14.1 (a) Visa att y1(x

UPPSALA UNIVERSITET Att r¨akna till lektion 2 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer

Civilingenj¨orsutbildning

7.3(a) Visa att substitutionen z = ax + by + c ¨andrar ekvationen:

y⁰= f (ax + by + c)

till en ekvation som ¨ar separabel. Anv¨and metoden f¨or att l¨osa ekvationen:

y⁰ = (x + y)². 11.1(d) L¨os f¨oljande ekvationen:

x²y⁰⁰= 2xy⁰+ (y⁰)².

14.1 (a) Visa att y1(x) = 1 och y2(x) = x² ¨ar l¨osningar f¨or den homogena ekvationen xy⁰⁰− y⁰ = 0 ,

och skriv upp den allm¨anna l¨osningen.

(b) Best¨am v¨ardet p˚a konstanten a f¨or vilken yp(x) = ax³ ¨ar en partikul¨ar l¨osning till den inhomogena ekvationen

xy⁰⁰− y⁰= 3x².

Anv¨and den l¨osning och resultat fr˚an del (a) f¨or att skriva upp den allm¨anna l¨osningen till ekvationen.

(c) Kan man hitta y1, y2 och yp genom kontroll?

14.4(a) Kontrollera och prova dig fram f¨or att hitta en partikul¨ar l¨osning till f¨oljande ekvationen:

x³y⁰⁰+ x²y⁰+ xy = 1 .

14.6(a) Eliminera konstanterna c1 och c2 f¨or att hitta en differentialekvation f¨or f¨oljande kurvfamiljen:

y= c1x+ c2x². 14.6(f) Samma uppgift f¨or kurvfamiljen:

y= c1e^x+ c2xe^x.

14.10 Visa att om y1(x) och y2(x) ¨ar tv˚a l¨osningar till ekvationen y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = 0

p˚a intervallet [a, b] , och om funktionerna har samma nollst¨alle p˚a detta intervall, d˚a en av dem ¨ar konstant multipel av den andra. ( Punkten x0 ¨ar nollst¨alle f¨or funktionen f (x) om f (x0) = 0 .)

15.1 Anv¨and Wronskianen f¨or att visa att e^x och e^−x ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar till ekvationen

y⁰⁰− y = 0 p˚a varje intervall.

15.6 Verifiera att funktionerna y1(x) och y2(x) ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar f¨or given ekvation p˚a intervallet [0, 2] , och best¨am den l¨osning som uppfyller begynnelse- villkoren.

(a) y⁰⁰+ y⁰− 2y = 0 , y¹(x) = e^x och y2(x) = e^−2x, y(0) = 8 och y⁰(0) = 2 . (d) y⁰⁰+ y⁰= 0 , y1(x) = 1 och y2(x) = e^−x, y(2) = 0 och y⁰(2) = e⁻².