Technická univerzita v Liberci
FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ
Katedra: Primárního vzdělávání Studijní program: Učitelství pro ZŠ
Studijní obor: Učitelství pro 1. stupeň ZŠ
PROSTOROVÉ VNÍMÁNÍ ŽÁKŮ PRIMÁRNÍ ŠKOLY
PRIMARY SCHOOL PUPILS’ SPACE PERCEPTION
Diplomová práce: 09–FP–KPV–0018
Autor: Nováková Tereza Podpis:
Adresa: Na Stráni 221, Markvartice _______________________
471 25, Jablonné v Podještědí
Vedoucí práce: Perný Jaroslav, doc. PaedDr., Ph.D.
Konzultant: Bc. Lenka Nováková
Počet
stran grafů obrázků tabulek pramenů příloh
109 4 35 14 30 9
V Liberci dne:
Prohlášení
Byl(a) jsem seznámen(a) s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.
Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL.
Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.
Diplomovou práci jsem vypracoval(a) samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.
V Liberci dne: Nováková Tereza
___________________________
Poděkování:
Tímto bych chtěla srdečně poděkovat docentu Jaroslavu Pernému za spolupráci, odborné rady a konzultace, díky nimž práce vznikla.
Dále děkuji paní učitelce Lence Novákové, mé mamince, a třídě 3. B za spolupráci a konzultace při tvorbě práce.
V neposlední řadě bych chtěla poděkovat ostatním členům své rodiny za pomoc při finální úpravě práce a morální podporu.
PROSTOROVÉ VNÍMÁNÍ ŽÁKŮ PRIMÁRNÍ ŠKOLY
Anotace
Diplomová práce se zabývá možnostmi rozvoje prostorové představivosti u žáků 1. stupně základní školy. Zkoumá a popisuje možnosti, jak lze některé složky představivosti stimulovat a procvičovat. Jde zejména o pohledy na tělesa, jejich zobrazování a následné znovuvytvoření. Přitom se uplatňuje spolupráce a komunikace mezi žáky jako významná kompetence.
Mini-výzkum je postaven na hypotéze, že systematické rozvíjení prostorové představivosti pomocí cvičení, která jsou k tomu určená, může přispět k jejímu zlepšení. To vše by mělo žákům usnadnit pochopení matematických a geometrických vztahů při dalším studiu v následujících letech. Práce je doplněna zásobníkem průpravných cvičení, obrázky, tabulkami a grafy.
Klíčová slova
Prostorová představivost, geometrie, dítě mladšího školního věku, zobrazování, uplatnění imaginace v matematice.
PRIMARY SCHOOL PUPILS’ SPACE PERCEPTION
The annotation
The thesis deals with space perception development possibilities for primary school pupils. The thesis studies and describes possible ways of stimulating and practising some of the perception components. The work focuses on the look at figures, their display and follow-up reproduction.
At the same time, a cooperation and communication among pupils form an important competence.
The mini-research work is based on a hypothesis that systematic development of space perception with help of exercises intended for it can
contribute to its improvement. This should ease pupil's mathematical and geometrical relations comprehension in their following studies. The thesis is supplemented by introductory exercises, pictures, charts and graphs.
Key words
The space perception, the geometry, the primary school pupil, the displaying, the imagination exercising in mathematics.
DIE VOLKSSCHULE SCHÜLE RÄUMLICHE PERZEPTION
Die Annotation
Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit Möglichkeiten der räumlichen Perzeption, Entwicklung bei der Volksschule. Es untersucht und beschreibt die Möglichkeiten, wie können einige Perzeption Komponenten stimulieren und schulen. Es geht vor allem um geometrischen Figurenblick ihre Kartierung und vollständige Reparatur.
Dabei ist die Zusammenarbeit und die Kommunikation unter den Schüler von erheblicher Bedeutung der Mini-Forschung wurde auf Hypothese errichtet, das Systematische räumliche Perzeption Entwicklung mit bestimmt zu es Übung kann zu ihrer Besserung beitragen. Alles sollte mathematisch und geometrisch Relation Verständnis den Schüler bei nächste Studium leichter machen.
Die Diplomarbeit ist durch die Übung, Bilder, Tafeln und Grafiken ergänzen.
Die Schlüsselwörter
Die räumliche Perzeption, die Geometrie, die Volksschule Schüle, die Kartierung, die Aufwendung der Imagination in der Mathematik.
Motto:
„Jeden obrázek je víc než tisíc slov.“
(čínské přísloví)
Obsah
ÚVOD ...11
1 TEORETICKÁ ČÁST ...12
1.1 Co je geometrie ... 13
1.1.1 Historie pohledu na geometrii ... 15
1.1.2 Geometrie na 1. stupni ZŠ... 19
1.2 Dítě mladšího školního věku ... 21
1.2.1 Sociální komunikace... 21
1.3 Stereometrie ... 23
1.3.1 Prostorové myšlení a představivost ... 23
1.3.2 Pojmy názorná představa a představivost ... 25
1.3.3 Pojem zobrazení ... 26
1.3.4 Zobrazování těles ... 27
1.3.5 Rovnoběžné promítání... 28
1.3.6 Optický klam... 28
1.4 Psychologie a matematika ... 30
1.4.1 Pojem vnímání u dětí... 30
1.4.2 Mozek a jeho funkce ... 31
1.4.2.1 Stavba nervového systému a hlavní funkce jeho částí ... 31
1.4.2.2 Druhy inteligence ... 32
1.4.3 Uplatnění imaginace v matematice... 37
1.5 Výtvarné chápání... 38
1.5.1 Kresba ... 38
2 PRAKTICKÁ ČÁST...39
2.1 Cíl mini-výzkumu ... 40
2.2 Výběr vzorku... 41
2.2.1 Charakteristika vzorku ... 41
2.2.2 Charakteristika školy ... 42
2.2.3 Charakteristika města ... 43
2.3 Popis mini-výzkumu ... 44
2.4 Námi očekávané odpovědi... 45
2.4.1 Přiřaď předmětům čísla od nejoblíbenějšího k nejméně oblíbenému. .. 45
2.4.2 Máš raději matematiku (počty), nebo geometrii? ... 45
2.4.3 Co konkrétně máš na matematice nejraději? ... 45
2.4.4 Co konkrétně máš na geometrii nejraději? ... 46
2.4.5 Co konkrétně máš na matematice rád/a nejméně? ... 46
2.4.6 Co konkrétně máš na geometrii rád/a nejméně?... 47
2.4.7 Jak si představuješ ideální hodinu matematiky?... 47
2.4.8 Jak si představuješ ideální hodinu geometrie? ... 47
2.5 Získaná data z dotazníků a jejich interpretace... 48
2.5.1 Přiřaď předmětům čísla od nejoblíbenějšího k nejméně oblíbenému. .. 48
2.5.2 Máš raději matematiku (počty), nebo geometrii? ... 49
2.5.3 Co konkrétně máš na matematice nejraději? ... 50
2.5.4 Co konkrétně máš na geometrii nejraději? ... 51
2.5.5 Co konkrétně máš na matematice rád/a nejméně? ... 52
2.5.6 Co konkrétně máš na geometrii rád/a nejméně?... 52
2.5.7 Jak si představuješ ideální hodinu matematiky?... 53
2.5.8 Jak si představuješ ideální hodinu geometrie? ... 55
2.6 Průběh mini-výzkumu... 57
2.6.1 První fáze – zadání dotazníků, seznámení žáků s mini-výzkumem... 57
2.6.2 Druhá fáze – plnění průpravných cvičení ... 57
2.6.3 Třetí fáze – praktický úkol... 58
2.6.3.1 Průběh závěrečného úkolu mini-výzkumu ... 59
2.7 Námi očekávané výsledky mini-výzkumu ... 61
2.8 Získaná data z mini-výzkumu a jejich interpretace ... 62
2.8.1 Srovnání záznamů tříd 3. A, 3. B a 5. A ... 62
2.8.2 Srovnání způsobů komunikace a časů tříd 3. A, 3. B a 5. A... 63
2.8.3 Srovnání zrekonstruovaných staveb tříd 3. A, 3. B a 5. A... 65
2.8.4 Oblíbenost matematiky a geometrie po skončení mini-výzkumu ... 65
2.8.5 Společná kontrola a zhodnocení úkolu i žáků ... 66
2.8.6 Zajímavé postřehy ... 67
2.9 Zhodnocení celého mini-výzkumu... 69
2.10 Zásobník cvičení... 70
2.11 Použité metody ... 103
2.11.1 Dotazník ... 103
2.11.2 Pozorování ... 103
ZÁVĚR ...104
LITERATURA ...106
PŘÍLOHY ...109
ÚVOD
Již na základních školách se setkáváme s poměrně jednoduchou geometrií, která se s vyššími ročníky stále více konkretizuje a stává se pro žáky a studenty velice obtížným předmětem.
Když jsem studovala na střední škole, setkávala jsem se u některých spolužáků s problémy především v oblasti prostorové představivosti. Často nedokázali vysledovat vztahy ukryté v geometrických obrazcích, či tělesech.
S těmito obtížemi se potýkali i spolužáci na vysoké škole. Jelikož mne tato část geometrie velice baví, několikrát za mnou kamarádi přišli, ať jim danou látku vysvětlím. Nebylo to pro mne vždy jednoduché. Mnohokrát jsem se divila, že danou věc nevidí, že si daný objekt nedokážou představit.
Zaujala mne tedy myšlenka, pokusit se rozvíjet prostorovou představivost již u dětí mladšího školního věku, tedy u žáků na 1. stupni základní školy.
Rozhodla jsem se sledovat prostorové vnímání žáků a předkládat jim úlohy umožňující rozvíjení jejich prostorové představivosti. Proto jsem po dobu sedmi měsíců jednou (někdy i dvakrát) do týdne docházela do třídy na 1. stupni základní školy a kromě běžné výuky jsem s nimi vypracovávala cvičení určená k rozvoji prostorové představivosti. Zadala jsem jim také dotazník, který u žáků zjišťoval oblíbenost vyučovacích předmětů matematika a geometrie. Tento dotazník vyplňovaly ještě dvě další třídy (paralelní a o dva stupně vyšší třída), jež byly vtaženy do poslední fáze mini-výzkumu. Na závěr jsem ve zkoumané třídě (a pro srovnání v další 3. a 5. třídě) zadala problémovou činnost, při které měli žáci uplatnit, jak vnímají a následně zakreslí pohledy na sestavu těles a jak jsou podle tohoto grafického záznamu schopni sestavu opět vytvořit s využitím vzájemné komunikace.
Byli bychom rádi, kdyby se u žáků objevily pokroky a tato práce byla přínosem pro výuku geometrie. Práce obsahuje i několik průpravných cvičení na rozvoj prostorové představivosti, které by mohli využít pedagogové na všech základních školách.
1 TEORETICKÁ ČÁST
1.1 Co je geometrie
„Ačkoliv lze dnes nalézt učebnice geometrie, které jsou bez obrázků, považujeme za výrazný rys geometrie kreslení a rýsování obrázků. Obrázky jsou přirozenou součástí geometrie, a to nejen geometrie elementární. Je to dáno jejím obsahem i stylem. Geometrické útvary lze obvykle vymodelovat či nakreslit, geometrické úvahy souvisejí s představivostí, s uměním vidět dosud neformulované souvislosti. Tato stránka, spojení intuice s logikou, vedla patrně v historii k tomu, že geometrie byla jako prvá disciplína již ve třetím století před naším letopočtem uspořádána do logicky budovaného systému, který připomíná moderní axiomatiku.“ (F. Kuřina, 1996, s. 10, [14])
Geometrie je jednou z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi geometrických útvarů, jejich tvarem a velikostí, a vzájemnými vztahy mezi nimi. Mezi tyto útvary řadíme prostorová tělesa, plochy, body, přímky a roviny.
Slovo geometrie pochází z řeckého původu a v překladu znamená zeměměřičství. Již ve starověkém Egyptě a Babylónii byla totiž geometrie využívána k vyměřování pozemků a stavbě chrámů a pyramid pravidelných tvarů.
Pozdější studium geometrických útvarů, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Geometrie bývá dodnes považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec.
Základy geometrie, jako matematického oboru, položil Eukleides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Podařilo se mu tak založit geometrii, kterou označujeme jako eukleidovskou geometrii. Dělíme ji na rovinnou a prostorovou.
Později zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic. To znamená, že geometrické problémy je možné řešit algebraickými metodami. To také umožnilo zobecnění geometrických úvah na n-rozměrné Eukleidovské prostory (i pro n>3).
Další vývoj geometrie probíhal ve dvou hlavních směrech. Prvním z těchto směrů bylo využití metod diferenciálního počtu k popisu geometrických útvarů. Tento přístup vedl, zejména díky Gaussovi, ke vzniku diferenciální geometrie a posléze ke koncepci Riemannovy geometrie, předložené Riemannem v r. 1854. Tuto linii vývoje pak ještě zobecnil zejména Elie Cartan. Ve fyzice nalezla tato linie geometrizace uplatnění zejména v podobě obecné teorie relativity.
Druhý hlavní směr vývoje vedl úsilím geometrů, mezi které patří například Desargues, Poncelet, Möbius či Cayley, k vytvoření projektivní geometrie. Jak rozpoznal Felix Klein ve vlivném Erlangenském programu z r. 1872, právě projektivní geometrie disponuje nejširší grupou symetrií, a proto poskytuje přirozený zobecňující rámec pro studium Eukleidovské, metrické, či afinní geometrie, včetně tzv. neeukleidovských geometrií Bolyaie či Lobačevského i dalších. Ve fyzice tato grupově-teoretická linie geometrizace ovlivnila zejména kvantovou mechaniku a částicovou fyziku.
Přestože řadíme geometrii mezi nejstarší oblasti matematiky, dodnes se vyvíjí. V modernějším pojetí se geometrie zabývá vlastnostmi prostoru a různými algebraickými strukturami na topologických objektech. [29]
1.1.1 Historie pohledu na geometrii
Z knihy Františka Kuřiny (1996, s. 12) se dozvídáme, že „prvé podněty geometrické povahy vznikaly z potřeb praxe lidské společnosti. Ostatně i název našeho předmětu naznačuje jeho původ. Šlo o problémy měření Země, o řešení konkrétních otázek podnícených zavlažováním pozemků, stavbami různých objektů, např. sýpek nebo pyramid, astronomickými problémy spjatými např. s cestováním atp.“ [14]
„Eukleidovy Základy, které byly sepsány na přelomu čtvrtého a třetího století př. Kr., jsou velkolepou kompilací výsledků řecké matematiky předchozích tří století. Prezentovaly novou, deduktivní metodu výstavby matematického světa z nemnoha primitivních pojmů pomocí několika málo axiomů1 a postulátů2, v duchu Aristotela, který nedlouho před Eukleidem z Alexandrie zformuloval
1 Axiom (z řec. axióma, to co se uznává) je tvrzení, které se předem pokládá za platné a tudíž nedokazuje. [28]
2Postulát je jedním ze základních pojmů logiky i přírodních věd a označuje výchozí předpoklad, který je v dané teorii přijímán jako pravdivý. Jeho pravdivost přitom není v rámci dané teorie logicky dokazována ani dokazatelná. Pojem postulát je často užíván zejména ve fyzice, kde je v podstatě synonymem pojmu axiom, který je častější v matematice a v geometrii. [30]
Obrázek 1: Eukleides
VOPĚNKA, Petr. Základy : Knihy I – IV. 1. vyd.
Nymburk : OPS, 2007. 151 s. ISBN 80-903773-6-X.
principy logiky, dedukce a zásady vědeckého bádání. Zásady obsahují téměř veškerou tehdejší matematiku, tj. rovinnou geometrii, aritmetiku a teorii čísel, geometrickou algebru a prostorovou geometrii. Sehrály obrovskou roli ve vývoji světové matematiky; až do konce 19. století byly vzorem pro budování matematické teorie. Často se uvádí, že jsou po Bibli nejčastěji vydávanou a komentovanou knihou západního kulturního světa.
Jako základní učební text byly používány při výuce geometrie v celém kulturním světě až do počátku 19. století, kdy je postupně nahrazovaly modernější učebnice v národních jazycích.“ (L. Dostálová, 2008, s. 5 – 6, [7])
„Meranský program z r. 1905 ovlivnil významný matematik F. Klein (1849 – 1925). Hlavní zásada meranského programu spočívala v uznání formativní funkce matematiky a ve zdůraznění rozvoje matematického myšlení žáků. Jeho požadavky lze shrnout do čtyř bodů:
1. Ve vyučování matematice musíme poskytnout vědecky podložený přehled o matematice, o jejích principech a idejích. Přitom musíme zohlednit věk žáků a odstranit z nižších tříd náročné důkazy.
Principem školské matematiky by měl být fuzionismus3.
2. Důležitým požadavkem je rozvíjení a návyk funkčního myšlení.
Pojem funkce je jedním ze základních pojmů školské matematiky a z něho se odvíjejí ostatní úvahy.
3. Ve vyučování v matematice musíme posílit prostorovou představivost a pěstovat geometrické myšlení. S ohledem na věk žáků je žádoucí zavést propedeutické kursy ve vyučování geometrie a uplatnit názor jako základ pro budování geometrických představ.
4. Ve vyučování je potřebné zvýraznit postavení a význam přírodovědných předmětů pro vzdělání, akcentovat jejich spojení s matematikou, zejména spojení matematiky s fyzikou.
3 Fuzionismus je úzké spojení aritmetiky a algebry s geometrií, planimetrie se stereometrií, aby vznikla jednota matematiky a matematika se nerozpadla na navzájem nesouvisející disciplíny.
(E. Luhan, s. 14 – 15, 1990, [16])
V duchu meranského programu se vyučovalo zhruba do r. 1945.“
(E. Luhan, 1990, s. 14 – 15, [16])
„Ve druhé polovině 20. století dochází k dalším matematickým reformám.
V geometrii dochází ke zobecnění pojmu prostoru. Pojem n-rozměrného prostoru zavedl A. Cayley (1821 – 1895) a vyhovující definici topologického prostoru vypracoval F. Hausdorf (1868 – 1944). D. Hilbert (1862 – 1925) završil dlouholeté snahy matematiků a axiomatizoval euklidovskou geometrii.“
(E. Luhan, 1990, s. 18, [16])
V knize od Jeana Piageta a Bärbel Inhelderové (2000, s. 63) nám autoři uvádí, že „od sedmi až osmi let se u dětí vyvíjejí projektivní představy a současně se vypracovává euklidovská geometrie, tj. v kresbě se objevují obě podstatné vlastnosti „zrakového realismu“. Ostatně již od tohoto věku se vytváří projektivní přímka (což je spojeno s „mířením“) i elementární perspektiva. Dítě se stává schopným anticipovat kresbou tvar předloženého předmětu tak, jak by ho viděl pozorovatel sedící vedle dítěte nebo proti němu.“ [20]
Z rozboru osnov z r. 1962 se z knihy od Elišky Malinové (1979, s. 15) dozvídáme: „Učivo geometrie má nepatrný rozsah a tvoří jen jednotlivé prvky rozložené v aritmetickém učivu. Žáci nepoznávají základní vlastnosti geometrických útvarů, nerozvíjí se přiměřeně jejich prostorová představivost, správné vyjadřování a dovednost rýsování.“ [17]
Období mezi roky 1968 – 1976 označujeme jako první etapu modernizace vyučování. V této etapě byl reformován didaktický systém matematiky. Vydávaly se nové učebnice matematiky. Snahou těchto učebnic bylo odstranit některé metodické nedostatky předcházejících učebnic. (E. Luhan, 1990, [16])
V dalším rozboru osnov z r. 1972 se dozvídáme, že „geometrické učivo v důsledně množinovém pojetí tvoří systém s důrazem na rozvíjení prostorové představivosti žáků.“ (E. Malinová, 1979, s. 16, [17])
„Ve druhé etapě modernizace vyučování matematice, která začíná r. 1976, dochází k přebudování celého didaktického systému matematiky. Jeho základem je jednotné metodické zpracování školské matematiky užitím výsledků intuitivní
teorie množin; klade se důraz na množinově logický a axiomaticko-strukturní přístup k učivu matematiky. Toto nové pojetí si vyžádalo nové didaktické uspořádání učiva matematiky, zavedení nového školského matematického jazyka a symboliky.
V uvedeném pojetí byly zpracovány nové učebnice matematiky vybranými kolektivy autorů. Podle těchto učebnic a učebnic, které vznikly jejich přepracováním, se dosud vyučuje na našich školách.“ (E. Luhan, 1990, s. 22, [16])
„Současně však nesplnilo všechna proklamovaná očekávání: důrazem na strukturně logickou stavbu učiva matematiky nedošlo k předpokládané akceleraci a prohloubení vědomostí a dovedností z matematiky směrem k nižšímu věku žáků a nebyl odstraněn verbalismus ve výuce matematiky. Žáci byli přetíženi množstvím učiva, které je zejména abstraktně náročné a nepřiměřené věku žáků. Metodologicky i didakticky zůstalo nevyjasněno pojetí a postavení geometrie ve školské matematice.
Snaha po matematickém uspořádání učiva matematiky od prvního do posledního ročníku v souladu s vědeckým systémem matematiky vedla nutně k potlačení zásady přiměřenosti. Probírání velkého množství značně abstraktního teoretického učiva vyžaduje hodně času a námahy. Tím se ztrácí mnoho času potřebného na procvičení látky, na výcvik v numerickém počítání, v rýsování a jiných dovednostech přiměřených tomuto věku žáků.
Přirozeným důsledkem přecenění logických souvislostí a nedoceněním psychologických zákonitostí je to, že žáci ve svém celku s postupem do vyšších ročníků ztrácejí zájem o matematiku a výsledky vyučování matematice zdaleka neodpovídají velkému počtu hodin věnovaných matematice ani vynaloženému úsilí učitelů matematiky.“ (E. Luhan, 1990, s. 23, [16])
1.1.2 Geometrie na 1. stupni ZŠ
Vše, co se žáci naučí na 1. stupni základní školy, je nezbytně nutné pro další navazující studium. Je všeobecně známé, že „co se v mládí naučíš, v stáří jako když najdeš“. Proto je nezbytné věnovat co největší pozornost rozvoji žákových dovedností již v tomto období, jelikož čím více si toho zapamatují, tím snadnější pro ně bude každá následující práce.
„Žáci vycházejí z pozorování reálných situací, modelují je, experimentují a docházejí k jednoduchým závěrům o prostorových vztazích. Dětské představy o geometrických útvarech a jejich vzájemné poloze se postupně upřesňují, ale od reality nejsou ještě příliš vzdálené. Děti jen obtížně odlišují geometrický útvar – pojem od jeho modelu nebo realizace (např. krychle – kostka), protože řada skutečných předmětů je označována v praxi jen názvem geometrickým.
Závažným úkolem elementární geometrie na 1. stupni ZŠ je naučit žáky správnému vyjadřování. Při volbě správné formulace se učí žáci přemýšlet o vzájemných vztazích a vlastnostech geometrických útvarů, a tím získávají jasné a konkrétní představy.“ (J. Divíšek a kol., 1989, s. 156, [6])
V knize Jiřího Divíška (1989, s. 163) se dále můžeme dočíst, že „osvojování geometrického učiva se u žáků nižších ročníků základní školy opírá především o smyslové poznávání. Názor je nezbytný prostředek k rozvíjení myšlení a k postupnému přechodu k aktivní myšlenkové práci.
Práce s názornými prostředky přispívá k plnění jednoho ze závažných úkolů vyučování geometrii – rozvoji prostorové představivosti, tj. schopnosti osvojovat si vědomosti a dovednosti na základě myšleného konstruování prostorových obrazů a operování s nimi. Je proto nutné věnovat rozvoji prostorové představivosti zvláštní pozornost a zajistit ve vyučování matematice takové podmínky, které by systematicky umožňovaly rozvoj této složky myšlení.“
[6]
„Geometrie leží mimo chápavost dětí; je to však naší vinou. My necítíme, že jejich methoda není táž jako methoda naše, a že co nám jest uměním usuzovati,
nesmí býti pro ně než uměním viděti. Místo abychom jim vnucovali methodu svou, udělali bychom lépe, kdybychom přijali jejich; neboť náš způsob učiti se geometrii je právě tak věcí obrazotvornosti jako úsudku.“ (J. J. Rousseau, 1910, s. 159 – 160, [21])
Pokud se nám dostane dobrého studia geometrie, může nás to obohatit hned v několika směrech. Mělo by např. rozvíjet naši představivost a tvořivost, ale i pracovitost a kritičnost. (F. Kuřina, 1996, [14])
1.2 Dítě mladšího školního věku
Jak uvádějí Čáp a Mareš ve své knize (2007), mladší školní věk, který začíná v šesti letech a končí v deseti až jedenácti letech, je pro dítě velmi komplikovaný. V tomto období si zvyká na každodenní vstávání, odchod do školy a plnění svých povinností, které mu nikdo neodpustí. [5]
Škola přináší dítěti nové zážitky, zkušenosti a vztahy. Seznamuje se tu se svými novými kamarády – spolužáky, mezi kterými se vytváří silná, slabá, ale i nepřátelská pouta. Záleží pouze na dítěti, jak se do kolektivu začlení.
Ve Fontanově knize (2003) se dále dozvídáme, že dětské myšlení udělá během tohoto období značný pokrok. Dítě začíná konkrétněji myslet, již dokáže třídit a řadit předměty např. podle velikosti či váhy. [8]
1.2.1 Sociální komunikace
„Komunikace je typ sdělování a dorozumívání mezi lidmi. Základní rozdělení komunikace je na komunikaci verbální a neverbální.
Jednoduše řečeno – verbální je to, co člověk řekne slovy. Neverbální komunikace je založena na mimoslovní komunikaci.“ (I. Špaňhelová, 2006, s. 48, [27])
„Součástí sociální interakce je sociální komunikace neboli výměna informací mezi lidmi. Jsou to slovní sdělení, která umožňují předávat si zkušenosti, koordinovat společnou činnost, ale také vybízet druhého člověka k určitému chování a jednání. Zároveň se slovním sdělováním probíhá mimoslovní sdělování, tedy nonverbální komunikace: miminka (radost, smutek, údiv, váhání), gesta (souhlas, nesouhlas, vyhrožování), oční kontakt (přímý pohled, uhýbání očima), sdělování vzdáleností (přibližování, ustupování) apod.
Mimoslovně vyjadřujeme hlavně naše city. Sociální komunikace probíhá
mezi matkou a dítětem i mezi ostatními členy rodiny, mezi vrstevníky při hrách, mezi učitelem a žáky, mezi spolupracovníky, v televizi, rozhlasu, tisku aj.“
(J. Čáp, J. Mareš, 2007, s. 57, [5])
Sociální komunikace je důležitým procesem například v realizaci obchodních vztahů. Zahrnuje výměnu informací, ale i emocí, hodnocení a pobídek k činnosti. Sdělujeme druhému nejen, co se stalo, ale zároveň také, zda se nám to líbí, či nelíbí, co bychom měli udělat aj.
Kvalitou komunikace se zde rozumí nejen úroveň slovního vyjadřování, ale také emoční charakteristiky: zda vyjadřují sympatie, kooperativnost, důvěru, povzbuzení, nebo naopak antipatie, nedůvěru, podezíravost, přehlížení toho, s kým komunikace probíhá apod. (J. Čáp, J. Mareš, 2007, [5])
1.3 Stereometrie
„Základním geometrickým útvarem je prostor. Není to však fyzikální prostor, v němž žijeme, ale matematická abstrakce podnícená studiem tohoto prostoru. Geometrickými útvary jsou pak části tohoto prostoru, např. roviny, přímky, úsečky, trojúhelníky, kružnice, elipsy, šroubovice, koule, kužele, aj.“
(F. Kuřina, 1996, s. 11, [14])
„Stereometrie neboli geometrie v prostoru nás chce naučit zvládat prostor, správně si představovat prostorové vztahy. Tuto dovednost potřebuje nejen například architekt, kadeřnice, chirurg, gymnastka, pilot a herečka, ale potřebuje ji každý z nás, neboť všichni se pohybujeme v tomto světě, někam směřujeme, před něčím uhýbáme a někomu jdeme vstříc.
Vztahy v rovině můžeme přesně nakreslit. Znázornění vztahů v prostoru je jeden z našich problémů. Používané obrázky pouze naznačují vzájemnou polohu a tvar těles, skutečné prostorové vztahy si musíme vytvářet na základě připojeného popisu ve vlastních představách. Není to vždy snadné.“ (J. Kadleček, 1996, s. 137, [11])
1.3.1 Prostorové myšlení a představivost
Pokud člověk dokáže objevit to, co zdánlivě vidět není, dá se to považovat za velmi cennou vlastnost. Bohužel, tato vlastnost není u každého jedince rozvinuta ve stejné míře. Zde už totiž nevystačíme jen s postřehem, navíc je nutno mít představivost a umět se náležitě soustředit. (Z. Nowak, 1976, [18])
Z knihy Ilony Špaňhelové (2006, s. 82) se dozvídáme, že „představivost je u dítěte úzce spojena s fantazií. Je to schopnost vytvářet si představy o věcech, o jevech… Je předpokladem tvořivosti. Důležité je o představách s dítětem mluvit. Každé dítě má jinou představivost.
Je důležité vysvětlit dítěti, jak věci opravdu jsou, aby mělo představivost založenou na reálném základě. Můžeme si s ním malovat, číst knížky, hrát divadlo. Pomáhá to i rodiči více poznávat dětský svět a rozumět mu.“ [27]
„Prostorové myšlení, pojaté jako složka matematického myšlení, je založeno na geometrické představivosti. Geometrickou představivost chápeme jako „zvnitřnělou“ názornost od velmi konkrétních po značně abstraktní, případně subjektivní představy. Rozvoj a využívání geometrické představivosti úzce souvisí s rozumovými schopnostmi jedince spolu s jeho geometrickými znalostmi a dovednostmi.
Rozvíjení geometrické představivosti předpokládá rozvinutou schopnost a dovednost grafického vyjadřování (náčrtky, rýsování). Dá se říci, že obě vlastnosti velmi těsně souvisejí a podmiňují se navzájem. Vzhledem k tomu je třeba učit žáky uvědomělému grafickému vyjadřování nejdříve konkrétních a později také abstraktních situací.“ (E. Luhan, 1990, s. 58 – 59, [16])
Je velice obtížné znázornit trojrozměrný předmět na rovinný (dvojrozměrný) obrázek. Právě tímto znázorňováním se zabývá jedno z odvětví matematiky, a to deskriptivní geometrie. (J. Sedláček, 1969, [24])
Prostorovou představivost, která je užitečná především pro praktický život, můžeme ve stereometrii rozvíjet pomocí konstrukčních úloh typu „Je-li dáno …, sestrojte …“. (J. Kadleček, 1996, [11])
„Prostorovou představivostí se rozumí intelektová schopnost – dovednost vybavovat si:
a) dříve viděné – vnímané objekty v trojrozměrném prostoru a vybavit si jejich vlastnosti, polohu a prostorové vztahy;
b) dříve nebo v daném momentě viděné – vnímané objekty v jiné vzájemné poloze, než v jaké byly nebo jsou skutečné vnímány;
c) objekt v prostoru na základě jeho rovinného obrazu;
d) neexistující reálný objekt v trojrozměrném prostoru na základě jeho slovního popisu.“ (J. Perný, 2004, s. 41, [19])
O prostorové představivosti se v knize Pavla Říčana (2007) dále dozvídáme, že „pod tento pojem shrnujeme tři prakticky důležité schopnosti:
především je to prostorová orientace. Zde jde o určování polohy člověka v jeho okolí, jaké potřebuje například letec nebo skokan. Dále je to vizualizace. Tato schopnost nám umožňuje představit si, do jakých vzájemných vztahů se dostanou předměty mimo nás, octnou-li se v určitých polohách. Vizualizace se uplatňuje např. v deskriptivní geometrii. Třetí složkou prostorové představivosti je kinestetická představivost, kterou potřebuje technik, aby mohl určit výsledný pohyb různých soukolí apod.“ [23]
„Lidé, kteří mají výrazně rozvinutou představivost, se dobře a rychle zorientují v okolí, správně interpretují mapy, plánky a nákresy, mívají výtečnou orientaci v novém, neznámém prostředí. Kvalitní vnímání, postřeh a prostorová představivost je základem úspěchu v technických disciplínách a ve škole např. v matematice, konkrétně v geometrii.
V kvízech, přijímacích pohovorech i testech se velmi často vyskytují úlohy zkoumající prostorovou představivost a postřeh. Už samo řešení těchto příkladů trénuje vaše schopnosti, což se samozřejmě může hodit i v běžném životě, např. při řízení automobilu.“ (V. Fořtík, J. Fořtíková, 2007, s. 92, [9])
1.3.2 Pojmy názorná představa a představivost
„Názorná představa je zpravidla první etapou vývoje matematického poznatku, který pak prochází složitým procesem formalizace, v němž se intuitivní složka poznatků postupně ztrácí. Obtížnost studia matematiky spočívá hlavně v tom, že se studentovi obvykle v učebnicích předkládají důmyslné finální konstrukce bez zmínky o jejich původu. Učitel matematiky by měl při svém výkladu klást důraz právě na názorný obsah matematických pojmů.
Pod názornou představou se obvykle rozumí geometrická představa. Není třeba zdůrazňovat význam obrázků a modelů v geometrii.“ (O. Čačka a kol., 1999, s. 295, [4])
Právě prostorová představivost je jednou z nejvýznamnějších schopností člověka. Uplatňujeme ji v řadě povolání i v běžném životě. Je proto nezbytné ji neustále rozvíjet. Jednou z možností jejího rozvíjení je škola, např. ve výtvarné výchově, pracovních činnostech a především v matematice při výuce stereometrie.
(Kolektiv, 2005, [13])
„Obrazotvornost neboli představivost, umožňující řešit různé geometrické úlohy z hlavy (tedy to, co se odborně nazývá prostorová představivost), není u každého člověka stejně vyvinuta. Někdo dokáže díky své představivosti řešit nejsložitější problémy, jiný si neporadí s konstrukcí ani toho nejjednoduššího předmětu. Pro formování představivosti má nemalý význam vhodný trénink.“
(Z. Nowak, 1976, s. 88, [18])
1.3.3 Pojem zobrazení
Když se řekne zobrazení, většina lidí si představí nějaký obrázek, ilustraci, či fotografii. Odborníkům se zřejmě vybaví graf.
Co můžeme vyčíst z obrázku? V knize Jiřího Sedláčka (1969, s. 26) se dozvíme, že „z obrázků dokážeme vyčíst spoustu věcí. Někdy je takováto ilustrace více vypovídající než obsáhlý text s odbornými termíny.
Také v matematických učebnicích najdeme zpravidla vždy řadu obrázků a nikdo, kdo chce studovat geometrii, neobejde se bez rýsovacích pomůcek:
tužky, pravítka, kružítka, úhloměru nebo křivítka. Nemusíme však jistě příliš zdůrazňovat, že matematické obrázky mají zcela jinou podobu i funkci než ilustrace v románu nebo obrázky v učebnici botaniky.“ [24]
„Geometrické obrázky jsou obvykle názorné. Běžná slovní jazyková vyjádření jsou „lineární“, informace jsou v nich uspořádány v posloupnostech, které čteme, a tedy také vnímáme v časové následnosti. Informace v geometrických obrázcích jsou „komplexní, vícerozměrné“, obrázky umožňují vnímat situaci vcelku. V tom je jejich přednost před slovními a symbolickými popisy.“ (F. Kuřina, 1990, s. 43, [15])
„Vzhledem k tomu, že zobrazovací metody, kterými znázorňujeme prostorové útvary v rovině, se probírají až na 2. stupni ZŠ, je na 1. stupni ZŠ modelování prozatím považováno také za konstrukční prostředek v geometrii.
Postupně se však snažíme o to, aby i na plošných obrazech žáci poznali geometrická tělesa a jednoduché prostorové vztahy. Využíváme zde zkušenosti žáků, kteří si již v předškolním věku hrají se stavebnicemi a stavějí podle plánků nakreslených ve volném rovnoběžném promítání.“ (J. Divíšek a kol., 1989, s. 167, [6])
1.3.4 Zobrazování těles
„Při zobrazování těles jde o kvalitativně jinou činnost, tj. o „převod“
prostorového objektu do roviny, což zejména mladším žákům na 1. stupni základní školy činí značné problémy a nemají vlastně ještě tomu odpovídající metodu. Výzkumy ukázaly, že pokud byly mladší děti, které se ještě nesetkaly s žádnými metodami zobrazování prostorových těles požádány o jejich znázornění do roviny, blížily se jejich obrázky tomu, co nazýváme volné rovnoběžné promítání, nebo také lineární perspektiva.“ (Kolektiv, 2005, s. 109, [13])
1.3.5 Rovnoběžné promítání
„Rovnoběžné promítání je podstatou mnoha zobrazovacích metod. Náš nedokonalý způsob zobrazování prostoru pomocí jediného obrázku vylepšujeme úmluvami, např. podstavu tělesa (tj. i skleněnou poličku) si představujeme vodorovnou a směr světla takový, aby obrazy úseček kolmých k nákresně měly zpravidla poloviční velikost než jejich vzory a odchylku od vodorovného směru 45°.
Rovnoběžné promítání splňující tyto nebo podobné podmínky možná znáte pod názvem volné rovnoběžné promítání. Ve volném rovnoběžném promítání je většina obrázků v učebnicích stereometrie. Popsaným podmínkám lze vyhovět čtyřmi způsoby, např. obr. 2 ukazuje čtyři možnosti zobrazení téhož pravidelného čtyřbokého hranolu (představte si, že jsme hranol osvětlili střídavě zleva nebo zprava a shora nebo zdola, pro lepší představu je obvyklým způsobem doplněna viditelnost).“ (J. Kadleček, 1996, s. 192, [11])
1.3.6 Optický klam
„Matematik nespoléhá nikdy na informace, které plynou z více nebo méně nedokonalých obrázků, a bere je jako podněty (ovšem někdy i velmi cenné) k tomu, aby vše znovu důkladně rozvážil. Obrázek, který ukazuje, že naše oko a naše představa nejsou vždycky spolehlivými vodítky a že pravdou je někdy
Obrázek 2: Rovnoběžné promítání
KADLEČEK, Jiří. Geometrie v rovině a v prostoru pro střední školy. 1. vyd. Praha : Prometheus, 1996. 327 s. ISBN 80-7196-017-9.
úplný opak toho, co bychom ukvapeně (ne zcela výstižně) nazvali optickým klamem.
Vysvětlit některé optické klamy je někdy dost těžké, vždyť např. odhadování vzdáleností a délek je složitý proces, při němž hrají význačnou úlohu zkušenost a cvik. Většinou nejde jen o klam způsobený pouze vadou oka, nýbrž o mylný závěr vytvořený nesprávným úsudkem. Měli bychom tedy raději mluvit o klamech úsudku, nikoli o klamech optických; název „optický klam“ je však již vžitý.“ (J. Sedláček, 1969, s. 28 - 29, [24])
V knize Jiřího Sedláčka (1969, s. 35) si můžeme prohlédnout obrázek, který je příkladem optického klamu. „Všimněme si zobrazení dvou malých krychlí na obr. 3; jejich horní stěna je osvětlena nejsilněji, levá přední stěna je v polostínu a pravá přední stěna ve stínu úplném. Snadno však podlehneme nejistotě: jsou to skutečně dvě krychle? Snad je to jen krychle jediná, jejíž spodní stěna je silně osvětlena, v polostínu je její pravá přední stěna a v úplném stínu stěna levá.“ [24]
„Ostatně přece nevíme teprve ode dneška, že není oko jako oko. Někomu stačí k rozeznání toho, na co se dívá, zlomek sekundy, jiný na to potřebuje času více. Mnoho záleží na obrazu samém, na tom, co náš zrak vnímá. Někdy jsou totiž jednotlivosti roztříštěné bez ladu a skladu, jindy urovnané a jindy opět ve zcela jasném a přehledném uspořádání.“ (Z. Nowak, 1976, s. 16, [18])
Obrázek 3: Optický klam
SQUIDOO [online]. 2010 [cit. 2010-03-01]. Optical Illusion Images. Dostupné z WWW:
<http://static.squidoo.com/resize/squidoo_images/-
1/draft_lens5293602module39884262photo_1244960999necker-cubes-6-or-7.gif>.
1.4 Psychologie a matematika
1.4.1 Pojem vnímání u dětí
„Vjem představuje již více než pouhou informaci o přítomnosti určitých smyslových kvalit, není tedy pouhou sumou počitků. Komplexní jev s podílem více smyslových oblastí představuje již vnímání prostoru, času, tvarů a pohybů.
Na vnímání jako „aktuálním smysluplném odrážení senzorického pole subjektem“
se pak podílí prakticky všechny duševní funkce od čití přes paměť, myšlení, prožívání až po vůli. Proces vnímání je tedy určován nejen charakterem podnětů, ale i aktuálním stavem a dosaženou úrovní ostatních duševních kvalit osobnosti.
Vnímání tedy slouží k získávání informací o tom, co nás obklopuje tady a teď.“
(O. Čačka, 1994, s. 58 – 59, [3])
„Ježto zrak jest onen smysl, od něhož nejtíže dají se odloučiti úsudky mysli, třeba jest mnoho času, aby se člověk naučil viděti; třeba dlouho srovnávati zrak se hmatem, aby nám první z nich podával věrné zprávy o tvarech a vzdálenostech: bez hmatu a bez posunu ani nejpronikavější oči na světě nemohly by nám podati představu prostoru.“ (J. J. Rousseau, 1910, s. 157, [21])
Jedním z pěti smyslů je zrak. Smyslovým orgánem (receptorem) zrakového vnímání je oko, jehož hlavní částí je sítnice. Podnětem pro vznik zrakového počitku jsou elektromagnetické vlny. Psychickým zážitkem při zrakovém vnímání jsou barvy. (J. Boroš, 1986, [2])
„Kvalitní rozlišování jemných detailů je velmi důležitá schopnost pro praktický život. Lidé, kteří plně vnímají zadané úkoly, se obvykle velmi dobře soustředí a vydrží řešit předloženou úlohu až do zdárného konce.“ (V. Fořtík, J. Fořtíková, 2007, s. 91, [9])
1.4.2 Mozek a jeho funkce
„Z poznatků biologických věd mají pro psychologii prvořadý význam poznatky o nervovém systému, zvláště o mozku. Psychické procesy a stavy jsou funkcemi mozku. Soudobé zobrazovací metody umožňují zjišťovat, že při různých formách vnímání nebo při řešení úloh různého druhu je zvýšena aktivita různých částí mozkové kůry.“ (J. Čáp, J. Mareš, 2007, s. 45, [5])
1.4.2.1 Stavba nervového systému a hlavní funkce jeho částí
„Nervový systém – a zvláště mozek – má velmi složitou stavbu, jeho jednotlivé části jsou odlišeny a zároveň mnohonásobně propojeny navzájem.
Od devatenáctého století po dnešek byly této problematice věnovány četné výzkumy, které na jedné straně opakovaně zjišťují přiřazení funkcí k určitým strukturám, zároveň však ukazují složitost takového výzkumu. Psychologicky důležité jsou zejména tyto vztahy (Obr. 4):
• Prodloužená mícha – dýchání a reflexy vzpřímeného držení těla.
• Mozeček – koordinace pohybů.
• Retikulární formace mozkového kmene – aktivování nejvyšších částí mozku, tedy mozkové kůry: probouzení, udržování bdělého stavu, pozornosti.
• Limbický systém – řízení endokrinní soustavy a homeostázy;
instinkty, příjem potravy a sexuální chování, reagování na stres, emoce s tím spjaté.
• Talamus – spolupráce s retikulární soustavou, limbickým systémem a mozkovou kůrou při plnění jejich funkcí.
• Mozková kůra – vnímání, záměrné pohyby, řeč a myšlení, rozhodování, kontrola cílevědomé činnosti. Přitom jsou v mozkové kůře rozlišena centra pro jednotlivé druhy vnímání, pro kontrolu a regulaci jednotlivých svalových skupin, pro řeč, pro ukládání nových zkušeností do dlouhodobé paměti a vybavování z ní.“
(J. Čáp, J. Mareš, 2007, s. 47, [5])
1.4.2.2 Druhy inteligence
„Inteligence je charakterizována jako „schopnost učit se ze zkušeností, schopnost přizpůsobit se, řešit nové problémy, orientovat se v nových situacích na základě určování podstatných souvislostí a vztahů“. V průběhu let se samozřejmě pojem inteligence více generoval a dále upřesňoval.“
(I. Špaňhelová, 2006, s. 37, [27])
Obrázek 4: Stavba nervového systému
Biologie člověka [online]. 2006 [cit. 2010-03-01]. Nervová soustava. Dostupné z WWW:
<http://ms.gymspgs.cz:5050/bio/Images/Textbook/ Big/0090000/00336.jpg>.
„L. Košč uvádí, že podle zjištění řady psychologů je nutno v matematické schopnosti rozlišovat tyto základní složky:
a) numerický faktor – uplatňující se v manipulaci s číselnými daty;
b) prostorový faktor – který je důležitý nejen v geometrii, ale i v aritmetice, např. při správném hodnocení číslic v pozičním zápisu čísla, při členění plochy v písemných výpočtech apod.;
c) verbální faktor – uplatňující se především při řešení slovně formulovaných příkladů;
d) faktor usuzovací – který má hlavní podíl na pamětném počítání;
e) faktor všeobecné inteligence – který tvoří zřejmě pozadí všech mentálních, tedy i matematických úkonů a který úzce souvisí především s faktorem usuzování.“ (J. Perný, 2004, s. 38 – 39, [19])
„O komplexnější studium inteligence se snažili představitelé systémového přístupu. Mezi nimi hraje významnou roli triarchická teorie R. J. Sternberga a teorie mnohonásobné inteligence H. Gardnera.
Triarchická teorie R. J. Sternberga zdůrazňuje vztah rozumových schopností k vnějšímu a vnitřnímu světu jedince a také k jeho zkušenostem. Vztah rozumových schopností k vnitřnímu světu se týká mentálních reprezentací, procesů a strategií, které podmiňují inteligentní myšlení. V praxi se projevují tři formy mentálních reprezentací:
• lingvistická (pojmenování slovem),
• prostorová (představy),
• symbolická (zúžení slovních názvů nebo představ na zkrácené, symbolické záznamy).“ (I. Ruisel, 2000, s. 35, [22])
Díky práci Howarda Gardnera jsme dospěli k přesvědčení, že neexistuje pouze jeden jediný způsob, kterým je možné prokázat inteligenci či výrazné schopnosti. Než se objevila Gardnerova práce, předpokládalo se, že inteligence se měří pouze v podobě matematických a jazykových schopností. Doktor Gardner však tvrdí, že inteligence se projevuje mnoha způsoby. (P. Schiller, 2004, [25])
„V teorii rozmanitých4 inteligencí je klíčovým termínem pojem inteligence, který autor H. Gardner vymezuje jako „schopnost řešit problémy nebo vytvářet produkty, které mají v jednom nebo více kulturních prostředích určitou hodnotu.“
H. Gardner dále rozlišuje tyto základní druhy inteligencí:
a) jazyková inteligence – jako schopnost používat jazyk, řeč a písmo k přesvědčování, vysvětlování, zapamatování apod.;
b) hudební inteligence – jako schopnost vnímat, uchovávat, reprodukovat a vytvářet melodii vyjádřenou tóny, rytmus a témbr (barvu zvuku);
c) logicko-matematická inteligence – jako schopnost získávat, zvládat a používat logické a matematické znalosti, přičemž vývoj probíhá od senzomotorického stadia přes konkrétní operace až k formálním operacím;
d) prostorová inteligence – jako schopnost zajišťující přesné vnímání vizuálního světa, umožňující transformovat a modifikovat původní vjemy a vytvářet z vlastní vizuální zkušenosti myšlenkové představy, i když už žádné vnější podněty nepůsobí;
e) tělesně-pohybová inteligence – jako schopnost řízení pohybů vlastního těla a obratné zacházení s předměty
4 Gardner užívá termínu multiple inteligences, pro který čeština nemá dobrý překladový ekvivalent. V matematice se tento termín překládá slovem vícenásobný, Plháková překládá rozmanitý. (P. Říčan, s. 61, 2007, [23])
f) intrapersonální5 inteligence – jako schopnost najít přístup sám k sobě, k vlastnímu citovému životu;
g) interpersonální inteligence – jako schopnost najít přístup k jiným lidem, všímat si jiných jedinců a rozlišovat mezi nimi.“ (J. Perný, 2004, s. 39, [19])
„K sedmi základním typům inteligence Gardner později přidal ještě přírodní inteligenci (naturalistic intelligence), kterou definuje jako schopnost rozumět vzorcům, které se vyskytují v přirozeném světě přírody. Spekuluje i o dalších možných typech inteligence, konkrétně o existenciální a spirituální.“
(M. Blatný, A. Plháková, 2003, s. 69, [1])
„Do pojmu inteligence je také nutné vnést pojem inteligence sociální, což znamená umění jednat s lidmi, umět řešit mezilidské vztahy, mezilidské konflikty.
Je tedy důležité nevnímat pod pojmem inteligence jen inteligenční kvocient. Je to celková inteligence, která v sobě zahrnuje i pojem sociální inteligence, pojem citové inteligence, inteligence pro lidské vztahy.“
(I. Špaňhelová, 2006, s. 38, [27])
Může se inteligence vycvičit? Dříve se věřilo, že nadání je něco vrozeného. Dnes je ale zřejmé, že jedna až dvě třetiny IQ dospělých podléhají vlivům prostředí. Inteligenci je tedy třeba, podobně jako tělesné svaly, zlepšovat tréninkem. (W. Schmidbauer, 1994, [26])
„Obecně se má za to, že inteligence je schopnost vnímat vzorce a utvářet vztahy mezi minulými vzorci a budoucím učením. Podle Gardnerova pojetí jedinci s vysokou jazykovou inteligencí vnímají vzorce v jazyce a jsou schopni rychle a dobře spojovat slova v psaném či mluveném projevu. Stejně tak jedinci s vysokou inteligencí v mezilidských vztazích vnímají vzorce v lidském chování, a proto jsou úspěšní při práci s lidmi. Protože má člověk jedinečný způsob, jakým se u něj intelekt projevuje, a všechny druhy inteligence hrají důležitou úlohu
5 Intra- znamená latinsky uvnitř, tedy inteligence ve vztahu k vlastnímu nitru. (P. Říčan, s. 62, 2007, [23])
ve fungování společnosti, je třeba se zaměřit na aktivity ve všech oblastech inteligence.
Současný výzkum potvrzuje skutečnost, že všechny druhy inteligence jsou velmi úzce provázány, ale zároveň mají svou autonomii, protože specifické funkce intelektu jsou zpracovávány v konkrétních oblastech mozku (Obr. 5).
Například jazykové informace jsou zpracovávány v levém spánkovém a čelním laloku mozku. Hudební informace jsou u většiny lidí zpracovávány v pravé hemisféře. Prostorové informace se zpracovávají v zadních oblastech pravé hemisféry a tak dále. Nové technologie umožňují doladění přesné lokalizace jednotlivých procesů. Navíc současný výzkum ukazuje, že se vrozená mozková kapacita jedince a zkušenost z dětství společně podílejí na utváření každé z forem inteligence na základní funkční úrovni řešení problémů.“ (P. Schiller, 2004, s. 57 – 58, [25])
Obrázek 5: Konkrétní oblasti mozku
Biologie člověka [online]. 2006 [cit. 2010-03-01]. Nervová soustava. Dostupné z WWW: <http://ms.gymspgs.cz:5050/bio/Images/Textbook/ Big/0090000/00336.jpg>.
1.4.3 Uplatnění imaginace v matematice
„Imaginace je přirozenou součástí lidského duševního dění. Je proto také zcela adekvátní snaha ji i ve školní práci systematicky rozvíjet a věnovat jí stejnou pozornost jako rozvoji myšlení teoretického (pojmového). Tyto dvě formy duševního dění (verbální, numerická, teoretická – imaginativní, neverbální, prožitková) jsou svým způsobem funkčně protikladné. Za důkaz, že jsou vázané i na činnost odlišných mozkových hemisfér, byla v roce 1981 udělena R. Sperrymu Nobelova cena za lékařství.
Levá hemisféra je tedy nositelem pojmového myšlení, orientuje se na informace a detaily, kdežto pravá je naopak sídlem názorných operací vázaných na pocity, představy, fantazii atp., je aktivizována zvláště při frustraci, ale i únavě, monotónnosti atp.“ (O. Čačka a kol., 1999, s. 249, [4])
1.5 Výtvarné chápání
1.5.1 Kresba
„Estetický vztah k životnímu prostředí vyžaduje jednotu plošného a prostorového cítění tvaru, barvy, povrchu předmětného prostředí.“ (J. Jetmar, M. Klivar, 1991, s. 48, [10])
„Správného soudu o rozměru a velikosti těles není možno nabýti, když neučíme se znáti také jejich tvarů a je napodobovati; neboť v jádře spočívá toto napodobování jen na zákonech perspektivy; a není možno podle zdání odhadovati rozměry, nemáme-li nějakého ponětí o těchto zákonech.“ (J. J. Rousseau, 1910, s. 157 – 158, [21])
Již v předškolním věku jsou děti vedeny k rozeznávání prostoru, co je vpravo, vlevo, vzadu, nebo vepředu.
Od 1. ročníku základní školy se děti například prostřednictvím her seznamují s jednoduchými otázkami řešení prostoru. Díky těmto aktivitám si tak uvědomují vztahy mezi užitnou funkcí a estetickými hledisky nejdříve na konkrétním materiálu, ve vyšších ročnících se dostávají k prostorovým úlohám.
(J. Divíšek a kol., 1989, [6])
„Okolo osmi až devíti let nastoupí „realismus zrakový“, vyznačující se dvěma novými rysy. Zaprvé – kresba již zachycuje jen to, co je vidět z hlediska určité perspektivy. Profil obsahuje jen to, co je dáno z profilu. Skryté části předmětu nejsou již zobrazovány (za domem je vidět jen vrcholek stromu, a ne již celý strom) a předměty v pozadí jsou stupňovitě zmenšovány (ubíhají) vzhledem k předmětům v popředí kresby. Zadruhé – kresba přihlíží k rozložení předmětů podle celkového plánu (os a souřadnic) a jejich metrických poměrů.“ (J. Piaget, B. Inhelderová, 2000, s. 62, [20])
2 PRAKTICKÁ ČÁST
2.1 Cíl mini-výzkumu
Cílem tohoto mini-výzkumu je zjistit, zda mohou cvičení a systematické procvičování prostorové představivosti u žáků zlepšit jejich vnímání prostoru a okolí kolem nich.
Prostřednictvím těchto krátkých cvičení, která jsou žákům podávána v podobě motivační či zahřívací hry, se pokoušíme zjistit, zda se zlepší jejich prostorové vnímání a představivost. Snažíme se, aby na dané věci nenahlíželi pouze z jedné strany, ale uvědomili si, že jiný pohled jim naskýtá další možnosti.
Byli bychom rádi, kdyby žáci mladšího školního věku pochopili, že všechny věci, na které se díváme, nejsou pouhé „placky“, ale předměty, na které si můžeme sáhnout, se kterými můžeme různě manipulovat a otáčet, a že každá věc má svůj vnitřek, svou „duši“.
Všechna tato cvičení by jim měla pomoci nejen při plnění závěrečného úkolu tohoto mini-výzkumu, ale i v budoucím studiu na středních a vysokých školách, kde se setkají s obtížnější geometrií a budou řešit právě prostorová tělesa a předměty, v řadě zaměstnání i v běžném životě.
2.2 Výběr vzorku
Pro mini-výzkum byla zvolena třída 3. B ze Základní školy ve městě Jablonné v Podještědí, ve kterém žiji již několik let.
V této třídě jsem měla možnost absolvovat souvislou pedagogickou praxi po dobu pěti týdnů, kde třídní je učitelkou moje maminka. Z tohoto důvodu se s žáky vídám i nadále. Často s nimi jezdím na školní výlety, společně s maminkou připravuji různé hry a orientační běhy, konzultuji s ní nápady k výuce a v neposlední řadě i dění ve třídě.
Díky mini-výzkumu se s nimi sblížím ještě více, zjistím, jak spolu dokážou komunikovat a řešit problémy. Spolupráce s žáky bude přínosnou nejen pro mne, ale také pro ně.
2.2.1 Charakteristika vzorku
Tuto třídu navštěvuje 21 dětí. Většina z nich je místních, pouze čtyři žáci dojíždí autobusem z nedalekých vesnic. Kromě jednoho žáka, který je z místního dětského domova, mají všichni ostatní rodinné zázemí. Ve třídě se nachází dva bratranci.
Ve 3. B převažuje mužské pohlaví nad ženským. Navštěvuje ji 15 chlapců a jen 6 dívek. Už z toho je patrné, že tato chlapecká třída je velmi živá. Když se všichni rozhodnou zlobit v jednom dni, je těžké je „udržet na uzdě“.
Dá se tvrdit, že to je jeden ze dvou větších problémů této třídy.
Druhou obtíží je nevyrovnanost vědomostí třídy. Je zde několik velmi bystrých a rychlých žáků, ale najdeme zde i několik dětí vyšetřovaných pedagogicko-psychologickou poradnou. Můžeme se tu setkat s žákem s individuálním vzdělávacím plánem, který šel do školy o rok dříve pro nadměrnou inteligenci, a naopak jiného žáka, který měl odklad školní
docházky a nastoupil ji až v osmi letech. Je to třída velmi pracovitá, každý rád postupuje dle vlastního tempa. Během hodin odvádí veliký kus práce.
O třídě jako celku se dá říci, že zde převládá kamarádská atmosféra. Když chtějí, dokážou držet pospolu a táhnout za jeden provaz. Mají soutěživého ducha.
Hlásí se do každých závodů a turnajů, ze kterých si již mnohokrát přivezli krásné ceny.
2.2.2 Charakteristika školy
Škola je koncipována jako osmnácti-třídní (1. a 2. stupeň) s odbornými učebnami na fyziku a chemii, hudební a výtvarnou výchovu, cvičnou kuchyňkou, dvěma dílnami a dvěma tělocvičnami. Dále jsou v budově tři třídy školní družiny, žákovská knihovna a školní kuchyň s jídelnou.
Vzhledem k potřebám modernizace vybavení školy, byly zřízeny dvě počítačové učebny.
Ve škole se vzdělává okolo 400 žáků, převážně z Jablonného v Podještědí.
Přibližně čtvrtina tohoto počtu dojíždí z okolních obcí (Postřelná, Velký Valtinov, Heřmanice, Petrovice, Kněžice, Janovice, Lvová a Rynoltice).
Škola nabízí, prostřednictvím aktivního přístupu učitelů, dostatek mimoškolních aktivit, především v oblasti sportu – lehká atletika, košíková, florbal, stolní tenis, aerobik, gymnastika, kopaná, či mažoretky. Dále nabízí ekologické aktivity – program Tereza, projekt Zdislava ve spojitosti s etickou výchovou, keramický kroužek, pěvecký kroužek, výuku náboženství, turisticko-přírodovědný kroužek, myslivecký, či rybářský kroužek.
2.2.3 Charakteristika města
Město Jablonné v Podještědí leží v Libereckém kraji, na úpatí Lužických hor. Je považováno za jedno z nejstarších měst českého severu. V Jablonném se stále udržuje, především sklářský, průmysl.
Město vzkvétá také díky hojnému cestovnímu ruchu. Nachází se zde několik historicky zajímavých památek, které každoročně navštíví velké množství českých i zahraničních turistů.
2.3 Popis mini-výzkumu
Mini-výzkum ve třetí třídě byl uskutečňován po dobu sedmi měsíců školního roku. Jednou až dvakrát do týdne bylo vstupováno do vyučování v době výuky matematiky. Každou tuto hodinu jsme společně s žáky řešili úkoly zaměřené na rozvoj prostorové představivosti.
V první fázi, před první praktickou hodinou, byl žákům ve třetích, čtvrtých a pátých třídách rozdán dotazník na oblíbenost vyučovacích předmětů, který měl odhalit postavení matematiky a geometrie v pomyslném žebříčku oblíbenosti.
Následně byli žáci 3. B seznámeni s prací, která je bude čekat v období od září do března. Byli informováni, jak často se bude do výuky vstupovat, jaké úkoly je budou čekat, i k čemu jim všechna tato práce bude prospěšná.
Ve druhé fázi mini-výzkumu plnili žáci několik průpravných cvičení.
V každém týdnu řešili jeden konkrétní úkol, který přispíval především k rozvoji jejich prostorové představivosti.
V poslední fázi mini-výzkumu žáci řešili praktický úkol, při kterém se měla zužitkovat práce prováděná během předcházejících sedmi měsíců. Náplní tohoto úkolu bylo zaznamenávání stavby z krabic na papír a následné sestavování stavby podle vytvořených nákresů.
Tohoto úkolu se účastnila nejen třída, se kterou byl systematicky prováděn mini-výzkum, ale i vedlejší třetí třída a pátá třída, aby bylo možné výsledky porovnávat.
2.4 Námi očekávané odpovědi
2.4.1 Přiřaď předmětům čísla od nejoblíbenějšího k nejméně oblíbenému.
Když vezmeme v úvahu, jaký mají žáci postoj k učení na základní škole, předpokládáme, že nejoblíbenějším předmětem by mohla být jedna z výchov.
Mezi chlapci by mohla zvítězit tělesná výchova a mezi dívkami hudební či výtvarná výchova.
K nejméně oblíbeným by mohly pařit český jazyk či anglický jazyk. Jsou to předměty obtížné hlavně svou gramatikou.
2.4.2 Máš raději matematiku (počty), nebo geometrii?
Dalo by se předpokládat, že v této otázce s převahou zvítězí klasická matematika nad geometrií.
Vychází se z předpokladů, že geometrie je pro žáky velmi obtížná. Musí při ní zvládnout manipulaci s geometrickými pomůckami (pravítka, kružítko), naučit se zacházet s tvrdou tužkou (netlačit na ni) a pochopit probíranou látku.
2.4.3 Co konkrétně máš na matematice nejraději?
V této otázce by žáky mohly nejvíce zaujmout matematické hry.
Domníváme se, že tyto hry se ocitnou na prvním místě. Troufáme si tvrdit, že každý z nás měl ve škole rád všelijaké hry. Právě pro tyto chvíle je 1. stupeň
jako stvořený. Je to činnost, při které jsou děti plně motivovány a která je velice baví.
Na druhém místě by se mohly objevit samostatné práce. Každý žák je jedinečný a každý pracuje jiným tempem. Proto se očekává, že spousta žáků bude volit právě tuto odpověď.
2.4.4 Co konkrétně máš na geometrii nejraději?
Domníváme se, že v geometrii žáky nejvíce zaujme modelování (s papírem, s modelínou). Je to tvořivá práce, každý jedinec se v ní může projevit
po svém.
Na druhém místě by se mohly objevit převody jednotek. Tato činnost se velmi podobá matematice. Žáci zde pracují s násobky deseti, sta, tisíce apod., které podle našeho mínění nepatří ke složitým operacím.
2.4.5 Co konkrétně máš na matematice rád/a nejméně?
Předpokládá se, že pro žáky (ať už na základní škole, nebo na univerzitě) jsou slovní úlohy náročné. Při této činnosti musí zapojit nejen svou představivost a logiku, ale navíc musí sestavit a vypočítat příklad. Je to pro ně zdlouhavá a obtížná práce.
Hned za slovními úlohami by se v pomyslném žebříčku mohly objevit desetiminutovky. To je činnost, která prověřuje znalosti žáků během několika minut, což je podle nás pro žáky velmi stresující.
2.4.6 Co konkrétně máš na geometrii rád/a nejméně?
Dá se předpokládat, že na prvním místě se objeví rýsování s více pomůckami, jelikož to považujeme za velice obtížnou práci. Žáci si musí uvědomit, kdy jakou pomůcku použít, a musí s nimi umět manipulovat. Mezi toto rýsování patří i sestrojování rovnoběžných přímek, při němž žáci používají dvě pravítka najednou.
Hned za tímto složitým rýsováním se jistě bude často objevovat odpověď rýsování s kružítkem, které je podle nás taktéž velmi náročné. Žáci při ní musí mít uvolněné zápěstí a je třeba uchopit rýsovací pomůcku pouze za její okraj.
2.4.7 Jak si představuješ ideální hodinu matematiky?
U této otázky se dají očekávat všelijaké odpovědi. Mezi nejčastějšími by se mohly objevit odpovědi typu: matematické hry, zábavná matematika, či nemít matematiku vůbec.
2.4.8 Jak si představuješ ideální hodinu geometrie?
Jelikož je tato otázka obdobou otázky předcházející, dají se očekávat podobné odpovědi. Je tedy dosti pravděpodobné, že se zde objeví geometrické hry, zábavná geometrie, či nemít geometrii vůbec.
2.5 Získaná data z dotazníků a jejich interpretace
2.5.1 Přiřaď předmětům
čísla od nejoblíbenějšího k nejméně oblíbenému.
6Tabulka 1: Oblíbenost předmětů
3. – 5. ročníky Dívky Chlapci Součet
Tělesná výchova 282 333 615
Matematika 268 235 503
Výtvarná výchova 203 234 437
Hudební výchova 206 217 423
Pracovní činnosti 195 219 414
Anglický jazyk 187 213 400
Prvouka (přírodověda, vlastivěda) 167 194 361
Český jazyk 175 135 310
6 Žáci přiřazovali čísla 8 až 1 sestupně, dle oblíbenosti předmětů. Nejoblíbenějšímu předmětu přidávali číslo 8, nejméně oblíbenému číslo 1. V této otázce se nesčítali dotazovaní, ale hodnoty, které byly jednotlivým vyučovacím předmětům dotazovanými žáky přiřazeny.
Graf 1: Oblíbenost předmětů
Mohli bychom tvrdit, že u první otázky se naše domněnka potvrdila.
Všechny tři výchovy (tělesná, výtvarná i hudební) se vyskytují v horní polovině tabulky, což znamená, že patří mezi oblíbené předměty. Tělesná výchova se podle průzkumu považuje mezi dotazovanými žáky 1. stupně základní školy za nejoblíbenější vyučovací předmět. Dívky však také dávají přednost výchově tělesné před hudební a výtvarnou výchovou.
Naopak jazyky (český a anglický) se v tabulce zařadily na nižší místa.
Z průzkumu vyplynulo, že český jazyk je považován za nejneoblíbenější předmět.
Z výsledků dotazníku je vidět, že vyučovací předmět matematika patří k velmi oblíbeným předmětům, což nás velmi těší.
2.5.2 Máš raději matematiku (počty), nebo geometrii?
Tabulka 2: Preferování matematiky/geometrie
3. – 5. ročníky Dívky Chlapci Součet
Matematika 35 28 63
Geometrie 13 21 34
I u druhé zadávané otázky se naše domněnka potvrdila.
Mezi dotazovanými žáky 1. stupně základní školy je opravdu více oblíbené počítání příkladů a slovních úloh než rýsování, a to téměř dvojnásobně.
Matematiku má tedy raději 65 % dotazovaných žáků.
2.5.3 Co konkrétně máš na matematice nejraději?
7Tabulka 3: Nejoblíbenější aktivita v matematice
3. – 5. ročníky Dívky Chlapci Součet
matematické hry 17 15 32
násobení 11 12 23
skupinové práce 7 12 19
sčítání 5 12 17
hádanky na logické přemýšlení 8 6 14
zaokrouhlování 6 6 12
slovní úlohy 6 3 9
dělení 4 4 8
samostatné práce 6 2 8
desetiminutovky 1 3 4
odčítání 3 3
jiné: matematické puzzle 1 1
U třetí otázky se naše domněnka potvrdila pouze z části.
Matematické hry se opravdu ukázaly být nejoblíbenější aktivitou v hodinách matematiky u žáků 1. stupně základní školy. Zvolilo si ji 33 % dotazovaných žáků.
Na pomyslné druhé příčce se ale objevuje násobení. Samostatné práce, kterým jsme v naší hypotéze toto místo věnovali, se umístily ve druhé polovině tabulky, až na devátém místě.
7U otázek 3 – 6, kde měli žáci zakroužkovat vždy dvě odpovědi, se v několika případech vyskytla zakroužkovaná pouze jedna odpověď, proto počet odpovědí neodpovídá počtu dotazovaných.
