TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER
M˚ANDAGEN DEN 26 AUGUSTI 2013 KL 08.00–13.00.
Examinator : Gunnar Englund tel. 073 321 37 45
Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), r¨aknare.
Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 5 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang. Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 20 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med 18–19 po¨ang.
Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida. Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.
Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.
Uppgift 1
Vi t¨anker oss att personer lever f¨or evigt och inte ˚aldras. En person kan antingen ha arbete, vara arbetsl¨os eller vara f¨ortidspensionerad. Sannolikheten att en person som har arbete under en kort tidsperiod ∆t (˚ar) ¨overg˚ar till arbetsl¨os ¨ar 0.2∆t (dvs. med intensiteten 0.2 per ˚ar). Sannolikheten att en arbetsl¨os person under tiden ∆t f˚ar ett arbete ¨ar 4∆t och sannolikheten att kan blir f¨ortidspensionerad (av arbetsmarknadsm¨assiga sk¨al) ¨ar 0.5∆t.
En person som har arbete blir aldrig f¨ortidspensionerad direkt, och en f¨ortidspensionerad person f¨orblir s˚a f¨or evigt.
a) En person b¨orjar ett arbete och tj¨anar 280 000 kronor om ˚aret medan han arbetar, och har 224 000 kronor om ˚aret i arbetsl¨oshetsers¨attning n¨ar han ¨ar arbetsl¨os. Som f¨ortidspensionerad har han ingen inkomst, utan lever p˚a luft.
Best¨am personens f¨orv¨antade totala inkomst. (5 p)
b) En person som b¨orjar med arbete blir s˚a sm˚aningom f¨ortidspensionerad och m˚aste d˚a uppen- barligen varit arbetsl¨os vid ˚atminstone ett tillf¨alle (en period av arbetsl¨oshet). Best¨am sannolik- hetsf¨ordelningen f¨or X = antalet arbetsl¨oshetsperioder, dvs P (X = k) f¨or k = 1, 2, . . . . (5 p)
Uppgift 2
Betrakta v¨adret under en f¨oljd av dagar som en Markovkedja med de enda m¨ojliga tillst˚anden 0 = solig dag och 1 = regnig dag
och med ¨overg˚angsmatris
P =0.7 0.3 0.2 0.8
forts tentamen i SF1904 13–08–26 2
a) Ber¨akna sannolikheten f¨or att en viss l¨ordag ¨ar solig. (4 p) b) Ber¨akna sannolikheten f¨or att en viss l¨ordag och ¨aven den n¨armast f¨oljande s¨ondagen ¨ar soli-
ga. (2 p)
c) Om en viss fredag ¨ar solig, hur stor ¨ar sannolikheten att n¨armast f¨oljande l¨ordag och s¨ondag ¨ar
soliga? (2 p)
d) Om en viss fredag ¨ar solig, hur stor ¨ar sannolikheten att n¨armast f¨oljande s¨ondag ¨ar solig? (2 p) Uppgift 3
En Markovkedja {Xn; n ≥ 0} med tillst˚andsrum {1, 2, 3, 4} har ¨overg˚angsmatrisen
P =
0.4 0.2 0.2 0.2 0.4 0.5 0 0.1 0.3 0.4 0.2 0.1 0.1 0.4 0.2 0.3
Kedjan startar vid tidpunkt 0 i tillst˚and 1.
a) Ber¨akna f¨orv¨antat antal steg tills kedjan f¨or f¨orsta g˚angen hamnar i tillst˚and 4. (5 p) b) L˚at T vara tiden tills kedjan f¨or f¨orsta g˚angen hamnar i tillst˚and 4. Visa att det finns tv˚a konstanter a och b, 0 < a, b < 1 s˚adana att
an≤ P (T > n) ≤ bn samt ange v¨arden p˚a dessa tv˚a konstanter.
Ledning: Betrakta vad som kan h¨anda i de enskilda tidsstegen. (5 p) Uppgift 4
Till en nord-sydg˚aende 2 km l˚ang tunnel anl¨ander bilar norrifr˚an enligt en poissonprocess med intensitet 1 bilar per minut och s¨oderifr˚an enligt en poissonprocess med intensitet 0.5 bilar per minut. Poissonprocesserna ¨ar oberoende av varandra. Bilar som anl¨ander till tunneln k¨or med exakt 60 km/timme.
a) Ber¨akna sannolikheten att vid en fix tidpunkt t, h¨ogst 5 bilar finns i tunneln. (5 p) b) Vad ¨ar sannolikheten att en norrifr˚an kommande bil inte m¨oter n˚agon bil under sin f¨ard genom
tunneln? (5 p)
Uppgift 5
Ett system best˚ar av tv˚a parallellkopplade komponenter, dvs systemet fungerar om ˚atminstone en av komponenterna fungerar. Dessa har dels felintensiteten λ1 var f¨or sig d˚a systemet ¨ar helt, dels en gemensam felintensitet (h¨oga sp¨anningar, t.ex. ˚asknedslag, sl˚ar ut b¨agge komponenterna samti- digt) med intensiteten λ. N¨ar den ena komponenten ¨ar s¨onder, har den ˚aterst˚aende felintensiteten λ2 (> λ1) (och dessutom den gemensamma felintensiteten λ).
Ber¨akna f¨orv¨antad livsl¨angd f¨or systemet om man startar med tv˚a hela komponenter. (10 p)
L¨oSNINGAR TILL
TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER M˚ANDAGEN DEN 26 AUGUSTI 2013 KL 08.00–13.00.
Uppgift 1
a) Texten ger Q-matrisen i ”infinitesimal” form. Om vi l˚ater tillst˚anden vara 1=Arbetande, 2=Ar- betsl¨os och 3=F¨ortidspensionerad erh˚aller vi matrisen
Q =
−0.2 0.2 0 4 −4.5 0.5
0 0 0
d¨ar sista raden inneb¨ar att 3 ¨ar ett absorberande tillst˚and. L˚at x vara den f¨orv¨antade inkomsten om man b¨orjar i arbete, och y vara den f¨orv¨antade inkomsten om man b¨orjar som arbetsl¨os. Man f˚ar d˚a ekvationssystemet
x = 280 000/0.2 + y y = 224 000/4.5 + 4/4.5x
eftersom vi ligger i 1 i genomsnitt 1/0.2 och d˚a erh˚aller i genomsnitt 280 000/0.2 och sen hoppar till 2 och d˚a i forts¨attningen f˚ar y. P˚a liknande s¨att ligger vi vid ett bes¨ok i tillt˚and 2 d¨ar i genomsnitt 1/4.5 och erh˚aller d¨arf¨or 224 000/4.5 och hoppar sen till tillst˚and 1 med sannolikhet 4/4.5 och erh˚aller d¨arefter i genomsnitt x. Ekvationssystemet ger x = 13 048 000 kronor.
b) Betrakta hoppkedjan. Sannolikheten att man fr˚an arbetsl¨oshet g˚ar till att ha arbete, betingat att man byter tillst˚and, ¨ar 4.54 = 89 medan sannolikheten att man g˚ar till f¨ortidspension, betingat att man byter tillst˚and, ¨ar 19. Varje g˚ang man f˚ar ett arbete kommer man senare att bli ar- betsl¨os igen, medan om man blir f¨ortidspensionerad s˚a stannat man d¨ar f¨or evigt. Sannolikheten P (antal perioder av arbetsl¨oshet = k) ¨ar allts˚a (89)k−1 19, dvs. vi har en ffg(19).
Uppgift 2
a) Den station¨ara f¨ordelningen π = (π0, π1) best¨ams av ekvationssystemet πP = π eller 0.7π0+ 0.2π1 = π0
0.3π0+ 0.8π1 = π1
vilket ger 3π0 = 2π1. Av detta och π0+ π1 = 1 f˚as π = (0.4, 0.6). S˚aledes f˚as π0 = 0.4.
b) Vi har
P (Xn+1= 0, Xn= 0) = P (Xn= 0)P (Xn+1 = 0 | Xn= 0) = π0p00 = 0.4 · 0.7 = 0.28.
forts tentamen i SF1904 13–08–26 2
c) Pga. Markovegenskapen f˚as
P (Xn+1= 0, Xn = 0 | Xn−1 = 0) = p00p00 = 0.7 · 0.7 = 0.49.
d) Enligt Chapman-Kolmogorovs ekvationer f¨oljer
P (Xn+1= 0 | Xn−1 = 0) = p00p00+ p01p10 = 0.49 + 0.3 · 0.2 = 0.55.
Uppgift 3
Vi g¨or om tillst˚and 4 till ett absorberande tillst˚and och betraktar allts˚a tiden tills absorbtion.
a) S¨att ti=f¨orv¨antad tid tills absorbtion i tillst˚and 4 vid start i tillst˚and i, i = 1, 2, 3. Vi erh˚aller d˚a ekvationssystemet
t1 =1 + 0.4t1+ 0.2t2+ 0.2t3 t2 =1 + 0.4t1+ 0.5t2
t3 =1 + 0.3t1+ 0.4t2+ 0.2t3 d.v.s.
6t1 = 10 + 2t2+ 2t3 5t2 = 10 + 4t1
8t3 = 10 + 3t1+ 4t2 Detta ekvationssystem l¨oses l¨att och vi erh˚aller
t1 = 370/57 t2 = 410/57 t3 = 415/57
Den s¨okta f¨orv¨antade tiden ¨ar allts˚a t1 = 370/57 ≈ 6.49.
b) Om kedjan ligger i n˚agot av genomg˚angstillst˚anden 1,2 eller 3, ¨ar sannolikheten att vid n¨asta tidpunkt absorberas i tillst˚and 4 lika med 0.1 eller 0.2, d.v.s. sannolikheten att i ett enskilt tidssteg inte absorberas ligger mellan 0.8 och 0.9. H¨andelsen {T > n} ¨ar h¨andelsen att inte absorberas i tidstegen 1, 2, . . . , n och p.g.a. markovegenskapen ¨ar denna sannolikhet h¨ogst lika med 0.9 · 0.9 · · · 0.9 = 0.9n och minst lika med 0.8 · 0.8 · · · 0.8 = 0.8n. Det g¨aller allts˚a att
0.8n≤ P (T > n) ≤ 0.9n. Konstanterna kan allts˚a s¨attas till a = 0.8 och b = 0.9.
Uppgift 4
a) Eftersom de bilar som vid en tidpunkt finns i tunneln ¨ar de som kommit norrifr˚an eller s¨oderifr˚an under de tv˚a senaste minuterna (det tar tv˚a minuter f¨or en bil att k¨ora genom tunneln), ¨ar antalet bilar i tunneln lika med X + Y d¨ar X ∈ Po(2 · 1) = Po(2) och Y ∈ Po(2 · 0.5) = Po(1)). Totala antalet bilar ¨ar X + Y ¨ar d˚a Po(2 + 1) = Po(3) och P (X + Y ≤ 5) = 0.916 enligt tabell 7.
b) N¨ar en norrifr˚an kommande bil kommer till tunneln ¨ar de s¨oderifr˚an kommande bilarna som finns i tunneln de som anl¨ant under de senaste tv˚a minuterna. Dessa kommer den norrifr˚an kom- mande bilen att m¨ota liksom de bilar som anl¨ander s¨oderifr˚an till tunneln under de tv˚a minuter som
det tar f¨or den norrifr˚an kommande bilen att fara genom tunneln. Antalet bilar, Z, som anl¨ander s¨oderifr˚an till tunneln under dessa fyra minuter ¨ar Po(4 · 0.5) = Po(2) och P (Z = 0) = e−2 = 0.135
Uppgift 5 Vi inf¨or tillst˚anden
Ei = i stycken enheter fungerar, i = 0, 1, 2.
Vi f˚ar intensitetsmatrisen
Q =
0 0 0
(λ2+ λ) −(λ2+ λ) 0 λ 2λ1 −(λ + 2λ1)
S¨att
ti = f¨orv¨antad tid till absorption i E0 givet start i Ei, i = 1, 2.
Vi f˚ar d˚a (FS 14.2.5),
t1 = 1
λ2+ λ och t2 = 1
λ + 2λ1 + 2λ1 λ + 2λ1t1 som ger
t2 = 1 λ + 2λ1
1 + 2λ1 λ2+ λ
= λ + 2λ1+ λ2 (λ + 2λ1)(λ2+ λ).
