Analys av rationella funktioner
Webbaserad Analyskurs (Grundkurs) Blandade uppgifter
När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort.
Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet.
Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen!
Lösningar till dessa uppgifter ska inte produceras. De förstör inläran- det! Däremot innehåller svaren ibland lite kommentarer som är an- vändbara för att öka förståelsen.
Övning 1 Skissera i stora drag grafen till följande funktioner
a) x−x2
x2+1 b) x
3−4x2+3x
x2−1 c) x
3
(x+1)2
d) x
2+1
x2−1 e) x
2
(x+1)2 f) x
3
x2+1
g) 2x
x2+1 h) x
x2−1 i) x
3
x2−4
Övning 2 Man vill tillverka en cylindrisk plåtburk utan lock med gi- ven volym V och ge den en sådan form att materialåtgången blir den minsta möjliga. Bestäm burkens radie och höjd.
Övning 3 Vid en kemisk reaktion visade man att koncentrationen av reaktanten C(t)(det ämne som förbrukas i reaktionen) uppfyllde sam- bandet
C(t) = 1
10+0.1t M.
a) Bestäm reaktionshastigheten (den hastighet med vilken reak- tanten förbrukas) som funktion av tiden.
b) Visa att reaktionen är av andra ordningen, d.v.s. att reaktions- hastigheten vid tiden t är proportionell mot C(t)2.
Övning 4 En cylindrisk burk ska konstrueras som ska innehålla en viss given volym. Materialkostnaden är för topp- och bottenplatta 4 öre/cm2och för mantelytan 3 öre/cm2. Vilket ska förhållandet vara mellan topp-/bottenplattornas radie och burkens höjd, för att kostna- den för burken ska vara så liten som möjligt?
Övning 5 Betrakta funktionen
f(x) = x
1+x2, x≥0.
a) Bestäm skärningen mellan x-axeln och tangenten till f :s graf i punkten(2, 2/5).
b) Finns det någon annan tangent till grafen som skär x-axeln i samma punkt som tangenten i a)? Ange x-värdena för den eller de punkter på grafen som ger sådana tangenter.
Övning 6 Låt P= (x, y)vara en punkt på kurvan y=x/(1+x), x≥ 0, och låt kurvnormalen genom P skära x-axeln i Q. Bestäm P så att triangeln med hörnen P, Q och R= (x, 0)får så stor area som möjligt.
Övning 7 Antag att
f(x) = 6 x2+3,
och låt l ange tangenten till dess graf i den punkt som har x-koordinat a. Hur ska a väljas så att l:s lutning får så stort respektive så litet värde som möjligt? Ange även en ekvation för l för vart och ett av dessa värden på a.
Övning 8 En triangel är begränsad av x-axeln och de två linjerna y= kx och y= 1kx+k, där k>1. Bestäm den minsta möjliga arean av en sådan triangel.
Övning 9 Om en viss jordbrukare använder x kg gödsel per 100 m2 får han en avkastning på
128x 1+x
kg per 100 m2. Antag att gödslet kostar 5 kr/kg och att grödan han odlar säljs för ett kilopris på 10 kr. Hur mycket ska han då gödsla per 100 m2för att få så stor ekonomisk vinst som möjligt?
Svar
Övning 1 Figurer nedan
a) b)
−4 −2 2
−2
−1 1
x y
−4 −2 2 4
−15
−10
−5 5 10
x y
c) d)
−4 −2 2 4
−15
−10
−5 5
x y
−4 −2 2 4
−15
−10
−5 5 10
x y
e) f)
−4 −2 2 4
−2 2 4
x y
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2
x y
g) h)
−4 −2 2 4
−2
−1 1 2
x y
−4 −2 2 4
−15
−10
−5 5 10
x y
i)
−6 −4 −2 2 4 6
−15
−10
−5 5 10
x y
Anmärkning b-uppgiften är lite lurig: när du undersöker vad som händer kring x=1 ska du observera att täljaren är noll och alltså kan divideras med x−1. Grafen har ett hål i x =1 eftersom funktionen inte är definierad där (eftersom den är 0/0 där).
Övning 2 r=h=√3 V/π Övning 3 a) 0.1/(10+0.1t)2 Övning 4 3/8
Övning 5 a) x=16/3.
b) Det finns en sådan tangent, nämligen den som är tangent i punkten x= 13(1+√
13) ≈1.54.
Övning 6 P= (1, 1/2).
Övning 7 Maximal lutning då a= −1 med ekvationen y= 34x+94 och minimal lutning då a=1 med ekvationen y= −34x+94.
Övning 8 2512 q5
3som antas för k=q53. Övning 9 15 kg gödsel
