Visa att det inte nns heltal n, m sådana att n2+ m

Extramaterial till Problemlösningens grunder 1

Kapitel 5 (Talteori)

Exempel 1. Visa att det inte nns heltal n, m sådana att

n²+ m² = 173456319. (1)

(A) En första lösningsstrategi är följande. Eftersom högerledet 173456319 är udda, så kan vi konstatera att n² och m² måste ha olika paritet, och därmed även n och m (se Paritet I och II). Vi kan således anta att n är jämnt och att m är udda. Men då är n = 2r och m = 2s + 1, för några heltal r och s, vilket ger

n²+ m² = 4r²+ 4s²+ 4s + 1.

Följdaktligen gäller

n²+ m² = 173456319 ↔ 4r²+ 4s²+ 4s = 173456318.

Vänsterledet i den senare ekvationen är nu uppenbarligen delbart med 4, medan högerledet 173456318 inte är det, ty 173456318 = 173456300 + 18 där nu 173456300 men inte termen 18 är delbar med 4  se Delbarhetsprincip 1 (Sats 5.4). Följdaktli- gen saknar (1) heltalslösning.

(B) Problemet går även att lösa på följande sätt. Högerledet 173456319 i (1) är delbart med tre, ty dess siersumma är det (Exempel 5.17, 5.22). Följdaktligen så måste en heltalslösning (n, m) uppfylla att n²+ m² är delbart med tre. Om vi går igenom de olika fallen n, m ≡ 0, 1, 2 (mod 3), så följer det att n² + m² endast är delbart med tre då både n och m är det (dvs. n ≡ m ≡ 0 (mod 3)). Men om n = 3r och m = 3s så är n² + m² = 9(r²+ s²) delbart med 9. Vi kan samtidigt konstatera att 173456319 är inte delbart med 9, ty dess siersumma är inte delbart med 9.

(C) Vi avslutar med ett tredje sätt att lösa problemet på. Låt oss undersöka vänster- och högerledet i (1) modulo 4 (jämför Exempel 5.26). Vi konstaterar, eftersom 100 ≡ 0 (mod 4), att

173456319 = 1734563 · 10²+ 19 ≡ 3 (mod 4).

En heltalslösning (n, m) måste således uppfylla att n²+ m² ger resten 3 vid division med 4. Men genom att, på motsvarande sätt som i (B), undersöka de olika fallen n, m ≡ 0, 1, 2, 3 (mod 4), så följer det att detta inte är möjligt. 

Problem

1. En Pythagoriansk taltrippel är tre positiva heltal x, y, z som uppfyller x²+ y² = z²

(dvs. de utgör sidorna i en rätvinklig triangel). Visa att minst en av kateterna x, y för en sådan taltrippel är ett jämnt tal.

2. Visa att om p är ett primtal större än 3 så är p²− 1 delbart med 24.

Extramaterial till Problemlösningens grunder 2

3. Visa att det inte nns heltal n, m sådana att n²− 2m² = 5.

4. Bestäm samtliga par (x, y) av icke-negativa heltal x, y sådana att 3^x = y²− 6y + 3.