Om komplexa tal och funktioner
Analys360 (Grundkurs) Blandade uppgifter
När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort.
Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet.
Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen!
Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet!
Övning 1 Beräkna absolutbeloppet av(1+2i)(7+i√ 3)2 (5+i)2 Övning 2 Lös ekvationerna
a) 3z−i¯z=7−5i, b) z·2 ¯z=1+i.
Övning 3 Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller
a) 1≤ |z+1| ≤2, b) |z−1| = |z+1|, c) |z−1| =2|z+1|
Övning 4 Bestäm alla komplexa tal som uppfyller de två likheterna
|z−3i| =2, z+¯z=2.
Övning 5 Argumentet av z är π/3. Ange ett argument som ligger mellan 0 och 2π till z2000.
Övning 6 Beräkna argumentet av 1+i√ 3 (2−2i)3.
Övning 7 Bestäm arg(2+2i)(1+i√ 3) 3i(√
12−2i)
Övning 8 Bestäm alla komplexa tal för vilka 1 z−1
4
= 1 4
Övning 9 Bestäm det polynom p(x) som är sådant att sin 5θ = p(sin θ).
Övning 10 Vektorerna i det komplexa talplanet vrids vinkeln 5π/6 i positiv led, varefter de förstoras med skalan 3. I vilket tal övergår a) 1, b) −1+i.
Övning 11 En rektangel med hörnen i 0, 2, 2+i och i vrids kring ori- go och förstoras så att hörnet 2 hamnar i 7+i. Var hamnar de andra hörnen?
Övning 12 Låt ω vara ett givet reellt tal. Bestäm argumentet av
a) 1+2iω, b) −1+2iω, c) 1 1+2iω
d) 1
−1+2iω, e) 1
(1+2iω)2, f) e
iω
(1+2iω)2
Övning 13 Visa att|eiπ/5+eiπ/7| ≤2. Tolka olikheten geometriskt i det komplexa talplanet.
Övning 14 Bestäm det komplexa tal z som satisfierar|z−3−3i| =1 och har maximalt absolutbelopp.
Övning 15 Lös ekvationerna
a) z2+2iz−1+2i=0, b) z2+ (2−2i)z−6i−3=0.
Övning 16 Lös ekvationen(2+i)z2+ (1−7i)z−5=0.
Övning 17 Bestäm alla komplexa rötter till ekvationen(1+z2)3 =
−8. Svaret ska anges på formen a+bi med a, b reella.
Övning 18 Ange samtliga rötter till ekvationen z6−2z3+2=0.
Övning 19 Bestäm konstanten a så att polynomet
p(x) =x3−2x2−19x+a
får faktorn(x−1). Faktorisera sedan polynomet för detta a-värde.
Övning 20 Visa att man kan bestämma konstanten a så att polyno- met
p(x) =x4+2x3+3x2+ax+2
får faktorn x2+2x+2. Lös därefter för detta a-värde ekvationen p(x) =0 fullständigt.
Övning 21 Ekvationen z4−2z3+12z2−14z+35=0 har en rot med realdel 1. Lös ekvationen fullständigt.
Övning 22 Använd polära koordinater till att avgöra vilket det störs- ta och det minsta värde är som uttrycket
(x+2y)e−x2−y2
kan anta. (x och y är reella tal.)
Övning 23 Förenkla uttrycket cos(2θ) +i sin(2θ) cos(θ) +i sin(θ) . Övning 24 Lös ekvationen cos z=2.
Övning 25 Vilket är det största och minsta värde som|z−4−6i|kan anta om|z−1−2i| =3?
Övning 26 Rita i det komplexa talplanet ut alla tal z som samtidigt uppfyller de båda olikheterna|z−1+i| <2 och|z| ≥1
2.
Övning 27 Faktorisera polynomet p(z) =1+z+z2+. . .+z7i reella faktorer av minimal grad.
Övning 28 Samtliga rötter till ekvationen
z4−4z3+16z2−24z+20=0
ligger på linjen genom punkterna 1 och 1+2i. Lös ekvationen fulstän- digt.
Övning 29 Rötterna till ekvationen
z4+16z3+106z2+336z+425=0
är belägna på en rät linje. Minst en av rötterna är icke-reell. Lös ekva- tionen.
Svar
Övning 1 2√ 5
Övning 2 a) z=2−i, b) lösning saknas.
Övning 3 a) området mellan två cirklar med medelpunkt−1 och radierna 1 respektive 2,
b) alla tal på den imaginära axeln,
c) alla tal på cirkeln med radie 4/3 och medelpunkt−5/3.
Övning 4 z=1+i(3±√ 3). Övning 5 2π/3.
Övning 6 13π12 +k2π, k heltal Övning 7 π4+k2π, k heltal Övning 8 Alla z på linjen Re z=2.
Övning 9 p(x) =5x−20x3+16x5 Övning 10 a) −3
√ 3
2 +32i, b) 32(√
3−1) −32(√ 3+1)i Övning 11 0, 132 +92i, −1
2+72i.
Övning 12 a) arctan 2ω, b) π − arctan 2ω, c) −arctan 2ω, d) arctan 2ω−π, e) −2 arctan 2ω, f) ω−2 arctan 2ω, Övning 13 Använd t.ex. triangelolikheten.
Övning 14 (3+√1
2) + (3+√1
2)i
Övning 15 a) −1, 1−2i, b) −3, 1+2i.
Övning 16 i, 1+2i Övning 17 ±i√
3,√4
3/4(±1±i)(sammanlagt 6 rötter) Övning 18 21/6eiπ/12, 21/6ei7π/12, 21/6ei3π/4, 21/6ei5π/4, 21/6ei17π/12, 21/6ei23π/12.
Övning 19 a=20, p(x) = (x−1)(x−5)(x+4). Övning 20 a=2, z= ±i,−1±i.
Övning 21 z=1±2i, ±i√ 7.
Övning 22 ±5/√
10e. Dessa värden antas i punkterna±(1, 2)/√ 10, vilket du kan roa dig med att verifiera!
Övning 23 cos θ+i sin θ Övning 24 z= −i ln(2±√
3)
Övning 25 8 respektive 2; Rita en figur!
Övning 26 Randen på den mindre cirkeln ingår men inte randen på den större.
Övning 27 p(z) = (z+1)(z2−√
2z+1)(z2+√
2z+1)(z2+1) Övning 28 z=1±i, z=1±3i.
Övning 29 z= −4±i, z= −4±3i
