x2 , _{cos 3x}¹ , ^x

1 x , ln ln x , ^7xln 2x , cos^{2 1}_x , ^2xtan 4x , sin x³ respektive x²2x 8x^{2 4}. 40. Bestäm f '' x då f x x³cos 2x .

41. Bestäm y ' x i punkten Π, 2 om x sinΠy³ y sin x 0.

42. Bestäm f ' x då f x 2^x.

43.Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y x⁴ 2 i den punkt på kurvan som har x ¹₂.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x

2.05 2.10 2.15 2.20 2.25

y,yT,yN

44. En partikel rör sig längs kurvan cos x y y 1. Sök x då x ^Π₂, y 1 och y 4.

45.Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan x från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök x som gör lådans volym så stor som möjligt

46.I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt

figur. Sök x så att arean av detta blir så stor som möjligt. x

47.I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna enligt figur. SökΑ, 0 Α ^Π₂, så att arean av den färglagda triangeln blir så stor som möjligt.

Α

48.Bestäm maximala volymen för en öppen cirkulär kon med generatrisens längd lika med S.Ledning :Vkon 1

3Πr²h.

49.Bestäm minimala begränsningsytan för en sluten cirkulär kon med given volym V .Ledning :Vkon 1

3Πr²h.

Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 50.I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maximal.

8 6

51.Två cirklar med radierna r och R r är placerade på centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Sök lampans positionen x i förhållande till cirkeln med radien r så att den sammanlagda längden av de två bågarna som är belysta blir så lång som möjligt.

52.I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. SökΑså att arean av denna blir så stor som möjligt.

2Α

53. Visa att om f x, y g x h y , så är f f_xy^'' f_xf_y.