BASBYTEN OCH LINJÄRA AVBILDNINGAR
1. STANDARDMATRIS
Låt T :Rn →Rm definierad som vara en avbildning från R till n R . Vi har tidigare m definierat standardmatrisen , med avseende på standardbaser i R och n R , som m den matris [T vars kolonner är ] T(e1),T(e2),T(en).
Alltså
)]
( )
( )
( [ ]
[ T = T e
1T e
2 T e
n
=
=
=
1 0 0 ,
, 0 1 0 ,
0 0 1
2
1
e en
e är standardbasvektorer i R . n
Med andra ord, om 𝐓𝐓(𝒆𝒆�⃗𝟏𝟏) = � 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21
𝑎𝑎𝑚𝑚1⋮
� (= kolonn 1 ) , …, 𝐓𝐓(𝒆𝒆�⃗𝒏𝒏) = � 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛⋮
� (= kolonn n ) , så är
[T = A= �] 𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎𝑚𝑚1⋮ 𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎 ⋮𝑚𝑚2
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛
� .
Då gäller T(x =) Ax för x ∈ Rn
Notera att vi gör ingen skillnad mellan vektorer i R och deras koordinatvektorer i n standardbasen.
Uppgift 1. Låt T vara en linjär avbildning från R till 2 R sådan att 3
=
=
3 2 1 0 )
( 1 ) (e1 T
T och
−
=
=
3 2 5 1 )
( 0 ) (e2 T
T .
Bestäm standardmatrisen till T.
Lösning. Vi skriver T (e1) och T (e2) som kolonner i [T], alltså
−
=
3 3
2 2
5 1 [T]
Uppgift 2. Låt T vara rotation vinkeln θ kring origo i R . 2 a) Bestäm avbildningens matris b) Bestäm )
1 ( 2
T om 6 θ = . π
Lösning. Vi bestämmer bilder av
=
=
1 och 0
0 1
2
1 e
e och skriver som kolonner i
matrisen [T . ]
Vid rotation vinkeln θ kring origo avbildas vektorn
= 0 1
e1 på
θ θ sin
cos , och
= 1 0
e2 på
−
θ θ cos
sin (se nedanstående figur).
1 1
θ
O θ
Därför [T]=
−
θ θ
θ θ
cos sin
sin
cos .
Svar a) [T]=
−
θ θ
θ θ
cos sin
sin cos
b) Om 6
θ = då är π [T]=
−
2 3 2
1 2
1 2
3
. Härav
+
= −
−
=
3
1 2
3 1 1
2
2 3 2
1 2
1 2
3 1 )
( 2 T
Svar b)
+
− 3
1 2
3 1
2. AVBILDNINGENS MATRIS MED AVSEENDE PÅ ICKE-STANDARDBASER.
Om vi betraktar en avbildning T från vektorrummet V1 med basen C =(v1,v2,,vk) till vektorrummet V2 med basen D (f1, f2, , fm)
= , där C och D behöver inte vara standardbaser bestämmer vi avbildningens matris med avseende på baserna C och D på liknande sätt som ovan:
Kolonner i matrisen [T är koordinatvektorer ] [T(v1)]D, [T(v2)]D,[T(vk)]D, dvs
] )]
( [ )]
( [ )]
( [[
]
[ T = T v
1 DT v
2 D T v
k D .Avbildningens matris [T har följande egenskap: ]
Relationen T(x =) y ( dvs vektorn x avbildas på vektorn y ) svarar mot [T]⋅[x =]C [y]D
(dvs kordinatvektorn [ avbildas på kordinatvektorn x]C [ y]D) ---
Förklaring av formeln [T]⋅[x =]C [y]D:
Låt x = x1v1 +x2v2 ++xkvk vara en vektor i rummet V1. Då gäller ( eftersom T är en linjär avbildning ):
) ( )
( )
( )
(x x1T v1 x2T v2 xnT vk T
y
= = + + + (*)
Om vi tar koordinatvektorer i basen D av båda leden i (*), och använder linjära egenskaper hos koordinatvektorer, får vi
D k k D
D
D x T v x T v x T v
y] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
[ = 1 1 + 2 2 ++
( vi skriver uttrycket som matrisprodukt )
=
[ ]
⋅
k D k D
D
x x x v
T v
T v
T 2
1 2
1)] [ ( )] [ ( )]
(
[
dvs [y =]D [T][x]C ( vilket skulle visas)
Uppgift 3. Låt T vara en avbildning från vektorrummet V1 med basen C =(v1,v2) till vektorrummet V2 med basen D (f1, f2, f3,f4)
= , (där C och D behöver inte vara standardbaser). Låt vidare
4 3 2 1
1) 2 3 4 5
(v f f f f
T = + − + och
4 3 2 1
2) 4 4 4 4
(v f f f f
T = + + + . a) Bestäm avbildningens matris [T]
b) Vektorn w som ligger i rummet V1 har koordinatvektorn
= 1 ] 2
[w C . Bestäm koordinatvektorn för bilden T . (w)
Lösning:
a) Från T(v1)=2f1 +3f2 −4f3 +5f4 och T(v2)=4f1+4f2 +4f3+4f4 får vi koordinatvektorerna
= − 5
4 3 2 )]
(
[T v1 D och
= 4 4 4 4 )]
(
[T v2 D .
Härav får vi avbildningens matris
= −
4 5
4 4
4 3
4 2 ]
[T .
Svar a)
= −
4 5
4 4
4 3
4 2 ] [T
b) Låt y =T(w)
Koordinatvektorn till bilden T dvs till (w) y är [y =]D [T][x]C
C
D T w
y] [ ][ ]
[ = =
= −
−
14 4 10
8
1 2
4 5
4 4
4 3
4 2
.
Svar b)
− 14
4 10
8
3. Speciellt fall: Avbildning T :V →V
(Avbildning från vektorrummet V till samma vektorrum V ) Låt T vara en linjär avbildning från ett k-dim. vektorrum V med basen
) , ,
(v1 v2 vk
B= till samma vektorrum V med samma bas B. ( Om det handlar om standardbasen betecknar vi basen med S).
Om vi betecknar avbildningens matris med [T ]B då är
)]]
( [ , , )]
( [ , )]
( [[
]
[T B = T v1 B T v2 B T vk . Matrisen [T ]B är kvadratisk i det här fallet.
Dessutom enligt ovanstående avsnitt gäller följande:
Relationen T(x =) y ( dvs vektorn x avbildas på vektorn y )
svarar mot [T]B ⋅[x =]B [y]B (dvs kordinatvektorn [ x]Bavbildas på kordinatvektorn y]B
[ )
Här [x]B och [ y]B betecknar koordinatvektorerna till x och y . I det här fallet har
Uppgift 4. Låt )
2 0 0 1 , 1 0 2 1 ( ) , ( 1 2
=
= v v
B vara basen för vektorrummet )
2 0 0 1 , 1 0 2 1 (
=span V
. Låt T:V →V vara en linjär avbildning från V till V sådan att
=
7 0 2 4 ) 1 0 2 1 (
T och
=
3 0 2 2 ) 2 0 0 1 ( T
a) Bestäm avbildningens matris med avseende på basen B.
b) En vektor w har koordinatvektor
=−
1 ] 1
[w B ( med avseende på basen B).
Bestäm w och T (w)
Lösning: Kolonner i avbildningens matris är koordinatvektorer [T )](v1 B och [T(v2)]B ,
Först bestämmer vi koordinater till T (v1)=
7 0 2 4
i basen B genom att lösa ekvationen
=
+
7 0 2 4
2 0 0 1
1 0 2 1
y
x och får x=1 och y=3 ( kontrollera själv)
Därför
= 3 )] 1 (
[T v1 B .
På samma sätt bestämmer vi koordinater för [T (v2) genom att lösa
=
+
3 0 2 2
2 0 0 1
1 0 2 1
y
x , vi får x=1 och y=1.
Därför [T(v2)]B=
1 1
Slutligen skriver vi koordinatvektorerna som kolonner i avbildningens matris:
=
= 3 1
1 ] 1
)]
( [ , )]
( [[
]
[T B T v1 B T v2 B
Svar a)
= 1 3
1 ] 1
[T B .
b) Om vektorn w har koordinatvektor
=−
1 ] 1
[w B ( med avseende på basen B) då gäller
2
1 1
1 v v
w =− ⋅ + ⋅ =
= −
⋅ +
⋅
−
1 0 2 0
2 0 0 1 1 1 0 2 1 1
Dessutom, eftersom T är linjär avbildning, har vi
−
−
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
=
4 0 0 2
3 0 2 2 1 7 0 2 4 1 ) ( 1 ) ( 1 )
(w T v1 T v2
T
4. AVBILDNINGENS MATRIS OCH BASBYTE
för en avbildning T :V →V (från en vektorrum V till samma vektorrum V )
Låt T:V →V . Avbildningens matris för T :V →V beror av valet av basen i rummet V.
Låt B1 och B2 vara två olika baser i vektorrummet V.
Låt P vara basbytesmatrisen från B2 till B1.
Beteckna tillhörande matriser A =1 [T]B1 och A =2 [T]B2. Då gäller
P T
P
T ]
B2[ ]
B1[ =
−1eller
A 2 = P − 1 A 1 P
där P=PB2 B→ 1 är basbytesmatrisen från B2 till B1..( Anmärkning: Vi kan lösa ut A1 och skriva ovanstående relation som PA2P−1 = A1) Bevis:
Anta att T(x =) y.
Motsvarande relation för koordinatvektorer i basen B1 resp. B2 är
1 1
1 [x]B [y]B
A ⋅ = (R1)
2 2
2 [x]B [y]B
A ⋅ = (R2)
Basbytesmatrisen P omvandlar B2 koordinatvektorer (nya) till B1 koordinatvektorer (gamla) , med andra ord gäller
1
2 [ ]
]
[x B x B
P⋅ = och P⋅[y]B2 =[y]B1 som vi substituerar i (R1) och får
2 2
1P [x]B P [y]B
A ⋅ = ⋅ Vi multiplicerar från vänster med P och får −1
2 2
1A1P [x]B [y]B
P− ⋅ = (R3)
Högerleden i (R2) och (R3) är lika; vi identifierar vänsterleden och får relationen
2 1 1
2
2 [x]B P AP [x]B
A ⋅ = − ⋅ som gäller för godtyckligt [x]B2, därför
P A P
A2 = −1 1 vilket skulle bevisas.
Uppgift 5. Vi betraktar en linjär avbildning T som i standardbasen S =(
0 1 ,
1
0 ) har matrisen
= 0 1
2 1
A1 .
Bestäm matrisen för T i basen B= (v 1,v2)
där
= 1 1
v1 och
= 2 1 v2 . Lösning:
Basbytesmatris från B till S är
= 2 1
1
P 1 ( där kolonn1= v ; kolon2= 1 v )2
−
= −
−
= −
= −
4 2
9 5 2 1
1 1 0 1
2 1 1 1
1 2
1 1
2 P AP
A
Svar:
−
= −
4 2
9 5 A2
Uppgift 6. En linjär avbildning T har matrisen
=−
2 0
0 1
A2 i basen B2= (v 1,v2) där
= 2 3
v1 och
= 1 1 v2 .
a) Bestäm basbytesmatrisen PB1 B→ 2 från standard basen B1=S till den nya basen B2. b) Bestäm matrisen A1 för T i standardbasen basen S =(
0 1 ,
1 0 ) .
Lösning: Basbytesmatrisen från den nya basen B2 till den gamla B1 = S är
=
→ =
1 2
1 3
1
2 P
PB B .
Därmed blir
−
= −
= −
→ 2 3
1 1 1
1 1
2
1 P
PB B basbytesmatrisen från B1 till B2.
b)Från formeln [T]B2 =P−1[T]B1P eller A2 =P−1A1P får vi
2 1 1= PAP−
A och därför
−
= −
−
−
=
−
−
−
=
= −
8 6
9 7 6
4 1 1 1 2
1 3 3 2
1 1 2 0
0 1 1 2
1
1 3
2
1 PA P
A
Svar.
−
= −
= 6 8
9 ] 7
[ ]
[T B1 T S
5. Similära matriser
DEFINITION. ( Similära matriser ) Två matriser A1 och A2 kallas similära om det finns en inverterbar matris P så att A1=PA2P−1 .
Uppgift 7. Två matriser A1 och A2 kallas similära om det finns en inverterbar matris P så att A1 =PA2P−1.
Avgör om
= 1 0
0 2
A1 och
−
= −
1 3
2 4
A2 är similära matriser.
Lösning:
Vi ska kontrollera om det finns en inverterbar matris
=
w z
y
P x så att A1 =PA2P−1 . Ett litet trick är att skriva om villkoret på följande sätt
2
1P PA
A = (*)
Vi substituerar A1 , A2 och P i (*) och får
−
−
=
1 3
2 4 1
0 0 2
w z
y x w z
y x
−
−
−
= −
⇒
w z w z
y x y x w
z y x
2 3 4
2 3 4 2
2
härav har vi 4 ekvationer:
y x
x 4 3
2 = − 2y=2x− y w
z
z=4 −3 w=2z−w som kan skrivas som
=
−
=
−
=
−
=
−
0 2 2
0 3 3
0 3 2
0 3 2
w z
w z
y x
y x
Vi använder Gaussmetoden och får oändligt många lösningar (med två fria variabler, w = t och y = s):
t w
t z
s y
s x
=
=
=
=3 /2
Om vi t ex väljer t= 1 och s=2 får vi en
en matris
= 1 1
2
P 3 som är inverterbar, eftersom det(P)=1 ≠0 .
Därför är A1 och A2 är similära matriser.
Svar: A1 och A2 är similära matriser.
Uppgift 8. Avgör om
= 1 0
0 2
A1 och
= 1 2
2 4
A2 är similära matriser.
Lösning:
Vi ska kontrollera om det finns en inverterbar matris
=
w z
y
P x så att A1 =PA2P−1 . Vi skriver villkoret på följande sätt
2
1P PA
A = (*)
Vi substituerar A1 , A2 och P i (*) och får
=
1 2
2 4 1
0 0 2
w z
y x w z
y x
+ +
+
= +
⇒
w z w z
y x y x w
z y x
2 2 4
2 2 4 2
2
härav har vi 4 ekvationer:
y x
x 4 2
2 = + 2y =2x+ y w
z
z=4 +2 w=2z+w som kan skrivas som
=
= +
=
−
= +
0 2
0 2 3
0 2
0 2 2
z w z
y x
y x
Vi använder Gaussmetoden och får endast den triviala lösningen
0 0 0 0
=
=
=
=
w z y x
och endast en matris
= 0 0
0
P 0 som är INTE inverterbar.
Alltså det finns INTE en inverterbar matris P så att A1 = PA2P−1, och därmed är A1 och A2 INTE similära matriser
Svar: A1 och A2 är INTE similära matriser.
Uppgift 9. En linjär avbildning T som i standardbasen U =(
0 1 ,
1 0 )
har matrisen
= 1 0
0 2
A1 .
Finns det en bas B så att samma avbildning T har matrisen A om 2
a)
−
= −
1 3
2 4
A2 b)
= 1 2
2 4 A2
Lösning: Om en sådan bas B = (v 1,v2)
finns då gäller A1 = PA2P−1 ( där kolonner kolonn1 i P är v kolonn2 = 1, v ). 2
Med andra ord, en sådan bas finns om ( och endast om) A1 och A2 är similära matriser.
Vi skriver villkoret på följande sätt
2
1P PA
A = (*)
och kontrollerar om det finns en inverterbar matris som satisfierar (*).
(Se två föregående uppgifter Svar. a) Ja,
= 1 1
2
P 3 och basen B= (
1 , 2 1
3 ) . b) Nej
Tentamen 9 april Uppgift 3.
