DEGREE PROJECT, IN APPLIED MATHEMATICS AND INDUSTRIAL , FIRST LEVEL
ECONOMICS
STOCKHOLM, SWEDEN 2014
Optimering av leverantörsval
EN STUDIE AV SPINACTOR ABS LEVERANTÖRSVAL VID
BYGGNATIONSPROJEKT PÅ OLIKA ORTER I SVERIGE
DANIEL FREDRIKSSON, GUSTAF JONSSON
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
Optimering av leverantörsval
EN STUDIE AV SPINACTOR ABS LEVERANTÖRSVAL VID BYGGNATIONSPROJEKT PÅ OLIKA ORTER I SVERIGEEN STUDIE AV SPINACTOR ABS LEVERANTÖRSVAL VID BYGGNATIONSPROJEKT PÅ OLIKA ORTER I SVERIGE
D A N I E L F R E D R I K S S O N G U S T A F J O N S S O N
Examensarbete inom teknik:
Tillämpad matematik och industriell ekonomi (15 credits) Civilingenjörsutbildning i industriell ekonomi (300 credits)
Kungliga Tekniska Högskolan 2014 Handledare på KTH Krister Svanberg
Examinator Johan Karlsson
TRITA-MAT-K 2014:12 ISRN-KTH/MAT/K--14/12--SE
Kungliga Tekniska Högskolan Skolan för Teknikvetenskap KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Schweden
Abstract
This paper presents a mathematical optimization model concerning Prefab supplier selection for Spinactor AB with respect to the purchase price, volume discounts and transportation cost. Furthermore, it includes a qualitative study regarding supplier selection criteria. We identified the most important supplier criteria for Spinactor and developed a supplier selection model, based on the framework “total cost of ownership” (TCO), where those criteria were quantified. It was concluded that the three most important supplier criteria for Spinactor AB, in the current situation, is delivery performance, customer service and communication, and economic stability.
The solution of the optimization problem was implemented using two different methods, linear programming and integer programming, where linear programming was dominant in computational time. The optimization results showed that the transportation cost is an important element in the total cost since an optimal allocation suggests that five out of six potential suppliers should be contracted. Thus, our recommendation to Spinactor is to contract several local suppliers for the initial purchasing of Prefab.
Sammanfattning
Detta arbete presenterar en matematisk optimeringsmodell gällande val av Prefableverantör för Spinactor AB med avseende på inköpspris med volymrabatt samt transportkostnad. Utöver detta tillkommer en kvalitativ undersökning om vilka andra kriterier som är betydelsefulla vid leverantörsavtal. De viktigaste kriterier applicerades i en egenutvecklad leverantörsvalsmodell som bygger på ramverket
”total cost of ownership” (TCO) där leverantörskriterierna kvantifieras. Utifrån kriterieanalysen framgick att de tre viktigare leverantörskriterierna för Spinactor AB i dagsläget är leveransprecision, kundservice och kommunikation samt ekonomisk stabilitet.
Lösningen av optimeringsproblemet genomfördes med två olika metoder, linjärprogrammering samt heltalsprogrammering, där linjärprogrammering var dominerande i lösningstid. Optimeringsresultatet visade på att transportkostnaden är en viktig faktor för totalkostnaden eftersom en optimal allokering innebär att fem utav sex möjliga leverantörer skall användas vid inköp. Vår rekommendation till Spinactor är därför att använda flertalet lokala leverantörer vid inköpa av Prefab.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
ABSTRACT ... . SAMMANFATTNING ... .
1. INLEDNING ... 1
1.1BAKGRUND ... 1
1.2PROBLEMBAKGRUND ... 1
1.3SYFTE ... 2
1.4AVGRÄNSNING ... 2
2. METOD ... 4
2.1VETENSKAPLIG ANSATS ... 4
2.2KVANTITATIV PROCEDUR ... 4
2.2.1 Strukturera modellproblem ... 4
2.2.2 Datainsamling ... 4
2.2.3 Strukturera verkligt problem ... 5
2.2.4 Lösningsmetoder med MATLAB ... 5
2.3KVALITATIV PROCEDUR ... 5
2.3.1 Litteraturstudie ... 5
2.3.2 Intervju med Spinactor AB ... 5
3. REFERENSRAM ... 7
3.1OPTIMERINGSTEORI ... 7
3.1.1 Linjärprogrammering ... 7
3.1.2 Heltalsprogrammering ... 9
3.1.3 Transportproblemet ... 10
3.2LEVERANTÖRSVAL ... 12
3.2.1 Total ägarkostnad ... 12
3.2.2 Order Qualifiers vs Order Winners ... 13
3.2.3 Leverantörsrelationer inom byggindustrin. ... 13
3.2.4 Generella problem inom byggsektorn ... 14
4. MATEMATISK MODELLERING ... 15
4.1UPPSTÄLLNING AV PROBLEMET ... 15
4.1.1 Definiering av variabler ... 15
4.1.1 Leverantörer och utbud ... 15
4.1.2 Destinationer och efterfrågan ... 16
4.1.3 Kostnadsvektor ... 17
4.1.4 Matematisk problemformulering ... 18
5. LÖSNINGSMETODER ... 20
5.1HELTALSLÖSNING MED BINÄRA STÖDVARIABLER ... 20
5.2NEDBRYTNINGSMETODEN ... 24
5.3OPTIMERINGSDATA ... 30
6. EMPIRI ... 33
7. KRITERIEANALYS ... 35
8. RESULTAT ... 39
8.1OPTIMERINGSRESULTAT ... 39
8.2KÄNSLIGHETSANALYS ... 39
8.3LEVERANTÖRSVALSMODELL ... 42
9. DISKUSSION ... 45
9.1OPTIMERINGSMETOD ... 45
9.2OPTIMERINGSRESULTAT ... 46
9.3LEVERANTÖRSVALSMODELL ... 47
11. KÄLL-OCH LITTERATURFÖRTECKNING ... 49
12. BILAGOR ... 51
12.1BILAGA A ... 51
12.2BILAGA B ... 54
12.3BILAGA C ... 54
12.4BILAGA D ... 55
1. Inledning
1.1 Bakgrund
Denna kandidatuppsats skrivs med anknytning till det nystartade företaget Spinactor AB vars affärsidé är att bygga och förvalta standardiserade förvaringsmagasin för uthyrning. Rapporten har utgångspunkt i förstudien till företagets första större projekt som innefattar byggnation av tio standardiserade förvaringsmagasin på olika orter i Sverige.
Projektdefinitionen i korthet:
Magasinen konstrueras av prefabricerade betongelement som på plats monteras ihop och fungerar som byggkropp. På detta tillkommer takläggning, montering av dörrar, inredning, etc. Magasinen skall byggas med standardiserade mått anpassat för medelstora transportfordon, exempelvis mindre lastbilar. Uthyrningen riktar sig inte enbart till transportföretag utan även till annan typ av industriverksamheter där ett förvaringsbehov finns. Hyresgästen ska utöver själva förvaringsmöjligheten även erbjudas möjlighet att påverka garagets inventarier utifrån kundens önskemål och verksamhet. Tillval kan exempelvis vara mindre kontorsdel etc.
1.2 Problembakgrund
Fundamentala delar inom förstudiefasen för ett byggnationsprojekt är studera leverantörsval samt göra kostnadsuppskattningar, vilka båda är snävt sammankopplade och kan utföras med en mängd olika metoder. Ändamålet med leverantörsvalet är att identifiera leverantörer med den största potentialen att möta företagets behov till en acceptabel kostnad (Verma 1997).Att omvandla behov till specifika kriterier kan dock vara en komplicerad process eftersom behoven ofta uttrycks som allmänna kvalitativa begrepp. Kriterier bör vara specifika krav som kan mätas och utvärderas kvantitativt. Att formulera kriterier för leverantörsval går då ofta hand i hand med informationsinsamling (Ellram 1995). För att inte företagets värderingar ska styras av de data som finns tillgänglig angående leverantörer, kan det vara aktuellt med en formulering av ett urval grundkriterier från det köpande företagets sida innan insamling av information påbörjas. Kriterievalet kan därefter behöva anpassas till hur mycket och vilken typ av data som finns tillgänglig om de olika leverantörerna (Wang & Koh 2010).
Eftersom materialkostnad i form av prefabricerade betongelement (Prefab) står för en stor del av den initiala investeringskostnaden för Spinactor AB kommer denna rapport att fokusera på leverantörsval och kostnader associerade med inköp av Prefab.
Att jämföra kostnader från olika leverantörer kan vara trivialt då det handlar om inköp till en och samma destination. Komplexitet uppstår dock då flera byggnadsplatser tas med i beräkningen eftersom det då krävs en avvägning mellan mängdrabatter och transportkostnader. Frågor uppstår kring om det är lämpligast att köpa allt Prefab-
leverantörer och på så sätt minska transportkostnaderna. För att reda ut dessa frågor krävs det kostnadsuppskattningar samt en matematisk optimeringsmodell.
Många andra aspekter hos leverantörerna bör också tas i beaktning vid leverantörsval, exempelvis service, flexibilitet, leveransprecision och ekonomisk stabilitet, som på både lång och kort sikt kan vara associerat med kostnader. Att jämföra olika leverantörer med avseenden på dessa aspekter kan vara väldigt komplext eftersom det kan vara svårt att sätta ett ekonomiskt värde på dessa, speciellt i de fall då tidigare erfarenheter av leverantörerna saknas. Även fast det kan kräva en komplex analys kan aspekter som dessa ha minst lika stor betydelse vid leverantörsval. Framförallt eftersom det på lång sikt kan ha ekonomisk och strategisk betydelse, inte minst vid en eventuell expansion. Exempelvis kan tänkas att god orderhanteringsförmåga och flexibilitet underlätta expansionsfasen, god leveransprecision bidra till att tidsramar samt projektbudgetar hålls eller liknande (Wang & Koh 2010).
1.3 Syfte
Syftet med denna rapport är att konstruera och tillämpa en optimeringsmodell för att minimera den totala kostnaden för inköp av Prefab. Modellen tar hänsyn till inköpspris, transportkostnad, mängdrabatter, orderkrav samt volymrestriktioner från leverantörerna.
Dessutom skall en kvalitativ undersökning göras, i form av intervjuer med Spinactor, angående vilka andra kriterier som är betydelsefulla för dem i valet av leverantör.
Dessa kriterier definieras och appliceras i en egenutvecklad leverantörsvalsmodell där leverantörskriterierna kvantifieras. Utredningen benämns nedan kriterieanalys. Målet för kriterieanalysen är att, med utgångspunkt i tidigare utvecklade modeller för leverantörsval, konstruera en anpassad modell för kvantifiering av värdeskapande kriterier vid leverantörsval.
Slutliga målet är att optimeringsmodellen tillsammans med kriterieanalys tillämpas vid valet av Prefableverantör utifrån de kriterier och ramar som satts upp av Spinactor för byggnationsprojektet. Modellen ska även vara applicerbar för leverantörval vid liknande byggnationsprojekt i framtiden.
1.4 Avgränsning
Eftersom komplexiteten ökar betydligt då allt fler underleverantörer granskas så kommer rapporten att behandla ett urval på sex olika Prefableverantörer för en jämförande studie, både matematiskt och kvalitativt. Spinactor har bedömt dessa Prefableverantörer som de mest lämpliga för detta projekt.
Kriterieanalys vid val av leverantör är ett mångfacetterat ämne med mycket tidigare forskning. Därför görs avgränsningar till de viktigaste kriterierna för ett nystartat företag inom byggbranschen samt att endast ett fåtal av de många modeller för leverantörsval behandlas.
Den matematiska modelleringen tar inte hänsyn till kvalitetsskillnader eller andra mjuka villkor utan endast rent ekonomiska faktorer utifrån material- och transportkostnad. Transportkostnaden anses vara fix per kilometer eftersom det är allt för tidskrävande att reda ut den individuella kostnaden från varje leverantör till varje destination, vilket är 60 olika router. Dock anses transportkostnaden vara gratis då destinationen ligger inom ett område som omfattas av gratis leverans från en viss leverantör.
2. Metod
Denna del är till för att redogöra för tillvägagångssättet i försöket att finna en lösning till problemformuleringen samt att uppfylla rapportens syfte.
2.1 Vetenskaplig ansats
Eftersom arbetet bygger på två typer av studier blir det naturligt att uppsatsen vidare betraktas som tvådelad. Metoden delas därför upp i kvantitativa undersökningar med induktiv ansats för att lösa optimeringsproblemet samt kvalitativa undersökningar med deduktiv ansats för kriterieanalysen vid val av leverantör. Det induktiva tillvägagångssättet för de kvantitativa undersökningarna innefattar numeriska mätningar samt kvantifiering av dessa med hjälp av matematik och statistik.
Tillvägagångssättet för att uppfylla syftet om att skapa en optimeringsmodell för att minimera kostnaderna vid inköp beskriv således nedan som den kvantitativa proceduren. Det kvalitativa tillvägagångsättet har en deduktiv ansats som karakteriseras av ett fokus på ord och värderingar, med utgångspunkten i tidigare forskning inom leverantörsvalhantering (Backman 1998). Den kvalitativa processen behandlar därmed Spinactors värderingar gällande leverantörsval tillsammans med litteraturstudier och tidigare teorier.
2.2 Kvantitativ procedur
2.2.1 Strukturera modellproblem
Vid applicering av en matematiks optimeringsmodell i praktiken förekommer det ofta förenklingar och generaliseringar eftersom de verkliga problemen ofta är komplexa och svårdefinierade (Lundgren & Rönnqvist 2001). Därför utformades först ett modellproblem för att finna en lösningsmetod som sedan anpassades på det verkliga problemet. Modellen utformades som ett transportproblem med vissa modifikationer för att ta hänsyn till eventuella mängdrabatter.
2.2.2 Datainsamling
Datainsamling utgjordes i form av insamling av offerter från olika Prefableverantörer och logistikalternativ för att erhålla kostnadsunderlag till optimeringsmodellen. Viss data fanns tillgänglig hos Spinactor AB men denna kompletterades med ytterligare offerter för att kunna skapa en fullständig optimeringsmodell. Eftersom offerterna behandlar konfidentiell information som inte får spridas eller offentliggöras är samtliga kostnader samt utbudstillgänglighet manipulerade med uteslutande syfte att demonstrerar en fungerande modell.
2.2.3 Strukturera verkligt problem
Bearbetning av insamlad data skedde genom att tillämpa dessa i optimeringsmodellen.
Modellen justerades någorlunda i detta skede för att göra modellen löslig.
2.2.4 Lösningsmetoder med MATLAB
Optimeringsproblemet löses med datorprogrammet Matrix Laboratory (Matlab).
Programmet valdes som lösningsmetod eftersom det har ett inbyggt stöd för matematiska funktioner och matrishantering vilket gör det möjligt att på ett enkelt sätt utföra beräkningar inom optimering.
2.3 Kvalitativ procedur 2.3.1 Litteraturstudie
Den kvalitativa utredningen påbörjades med insamling av tidigare kunskap inom området leverantörsval för att därefter kunna formulera hypoteser eller teorier. Detta gjordes i form av en litteraturstudie med syfte att ge översikt över befintliga leverantörsvalsmetoder samt leverantörshantering inom byggindustrin. Olika databaser för vetenskapliga tidskrifter och arbeten användes för att hitta relevanta artiklar koppla till detta arbete. De databaser som användes var Emerald Insight, Taylor & Fransis Online och Since Direct. Följande sökord och fraser användes för att finna relevanta artiklar: supplier selection, supply management, construction, construction industry, total cost of ownership, leverantörshantering, byggbranschen, supplier, problems, supplier selection model.
Genom att studera vetenskapliga artiklar som behandlade leverantörshantering i allmänhet samt leverantörshantering inom byggbranschen i synnerhet så valdes en metod för kriterieanalysen. Leverantörsvalsmetoden som främst används i detta arbete är Total Cost of Ownership (TCO). TCO är en filosofi och ett verktyg för inköp som syftar till att förstå den verkliga kostnaden som är förenat med att köpa en viss vara eller tjänst från en specifik leverantör (Ellram 1995).
2.3.2 Intervju med Spinactor AB
Intervjuer med en utav grundarna av Spinactor AB, tillika delägare och inköpsansvarig på Spinactor, utfördes vid tre olika tillfällen under arbetes gång.
Intervjuerna utfördes personligen och samtliga varade ungefär 45 minuter. Dessa spelades in för att på ett rättvist sätt kunna sammanfatta och återge de viktigaste delarna. De första två intervjuerna var semistrukturerade medan den sista kan betraktas som ostrukturerad. Semistrukturerade intervjuer utgår ofta från en frågemall, men är mer fokuserad på själva frågeområden snarare än konkreta frågor (Lantz 1993). Frågorna i en semistrukturerad intervju bör vara öppna frågor, vilket innebär att de inte finns några direkta svarsalternativ utan kräver reflektion och åtanke (Dysthe 1996). Ostrukturerade intervjuer saknar en formell mall och kan liknas mer
som ett samtal där olika teman behandlas. Intervjuobjektet skall i dessa fall styra så lite som möjligt. (Lantz 1993)
Anledningen till att de första intervjuerna var av formen semistrukturerade var att dessa behövdes styras, men samtidigt var det betydelsefullt att personen som intervjuades fick prata fritt kring frågorna eftersom de handlade om värderingar och åsikter. Intervjuobjektet uppmanades även att ta en kort betänketid innan han svarade på frågorna. Kortare följdfrågor förekom då det ansåg nödvändigt för att klargöra svaren.
Den första intervjun genomfördes med mål att erhålla generella värderingar och prestationsmål för projektet samt formulera ett övergripande synsätt gällande inköp från Spinactors AB sida.
Den andra intervjun hölls efter att en litteraturstudie inom hantering av leverantörsavtal var genomförd för att reda ut i detalj vilka leverantörskriterier som var viktigast för detta projekt. Målet var även att kvantifiera graden av relevans för dessa kriterier så att de kunde jämföras med varandra. Frågorna för den andra intervjun utformades efter det att den första intervjun var genomförd. Anledningen till detta var att få möjligheten att reda ut eventuella oklarheter eller fördjupa sig inom ett särskilt område som togs upp under den första intervjun.
Den sista intervjun kan liknas mer med en diskussion där vi presenterade vår sammanställning av ett ursprungligt resultat. Resonemang fördes kring hur dessa kan användas generellt gällande leverantörsval i likande projekt eller inköpssituationer.
3. Referensram
3.1 Optimeringsteori
Ett matematiskt optimeringsproblem maximerar eller minimerar en funktion i förhållande till en given uppsättning av bivillkor. Funktionen som ska optimeras benämns som målfunktionen och uppsättningen av bivillkor bildar det som kallas det tillåtna området. Två vanliga indelningar av linjära optimeringsproblem är linjärprogrammering samt heltalsprogrammering (Hillier & Lieberman 2010). Vid användning av linjärprogrammering är variablerna definierade på ett kontinuerligt intervall medan inom heltalsprogrammering finns det heltalskrav för några eller alla variabler.
3.1.1 Linjärprogrammering
Linjärprogrammering behandlar optimeringsproblem då målfunktionen samt alla bivillkor är linjära. Det tillåtna området utgörs då alltid av en konvex mängd (Hillier
& Lieberman 2010), vilket definieras som en mängd där alla punkter på en rät linje mellan två punkter som tillhör den givna mängden, också hör till mängden (Dantzig &
Thapa 1997).
Figur 1.
Ett linjärt optimeringsproblem med m villkor att ta hänsyn till skrivs på standardform enligt följande:
𝑀𝑖𝑛 𝑐!𝑥!+ ⋯ + 𝑐!𝑥!
𝑆å 𝑎𝑡𝑡 𝑎!!𝑥!+ ⋯ + 𝑎!!𝑥! = 𝑏! ⋮
𝑎!!𝑥!+ ⋯ + 𝑎!"𝑥! = 𝑏! 𝑥! ≥ 0 𝑖 = 1,2, … . , 𝑛
Samma linjära optimeringsproblem skrivs på matrisform:
𝑀𝑖𝑛 𝐜𝐓𝐱 𝑆å 𝑎𝑡𝑡 A𝐱 = 𝐛 𝑥! ≥ 0 𝑖 = 1,2, … . , 𝑛
där c, x är kolumnvektorer på formen 𝑛 𝑥 1 och b är kolumnvektorer på formen 𝑚 𝑥 1 medan A är en 𝑚 x 𝑛 − matris.
𝐜 = 𝑐! 𝑐! . . 𝑐!
, 𝐱 = 𝑥! 𝑥! . . 𝑥!
, b=
𝑏! 𝑏! . . 𝑏!
, A=
𝑎!! … 𝑎!!
⋮ ⋱ ⋮
𝑎!! … 𝑎!"
Ett optimeringsproblem med likheter som villkor, det vill säga villkor som utgörs Ax = b, är per definition ett optimeringsproblem på standardform. Då villkoren utgörs av olikheter kan dessa omformuleras till likheter genom införande av dummyvariabler (Hillier & Lieberman 2010).
3.1.1.1 Lösning med simplexmetoden
Problem inom linjärprogrammering löses enklast med Simplexmetoden, vilket är en algebraisk metod för att lösa linjära optimeringsproblem (Bazaraa et al. 2010). Denna kan beskrivas som en rörelse längs kanterna av en konvex mängd med mål att nå ett global minimum av målfunktionen. Alternativt finna en grupp av möjliga lösningar där målfunktionen 𝑧 → −∞ eller bestämma att den konvexa mängden är otillåten.
Simplexmetoden är en iterativ lösningsmetod vilket innebär att proceduren upprepas tills en optimal lösning är funnen. Proceduren ser ut som följande:
1. Initial lösning tas fram
2. Testa om lösningen är optimal med avseende på givan villkor Ja – Stanna
Nej – Iterera, gå till steg 3
3. Hitta en bättre lösning och återgå till steg två
Figur 2. Illustrerar hur Simplexmetoden söker igenom hörnpunkter på den tillåtna lösningsmängden tills den når den optimala lösningen.
3.1.2 Heltalsprogrammering
För många typer av optimeringsproblem är en lösning bara rimlig ifall lösningsvariabeln är på heltalsform. Denna typ av linjär optimering benämns heltalsprogrammering vilket har sin utgångspunkt i linjärprogrammering, men ställer alltså ytterligare krav i form av att en del eller alla variabler endast kan anta heltalsvärden. Denna tillsynes lilla förändring ökar kraftigt komplexiteten och antalet problem som kan modelleras reduceras väldigt (Walukiewicz 1991). Några fall då heltalslösning är nödvändigt är exempelvis när lösningen korresponderar till människor, maskiner, logiska villkor eller typer av element som inte är delbara.
Framförallt är det lämpligt att använda sig av binära variabler för att modellera komplicerade logiska begränsningar i ett linjärt optimeringsproblem (Hillier &
Lieberman 2010). De två vanligaste typerna av logiska begränsningarna är ”val bland flera möjligheter ” samt ”logisk följd” (Guéret, Prins & Sevaux 2000). ”Val bland flera möjligheter” kan exempelvis vara att endast två av utav fem enheter kan användas, vilket ger följande bivillkor:
𝑧!+ 𝑧! + 𝑧!+ 𝑧!+ 𝑧! ≤ 2 𝑧! ∈ 0,1 i = 1,2 … , 5
Logisk följd innefattar problem som följer resonemanget av typen ”om vi gör A så måste vi göra B”. Detta genererar då följande binära bivillkor:
𝑧!− 𝑧!≥ 0 𝑧! ∈ 0,1 i = A, B
3.1.2.1 Lösning med Branch and Bound- metoden
Heltalsprogrammering löses enklast med Branch and Bound-metoden, vilket kan hantera problem som har både diskreta och kontinuerliga variabler. Metoden bygger på att lösa relaxerade problem, och därmed dela upp och utveckla nya gränser för det tillåtna området tills det riktiga problemet tillslut kan lösas (Walukiewicz 1991). En relaxerad lösning är en lösning på ett optimeringsproblem där vissa bivillkor ignoreras och därför fås ett ”bättre än optimalt”-resultat. Initialt löses det rent linjära problemet med hjälp av relaxering, utan att addera några heltalsvillkor. Det ger en undre gräns för heltalsproblemet, och om samtliga variabler antar heltal i denna lösning så är det också den optimala lösningen på heltalsproblemet. Om lösningen inte genererar heltal, vilket är mest troligt, så delas problemet upp i två grenar (branches). Vid varje gren adderats ytterligare villkor för någon av heltalsvariablerna vilket ger ett nytt delproblem att lösa. Mönstret upprepar sig sedan på samma sätt och bygger upp ett sökträd med noder där varje gren representerar ytterligare villkor. Det binära fallet illustreras nedan där 𝑥! ∈ {0,1}:
Figur 3. Illustration av Branch and Bound- metoden
En välanpassad Branch and Bound algortim behöver dock inte söka igenom samtliga noder för att finna en optimal lösning. Den har förmågan att utesluta vissa trädgrenar där en optimal lösning inte är möjlig (Walukiewicz 1991).
3.1.3 Transportproblemet
Transportproblem i sin klassiska representation grundades av Hitchcock och är en tillämpning av nätverksoptimering (Bazaraa et al. 2010). Det har utgångspunkt i att bestämma en optimal fördelning vid transportering av likartade varor från olika leverantörer till olika destinationer.
Låt oss anta att det finns m leverantörer där S! betecknar utbud hos leverantör i, i = 1,2,3…, m. Dessutom kan vi anta att det finns n destinationspunkter, där D! betecknar efterfrågan hos destination j, j= 1,2,3…, n. Associerat med varje länk (i, j), från leverantör i till destinationen j, finns en enhetskostnad för transport, 𝑐!".
Målet med transportproblemet är att bestämma ett genomförbart transportmönster från leverantörer till destinationer som minimerar den totala transportkostnaden. Detta kan matematisk skriva som
𝑀𝑖𝑛 𝑐!"𝑥!"
!
!!!
!
!!!
(3.1)
𝑠å 𝑎𝑡𝑡 𝑥!"
!
!!!
≤ 𝑆! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … , 𝑚 (3.2)
𝑥!"
!
!!!
≥ 𝐷! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑗 = 1,2 … , 𝑛 (3.3)
𝑥!" ≥ 0 ∀𝑖, 𝑗 (3.4)
Problemet sägs vara balanserat då det totala utbudet är exakt lika stort som den total efterfrågan. Under antagandet att transportproblem är balanserat så har det alltid en optimal lösning (Bazaraa et al. 2010).
Figur 4. Grafisk representation av transportproblemet 3.1.3.1 Lösningsalgoritm
Transportproblemet löses bäst med en algoritm enligt följande (Dantzig & Thapa 1997):
1. Hitta en initial lösning
2. Testa om denna lösning är optimal (vid optimal lösning bryts algoritmen) 3. Hitta en bättre lösning och gå tillbaka till punkt 2.
Tills att en optimal lösning är funnen söker algoritmen igenom extrempunkterna efter bättre genomförbara lösningar. När en optimal lösning är erhållen upphör sökandet.
Det finns många olika lösningsmetoder för transportproblem som samtliga bygger på denna algoritm. Det är svårt att avgöra vilken av lösningsmetoderna som är effektivas i form av beräkningstid. Det beror helt på storleken och formuleringen av optimeringsproblemet (Gass 1995). I detta arbete kommer simplexmetoden användas som lösningsmetod vid linjärprogrammering eftersom det finns effektiva algoritmer i Matlab för simplexmetoden, medan de andra typerna av lösningar kräver egen
𝑆! = utbud hos leverantör i 𝐷! = efterfrågan hos bygge j
𝑐!" = transportkostnad per enhet från leverantör i inkluderat till bygge j 𝑥!" = enheter transporterade från leverantör i till bygge j
heltal i det fall då samtliga bivillkor består av heltal (Dantzig & Thapa 2003). Detta är en betydelsefull egenskap vid lösning av transportproblemet eftersom samtliga bivillkor i ett transportproblem alltid består av heltal. Ett resultat som innefattar bråkvärden skulle vara oacceptabelt då det inte går att skicka andelar av enheter.
3.2 Leverantörsval
Att välja ”rätt” leverantör innefattar att identifiera leverantörer med den största potentialen för att möta ett företags konsekventa behov till en acceptabel kostnad. Det finns många olika typer av uppsättningar kriterier som kan användas vid en leverantörsanalys, men en allt för detaljerad analys kan bli mycket komplex. Det övergripande målet för urvalet är således att identifiera de viktigaste kriterierna vid ett leverantörsval med anpassning till tillgänglig data eller där realistiska estimeringar kan utformas (Verma 1997).
3.2.1 Total ägarkostnad
Total ägarkostnad (engelska Total Cost of Ownership, TCO) är en modell som används för att skapa en större helhetsförståelse gällande kostnader i valet av leverantör. Den grundar sig i de värden och kostnader som är förenat med en investering, både internt och externt. TCO tar utöver själva kostnaden för en investering även hänsyn till kostnader som är förknippat med investeringen både före (exempelvis förstudiekostnader) och efter (exempelvis kostnad för användning, underhåll, reparation etc). Även om modellen fokuserar på kostnader så bör även fördelar som relateras till produktivitet och hållbarhet tas med i beaktning i form av kostnadsbesparingar (Degraeve & Roodhooft 1999). Primärt finns två olika tillvägagångssätt att använda TCO; Dollar-baserad eller Värde-Baserad (Ellram 1995).
Den dollar-baserade modellen bygger på att fördela faktiska kostnader som är relaterande till varje produkt som inhandlas från en specifik leverantör. Utöver de faktiska kostnaderna för inköp och transport så uppskattas kostnader för de aktiviteter som kan förknippas med en själva produkten, som exempelvis kvalitetskontroll, försäkring, energiförbrukning ect. Totalkostnaden för aktiviteter fördelas sedan ut på varje enskild produkt och ger på så vis aktiviteten ett styckepris per produkt.
Modellen gör det enkelt att jämföra olika produkter med avseende på den totala ägarkostnaden samt gör det enkelt att spåra var alla kostnader kommer ifrån.
Modellen kan liknas vid Activity-Based-Costing där det förekommer matchning av aktiviteter som driver kostnader till produkter som drar nytta av dessa aktiviteter (Ellram 1995).
Utöver de kostnader som kan hänföras till en viss produkt inrymmer den värdebaserade modellen även de värden som är svårt att sätta ett pris på. Värde- baserade modellen blir därför gärna komplex då allt fler element kan vägas in (Ellram 1995). Kortfattat beskrivet fungerar modellen genom poängsättning av olika leverantörskriterier inom de mest betydelsefulla kategorierna för det köpande företaget. Detta leder till en totalpoäng som fungerar som en multiplicerande faktor
på produktpriset. På så vis kan även de mjuka faktorer vägas in i en leverantörsbedömning, vilka kan ha stor inverkan i valet av leverantör. En värdebaserad metod är lättföränderlig eftersom viktningen av kriterierna kan ändras efter organisationens prioriteringar utan att konstruera en helt ny modell. Ellram (1995) liknar processen att välja leverantör med processen att anställa en ny person.
Det gäller att definiera för sig själv vad det är som eftersöks och vilka parametrar som anses vara av avgörande karaktär.
Både metoderna resulterar i en total ägarkostnad för varje leverantör där den leverantör som erbjuder lägst produktkostnad nödvändigtvis inte ger lägst total ägarkostnad. Valet av leverantör bör utifrån modellen således hamna på den leverantör som ger lägst total ägarkostnad. För att TCO-modellen inte ska öka kraftigt i komplexitet bör företag begränsa sig till kanske max fem faktorer (Ellram 1995) (Degraeve & Roodhooft 1999).
3.2.2 Order Qualifiers vs Order Winners
Ett sätt att kategorisera leverantörskriterier är ”Order Qualifiers” och ”Order Winners” enligt ett ramverk framtaget av Hill (1993). Ramverket är ursprungligen lämpat för att kategorisera den egna konkurrenskraften genom att se vilka kriterier som företaget bör fokusera på för att öka försäljningen, men det är även användbart för kategorisera leverantörskriterier. Hill (1993) menar att kriterier som en leverantör måste uppfylla för att vara med och konkurrera om orden är Order Qualifiers medan Order Winners är de kriterier som faktiskt vinner order eller generera försäljning.
Order Qualifiers är alltså en uppsättning minimikrav som sätts på leverantörerna, medan Order Winners är de kriterier som skapar ekonomisk mervärde.
3.2.3 Leverantörsrelationer inom byggindustrin.
Byggbranschen har länge kännetecknas av synsättet att ekonomisk effektivitet uppnås genom nya upphandlingar inför varje nytt projekt. En inställning som säkerligen präglats av att stat, landsting och kommuner i många fall är projektbeställare (Dubios
& Gadde 2000). Byggföretagen kan då dra nytta av fördelarna som finns från de naturliga marknadskrafterna i en konkurrensutsatt marknad så som välutvecklade material/produkter och effektiv prissättning. Detta har lett till att det tidigare i princip uteslutande arbetades med projektbaserade leverantörsrelationer, det vill säga kortsiktiga relationer, inom byggbranschen. Leverantörskulturen inom byggindustrin har dock under de senaste åren börjat svänga allt mer mot en relationsbaserad inställning gentemot underleverantörerna (Dubios & Gadde 2012).
Byggbranschens upphandlingsmentalitet får följder som leder till ineffektivitet. För det första är det inom många underleverantörsmarknader endast ett fåtal aktörer som konkurrerar, vilket skulle kunna innebära en begränsad marknadsvinning från konkurrens. En förutsättning för en effektiv konkurrensmarknad är att det finns många aktörer och att inträdesbarriärer är små. För det andra ger upphandlingar upphov till stora sunk costs i form av tid som läggs på planering, kalkylering och design till
underleverantören behöver givetvis finansieras på något sätt och landar i slutändan på kunden (Dubios & Gadde 2000).
Det uttrycks ofta att varje projekt är unikt inom byggbranschen, vilket till viss mån ligger i byggprojektens natur. Genom upphandlingssynsättet tenderar emellertid projekt att bli mer unikt än nödvändigt. Leverantörer får svårare att dra nytta från tidigare projekt om likheterna är få än om man jobbar med projekt med snarlika beståndsdelar. Inlärningskurva blir också längre för varje projekt vilket leder till kostnadsineffektivitet (Dubios & Gadde, 2012).
Genom långsiktiga relationer ges större möjlighet att påverka leverantör till individanpassning och skapa procedurer som underlättar samarbete. Att involvera leverantör i utveckling kan leda till kunskapsutbyte och större förståelse för tekniska möjligheter och restriktioner(Eriksson & Laan 2007). Interaktionen underlättar också för kunden att förmedla sina krav och förväntningar till leverantörerna i framtagandet av exempelvis produkter eller material (Dubios & Gadde, 2012).
3.2.4 Generella problem inom byggsektorn
Inom byggprojekt uppstår problem ofta av att ofullständiga ritningar och instruktioner skickas till leverantörer samt på grund av allmänt dåligt informationsutbyte från beställaren till underleverantörer (Vrijhoef & Koskela 2000). Det är därför viktigt att vara tydlig i sin kommunikation till leverantörer med detaljerade specifikationer snarare än prestandakrav. Samtidigt är det lika viktigt att en leverantör som upplever oklarheter i en projektbeskrivning eller ritning återkommer till beställaren hellre än drar egna slutsatser för att skynda på en process (Eriksson & Laan 2007).
Det påstås ofta att installationsfasen av byggprojekt tenderar att försenas på grund av dålig leveransprecision från underleverantörer. Det verkliga fallet verkar dock vara att byggprojekt ofta lider av förseningar till följd av mindre välplanerade och okoordinerade installationsplaner (Vrijhoef & Koskela 2000).
Fokus på låga materialkostnader orsakar i många projekt leveransproblem.
Lågprisleverantörer tenderar att ge ett väldigt lågt pris med målsättning att vinna en upphandling för att sedan göra vad som står i deras makt för att tjäna pengar genom extra, icke kontrakterat arbete (Eriksson & Laan 2007). Vrijhoef och Koskela (2000) genomförde en case-studie inom byggbranschen med slutsats att extra-kostnader för framförallt logistik tenderar att vara större från lågprisleverantörer.
4. Matematisk modellering
Vid applicering av en matematiks optimeringsmodell i praktiken krävs det vanligtvis en förenkling av själva problemet, eftersom de ofta är komplexa utan exakta ramverk (Lundgren & Rönnqvist 2001). Med detta i åtanke bör denna tillämpning av transportproblemet betraktas som en optimal lösning på en modell av verkligheten och inte det absoluta problemet. Målet är dock att göra modellen så pass lik det verkliga problemet som möjligt för att använda detta som referenspunkt vid beslut.
4.1 Uppställning av problemet
Eftersom offerterna behandlar konfidentiell information som inte får spridas eller offentliggöras är samtliga kostnader samt utbudstillgänglighet manipulerade med uteslutande syfte att demonstrerar en fungerande modell.
4.1.1 Definiering av variabler Variabel Definition
𝑖 ∶ Leverantör. 𝑖 = 1,2 … ,6 𝑗 ∶ Byggnationsplats. 𝑗 = 1,2 … ,10 𝑟! ∶ Prisnivå från leverantör 𝑖. 𝑟! = 0,1,2,3
𝑡!" : Transportkostnad per enhet från leverantör 𝑖 till byggnationsplats 𝑗
𝑝!!∶ Inköpskostnad per enhet hos leverantör 𝑖 på prisnivå 𝑟
𝑐!"(𝑥) ∶ Totalkostnaden per enhet för att köpa av leverantör 𝑖 till byggnation j
med transportkostnad inkluderat (𝑡!" + 𝑝!!).
𝑥!": Kvantitet från leverantör 𝑖 till byggnation 𝑗
𝐾!(𝑥) ∶ Minsta orderkostnad för leverantör 𝑖. Infaller om leverantör allokeras.
𝐷! ∶ Efterfrågad kvantitet vid varje byggnationsplats 𝑗 𝑎! ! : Kvantitetsrestriktion för prisnivå 𝑟 för leverantör 𝑖 4.1.1 Leverantörer och utbud
Sex olika betongleverantörer, belägna på olika orter i Sverige behandlas i denna optimeringsmodell. Utbudet i detta fall mycket större än efterfrågan och flera av leverantörerna har ett enskilt utbud större än den totala efterfrågan. Detta medför att en initial möjlig lösning föreligger trivialt genom att köpa in samtliga varor från en och samma leverantör och sedan distribuera dessa till de olika destinationerna. Tabell 1 redogör för utbudet för varje leverantör. Beteckningen ”Fullt” innebär att leverantören erbjuder större utbud än den totala efterfrågan. I modellen antar vi då att utbudet är lika med den totala efterfrågan.
Leverantör Utbud
S1 Fullt (610)
S2 500
S3 380
S4 220
S5 Fullt (610)
S6 Fullt (610)
Totalt Utbud 2930 Tabell 1.
4.1.2 Destinationer och efterfrågan
Projektet innefattar en byggnation av tio likartade magasin på olika orter och således är antalet reella destinationspunkter tio stycken med lika stor efterfrågan. Figur 5 visar en ritning över förvaringsmagasinen som redogör för åtgången för betongmoduler.
Figur 5. Ritning av förvaringsmagasin
Efterfrågan för ett magasin beräknas enligt följande
Baksida 22
Hörnsida 8 x 2
Framsida 23
Total efterfrågan per garage 61
Efterfrågan är således 61 prefabricerade betongelement för varje byggnation (𝐷! = 61 för 𝑗 = 1,2, … ,10),vilket ger en total reell efterfrågan på 610 stycken betongelement.
Detta ger då bivillkoren:
𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑆! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (4.1)
𝑥!"
!
!!!
= 𝐷! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑗 = 1,2 … ,11 (4.2)
4.1.3 Kostnadsvektor
Kostnadsvektorn definieras med följande realiteter:
I. Kostnadsvektorn innefattar både kostnaden för inköp hos leverantör i (𝑝!!) samt transportkostnaden från leverantör i till destination j (𝑡!") så att 𝑐!" = 𝑡!" + 𝑝!!
II. Kostnaden för inköp skall inkludera förekommande mängdrabatter. Den minsta inköpta kvantiteten som kopplas till en viss prisnivå hos leverantör i betecknas 𝑎!!. Prisnivån hos leverantör i betecknas med 𝑟!, där 𝑟! = 0 innebär att ingen enhet köps från för leverantörer !"!!!𝑥!" = 0 , 𝑟! = 1 innebär att 0 < !"!!!𝑥!" ≤ 𝑎!!, 𝑟! = 2 innebär att 𝑎!! < !"!!!𝑥!" ≤ 𝑎!! och 𝑟! = 3 innebär att 𝑎!! < !"!!!𝑥!".
III. Eventuell logistik som tillkommer utöver den inkluderade transporten vid inköp anses vara tredjepartslogistik, det vill säga en separat logistikleverantör anlitas. Kostnaden för transport beräknas vara 60 SEK/enhet/mil. Dessa kostnader anses vara fasta och inga mängdrabatter ges för transport av större kvantiteter.
IV. Det existerar ett orderminimum från varje leverantör som betecknas 𝐾!. Dessa fakta medför att den totala kostnadsfunktionen blir styckvis linjär. Dock förekommer det två olika typer av prisstrukturer; ”kontinuerlig kostnadsfunktion” och
”styckvis kostnadsfunktion”.
Den fösta typen (typ 1) av prisstruktur (till vänster i figur 6) har en ”kontinuerlig kostnadsfunktion” vilket innebär att totalkostnaden alltid är växande. Om leverantören används är kostnaden initialt 𝐾!, eftersom det existerar orderminimum. Vid prisnivå 𝑟! = 1 erhålls ingen rabatt utan styckpriset utgörs av 𝑝!!. När en viss kvantitet (𝑎!!) har inhandlas nås prisnivån 𝑟! = 2 och då betalas ett billigare styckepris på varorna utöver den ursprungliga kvantiteten (𝑎!!), dvs 𝑝!! är styckpriset för varor inom nivån 𝑟! = 1 och 𝑝!! är styckpriset för varorna i nivå 𝑟! = 2. Totalpriset för inköp av
𝑥!"
!"
!!! varor inom nivå 𝑟! = 2 blir då 𝑎!!𝑝!! + !"!!!𝑥!" − 𝑎!! 𝑝!!. Vid nivån 𝑟! = 3 erhålls rabatt på de varor utöver kvantiteten 𝑎!!.
Den andra typen prisstruktur (typ 2) som visas till höger i figur 6 är en ”styckvis kostnadsfunktion”. När en viss kvantitet 𝑎!! har inhandlas uppnås prisnivån 𝑟 = 2 och rabatt på samtliga varor erhålls, vilket innebär att styckpriset blir 𝑝! för alla varor.
Detta medför att en total inköpskostnad som sjunker marginellt varje gång som en ny rabattnivå uppnås.
Graferna i figur 6 illustrerar endast kostnaden för inköp av material, alltså
transportkostnad exkluderat. Vid nedan problemformuleringar så antas leverantören 1,2,3 och 4 använder sig av typ 1 medan leverantörerna 5 och 6 använder sig av typ 2.
4.1.4 Matematisk problemformulering
Det tillhörande optimeringsproblemet till denna kostnadsfunktion kan beskrivas som
𝑀𝑖𝑛 (𝐾!(𝑥) + 𝑐!"(𝑥)𝑥!"
!"
!!!
!
!!!
) (4.3)
𝑠𝑡 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑆! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (4.4)
𝑥!"
!
!!!
= 𝐷! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑗 = 1,2 … ,10 (4.5)
Kontinuerlig kostnadsfunktion (typ1) Styckvis kostnadsfunktion (typ 2)
Figur 6.
𝑐!" 𝑥 =
𝑡!" 𝑜𝑚 0 ≤ 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝐾! 𝑝!! 𝑝!!+ 𝑡!" 𝑜𝑚 𝐾!
𝑝!! < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑎!!
𝑝!!+ 𝑡!" 𝑜𝑚 𝑎!! < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑎!!
𝑝!!+ 𝑡!" 𝑜𝑚 𝑎!! < 𝑥!"
!"
!!!
∀𝑖, 𝑗 (4.6)
Följande villkor förklarar prisstruktur typ 1:
𝐾! 𝑥 =
0 𝑜𝑚 𝑥!"
!"
!!!
= 0
𝐾! 𝑜𝑚 0 < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝐾! 𝑝!! 0 𝑜𝑚 𝐾!
𝑝!! < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑎!!
𝐾!∗ 𝑜𝑚 𝑎!! < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝑎!!
𝐾! ∗∗ 𝑜𝑚 𝑎!! < 𝑥!"
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑖 = 1,2,3,4 (4.7)
Följande villkor förklarar prisstruktur typ 2:
𝐾! 𝑥 =
0 𝑜𝑚 𝑥!"
!"
!!!
= 0
𝐾! 𝑜𝑚 0 < 𝑥!"
!"
!!!
≤ 𝐾! 𝑝!!
0 𝑜𝑚 𝐾!
𝑝!! < 𝑥!"
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (4.8)
𝑥!" ≥ 0 ∀𝑖, 𝑗 (4.9)
5. Lösningsmetoder
Problemet vilket är definierat ovan kan lösas med ett antal olika metoder varav vi kommer behandla två metoder i denna rapport. Båda dessa bygger på metoden
”söndra och härska”, vilket innebär att huvudproblemet bryts ned i mindre delproblem som är enklare att lösa var för sig (Guéret, Prins, & Sevaux 2000). Eftersom problemet innehåller logiska villkor (om-villkor) måste omskrivningar göras då Matlab inte kan hantera logiska villkor vid optimeringslösningar. I detta kapitel beskrivs två olika metoder för att hantera dessa logiska villkor. Den första metoden tillämpar en omskrivning av logiska villkor med binära stödvariabler som sedan löses med en ”branch and bound”-algoritm. Den andra metoden bygger på nedbrytning av huvudproblemet till linjära delproblem som löses med simplexmetoden. Båda dessa beskrivs utförligt nedan.
5.1 Heltalslösning med binära stödvariabler
Vi börjar med att dela upp antalet varor från en leverantör i fyra olika klasser (k), vilket illustreras i figur 7, med varierande inköpspriser associerat till dessa. Klasserna är relaterade, men inte ekvivalenta, med prisnivåerna 𝑟! som är definierade ovan.
Figur 7.
Definition av variabler:
Variabel Definition
𝑐!"! ∶ Kostnad för att köpa Prefab från leverantör 𝑖 till byggnation 𝑗 från klass 𝑘 med transportkostnad 𝑡!,! inkluderat.
𝑥!"! ∶ Kvantitet från leverantör 𝑖 till byggnation 𝑗 inom klass 𝑘, så att 𝑥!"!
!!!! = 𝑥!", där 𝑥!" är totalt antalet varor från leverantör 𝑖 till byggnation 𝑗 .
𝜆! ∶ Binär variabel för klass 𝑘 för leverantör 𝑖 = 1, … ,4. (Implementering
förklaras längre ner)
𝜇!! ∶ Binär variabel för klass 𝑘 för leverantör 𝑖 = 5,6 (Implementering förklaras längre ner)
Med omskrivning av de logiska villkoren till binära variabler fås följande uttryck:
𝑀𝑖𝑛 (𝜆!!𝐾!
!
!!!
+ (𝑐!,!!
!
!!!
!"
!!!
𝑥!,!!)) + (𝜇!!𝐾!
!
!!!
+ (𝑐!,!!
!
!!!
!"
!!!
𝑥!,!! )) (5.1)
𝑠. 𝑡. 𝑥!,!!
!
!!!
!
!!!
= 𝐷! 𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑗 = 1,2 … ,10 (5.2)
𝐾!
𝑝!!𝜆!! ≤ 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜆!! 𝐾!
𝑝!! 𝑓ö𝑟 𝑖 = 1,2,3,4 (5.3) (𝑎!!− 𝐾!
𝑝!!)𝜆!! ≤ 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜆!! (𝑎!!− 𝐾!
𝑝!!) 𝑓ö𝑟 𝑖 = 1,2,3,4 (5.4) (𝑎!! − 𝑎!! ) 𝜆!! ≤ 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜆!! (𝑎!! − 𝑎!! ) 𝑓ö𝑟 𝑖 = 1,2,3,4 (5.5)
0 ≤ 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜆!! (𝑆!− 𝑎!!) 𝑓ö𝑟 𝑖 = 1,2,3,4 (5.6)
𝜇!! ≤ 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜇!! 𝐾!
𝑝!! 𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (5.7) 𝐾!
𝑝!!𝜇!! < 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜇!! 𝑎!! 𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (5.8)
𝑎!! 𝜇!! < 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜇!! 𝑎!! 𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (5.9)
𝑎!! 𝜇!! < 𝑥!,!!
!"
!!!
≤ 𝜇!! 𝑆! 𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (5.10) 𝜇!!+ 𝜇!!+ 𝜇!! + 𝜇!! ≤ 1 𝑓ö𝑟 𝑖 = 5,6 (5.11)
𝑥!,!! ≥ 0 ∀𝑖, 𝑗, 𝑘 (5.12)
𝜆!! ∈ 0,1 ∀𝑖, 𝑘 (5.13)
𝜇!! ∈ {0,1} ∀𝑖, 𝑘 (5.14)
Noteras bör att i (5.1) blir 𝑐!,!! = 𝑡!,! för alla 𝑖, 𝑗 eftersom prisnivå 1 korresponderar till den kvantitet som motsvarar minimumorderkostnad vilket ges av den fasta
kostnaden 𝐾! för leverantör 𝑗. Beskrivning av Matlab-implementering återfinns under Bilaga A.
Följande beteckningar införs för att förenkla vidare förklaring av modellen:
𝑧!! = 𝑥!,!!
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (5.15)
𝑧!! = 𝑥!,!!
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (5.16)
𝑧!! = 𝑥!,!!
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (5.17)
𝑧!! = 𝑥!,!!
!"
!!!
𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (5.18)
𝛽! = 𝑧!!
!
!!!
𝑓ö𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑖 = 1,2 … ,6 (5.19)
Klargörande gällande bivillkor för prisstruktur typ 1:
Modellformulering medför att för 𝑖 = 1,2,3,4 blir 𝑧!! = !!!
!! när 𝑧!! > 0 𝑧!! = (𝑎!!− !!!
!! ) när 𝑧!! > 0 𝑧!! = (𝑎!! − 𝑎!! ) när 𝑧!! > 0
5.3 korresponderar till klass k=1 från leverantör 𝑖 vilket infaller då 𝛽! är större än noll och mindre eller lika med !!!
!! .
5.4 korresponderar till klass k=2 från leverantör 𝑖 och infaller då 𝛽! är större än
!!
!!! men mindre eller lika med 𝑎!!
5.5 korresponderar till klass k=3 från leverantör 𝑖 och infaller då 𝛽! är större än 𝑎!! och mindre eller lika med 𝑎!!
5.6 korresponderar till klass k=4 från leverantör 𝑖 och infaller då 𝛽! som är än 𝑎!! och mindre eller lika med 𝑆!
Figur 8. illustration av prisstrategi för leverantörerna 𝑖 = 1,2,3,4.
Med hjälp av de binära variablerna 𝜆!! möjliggörs tillämpningen av prisstruktur 1. De binära variablerna 𝜆!! tillämpas på följande sätt:
𝜆!! = 1 , 𝑜𝑚 𝑧!! > 0
0 , 𝑜𝑚 𝑧!! = 0 (5.20) 𝜆!! = 1 , 𝑜𝑚 𝑧!! = 𝐾!
𝑝!! 0 , 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠
(5.21)
𝜆!! = 1 , 𝑜𝑚 𝑧!! = (𝑎!!− 𝐾! 𝑝!!) 0 , 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠
(5.22)
𝜆!! = 1 , 𝑜𝑚 𝑧!! = (𝑎!!− 𝑎!!) 0 , 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠
(5.23)
Detta medför också att så fort leverantör 𝑖 allokeras blir den första binära variabeln 𝜆!!=1 och minimumorderkostnaden för leverantör 𝑖, 𝐾!, aktiveras i (5.1).
Klargörande gällande bivillkor för prisstruktur typ 2:
För 𝑖 = 5,6 används prisstruktur typ 2
5.7 korresponderar till klass k=1, minimumkostnaden 𝐾! , från leverantör 𝑖 vilket infaller då 𝛽! är större än noll och mindre eller lika med !!!
!! .
5.8 korresponderar till klass k=2, prisnivå 1 från leverantör 𝑖 och infaller då 𝛽 är större än !! men mindre eller lika med 𝑎!
