Visa att ∂r ∂x = x r , ∂2r ∂x2 = r2− x2 r3 , ∂2r ∂x∂y = −xy r3

Demonstrationer i flerdimensionell analys, vecka 6

1. Antag att funktionen f : R → R ¨ar tv˚a g˚anger deriverbar. Definiera funktionen z : R² → R genom z(x, y) = f(x²− y²). Visa att funktionen z p˚a enhetscirkeln i R² satisfierar den partiella differentialekvationen

z_xx⁰⁰ + z_yy⁰⁰ = 4f⁰⁰(x² − y²) .

2. L˚at r vara avst˚andet fr˚an punkten (x, y, z) till origo i R³. Visa att

∂r

∂x = x

r , ∂²r

∂x² = r²− x²

r³ , ∂²r

∂x∂y = −xy r³ .

3. Best¨am tangentplanet till paraboloiden z = f (x, y) = x²+4y²i punkten (1, 1, 5).

4. Visa med hj¨alp av en differentialapproximation att det f¨or sm˚a x och y g¨aller

1 p3 + x +√

1 − y ≈ 1 2− x

16+ y 32. 5. Transformera uttrycket

x∂f

∂x + y ∂f

∂y genom substitutionen u = x, v = ^y_x .

6. Funktionen f (u, v) ¨ar kontinuerligt deriverbar i R². S¨att h(x, y, z) = fx

y,y z



= f (u(x, y, z), v(x, y, z)) , y > 0 , z > 0 . Ber¨akna

x∂h

∂x + y ∂h

∂y + z ∂h

∂z uttryckt i u och v och partiella derivator av f .

1