V i d de allmänna läroverken i vårt l a n d har geometrien såsom läroämne inträdt i tredje klassen och en ganska r u n d l i g t i d anslagits åt detta ämne. E n verkställd beräkning har visat, a t t för E - l i n j e n v i d N o r r a latinläroverket i S t o c k h o l m , mer än en fjärdedel och för A - l i n j e n o m k r i n g en t r e d j e d e l af den åt m a t e m a t i k e n anslagna t i d e n användes t i l l geometrien.
Härom vore n u ej m y c k e t a t t säga, o m denna t i d vore på ett n y t t i g t sätt använd, o m u t b y t e t motsvarade a l l t det arbete, som nedlägges på s t u d i e t af detta läroämne. D e t t a är emellertid e n l i g t m i n åsikt i n g a l u n d a f a l l e t ; j a g anser, a t t en stor del af den t i l l geometrien anslagna t i d e n är alldeles b o r t k a s t a d .
Man offrar a l l t för stor t i d åt a t t bevisa satser. För en mängd satser, som n u bevisas, äro bevisen u r praktisk- pedagogisk s y n p u n k t öfverflödiga; de äro tillräckligt själfklara.
A n d r a teorem måste visserligen bevisas eller, om m a n så v i l l , förklaras, m e n det är onödigt, a t t lärjungarne lära sig bevisen.
O m j a g n u skall närmare u t v e c k l a denna m i n åsikt, så är det t i l l a t t börja m e d t y d l i g t , a t t j a g ej k a n g i l l a Euklides såsom lärobok. D e t k a n likväl ej vara m i n m e n i n g a t t här uppehålla m i g v i d den k r i t i k , som sedan lång t i d t i l l b a k a , äfven i vårt l a n d , r i k t a t s m o t E u k l i d e s . D e n är j u n u också afskaffad såsom lärobok i , såsom j a g tror, alla länder u t o m E n g l a n d och Sverige och ersatt af modernare läroböcker.
Jag nämnde först, a t t en del teorem ej behöfva bevisas.
D i t höra i E u k l i d e s ' l : s t a bok satserna m e d o r d n i n g s n u m r e n 13, 15, 20, 30, 47 teorem I och I I (kvadrater m e d l i k a stora sidor äro l i k a stora och omvändt) och de tre första kongruens!allén (Julius Petersen har i sin »Lärobok i Elemen- terna af Plana geometrien» ej bevis för kongruensfallen) samt väl också satserna 5, 6, 18, 19. (Det 4:e kongruens- fallet, som lämpligen k a n uppdelas i två, t a r f v a r förklaring, som k a n g i f v a s , o m ej förr, v i d behandlingen af den s. k.
»andra triangel-händelsen» i t r i g o n o m e t r i e n . ) Sådana teorem äro vidare i 2:a boken satserna 1—7, h v i l k a b l o t t äro exem- pel på E u k l i d e s ' 9:e a x i o m , i 3:e boken satserna 2, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 2 6 — 2 9 och möjligen flera samt några teorem i 6:e boken, exempelvis satserna 6, 16, 17, i Heligrens lärobok.
Därefter k o m m e r j a g t i l l m i t t andra påstående, a t t en del teorem visserligen t a r f v a bevis eller förklaring, m e n a t t det är onödigt, a t t lärjungarne lära sig bevisen. Sådana satser äro E u k l i d e s ' I : 47; I I : 12, 13; D I : 16, 20, 22, 32;
de flesta satser i 6:e boken. För a t t k u n n a begripa en sats, för a t t k u n n a tillägna sig innehållet, a t t inse r i k t i g h e t e n af n y a påståenden, behöfver m a n ej k u n n a u t a n t i l l redogöra för bevisen. H v a r t i l l tjänar det då a t t g i f v a bevisen i läxa?
I algebran fordrar m a n ej bevisen för räknelagarnes g i l t i g h e t för i r r a t i o n e l l a t a l . Jag b r u k a r för lärjungarne bevisa la- garne för rötter och potenser, m e n j a g fordrar ej, a t t lär- j u n g a r n e skola k u n n a dessa bevis. De skola k u n n a tilllämpa lagarne v i d räkningen. På samma sätt anser j a g , a t t lär- j u n g a r n e böra tillägna sig de geometriska sanningarne, a t t de böra b l i f v a väl förtrogna m e d innehållet, för a t t sedan k u n n a använda detta v i d algebraisk räkning, i p l a n i m e t r i e n .
Måhända invänder m a n n u , a t t det n u v a r a n d e förfarings- sättet — a t t låta lärjungarne lära sig bevisen — är f o r m e l l t bildande, a t t det reder t a n k a r n e , lär lärjungarne a t t tänka r i k t i g t eller något d y l i k t .
M e n är detta v e r k l i g e n ett skäl a t t k o m m a m e d i våra dagar, n u då läroämnena trängas på skolskemat och n y a ämnen v i l j a i n på skemat? — I förbigående sagdt synes det m i g , som o m latinets förkämpar n u mera sällan t a l a o m l a t i n s k a g r a m m a t i k e n s f o r m e l l a bildningsvärde — det ser u t ,
som o m d e t t a a r g u m e n t förlorat i k u r s . — Innehållet, den reala k u n s k a p e n , är väl ändå det v i k t i g a s t e ; den formella b i l d n i n g e n följer nog m e d , o m innehållet är ett värdefullt kunskapsobjekt. Och äfven o m det är möjligt a t t ordna ämnena efter deras värde såsom f o r m e l l t bildande, så är det likväl svårt, o m ej omöjligt, a t t bestämma graden af värdet, a t t afgöra, h u r u m y c k e t ett läroämne däruti öfverträffar e t t annat, så a t t m a n däraf k a n beräkna den t i d , som bör anslås åt ämnet.
H v a d n u särskildt geometrien beträffar, så, o m alla dessa m e d sträng l o g i k genomförda bevis v e r k l i g e n hade en så stor f o r m e l l t b i l d a n d e k r a f t , borde m a n väl också k u n n a spåra v e r k n i n g a r däraf, och det tyckes då, som o m dessa särskildt borde framträda v i d r e p e t i t i o n e n i öfre sjunde klassen.
Och då v i l l j a g säga, a t t m i n mångåriga erfarenhet i detta afseende ej är af glädjande a r t . A f de svagare lärjungarne får m a n ofta höra i logiskt afseende v i d u n d e r l i g a saker, och äfven de mera begåfvade k o m m a ej sällan fram m e d be- tänkliga påståenden. D e t är ej för m y c k e t sagdt, a t t j a g skulle k u n n a t hämta b e v i s n i n g s m a t e r i a l för detta påstående från snart sagdt hvarje g e o m e t r i l e k t i o n i nämnda klass. E n lärjunge m e d A B i m a t e m a t i k bevisade E u k l . I I I : 15 u t a n a t t alls stödja sig på a n t a g a n d e t i satsen — e t t i n g a l u n d a sällsynt f a l l . E n annan, f u l l t godkänd i ämnet, bevisade E u k l . I I I : 16 genom a t t stödja sig på satsens påstående, ett ej heller alltför sällsynt f a l l . — För åtskilliga år sedan k o m från e t t annat allmänt läroverk t i l l klass 7: 2 i N o r r a latinläroverket en y n g l i n g m e d betyget A i m a t e m a t i k . H a n visade sig v a r a rätt s k r a l w d läxförhören i g e o m e t r i ; j a g sade h o n o m , a t t h a n borde bereda sig bättre, o m han skulle få behålla sitt höga b e t y g , m e n k u n d e j u s t ej märka, a t t d e t t a hjälpte. A f v e n hans s t u d e n t e x a m e n i g e o m e t r i var ej vidare vacker, m e n som algebran g i c k öfverdådigt glän- sande, fick h a n i alla f a l l behålla s i t t A . Efter examen hörde j a g af hans k a m r a t e r , a t t h a n t y c k t e , a t t »geometrien v a r bara skräp», eller något i den vägen. H a n har n u längesedan gått u t från T e k n i s k a högskolan och låtit t a l a o m sig som uppfinnare.
A t t v i d studentexamen examinera i geometri är i all- mänhet ej r o l i g t . M e d de svagare får m a n hafva en m y c k e t
len h a n d , endast hålla sig t i l l det allra v i k t i g a s t e . O c h äfven de bättre prestera mera sällan en o k l a n d e r l i g examen.
D e t t a i jämförelse m e d algebran, som b r u k a r gå b e t y d l i g t bättre.
D e t tyckes v e r k l i g e n , som o m lärjungarne ej alls äro intresserade af g e o m e t r i r e p e t i t i o n e n i 7: 2. De känna förut t i l l innehållet, få i d e t t a af seende ej lära s i g något n y t t , få b l o t t en öfning i den mest f o r m e l l a sidan af tillämpad l o g i k , i a t t , m e d a n l i t a n d e h u f v u d s a k l i g e n af m i n n e t , f r a m - ställa en g e o m e t r i s k syntes. Och det behöfves i b l a n d , a t t m a n framhåller den k o m m a n d e examen för a t t få d e m a t t sköta hemläxorna.
H v i l k e n lärobok skulle m a n då sätta i E u k l i d e s ' ställe?
D e t t a b l i r en fråga för sig, kanske k i n k i g a t t besvara. M e n h v i l k e n lärobok m a n än använder, skulle lärjungarne ej behöfva lära sig bevisen. Förhöret af de satser, för h v i l k a bevis anses nödigt, k u n d e ske på samtna sätt som prepara- tionen, möjligen i annan o r d n i n g , m e n genom successiva frågor af läraren. V i d problemen skulle lärjungarne få i läxa och lära sig lösningen, h v a r e m o t beviset för lösningens r i k t i g h e t behandlades på nyssnämnda sätt. A t t d e t t a skulle medföra en betydande t i d s v i n s t , ligger i öppen dag. M a n k u n d e då h i n n a m e d flera problem än n u och lägga mera- v i k t v i d k o n s t r u k t i o n s r i t n i n g e n .
D e t t a n u i allmänhet sagdt. H u r det n y a i e n s k i l d h e t e r skulle behandlas, finge väl framgå af g j o r d a erfarenheter och k u n d e b l i f v a föremål för f o r t s a t t u t r e d n i n g .
I stadgan för r i k e t s allmänna läroverk af den 1 nov^
1878 föreskrifver nndervisningsplanen för 3:e klassen i geo- m e t r i , jämte a n n a t : »några e n k l a satser m e d användning a f d e n stränga geometriska bevisföringen»; för 4:e klassen heter det b l o t t : »läran o m linjer, v i n k l a r , t r i a n g l a r och parallelo- gramrner». 1 K u n g l . cirkuläret af den 3 j u n i 1 9 0 4 , enligt h v i l k e t geometrien inträder först i 4:e klassen, föreskrifves för nämnda klass: »läran o m l i n j e r , v i n k l a r , t r i a n g l a r och parallelogrammer, med väsentligt afseende fästadt v i d k o n - s t r u k t i o n s u p p g i f t e r n a ; lätta öfningssatser». O r d e n »med an- vändning af clen stränga geometriska bevisföringen» hafva f a l l i t bort. D e t synes då, som o m skolstadgan n u m e r a ej skulle lägga h i n d e r i vägen för en r e f o r m , sådan som den ofvan a n t y d d a , o m den eljes anses önskvärd.
A f åtskilligt a t t döma synes det, som o m censorerna v i d mogenhetsexamen — väl j u s t m e d t a n k e på skolstadgan — hafva f o r d r a t en sträng geometrisk bevisföring. M e n kanske är så ej förhållandet; kanske skulle censorerna nöja sig m e d tillämpad g e o m e t r i , m e d p l a n i m e t r i s k a räkneuppgifter.
