(1p) Lösningsförslag: Vi har 0  Π2 2Π2 Π2, vilket är rent reellt och positivt, så arg

(1)

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 2020-10-27

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1. Beräkna arg , där är imaginära enheten. (1p)

Lösningsförslag: Vi har 0  ^Π² ²^Π² ^Π², vilket är rent reellt och positivt, så arg  0.

Arg  0

Rätt svarsalternativ: b a ^Π₂ b 0 c ^Π₂ d Π e Inget av a till d.

2. Lös ekvationen z 2 ³z 1 , där z betyder komplexkonjugat och imaginära enheten. (1p) Lösningsförslag: Ansätt z a b. Förenkla, sedan likhet för komplexa tal.

z 2 ³z 1 a b 2² ² a b 1 a b 2a 2b 1 Re : a 2b 1

Im : b 2a 1 a b ¹₃. En sista ängslig test...

Solvez 2 ³z 1 

z 1 3 3^

Rätt svarsalternativ: c a 1 ¹₄ b ¹₂ c ¹₃ ¹₃ d 1 e Inget av a till d.

3. Låt f x 1 2 cos x , x 0, ²₃^Π. Bestäm Vf. (1p)

Lösningsförslag: Skissa cos x , cos x , x 0, ²₃^Π, så inser vi att Vcos x 0, 1 . Sedan “stretch” med faktorn 2 till 0, 2 , följt av addition med 1, så har vi äntligen Vf 1, 1 .

Plot Cos x , Abs Cos x , 1 2 Abs Cos x ,

x, 0, 2 Π 3

, AxesLabel x, y , PlotLabels Automatic

cos x cos x

1 2 cos x

0.5 1.0 1.5 2.0 x

1.0 0.5 0.5 1.0 y

Rätt svarsalternativ: b a Vf 1, 1 b Vf 1, 1 c Vf 1, 1 d Vf 1, 1 e Inget av a till d.

4.Lös ekvationen 3 4^{x 1} 2^{2x 2} 2. (1p)

Lösningsförslag: Potenslagar, 3 4^{x 1} 2^{2x 2} 2 3 2^2x 4 ¹ 2^2x 2 ² 2 2^2x³₄ ¹₄ 2 2^2x 2¹ x ¹₂. Solve3 4^{x 1} 2^{2 x 2} 2, x, Reals

x 1 2^

Rätt svarsalternativ: e

(2)

a ¹₃ b ²₃ c ⁴₃ d ⁵₃ e Inget av a till d.

5. Lös ekvationen ln x 2 ln x 2ln¹₂x. (1p)

Lösningsförslag: Logaritmlagar, ln x 2 ln x 2ln¹₂x

x 0 x 2 0

ln x 2 x ln¹₂x² x 2 x ¹₄x² x1 0, x2 8 3

6 3 2.

Så x1 0 är falsk rot med hänsyn till kraven, ty ln a , ln ab ln a ln b gäller ju bara om a, b 0. Detta vet Mathematica.

SolveLog x 2 Log x 2 Log1 2

x, x

x 8 3^

Rätt svarsalternativ: b a ³₂ b ⁸₃ c ⁵₂ d ⁷₃ e Inget av a till d.

6.I en kvartscirkel med radien 3 är två mindre halvcirklar inskrivna enligt figur. Bestäm radien i den mindre av dem. 1p

Lösningsförslag: Med radierna r1 för den mindre halvcirkeln, r2 för den större, och R för kvartcirkeln, inser vi att Pytagoras sats och en direkt observation gör jobbet, r₂² R r12 r1 r22, R 2r2 r₂² R² 2Rr1 r₁² r₁² 2r1r2 r₂², R 2r2

R² 2Rr1 2r1r2, R 2r2 R 2r1 r1, R 2r2 r1 R 3, r2 R

2. Solver₂² R r1 2

r1 r2 2

, R 2 r2, R 3 , r1, r2 , R 

r1 1

3 , r2 3 2

Rätt svarsalternativ: c a ₄⁵ b ³

26 c ¹

3 d ²

13 e Inget av a till d.

7. Låt f x x³ x ¹_Πcos^Π₆x². Bestäm f ' 1 . (1p)

Lösningsförslag: _x x³ x ¹_Πcos ₆^Πx² Pot.lagar, Regler & SD ⁷₂x^{7 2 1} ¹_Π sin ^Π₆x² ^Π₆ 2x x 1 ⁷₂ ¹₂ ¹₃ ¹⁰₃.

Df x x³ x 1 Π

CosΠ 6

x², x

. x 1 f x 7 x^{5 2}

2 1

3x sin ^Πx² 6

f 1 10

3 Rätt svarsalternativ: a

a ¹⁰₃ b ³₄ c ⁵₃ d ¹¹₃ e Inget av a till d.

8.Låt f x _{2x 1}^x² ². Bestäm f ' 2 . (1p)

Lösningsförslag: _x_{2x 1}^x² ² Kvotregeln & SD ^{2x 2x 1}_{2x 1}^^x₂² ²^² ²^_{2x 1}^x² ^{x 2}₂^ x 2 ²^_{2 2 1}²² ^{2 2}₂ ^ ⁸₉.

Df x

x² 2

2 x 1, x Simplify . x 2

f x 2x² x 2 2 x 1²

f 2 8

9 Rätt svarsalternativ: d

(3)

a ²₃ b ³₅ c ⁵₇ d ⁸₉ e Inget av a till d.

9.Sök ekvationen för tangenten till kurvan y x² x2 x²² i den punkt på kurvan som har x 1. (1p) Lösningsförslag: Först funktionen och dess derivata, sedan kollar vi in lite vad som händer i punkten x 1.

f x : x² x 2 x²²; f ' x , f 1 , f ' 1

 42 x²x² 2 x²² 2 x, 2, 1

Tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan i punkten, så med direkt omlastning av enpunktsformeln till y kx m får vi tangent Solve y f 1 f ' 1 x 1 , y

y 3 x

Å så här ser tavlan ut.

Plot Evaluate f x , y . tangent , x, 0, 2 , AxesLabel x, y , PlotLabels "Expressions"

3 x x² x 2 x²²

0.5 1.0 1.5 2.0x 1

2 3 4 5 y

Rätt svarsalternativ: c

a y x 1 b y 2x 4 c y x 3 d y 3x 1 e Inget av a till d.

10. En bil kör längs kurvan x 2x³y² y. Sök ^y_t då x 1, y 1 och ^x_t 1. (1p)

Lösningsförslag: Derivera implicit map t, ^x_t 23x^{2 x}_ty² x³2 y ^y_t ^y_t, sätt in numeriska värden, 1 2 3 2 ^y_t ^y_t, och lös slutligen ut ^y_t ⁵₃.

SolveDx t 2 x t ³y t ² y t , t . x t 1, y t 1, x ' t 1 

y t 5 3^

Rätt svarsalternativ: a a ⁵₃ b ²₃ c ²₃ d ⁵₃ e Inget av a till d.

11. Beräkna ₁^{2 3x 2}_x₂ x. (1p)

Lösningsförslag: Vi får ₁^{2 3x 2}_x₂ x ₁^{2 3}_x _x²₂ x 3ln x ²_x₁² 3ln 2 1 3ln 1 2 3ln 2 1 ln 8 1.



1 23 x 2

x² x log 8 1

Rätt svarsalternativ: a a ln 8 1 b 3ln 3 1 c ln 2 1 d ln 4 1 e Inget av a till d.

12. Beräkna ₀^{1 2x 5}_{x 3} x. (1p)

Lösningsförslag: Meka på! ₀^{1 2x 5}_{x 3} x ₀1 2x 2 3 2 3 5

x 3 x ₀¹2 _{x 3}¹ x 2x ln x 3 ₀¹ 2 ln 4 0 ln 3 2 ln⁴₃. Annars går det lika bra med variabelsubstitution. 1) Välj substitutionen u x 3, 2) Måttet _x u _x x 3 x u, 3) Gränser, uu 0 3 3 och uö 1 3 4. Så ₃^{4 2 u 3 5}_u x ₃⁴2 _u¹ u 2u ln u ₃⁴ 8 ln 4 6 ln 3 2 ln⁴₃.



0 12 x 5

x 3 x

2 log 4

3 Rätt svarsalternativ: e

(4)

a 2 ln⁴₃ b 1 ln₃⁴ c ln³₄ d 2 ln 12 e Inget av a till d.

13.Beräkna ₁ ^ln^_x^x³^ x. (1p)

Lösningsförslag: Logaritmlag, ₁ ^ln^_x^x³^ x 3 ₁ ^{ln x}_x x. Sedan dax för lämplig kokbok. 1) Välj substitutionen u ln x , 2) Måttet _x u _x ln x ^u_x ¹_x x x u, 3) Gränser, uu ln xu ln 1 0 och uö ln xö ln 1.

Så 3₁ ^{ln x}_x x 3 ₀¹u u ₂³u²₀¹ ³₂.



1

Logx³ x

x 3

2 Rätt svarsalternativ: c

a ¹₂ b 1 c ³₂ d 2 e Inget av a till d.

14. Beräkna ₀^Π²xcos x x. (1p)

Lösningsförslag: Partiell integration för att “bli av” med x-et, ₀^Π²xcos x x xsin x ₀^Π² ₀^Π²1 sin x x xsin x cos x ₀^Π² ^Π₂ 1 0 0 0 1 ^Π₂ 1.



0 Π 2

x Cos x x 1

2 ^Π 2

Rätt svarsalternativ: e a ^Π₃ ¹₂ b Π ⁵₂ c ^Π₄ d ^Π₅ e Inget av a till d.

15. Bestäm ^y_x i punkten x ln 2 , y 3 om _{ln y}^^x^ 4 där. (1p)

Lösningsförslag: Vi har 4 _{ln y}^x KR

x x ln y

x

Å en gång till

x x ln y

y y x

SD ; ₁^x

y y x

. Så första och sista led ger till slut

y x

1

4 y ^x ^{3 2}₄ ³₂.

Rätt svarsalternativ: d a ¹₂ b ²₃ c ¹₆ d ³₂ e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅18.En rak cirkulär kon med basradien 3 dm och höjden 10 dm har spetsen vänd nedåt och påfylles vatten med flödet 2 dm³min. Sök både

r

t och ^h_t då volymen är 20 dm³.Ledning: Vkon 1 3Πr²h.

16. Ställ upp geometrin, det vill säga vattenvolym och kopplingsvillkor vid godtycklig tidpunkt. Spara i ekv. (1p)

Lösningsförslag: Vid djupet h har vattenytan radien r så aktuell volym är V ¹₃Πr²h. Kopplingen mellan r och h ges av likformiga trianglar (rita!) _h^r _H^R ₁₀³, där R och H är konens dimensioner.

ekv V t 1

3Π r t ²h t , r t h t

3 10

V t 1

3^Πh t r t², r t h t

3 10^

Rätt svarsalternativ: d

(5)

a ekv V t ¹

3 Π r t ²h t , ^{r t}

h t 10

3 b ekv V t ¹

3 Π r² t h t , ^{r t}

h t 10

3 

c ekv V t ¹

3 Π r² t h t , ^{r t}

h t 3

10 d ekv V t ¹

3 Π r t ²h t , ^{r t}

h t 3 10 e Inget av a till d.

17. Lös ut r t och h t . Solve ger tre lösningar. Spara den tredje som regler i rÅh. (1p) Lösningsförslag: Tydligen är det Solve vi ska använda

rÅh Solve ekv, r t , h t Last

r t 3^{2 3} ³V t 10Π

3 , h t 10^{2 3} ³V t 3Π

3 

Rätt svarsalternativ: b

a rÅh Solve ekv, r t , h t . Last b rÅh Solve ekv, r t , h t Last

c rÅh Solve ekv, r t , h t 3 d rÅh Solve ekv, r t , h t 3

e Inget av a till d.

18. Bestäm slutligen både ^r_t och ^h_t vid den angivna ögonblicksbilden. (1p)

Lösningsförslag: Derivera reglerna och sätt in numeriska värden, så har vi svaret på självdokumenterande form.

DrÅh, t . V t 20, V ' t 2

r t 1

5 2^{2 3} ³3Π

, h t 1 3

2 3Π

3 

a trÅh . V t 20, V ' t 2 b DrÅh . V t 20, V ' t 2 , t

c DrÅh, t . V t 20, V ' t 2 d DerivativerÅh . V t 20, V ' t 2 , t

19̅24.I en rätvinklig triangel med kateterna a, b och hypotenusan c är summan av kateterna lika med två. Sök a, b, c och triangelarean

A då A är maximal. ^b

a c

19. Formulera de geometrisamband som behövs för att lösa uppgiften. Spara i ekv. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet i texten area, Pytagoras sats och kopplingsvillkor.

ekv A 1 2

a b, a² b² c², a b 2;

a ekv A ¹

2 a b, a b ² c², a b 2 b ekv A ¹

2 a b, a² b² c², a c 2

c ekv A ¹

2 a b, a² b² c², a b 2 d ekv A ¹

2 a b, a b c, a b 2

20. Lös ut A b , a b och c b . Solve ger två lösningar. Spara den andra som regler i Aac. (1p) Lösningsförslag: Solve är en av våra bästa vänner

Aac Solve ekv, A, a, c 2

A 1

2^2 b b², a 2 b, c 2 b² 2 b 2

Rätt svarsalternativ: a

a Aac Solve ekv, A, a, c 2 b Aac Solve ekv, A b , a b , c b 2 c Aac Solve ekv, A, a, c . Last d Aac Solve ekv, A b , a b , c b Last e Inget av a till d.

21. Rita A b , a b och c b i olika färger. Välj naturlig definitionsmängd, det vill säga hur b kan variera. Pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Rita med Plot. Enligt kopplingsvillkoret a b 2, kan vi tydligen välja b 0, 2 .

(6)

Plot Evaluate A, a, c . Aac , b, 0, 2 , AxesLabel b , PlotLabels A, a, c

aA c

0.5 1.0 1.5 2.0 b 0.5

1.0 1.5 2.0

Rätt svarsalternativ: e

a Plot Evaluate A, a, c . Aac , b, 0, 2 , AxesLabel "b", "A,a,c"

b Plot Evaluate Aac , b, 0, 2 , AxesLabel "b", "A,a,c"

c Plot Evaluate Aac . A, a, c , b, 0, 3 , AxesLabel "b", "A,a,c"

d Plot Evaluate A, a, c . Aac , b, 0, 3 , AxesLabel "b", "A,a,c"

22. Bestäm extrempunkten b genom att derivera A och söka nollställe. Spara som regel i bopt. (1p) Lösningsförslag: D följt av Solve är ju skolboksversionen

bopt Solve D A . Aac, b 0, b b 1

a bopt Solve D Aac . A, b 0, b b bopt Solve D A . Aac, b 0, b

c bopt Solve D A . Aac 0, b , b d bopt Solve D Aac . A 0, b , b

23. Bestäm avslutningsvis A b , a b och c b . (1p) Lösningsförslag: Typexempel på användning av Replace

Aac . bopt

A 1

2, a 1, c 2

Rätt svarsalternativ: c a bopt . Aac b Aac . A, a, c bopt

c Aac . bopt d Aac bopt e Inget av a till d.

24. Bestäm maximalt A b ännu en gång, nu med inbyggd hjälpreda som gör hela jobbet. (1p) Lösningsförslag: Maximize eller FindMaximum är bra att ha

Maximize A . Aac, b

1 2, b 1

Rätt svarsalternativ: a a Maximize A . Aac, b b Maximum Aac . A, b

c Max Aac A , b d FindMax A . Aac, b e Inget av a till d.

25.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då det område i första kvadranten som innesluts av x–axeln och grafen till y x 2 x roterar ett varv

kring x–axeln. 1p _x

Lösningsförslag: Vi har direkt "formel" V _a^bΠy² x. Integrationsgränserna ges av kurvans skärningspunkter med x-axeln, det vill säga x 2 x 0 x 0 eller x 2. Så



0 V

V 

0 2

Π x x 2 ² x

V 16Π

15 Rätt svarsalternativ: c

(7)

a

0

22 Π x 2 x x b

0

2Π x 2 x x

c 0

2Π x 2 x ² x d

0

22 Π x x 2 x x e Inget av a till d.

26.I varje punkt x i en smal stång med längden L m är densitetenΡkg m proportionell mot produkten av avstånden till stångens ändpunkter med

proportionalitetskonstantenΡ₀L². Bestäm stångens massa m. 1p ⁰ ^L ^x

Lösningsförslag: Vid läget x i stången har vi den lilla massan m Ρx x, där Ρx ^Ρ⁰

L²x L x enligt uppgift. Nu är det bara att lägga samman alla små bidrag till stångens massa m.



0 m

m 

0 LΡ0

L²

x L x x

m LΡ0

6 Rätt svarsalternativ: a

a

0 m m

0 L Ρ₀

L² x L x x b

0 L Ρ₀

L² x² L x m

c 0

L Ρ₀

L²L² x² x d

0 m m

0 L Ρ₀

L² x L x m e Inget av a till d.

27.I en smal stång med längden L m är densitetenΡkg m i varje punkt x proportionell med k mot x i kvadrat. Bestäm

tyngdpunkten Gur _mx G m 0. 1p ⁰ ^L ^x

Lösningsförslag: Massan för en liten bit x vid x är m Ρ x x k x² x och slutligen tyngdpunktens läge.

Solve

0 L

x _G k x² x 0, _G

 G

3 L 4 ^

a Solve

0

Lx _Gk x² x 0, _G b Solve

0

Lk x² _G x 0, _G c Solve

0

Lx k x² _G x 0, _G d Solve

0

L x _G k x² x 0, _G e Inget av a till d.

28.En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet _mr² m då den roterar kring y–axeln. 1p

a b

x y

Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ ₁^m

2ab. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor y x. Höjden y av en sådan vid x får vi med likformiga trianglar ^y_b ^{a x}_a . Bidraget till tröghetsmomentet är J x² m x²Ρy x. Nu är det bara att lägga samman.



0 J

J 

0 a

x² m

1 2 a b

b a x a

 x

J a²m

6 Rätt svarsalternativ: e

a 0

ax² ₁^m

2a b

b ^{b x}

a  x b

0 ax² ₁^m

2a b

b ^x

a 1 x

c 0

ax² ₁^m

2a b

a ^{b x}

b  x d

0 ax² ₁^m

2a b

a ^{a x}

b  x e Inget av a till d.

(8)

29̅30.I Japan finns en av världens största hängbroar Akashi Kaikyo Ohashi mellan Kobe på Honshu och Iwaya på Awaji. Spannet är nästan 2000 m mellan de 283 m höga pilonerna och segelhöjden är 66 m. Låt kabeln ha formen av en parabelbåge enligt figur, y x , x 0, 2000 , och vara definierad som

en funktion y x i Mathematica. ⁵⁰⁰ ¹⁰⁰⁰ ¹⁵⁰⁰ ²⁰⁰⁰^x

50 100 150 200 y x

29. Bestäm kabelns längd S. (1p)

Lösningsförslag: Utom tävlan har vi parabelbågen y x kx ²⁰⁰⁰₂ ², som med x, y 0, 283 66 k ^{283 66}

0 2000 2², så

y x

283 66 0 2000 2 ²

x 2000

2

;

Plot y x , x, 0, 2000 , AxesLabel x, y

500 1000 1500 2000x 50

100 150 200 y

För att beräkna längden på kabeln är det nu bara att tillämpa färdig formel i kompendiet, eller ännu bättre göra den lilla härledningen med Pytagoras sats som görs där.



0 S

s 

0 2000

1 y ' x ² x N

S 2 297 089 500 000

217 sinh ¹ 217 500 S 2061.12

Inte fel att göra en enkel kontroll med rätvinkliga trianglar. Kabeln ligger under hypotenusan men inte längs kateterna! Ok!

2  1000² 283 66 ² , 1000 283 66  N 2046.55, 2434.

a

0 S s

0

2000 1 y ' x x b

0 S s

0

2000 1 y ' x ² x

c 0

S s

0

2000 1 y x ² x d

0 S s

0

2000y ' x ² x e Inget av a till d.

30. Låt kabeln ha densiteten Ρ kg/m och beräkna arbetet mgh , som krävs för att från vägbanan lyfta kabeln på plats. (1p)

Lösningsförslag: Klipp kabeln i små bitar och lyft en sådan liten kabelstump vid x med längden s 1 y' x² x och massan m Ρ s på plats. Arbetet som behövs för detta är då mgh mg y x Ρg y x 1 y' x² x. Nu är det bara att samla ihop alla smågrejer en sista gång, sedan är vi äntligen färdiga ;-)



0



0 2000

Ρ g y x 1 y ' x ² x N

gΡ 37 343 313 297 089 31 250 000 000 sinh¹²¹⁷₅₀₀

47 089 152 585. gΡ

a

0

2000Ρ g 1 y ' x x b

0

2000Ρ g y x 1 y x ² x

c 0

2000Ρ g y x x d

0

2000Ρ g y x 1 y ' x ² x e Inget av a till d.