Linjära avbildningar

(1)

1 av 20

LINJÄRA AVBILDNINGAR

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Att funktionen f avbildar x avbildas på y betecknar vi x → y eller f ( x) = y . Om y  f(x) säger vi att y är bilden av originalen x.

Att f är en funktion från A till B betecknar vi på följande sätt f : A → B

Mängden A ar funktionens startmängd (eng: initial set ) . Mängden B är funktionens målmängd eller kodomän (eng: final set, target set, codomain,).

Definitionsmängden (eng: domain) Df till funktionen f är mängden av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka f tillämpas (den gula mängden i grafen).

Värdemängden (eng: range) V_f är mängden av alla bilder som fås då x genomlöper definitionsmängden, eller mer precis

} :

) (

{ _f

f f x x D

V   .

Notera skillnaden mellan startmängden och definitionsmängen; värdemängden V och _f målmängden B ).

Generellt gäller: D_f  och A V_f  . B

Exempel 1. Låt f : R → R, där f(x) 1x² .

För den här funktionen är startmängden= R, målmängden = R, definitionsmängden=[-1,1] och värdemängden =[0,1]

Exempel 2. (A och B har ändligt många element) För funktionen f som definieras med

hjälp av grafen gäller: f : AB, startmängden=A= }{1,2,3,4

målmängden = B{a,b,c,d,e}, definitionsmängden är D_f {1,2,3}, värdemängden är V_f { ca, }.

x

y=f(x) f

A B

V^f

Df

B A f : 

y x

(2)

2 av 20

Element i mängderna A och B kan vara tal, vektorer, matriser eller andra matematiska objekt. Element i A behöver inte vara av samma typ som element i B.

Exempelviss funktionen

2

:R3 R

f  , _



 







 

















z y x

z y x z

y x

f 2 3

)

(

avbildar 3-dimensionella på 2-dimensionella vektorer.

LINJÄRA AVBILDNINGAR

Definition 2a (Linjär avbildning)

Låt V och W vara två vektorrum ( t ex V=Rⁿoch W=R^m). En funktion T från V till W säges vara en linjär avbildning ( linjär funktion eller linjär transformation) om följande två villkor är uppfyllda

Villkor 1. T(uv)T(u)T(v) för alla u^,v^V

Villkor 2. T(ku ) kT(u) för varje skalär k och alla u^,v^V Exempel 3. Avbildningen T :R⁴ R⁵ definierad som





























w z y x

w y x

w z y

w z y x

w z y x T

5 3

2 2 5

2 2 2

3

3 2 )

(

avbildar 4-dimensionella vektorer













w z y x

på 5-dimensionella vektorer















w z y x

w y x

w z y

w z y x

5 3

2 2 5

2 2 2

3

3 2

.

Vi kan visa att ovanstående avbildning T är linjär genom att skriva om T(x)

på matris form x

A x

T( ) . Då är enkelt att inse att villkor 1 och 2 är uppfyllda:

1. T u v Au v Au Av









 ) ( ) (distributiva lagenför matrismultip.)

( = T(u ) T(v)

Detta visar att Villkor 1 i definitionen är uppfylld.

2. T ku A ku kAu kTu



 ( ) (egenskaper för mult mellan talochmatris) )

( I vårt fall























































w z y x

w y x

w z y

w z y x

w z y x T

5 1 1 3

2 2 0 5

2 1 1 0

2 1 2 3

3 2 1 1

5 3

2 2 5

2 2 2

3

3 2 )

( .

och därmed är T en linjär avbildning.

(3)

3 av 20

Anmärkning 1: Vi kan ersätta villkorna 1 och 2 med ett villkor och ange följande ekvivalenta definition:

Definition 2b) En funktion T från V till W säges vara en linjär avbildning ( linjär funktion eller linjär transformation) om följande villkor är uppfyllt

T(ku sv) kT(u) sT(v)





 för alla k,sR och alla u^,v^V

Sats 1. Om T är en linjär avbildning från V till W då gäller T(0_V) 0_W

 . Bevis: T(0_V) T(0 0_V) (enligt villkor 2 idefinitionen) 0 T(0_V) 0_W









 ( V.S.B)

Anmärkning 3: Villkoret T(0_V) 0_W

 är nödvändigt men inte tillräckligt villkor för avbildningens linearitet.

Exempel 4. Avbildningen y T(x) från R³ till R² som definieras av



 







 

















3 2 1

2 1 3

2 1

1 ) 2

( x x x

x x x

x x

T är INTE linjär eftersom

1 0 ) 2 0 0 0

( 





 





















T .

Anmärkning 2. Från definition 1 ( eller 1a) har vi att, om v ku k u k_pu_p

 



 ₁ ₁ ₂ ₂   så gäller T(v) k₁T(u₁) k₂T(u₂) k_pT(u_p)

 



    

Med andra ord, om vektor v

är en linjär kombination av vektorerna u u u_p

 

₁, ₂, , så kan vi beräkna )T(v

med hjälp av värdena T(u₁),T(u₂), ,T(u_p)

 

 ( se följande exempel)

Uppgift 1.

Låt T vara en linjär avbildning från R⁴ till R³som satisfierar

















 5 1 1 ) (u₁ T 

och

















 4 0 0 ) (u₂ T 

där













 1 1 1 1 u^1 ,













 10 10 5 5 u^2 . Kan vi med given information beräkna T(v)

om

(4)

4 av 20 i)













 21 21 11 11

v^ ii)













 15 11 6 6 v^

Lösning:

i) Vi kollar om vi kan skriva v

som en linjär kombination av u₁

och u₂ .

2

1 yu

u x

v  





ger x= 1 och y= 2 och därför v1u₁2u₂

Därför kan vi beräkna T(v)T(1u₁2u₂)1T(u₁)2T(u₂)=





















































13 1 1

4 0 0 2 5 1 1 1

ii) Den här gången kan vi INTE skriva v som en linjär kombination avu₁

och u₂

eftersom ekvationen v xu₁ yu₂



 saknar lösning (kotrollera själv).

Därför kan vi INTE beräkna T(v)

med hjälp av given information.

MATRISAVBILDNING är en LINJÄR AVBILDNING

Låt A vara en matris av typ mn. Funktionen från Rⁿ till R^m definierad som x

A

y  , där xRⁿ

och därmed y^R^m kallas (i vår kursbok) matrisavbildning.

Vi kan ange avbildningen y  Ax med m skalära ekvationer:

n mn

n n

m m

m a x

x a

x a x

a y

x a x

a y

x a x

a y

2 1

2 2 1

1

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

...















Varje matrisavbildning är en linjär avbildning eftersom följande gäller ( enligt lagar för matrisoperationer)

) ( ) ( )

(x₁ x₂ A x₁ A x₂

A        och )

( )

(kx kA x A    .

--- Bilder av standardbasvektorer:

Låt A= ⋮

⋮

vara en matris.

Hur avbildas standardbasvektorerna

(5)

5 av 20











































1 0 0 ,

, 0 1 0 ,

0 0 1

2

1 

 









en

e

e ?

Svar:

⋮ (= kolonn 1 ) , …, ⋮ (= kolonn n ) ,

Därmed har vi visat att bilder av basvektorer ,…, är kolonner i matrisen A.

---

Varje LINJÄR AVBILDNING y T(x) från Rⁿ till R^m kan anges som en MATRISAVBILDNING y  Ax

Vi har visat att

1. Varje matrisavbildning är en linjär avbildning.

2. Bilder av basvektorer ,…, är kolonner i matrisen A.

Nu ska vi visa omvänt påstående att varje linjärt avbildning y T(x) från Rⁿ till R^m kan anges som en matrisavbildning y  där kolonner i A är bilder av basvektorer Ax e₁

,...e^_n . Låt y T(x) vara en linjär avbildning från Rⁿ till R^m . Låt

⋮ , …, ⋮

vara bilder av standardbasvektorerna e₁ ,...e^_n.

Om vi bildar matrisen A med , , …, som kolloner i A dvs A= ⋮

⋮

då gäller Ae₁ k₁ T(e₁)



 , Ae₂ k₂ T(e₂)



 ,...,Ae_n k_n T(e_n)



 .

Alltså Ax

och )T(x

avbildar basväktorer på samma bilder k₁ ,...,k_n

. Därför, för en godtycklig vektor x  x₁e₁ x_ne_nRⁿ

 

 vi har

n n n

nAe xk x k

x e

A x x

A 

 

 



  ₁ ₁   ₁ ₁   och

n n n

nTe xk x k

x e

T x x

T 

 

 



  ₁ ₁   ₁ ₁  Alltså är Tx

= Ax

för alla xRⁿ

v.s.v

(6)

6 av 20

Därmed har vi visat att varje att varje linjärt avbildning y T(x) från Rⁿ till R^m kan anges som en matrisavbildning y  där kolonner i A är bilder av standardbasvektorerna Ax e₁

,...

e^n . Uppgift 2.

Låt T vara den avbildning som definieras av T(x ) Ax där A=















 1 3

2 2

1 1

.

Låt 



 



 0 1

e^1 och 



 



 1 0

e^2 , 



 



 2 v^ 1 . )

(e₁ T 

, T(e₂) Bestäm T(e₁)

, T(e₂)

och T(v) .

Svar: T(e ₁) Ae₁ =















 3 2 1

, T(e₂) =















 1 2 1

, T(v) =















 5 6 3

Definition. (AVBILDNINGENS MATRIS)

Låt y T(x) vara en linjär avbildning från Rⁿ till R^m . Låt

T ⋮ , …, T ⋮ ,

vara bilder av standardbasvektorerna e₁ ,...e^_n. Då kallas matrisen A= ⋮

⋮

för avbildningens matris i standardbasen

eller standardmatris för avbildningen T.

Beteckning. Den matris som hör till avbildningen T betecknar vi oftast med [T].

Anmärkning:(viktig) Ett (enkelt) sätt att bevisa att en given funktion y T(x) från Rⁿ till R^m är en linjär avbildning, är att ange funktionen som en matrisavbildning y  . Ax

Uppgift 3. Visa att avbildningen y T(x) från R² till R³ som definieras enligt





















 



 





2 1

2 2 1

2 1

4 5

2 3 ) (

x x

x x x x

T x ( där _



 





2 1

x x x

och























2 1

2 2 1

4 5

2 3

x x

x x x y

) är en linjär avbildning och bestäm .

(7)

7 av 20

Lösning: 



 













































 



 





2 1 2

1 2

2 1

4 5

1 0

2 3 4

5 2 3 )

( x

x x

x x x

T x ,

dvs T(x ) Ax där standardmatrisen är





















4 5

1 0

2 3

A och _



 





2 1

x x x

Vi har därmed bevisat Att T är en linjär avbildning eftersom A(x₁ x₂) A(x₁) A(x₂)







och A(kx ) kA(x) ( gäller enligt lagar för matrisoperationer).

Uppgift 4. Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildning T som innebär att varje vektor i R³avbildas på sin ortogonala projektion på vektorn

















 3 2 1 v

dvs

T ( x  ) proj

_v

( x  )



 .

Lösning:

Metod 1. Vi bestämmer ett analytiskt uttryck för T(x)

. Därefter skriver viT(x) på matrisformen Ax

. Denna form bevisar att T är linjär och att standardmatrisen [T] A.

Låt



















3 2 1

x x x x

vara en vektor i R³ då gäller

 







 











 







 





 

 



3 2 1

3 2 1 3

2 1

9 6 3

6 4 2

3 2 14

1 3 2 1 14

3 ) 2

(

x x x

x x x x

x v x

v v

v x x

proj x

T _v



 



 

 





































3 2 1

9 6 3

6 4 2

3 2 1 14

1

x x x

.

Därmed har vi bevisat att T är en linjäravbildning och att



















9 6 3

6 4 2

3 2 1 14 ] 1 [T

Metod 2. (Denna metod gäller om vi redan har visat att T är en linjär operator) Först bestämmer vi T(e₁)

, T(e₂)

och )T(e^₃ som bildar kolonner i standardmatrisen ][T .























































14 / 3

14 / 2

14 / 1 3 2 1 14 ) 1

0 0 1 ( )

( ₁ ¹ v

v v

v T e

e

T 







 

,

(8)

8 av 20























































14 / 6

14 / 4

14 / 2 3 2 1 14 ) 2

0 1 0 ( )

( ₂ ² v

v v

v T e

e

T 







 

,























































14 / 7

14 / 6

14 / 3 3 2 1 14 ) 3

1 0 0 ( )

( ₃ ³ v

v v

v T e

e

T 







 

.

Härav



















14 / 9 14 / 6 14 / 3

14 / 6 14 / 4 14 / 2

14 / 3 14 / 2 14 / 1 ]

[T =

















9 6 3

6 4 2

3 2 1 14

1 .

Svar:



















9 6 3

6 4 2

3 2 1 14 ] 1 [T

SAMMANSATTA LINJÄRA AVBILDNINGAR

Vi betraktar sammansatta linjära avbildningar T2◦T1 där T2◦T1(v) betecknar T2(T1(v)).

Låt A1 vara den matris av typ som hör till en linjär avbildning T1, låt vidare A2 vara den matris av typ som hör till en linjär avbildning T2 då är

A=A

₂

A

₁

den avbildningens matris som hör till sammansatta avbildningen T2◦T1 eftersom T2(T1(v)) =

A

₂

(A

₁v) = (

A

₂

A

₁)v(associativa lagen för matrismultiplikation) Uppgift 5.

Låt A1= 



 



 

2 0

1

1 vara den matris som hör till en linjär avbildning T1,

A2=















 3 2

1 0

1 1

vara den matris som hör till en linjär avbildning T2 . Bestäm matrisen för sammansatta avbildningen T2◦T1.

Lösning:

A=A

2

A

1=















 3 2

1 0

1 1



 



 

2 0

1

1 =















 4 2

2 0

1 1

Uppgift 6. KS 2009 a) Utryck vektor 



 



 5

w^ 1 som en linjärkombination av vektorerna



 



 2 1

v^1 och 



 





1 1 v^2

b) För en linjär avbidning med avbildningsmatrisen A gäller

(9)

9 av 20



 





  2 0 v1

A^ och 



 



 1 3 v2

A^ .

Använd resultat i 3a) för att bestämma Aw . Lösning :

a)

2 1 yv v x

w      



 







 



 



 





5 1 1

1 2

1 y

x 

 









 5 2

1 y x

y

x x2, y1 Svar: w 2v₁ v₂





b)



 





 



 







 





 







 3

3 1 3 2 2 0 ) ( 2

) 2

( v₁ v₂ Av₁ A v₂ A

w

A^ ^ ^ ^ ^

Anmärkning 3: Låt , , … , vara en bas i rummet V. Låt T vara en linjär avbildning från V till W. Eftersom varje vektor v i V kan skrivas som en linjär kombination av

basvektorer då gäller ⋯

⋯

Med andra ord, om vi vet hur basvektorer i V avbildas då kan vi bestämma bilden av varje vektor i V.

Uppgift 7.

Vi betraktar en avbildning från R³ till R² där standardbasen avbildas enligt följande T (

1 0 0

2

0 , T ( 0 1 0

0

3 , T( 0 0 1

1 1

( Koordinater i båda rum räknas med avseende på standardbaser)

a) Bestäm T( 2 1 1

) b) Bestäm T( )

c) Bestäm avbildningens matris A=[T].

Lösning: Om vi betecknar vektorer i standardbasen , och . 1

0 0

,

0 1 0

och 0

0 1

, då har vi

(10)

10 av 20 2

1 1

2 och därför

T ( 2 1 1

2

2 20 1 0

3 1 1

1 5

4 Svar a) A= 5

4

b) T(

=a 20 0

3 1

1

2 0 1

0 3 1

Svar b) T ( ) = 2 0 1

0 3 1

Svar c) 2 0 1 0 3 1

( Svaret får vi från b) eller direkt om vi skriver bilderna av basvektorer som kolonner i matrisen A)

Uppgift 8. (Kräver kunskap om inversa matriser)

Vi betraktar en avbildning från R² till R² med matrisen A. Bestäm avbildningens matris om

1

1 w

v

A  och  Av  där ₂ w₂



 







 





1 , 1

2 3

2

1 v

v^ ^ samt 



 







 





1 , 2

2 0

2

1 w

w^ ^

Lösning:

Villkoren Av  och ₁ w₁ Av  kan vi skriva som en matrisekvation ₂ w₂

]

| [ ]

|

[ v

₁

v

₂

w

₁

w

₂

A    



dvs

 

 



 

 

 





1 2

2 0 1

2 1

A 3

_,

kortare

AB=C

Eftersom det(B) =3 – 2=1≠0 är matrisen B= 



 



 1 2

1

3 en inverterbar matris

(11)

11 av 20 Inversen är B^–1= 



 







 3 2

1 1 1

1 .

Från

AB=C

har vi

A= C

B^–1= 



 



 1 2

2

0 



 







 3 2

1

1 = 



 





1 0

6 4 Vi kan enkelt kontrollera resultat:

Av₁ 



 



 1 2

2

0 



 







 3 2

1

1 = 



 







 







 





2 0 2 3 1 0

6

4 = w₁

(OK)

2  v A



 



 



 







 





1 2 1 1 1 0

6

4 = w₂

, OK

Svar: Avbildningens matris är

A=

_



 





1 0

6 4

Anmärkning 4: Låt , , … , vara en bas i rummet V =Rⁿ och , , … , en bas i rummet W=R^m.

Låt vidare T vara en avbildning från V till W.

Matrisen A =[T] kan vi bilda genom på följande två sätt

Metod 1. Vi skriver vektorkolonner , ,…, ( bilder av basvektorerna ),

som kolonner i matrisen A.

Alltså A= | | ,…, | ]

⋯ då skriver vi som en koordinatvektorn i f-basen

⋮ som vi skriver som första kolonn.

På samma sätt fortsätter vi med , …, .

Uppgift 9.

Låt T vara en avbildning från en 3-dimensionell rum V med basen , , till ett 4- dimensionellrum W med basen , , , som satisfierar

2 3 5

2 1

2 Då är ( i koordinat form)

(12)

12 av 20 2

3 4 5

, T

2 0 4 1

, T

0 0 5 och därmed 2

A=

2 3 4

5 2 0 4 1

0 0 5 2

Uppgift 10. (KS 2008) Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i rummet avbildas på sin ortogonala projektion på linjen

































1 2 3 t z y x

.

Lösning:

Låt A= (a₁,a₂,a₃)vara en godtyckligt punkt i R³,



















 ^

3 2 1

a a a OA u

och 













 1 2 3 v

.

 







 









 

 





 





 

 



3 2 1

3 2 1 3

2 1

2 3

2 4 6

3 6 9 14

1 1 2 3 14

2 3

a a a

a a a a

a v a

v v

v u u

proj_v



 



 

 



( som vi kan skriva på formen Au )

= 













14 / 1 14 / 2 14 / 3

14 / 2 14 / 4 14 / 6

14 / 3 14 / 6 14 / 9

















3 2 1

a a a

Avbildningens matris är A=

















14 / 1 14 / 2 14 / 3

14 / 2 14 / 4 14 / 6

14 / 3 14 / 6 14 / 9

= 













14 / 1 7 / 1 14 / 3

7 / 1 7 / 2 7 / 3

14 / 3 7 / 3 14 / 9

.

Uppgift 11. (KS 2008) Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i rummet avbildas på sin ortogonala projektion på linjen

































4 2 1 t z y x

.

Lösning: Låt A= (a₁,a₂,a₃)vara en godtyckligt punkt ,



















 ^

3 2 1

a a a OA u

och 













 4 2 1 v

.

(13)

13 av 20

A

O o P

S

 







 









 

 





 





 

 



3 2

1

3 2 1

3 2 1 3

2 1

16 8

4 8 4 2

4 2 21

1 4 2 1 21

4 2

a a

a

a a a

a a a a

a v a

v v

v u u

proj_v



 



 

 



= 





























3 2 1

21 / 16 21 / 8 21 / 4

21 / 8 21 / 4 21 / 2

21 / 4 21 / 2 21 / 1

a a a

Avbildningens matris är A=

















21 / 16 21 / 8 21 / 4

21 / 8 21 / 4 21 / 2

21 / 4 21 / 2 21 / 1

.

Uppgift 12.

KS 2009 En avbildning definieras genom att varje vektor i rymden speglas i planet .

0 2

3x₁ x₂ x₃  Bestäm avbildningens matris.

Lösning:

Låt A= (a₁,a₂,a₃)vara en godtyckligt punkt och S=(y₁,y₂,y₃) punktens A spegelbild.

Vi betecknar



















 ^

3 2 1

a a a OA u

, 













 1 2 3 N

och

















 

3 2 1

y y y

OS .

Se bilden nedan. Lägg märke till att punkten O=(0,0,0) ligger i planet.

Då gäller:

 







 









 

 





 





 

 







14 / ) 2

3 (

14 / ) 2 4 6 (

14 / ) 3 6 9 ( 1 2 3 14

2 3

3 2 1

3 2 1 3

2 1

a a a

a a a a

a N a

N N

N u u

proj

PA _N



 



 

 

 .

(14)

14 av 20

A

O_o P

 





 







 

 





 









 

 





 

















^ ^ ^



3 2

1 3

3 2

1 2

3 2

1 1

3 2 1

7 1 7

2 7

3 7

2 7

4 7

6 7

3 7

6 7

9 14 / ) 2

3 (

14 / ) 2 4 6 (

14 / ) 3 6 9 ( 2

2

a a

a a a

N proj OA

AS OA

OS _v





=





















3 2 1

7 6 7 2 7

3 7

2 7 3 7

6 7

3 7 6 7 2

a a a

( som vi kan skriva på formen A u )

=





















7 6 7 2 7

3 7

2 7 3 7

6 7

3 7 6 7 2

















3 2 1

a a a

Svar: Avbildningens matris är A=





















7 6 7 2 7

3 7

2 7 3 7

6 7

3 7 6 7 2

.

Uppgift 13. En avbildning definieras genom att varje vektor i rymden projiceras ortogonalt ( vinkelrät) på planet

. 0 2

3x₁ x₂ x₃  Bestäm avbildningens matris.

Lösning:

Låt A= (a₁,a₂,a₃)vara en godtyckligt punkt och P=(y₁,y₂,y₃) dess ortogonala projektion på planet 3x₁ 2x₂ x₃ 0.

Vi betecknar



















 ^

3 2 1

a a a OA u

, 













 1 2 3 N

och

















 

3 2 1

y y y

OP .

Se bilden nedan. Lägg märke till att punkten O=(0,0,0) ligger i planet.

(15)

15 av 20 Då gäller:

 







 









 

 





 





 

 







14 / ) 2

3 (

14 / ) 2 4 6 (

14 / ) 3 6 9 ( 1 2 3 14

2 3

3 2 1

3 2 1 3

2 1

a a a

a a a a

a N a

N N

N u u

proj

PA _N



 



 

 

 .

 





 







 

 





 









 

 





 

















^ ^ ^ ^



3 2

1 3

3 2

1 2

3 2

1 1

3 2 1

14 1 14

2 14

3 14

2 14

4 14

6 14

3 14

6 14

9 14 / ) 2

3 (

14 / ) 2 4 6 (

14 / ) 3 6 9 (

a a

a a a

PA OA AP OA OP

=















 



 



3 2

1

3 2

1

3 2

1

14 13 14

2 14

3 14

2 14

10 14

6 14

3 14

6 14

5

a a

a

a a

a

a a

a

= 



























 



3 2 1

14 13 14

2 14

3 14

2 14 10 14

6 14

3 14

6 14

5

a a a

Svar: Avbildningens matris är A=















 



14 13 14

2 14

3 14

2 14 10 14

6 14

3 14

6 14

5

Uppgift 14. En avbildning definieras genom att varje vektor i rymden projiceras ortogonalt ( vinkelrät) på planet z=0 dvs på xy - planet.

a) Bestäm avbildningens matris.

(16)

16 av 20 b) Bestäm bilden av vektorn

















 4 3 2 v

. Lösning:

a)

Vi kan göra som i föregående uppgift men den här gången är det enklare att avbilda tre basvektorer

















 0 0 1 i

,

















 0 1 0

j

och

















 1 0 0 k

och skriva deras bilder som kolonner i matrisen A.

1. Ortogonala projektionen av vektorn i

på xy - planet är samma vektor

















 0 0 1 i

för den

redan ligger i planet. Därför är matrisens första kolonn lika med















 0 0 1

2. Samma gäller för vektorn

















 0 1 0

j

och därför är matrisens andra kolonn lika med















 0 1 0

.

3. Ortogonala projektionen av vektorn k

på xy - planet är noll-vektorn















 0 0 0

och därför är

tredje kolonn i A lika med















 0 0 0

. Därmed är avbildningens matris

A=

















0 0 0

0 1 0

0 0 1

b)





















































0 3 2 4 3 2 0 0 0

0 1 0

0 0 1 v

A .

(17)

17 av 20 Några exempel i 2D rummet:

Uppgift 15. Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i xy- planet avbildas på sin ortogonala projektion på linjen 3x y4 0.

Lösning: Först bestämmer vi en riktningsvektor. Vi väljer två punkter på linjen y x 4

 3 0

0 

 y

x , en punkt P1=(0, 0) 3

4 

 y

x , punkt P2=(4, 3) En riktningsvektor är 



 







3 4

2 1P

P .

Låt A= (a₁,a₂)vara en godtyckligt punkt , _



 





 ^

2 1

a OA a u

och 

 



 3 v^ 4 .

 

 







 

 

 





 



2 1

2 2 1

1

9 12

12 16

25 1 3 4 25

3 4

a a

a a a

v a v v

v u u

proj_v



 



 

 



= 



 







 





2 1

25 / 9 25 / 12

25 / 12 25 / 16

a a

Avbildningens matris är A= 



 





25 / 9 25 / 12

25 / 12 25 /

16 .

Uppgift 16. Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i xy- planet speglas i linjen 3x y0.

Lösning: Först bestämmer vi en riktningsvektor. Vi väljer två punkter på linjen y3x 0

0 

 y

x , en punkt P1=(0, 0) 3

1 

 y

x , punkt P2=(1, 3) En riktningsvektor är 



 







3 1

2 1P

P .

Låt A= (a₁,a₂)vara en godtyckligt punkt , _



 





 ^

2 1

a OA a u

och 

 



 3 v^ 1 .

 

 







 

 

 





 







2 1

2 2 1

1

9 3

3 10

1 3 1 10

3 1

a a

a a a

v a v v

v u u

proj

OP _v



 



 

 



Från figuren ser vi att AP^ OP^ OA^ och O

A

P

S

(18)

18 av 20



 OA APOA OPOA  OPOA

OS 2 2( ) 2

=















 



 



















 



 







 







5 4 5

3 5

3 5 4

5 9 5

3 5

3 5 9

3 3 10

2

2 1

2 1 2

1 2 1

2 1 2

1 2 1

a a

a a a

a a

a a a a

a a

a a a

= 



 







 





2 1

5 / 4 5 / 3

5 / 3 5 / 4

a a

Avbildningens matris är A= 



 





5 / 4 5 / 3

5 / 3 5 /

4 .

Uppgift 17. Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i xy- planet speglas i x-axeln.

Lösning:

Vi kan göra som i föregående uppgift men den här gången är det enklare att avbilda två basvektorer



 



 0 i 1

 och 



 



 1 j 0



och skriva deras bilder som kolonner i A.

1. Spegelbilden av vektorn i

, vid spegling i x-axeln, är samma vektor 



 



  0 i^ 1 .

Därför är matrisens första kolonn lika med 



 



 0 1

2. Spegelbilden av vektorn j^, vid spegling i x-axeln, är ^j 



 





  1 0 .

Därför är matrisens andra kolonn lika med 



 





1 0

Därmed är avbildningens matris A= 



 





1 0

0 1

Uppgift 18. Bestäm matrisen för den linjära avbildning som innebär att varje vektor i xy- planet roteras vinkeln θ kring origo.

Lösning: Vi kan med hjälp klassisk geometri visa att rotation är en linjär avbildning. För att bestämma standardmatrisen bestämmer vi bilder av basvektorer och skriver de som kolonner i avbildningens matris:

1. Vektorn i

avbildas på 



 







 sin cos ,

vektorn j^, avbildas på 



 







 cos

sin (se nedanstående figur).