Vektorer och
koordinatsystem
Lineär algebra (FMAB20) Instuderingsuppgifter
Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna — det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det är du inte förstår.
Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.
Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).
Vektorer
(Geometriska) Vektorer är riktade sträckor, alltså en storhet med rikt- ning och längd. I texten lär du dig hur man kan addera vektorer och vad det betyder att multiplicera dem med reella tal. I den följande övningen ska du utföra dessa operationer på två givna vektorer. Till hjälp har du några linjer. Innan du gör övningen – tänk igenom vad det är för linjer som är ritade.
Övning 1 Rita i figuren nedan in följande vektorer:
u+v, v+u, u−v, v−u, 2u+3v, 2u−3v.
v u
Övning 2 Rita en figur som motiverar varför PQ=OQ−OP.
Övning 3 Bestäm 3u+2v+w om vektorerna u, v, w är som i figuren nedan.
v u w
Övning 4 På sträckan AB ligger C tre gånger så långt ifrån B som från A.
A
B C
O
Visa att
OC= 3 4OA+1
4OB.
Bas och koordinater
Övning 5 Vektorerna e1och e2i figuren nedan är inte parallella och kan därför fungera som en bas i planet. Ange koordinaterna i denna bas för de övriga vektorerna som är utritade.Ange också koordinater- na för e1och e2.
e1 e2
u1 u2
u3
u4
u5
Övning 6 Betrakta figuren nedan.
e1 e2
ˆe1
ˆe2 u
a) Vektorerna e1och e2är inte parallella och duger därför som en bas i planet. Vilka koordinater får vektorn u i basen e1, e2? b) Är ˆe1, ˆe2en bas i planet?
c) Vilka koordinater får u i basen ˆe1, ˆe2?
d) Uttryck ˆe1och ˆe2med hjälp av e1och e2. Vilka koodinater har ˆe1respektive ˆe2i basen e1, e2?
Övning 7 Låt e1, e2vara en bas i planet. Vektorerna ˆe1och ˆe2ges av (ˆe1= −e1+2e2
ˆe2=3e1+4e2.
Visa att ˆe1, ˆe2också är en bas i planet och bestäm vilka koordinater u=4e1−5e2har i denna bas.
I nästa uppgift ges vektorerna i sina koordinater i någon bas e1, e2, e3. Detsamma gäller i andra övningar där vektorerna anges som taltup- ler.
Innan du gör nästa uppgift ska du läsa igenom Exempel 1 på sidan 9 i läroboken.
Övning 8 Bestäm mittpunkten på sträckan mellan punkterna(1, 0, 2) och(−1, 2, 2).
För nästa uppgift ska du använda Exempel 2 på sidan 10 i läroboken.
Övning 9 Bestäm tyngdpunktens koordinater för en triangel med hörn i punkterna(1, 2,−1),(2, 1, 0)och(−1, 1, 1)
Lineärt beroende
I det här avsnittet ska du lära dig två viktiga begrepp: linjärkombina- tion och linjärt oberoende (och därmed också vad som menas med lin- järt beroende). Det är definitioner, ingenting annat, men de används mycket så man måste få in dem i ryggmärgen.
Övning 10 Vilka av vektorerna
a) (4, 1,−5), b) (4, 3, 2), c) (−9,−7,−3) är en linjärkombination av vektorerna u1 = (2, 1,−1) och u2 = (1, 1, 1)?
Övning 11 Avgör vilka av följande uppsättningar plana vektorer som är lineärt beroende.
a) (2, 4), (−4,−2) b) (6,−3), (−4, 2), c) (3, 2), (0, 0)
d) (1, 0), (0, 1),(7, 5) e) (5, 9),(3,−2),(2, 1). Övning 12 Avgör vilka av följande uppsättningar av vektorer i rum- met som är linjärt beroende
a) (1, 1, 1),(3, 1, 2),(0, 2, 1), b) (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)
c) (1, 1, 1), (3, 1, 2), d) (1, 0, 2), (−2, 0,−4)
e) (2, 0, 3), (1, 0, 2), (−2, 0,−4), f) (1, 0, 2),(3, 0, 4),(5, 0, 6)
g) (1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1),(3, 3, 3).
Ekvationer för linjer och plan
Det här avsnittet i boken handlar om tillämpningar på plan geometri av de begrepp vi diskuterat ovan. Det är viktigt att man tänker och uttrycker sig i termer av vektorer, linjärkombinationer m.m. när man gör övningarna.
Övning 13 Skriv på parameterform en ekvation för den linje (i pla- net) som bestäms av
a) punkten(−2, 0)och riktningen(1,−5) b) punkterna(1, 2)och(−3, 4)
c) ekvationen 2x−y=5.
Övning 14 Skriv på parameterform en ekvation för det plan som be- stäms av
a) punkten (1, 2, 3) och riktningsvektorerna (√ 2,√
3, 1) och (−1, 0, 2)
b) punkterna(0, 1, 2),(1, 2, 3)och(3, 4, 1). c) ekvationen 2x+y−z+3=0
Övning 15 Vilka av punkterna(0,−3, 2),(1,−2, 1)och(2, 3, 1)ligger i planet
x=1+s−t y=2+s+t z=3−s+2t?
Övning 16 Bestäm skärningen mellan följande två plan:
x+y+z−1=0, 2x−y+5z−5=0.
Svar och anvisningar
Övning 1 Vi plockar ut de första separat:
v
u
u+v=v+u v
u
v
u
u−v v−u
Notera att man kan parallellförflytta vektorer som man vill. En vektor mäter en lägesförändring, men har inget utgångsläge.
De återstående två vektorerna illustreras i figuren nedan.
v u
2u+3v
2u−3v
Övning 2 I figuren nedan är det samma nettoförflyttning att gå di- rekt från P till Q som att gå först ifrån P till O och sedan från O till Q.
(Att det är längre har inte med saken att göra!) Vidare är PO= −OP.
P
Q
O
Övning 3 Vi ser att 3u+2v är detsamma som −w, så summan är nollvektorn.
Övning 4 Eftersom avståndet mellan C och B är 3 gånger så långt som det mellan A och C så är avståndet från A till C 1/4 av det från A till B. Vi har därför att AC= 14AB=14(OB−OA). Det följer att
OC=OA+AC=OA+1
4(OB−OA) = 3 4OA+1
4OB.
Övning 5 Vi har att u1=4e1+2e2, u2=3e1+3e2, u3= −2e1+ 2e2, u4 = −4e1−2e2 och u5 = e1−3e2. Det följer att uttryckt i koordinater i basen e1, e2har vi att
u1= (4, 2), u2= (3, 3), u3= (−2, 2), u4= (−4,−2), u5= (1,−3).
Koordinaterna för e1och e2är(1, 0)respektive(0, 1). Övning 6 Vi har
a) u=3e2+7e1, så dess koordinater i basen e1, e2är(7, 3) b) Ja, vektorerna är två lineärt oberoende i planet och utgör där-
för en bas.
c) Vi har att u = 2 ˆe1+ˆe2, så dess koordinater i denna bas är (2, 1).
d) ˆe1 = 2e1+2e2, så ˆe1har koordinaterna (2, 2)medan ˆe2 = 3e1−e2, så dess koordinater är(3,−1).
Övning 7 Vektorerna ˆe1, ˆe2är parallella precis då det finns ett λ så- dant att ˆe1 = λˆe2. Men det innebär att −e1+2e2 = λ(3e1+4e2) vilket i sin tur kan skrivas
−(3λ+1)e1= (4λ−2)e2.
Finns det ett sådant λ skulle alltså även e1och e2vara parallella, och det antog vi att de inte var. Alltså är ˆe1, ˆe2en bas i planet.
För att bestämma koordinaterna för u måste vi uttrycka e1, e2i ˆe1, ˆe2. Men det gör vi på samma sätt som vi löser ekvationssystem:
(−e1+2e2= ˆe1 3e1+4e2= ˆe2 ⇐⇒
(−e1+2e2= ˆe1 10e2= ˆe2+3 ˆe1 ⇐⇒
(e1= 101(−4 ˆe1+2 ˆe2) e2= 101(3 ˆe1+ˆe2)
Det följer att
u= 4
10(−4 ˆe1+2 ˆe2) − 5
10(3 ˆe1+ˆe2) = 1
10(−31 ˆe1+3 ˆe2). De sökta koordinaterna är därför(−3.1, 0.3).
Övning 8 Koordinaterna för punkten P = (1, 0, 2)är relativt en fix- punkt (kallad origo) O samt en bas för vektorer i rummet e1, e2, e3. Det innebär att OP = e1+2e3, d.v.s. har koordinaterna(1, 0, 2)i ba- sen e1, e2, e3. Motsvarande för Q= (−1, 2, 2). Enligt Exempel 1 har vi nu för mittpunkten M att
OM= 1
2(OP+OQ= 1
2((1, 0, 2) + (−1, 2, 2)) = (0, 1, 2). Detta är därför koordinaterna för M.
Övning 9 Enligt Exempel 2 gäller att
OT= 1
3(OP+OQ+OR) = 1
3((1, 2,−1) + (2, 1, 0) + (−1, 1, 1))
= (2 3,4
3, 0).
Här är naturligtvis T tyngdpunkten och P, Q, R de givna punkterna.
Övning 10 a) Frågan är om vi kan hitta tal x1, x2sådana att
(4, 1,−5) =x1(2, 1,−1) +x2(1, 1, 1).
Detta är ekvivalent med ekvationssystemet
2x1+x2=4 x1+x2=1
−x1+x2= −5
⇐⇒
2x1+x2=4
x1 =3
x2= −2
⇐⇒
4= 4 x1= 3 x2= −2
Vi ser att x1=3, x2=2 är en lösning, så(4, 1, 5)är en linjär- kombination av u1och u2.
b) Den här gången blir ekvationssystemet
2x1+x2=4 x1+x2=3
−x1+x2=2
⇐⇒
2x1+x2=4 x1 =12 x2=52
⇐⇒
72= 4 x1= 12 x2= 52
Första ekvationen är inte sann, så systemet saknar lösning.
Alltså kan inte(4, 3, 2)skrivas som en linjärkombination av u1och u2.
c) Den här gången blir ekvationssystemet
2x1+x2= −9 x1+x2= −7
−x1+x2= −3
⇐⇒
2x1+x2= −9 x1 = −2 x2= −5
⇐⇒
9= −9 x1= −2 x2= −5 Det följer att(−9,−7,−3)är en linjärkombination av u1och u2.
Övning 11 a) Två vektorer är linjärt beroende precis då de är proportionella, d.v.s. att det i detta fall finns ett tal x sådant att(2, 4) =x(−4, 2). Det i sin tur innebär ekvationssystemet
(2= −4x 4=2x ⇐⇒
(x= −1/2 x=2
vilket saknar lösning, eftersom de två ekvationerna har olika lösningar. Det följer att(2, 4)och(−4,−2)är lineärt oberoende vektorer.
b) Denna gång blir ekvationssystemet (6= −4x
3=2x ⇐⇒
(x= −3/2 x= −3/2
och eftersom de två ekvationerna har samma lösning följer att (6,−3)och(−4, 2)är linjärt beroende.
c) Här ser vi att(0, 0) =0· (3, 2), så de är linjärt beroende. Det spelar ingen roll vilken vektor vi har i högerledet, så vi ser att nollvektor är linjär beroende med alla vektorer!
d) Vi ser direkt att(7, 5) =7(1, 0) +5(0, 1), så de är linjärt bero- ende. Men egentligen är det självklart att de är linjärt beroen- de, som framgår av nästa deluppgift.
e) Här har vi tre plana vektorer. Det är klart att de måste vara beroende. För att bättre förstå, låt oss genomföra räkningarna.
Villkoret på att de är linjärt beroende är att det finns x1, x2, x3
sådana att
x1(5, 9) +x2(3,−2) +x3(2, 1) =0⇐⇒
(4x1+3x2+3x3=0 9x1−2x2+ x3=0. Här har vi tre obekanta men bara två homogena ekvationer, och då vet vi från Sats 1 på sidan 5 i läroboken att det finns oändligt många lösningar. Tänk igenom detta argument or- dentligt. Kan du generalisera det?
Övning 12 a) Vi ska avgöra om det finns någon annan lösning till ekvationen
x1(1, 1, 1) +x2(3, 1, 2) +x3(0, 2, 1) =0
än den triviala x1=x2=x3=0. Vi ska alltså lösa ekvations- systemet
x1+3x2 =0 x1+ x2+2x3=0 x1+2x2+ x3=0 .
Gausselimination ger att detta är ekvivalent med
x1+3x2 =0
− x2+x3 =0 0=0 .
Vi har alltså två homogena ekvationer (vi ignorerar den sista) och tre obekanta, och alltså oändligt många lösningar. Dessa är x1= −3t, x2=t, x3=t.
Tar vi här t=1 och stoppar in i ekvationen ser vi att
−3(1, 1, 1) + (3, 1, 2) + (0, 2, 1) =0
från vilket vi kan uttrycka(1, 1, 1)som en linjärkombination av de övriga två:
(1, 1, 1) =1
3(3, 1, 2) +1 3(0, 2, 1). b) Den här gången blir ekvationssystemt
x2+x3=0 x1 +x3=0 x1+x2 =0
⇐⇒
x1 =0 x2 =0 x3=0 så vektorerna är linjärt oberoende.
c) Om dessa vektorer är linjärt beroende finns det ett x sådant att(3, 1, 2) = x(1, 1, 1), men det gör det uppenbarligen inte eftersom här står x = 3, x = 1, x = 2, vilket är motstridiga krav på x.
d) Här ser man direkt att(−2, 0,−4) = −2(1, 0, 2), så vektorerna är proportionella, och därmed linjärt beroende.
e) Dessa är linjärt beroende av många skäl. Här är ett antal olika sätt man kan se det på:
(i) I föregående uppgift såg vi att de två sista är linjärt beroende, och då måste också de tre vara det.
(ii) Vektorerna(2, 3),(1, 2),(−2,−4)är tre plana vektorer och alltså linjärt beroende. I de ursprungliga vektorer- na har vi lagt in en 0:a mitt i, men det ändrar ingen- ting.
(iii) Om du inte gillar föregående argument, skriv upp ek- vationssystemet:
2x1+ x2−2x3 =0 0=0 3x1+2x2−4x3 =0
som alltså är två homogena ekvationer i tre variabler, och därför har oändligt många lösningar.
f) De tre vektorerna är linjärt beroende enligt argumenten (ii) och (iii) i föregående deluppgift.
g) Här har vi tre homogena ekvationer och fyra obekanta, så de fyra vektorerna måste vara linjärt beroende.
Övning 13 a) (x, y) = (−2, 0) +t(1,−5), vilket ofta skrivs (x= −2+t
y= −5t .
b) En riktningsvektor ges nu av(−3, 4) − (1, 2) = (−4, 2)så ek- vationen är(x, y) = (1, 2) +t(−4, 2). Eller(x, y) = (−3, 4) + t(−4, 2), eller (x, y) = (1, 2) +t(−2, 1), eller på oändligt många andra tänkbara sätt. Skillnaden mellan de två första förslagen är val av baspunkt, medan det tredje är detsam- ma som det första fast där vi använt riktningsvektorn(−2, 1) istället.
c) Ekvationen kan skrivas y=2x−5, så den går genom(0,−5) och har riktningskoefficient 2, vilket är detsamma som rikt- ningsvektor(1, 2). En ekvation på parameterform är därför
(x=t y= −5+2t.
Övning 14 Parameterformen för ett plan bestäms av en punkt och två linjärt oberoende riktningsvektorer.
I det här fallet får vi data, så svaret är (x, y, z) = (1, 2, 3) +t(√
2,
√
3, 1) +s(−1, 0, 2). Alternativt
x=1+√ 2t−2
y=2 + √
3t z=3+t +2s.
Att de två rikningsekvationern inte är linjärt beroende kon- trolleras lätt eftersom den ena innehåller en nolla på en plats där den andra inte gör det (tänk igenom!).
a)
b) Här har vi tre punkter och behöver definiera två riktningsvek- torer. Vi kan t.ex. ta(0, 1, 2)som punkt och v1 = (1, 2, 3) − (0, 1, 2) = (1, 1, 1) och v2 = (3, 4, 1) − (0, 1, 2) = (3, 3,−1) som (icke-proportionella) riktningvektorer. Det följer att en ekvation på parameterform är
x=t + 3s y=1+t+3s z=2+t−s .
c) Här är det lite krångligare, eftersom vi får varken punkter el- ler riktningsvektorer. Men om vi bara löser “ekvationssyste- met” får vi en parametrisering. Sätt t.ex. x=t och y=s. Då z=2t+s+3. Skriv upp detta ordentligt:
x=0+t+0s y=0+0t+s z=3+2t+s ,
så ser vi att(x, y, z) = (0, 0, 3) +t(1, 0, 2) +s(0, 1, 1). Detta är en (av flera möjliga) parameterframställning av planet.
Övning 15 För att veta om punkten(0,−3, 2)ligger i planet ska vi lösa
s− t+1=0 s+ t+2= −3
−s+2t+3=2
⇐⇒
−s+ t=1 s+ t= −5
−s+2t= −1 .
Med Gausselimination får vi att t= −2, s= −3,−1= −1. Det sista villkoret är sant, alltså ger t= −2, s= −3 en lösning på det ursprung- liga systemet och punkten ligger därför i planet.
Sedan gör man likadant med de övriga punkterna. Men det kan då vara en god idé att göra det för en allmän punkt(x, y, z)istället:
s− t+1=x s+ t+2=y
−s+2t+3=z
⇐⇒
−s+ t=1−x s+ t=y−2
−s+2t=z−3
⇐⇒
t= 12(−x+y−1) s = 12(x+y−3)
−s+2t=z−3
och stoppar vi in t, s i den sista ekvationen får vi
−x+y−1−1
2(x+y−3) =z−3⇐⇒ −3 2x+1
2y−z= −7 2. Detta är alltså sista ekvationen och den måste vara uppfylld för att (x, y, z)ska ligga i planet. Om skrivet blir den
3x−y+2z=7
och vi ser att den är uppfylld då(x, y, z) = (0,−3, 2)och då(x, y, z) = (1,−2, 1)men inte då(x, y, z) = (2, 3, 1)(i det sista fallet blir vänster- ledet 6−3+2=56=7.
Slutsatsen är att punkterna(0,−3, 2)och(1,−2, 1)ligger i planet. En annan slutsats är att ett alternativt sätt att beskriva planet på är genom ekvationen 3x−y+2z=7.
Övning 16 Vi söker alltså alla punkter som uppfyller båda ekvatio- nerna. De finner vi genom att lösa ekvationssystemet
( x+y+ z=1 2x−y+5z=5 ⇐⇒
(x+y+z=1
−y+z=1 ⇐⇒
x=2.2t y= −1+t z=t
.
Skärningen ges därför av linjen
(x, y, z) = (2,−1, 0) +t(−2, 1, 1).
